第1章 量子力学基础-习题与答案

一、是非题

1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对

2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题

1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的

表达式为 b 。

()

0,()

1i i i i a d i j

b ψψτψψ**

=≠=⎰⎰

2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )

(A) dx

d

(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分

3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )

(A) x

ˆ 和 y ˆ (B) x

∂∂

和y ∂∂ (C) ˆx p

和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx

(C) e -ikx

(D) 2

e kx -

(1) 哪些是

dx

d

的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22

dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )

(3) 哪些是22dx d 和dx

d

的共同本征函数。------------------------------ (B, C )

5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）

(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大

6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）

(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger

7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）

(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB

）

(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得

(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设

三、填空题：

1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。

T =

()

λ

h m m

p 2

2122

=

=1.016×10-17 J

2. 金属钠的逸出功为2.3eV ，波长为589.0？nm 的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应的临阈频率是多少？临阈波长是多少

不能

14

1

00

5.56,539.110

nm s νλ

-=⨯=

3. 金属钾的临阈频率为5.464×1014 s -1，如用它作为光电池的阴极，当用波长为300 nm 的紫外照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？

解： 201

2

hv hv mv =+

()12

051

28.1210h v v v m m s --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

=⨯

4. 自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为_____0____。

5. 微观粒子运动的量子力学共性有（能量量子化），（波粒二象性）和（测不准

关系） 。测不准关系式为（x x P h ∆•∆≥），这一关系的存在是微粒具有（波粒二象性）的结果。

6.CO 2激光器给出一功率为1KW,波长为10.6μm 的红外光束，它每秒发射的光子数= 5.33×1022 个。 （1KW=1000 J/s ，光子能量

8134

20

6

2.99810(6.62410

) 1.8741010.610c

m s hv h

J s J m

ελ

----⨯•===⨯•⨯=⨯⨯， 每秒钟的光子数量=

1

1222010001000 5.33101.87410

J s J s ε

---••==⨯⨯） 7. 量子力学的几个假设有（状态和波函数假设）；（力学量和线性厄米算符假设）；（本征方程假设）；（状态叠加原理假设和薛定谔方程的假设）。 8. 函数*

)x φ（称为)x φ（的（ 共轭 ）函数。

9. 微观粒子的运动状态可用（波函数）描述，波函数必须满足（连续）；（单值）和（平方可积）三个条件，称之为（品优）函数。

10. 2

∇= 222222x y z ⎛⎫

∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭

，是（Laplace, 拉普拉斯）算符；能量算符

ˆH =222ˆ8h V m

π⎡⎤-∇+⎢⎥

⎣⎦

。 坐标算符x =（x ） 。时间算符t =（t ）。

11. 在边长为a 的一维势箱中运动的粒子，当量子数n 等于1,2,3时,其波函数()

x ψ和能量E 分别为

()22111,,/8x

n x E h ma a

πψ==

= ;

()222222,,4/8x

n x E h ma a

πψ==

= 12. 下列函数中 (1) sin x cosk x

(2) cos 2x

(3) sin 2x -cos 2x

哪些是d/d x 的本征函数，本征值是多少，哪些是d 2/d x 2的本征函数，本征值是多少？

解：kx x k kx x kx x x

sin sin cos cos cos sin d d

-=