§4 数列在日常经济生活中的应用
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用
P(1+r)n.( × )
(4)分期付款问题一定可转化为数列问题求解.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
与等差数列有关的应用题
【例1】 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售
出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前
一天多15件,直到4月12日销售量达到最大,其后每一天售出的服装都比前
据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252.精确到1元)
解:设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.007)-x
=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,
10%的复利计算,试比较两方案的优劣.(计算时,精确到0.01万元,取
1.110≈2.594,1.310≈13.79)
10
1-1.3
解:甲方案 10 年共获利 1+(1+30%)+…+(1+30%)9=
≈42.63.
1-1.3
到期时,银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.94.
所以按甲方案扣除贷款本息后,净收益为42.63-25.94=16.69(万元).
所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30,且n∈N+).
综上,an=
15-5(1 ≤ ≤ 12,且∈N+),
-9 + 283(13 ≤ ≤ 30,且∈N+).
12(1 +12 )
第1章 第4节 数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用 学习目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一 单利、复利思考1 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的． 思考2 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理 一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和为a (1＋rx )．(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的． 利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和a (1＋r )x . 知识点二 数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，到期本息合计为a n ，则a n ＝A (1＋np )．其本质是等差数列已知首项和公差求第n 项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，则到第n 期末时，应得到本息合计为：nA ＋n (n ＋1)2Ap .其本质为已知首项和公差，求前n 项和问题．3．分期付款问题 贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)2．增长率＝增长量增长前的量.(√) 3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)类型一 等差数列模型例1 第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 1 036解析 设各年末的本利和为{a n }，由a n ＝a (1＋nr )，其中a ＝1 000，r ＝0.72%，∴a 5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．即第5年末的本利和为1 036元．反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．跟踪训练1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 设第n 个月存入的100元到期利息为a n ，则a 1＝100×2.7‰×36，{a n }是公差为100×2.7‰的等差数列．∴数列{a n }的前36项和S 36＝36a 1＋36×352d ＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3 600(元)．∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．类型二 等比数列模型例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 8×1.0255解析 定期自动转存属于复利问题，设第n 年末本利和为a n ，则a 1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a 2＝a 1＋a 1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a 3＝a 2＋a 2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a 5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟 在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r ，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q ，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应大于________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 13[(1＋r )3－1] 解析 设储户开始存入的款数为a ，由题意得，a (1＋3q )>a (1＋r )3，∴q >13[(1＋r )3－1]． 类型三 分期付款例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)． 因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元 B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x 万元，则x [(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a (1＋γ)5，∴x ·1－(1＋γ)51－(1＋γ)＝a (1＋γ)5 故x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1(万元).1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．65只B．66只C．216只D．36只考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有a n只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{a n}是首项为1，公比为6的等比数列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A．32 B．31 C．64 D．65考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 D解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有() A．6只B．5只C．8只D．7只考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案 A解析依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7，d>0，S n－1＝65－10＝55，∴(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55， 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴(n －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2＝55. ∵55＝11×5且(n －1)为正整数，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2为正整数． ∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得n ＝6.1．数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)．(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．(3)如果容易找到该数列任意一项a n ＋1与它的前一项a n (或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．一、选择题1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为( )A ．1 600米B ．1 700米C ．1 800米D ．1 900米考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 B解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1 700(米)．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个 考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 C解析 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016， 可得，a 11＝3·210＝3 072，故选C.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 B解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m ，故选B.4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)( )A ．22B ．23C ．24D ．25考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 B解析 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg 0.5lg 0.97≈22.8，故选B. 5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )A ．a (1＋r )7B.a r[(1＋r )7－(1＋r )] C ．a (1＋r )8D.a r[(1＋r )8－(1＋r )] 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 2009年存入钱为a 元，2010年本息和为a ＋a (1＋r )，2011年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2，2012年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3，2013年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4，2014年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5，2015年本息和为a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5＋a (1＋r )6，故选B.6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为( )A ．1104－1B ．1102－1C ．1114－1D ．1112－1考点 等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 A解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝1104－1.二、填空题7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案a(1＋b)a(1＋b)7解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案3109－1解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝3109，x＝3109－1.10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在________层．考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 14解析 设停在第x 层，则S ＝[1＋2＋…＋(20－x )]×2＋[1＋2＋…＋(x －2)]＝3x 2－85x 2＋421， ∴当x ＝856时取最小值， 而x ∈{2,3，…，20}，∴当x ＝14时取最小值．三、解答题11．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，…，第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ， 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812， 解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)．即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x －x ，…，第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)． 即每期应还款176元．12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47) 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n . 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1.由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a 辆．设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S n ，T n 分别为n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．(1)求S n ，T n ，并求n 年里投入的所有新公交车的总数F n ；(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a 的最小值．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列； 数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32＝256·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a . 所以经过n 年，该市更换的公交车总数F n ＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2a . (2)易知F n 是关于n 的单调递增函数，依题意得F 7≥10 000，即256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000， 解得a ≥3 08221， 又a ∈N ＋，所以a 的最小值为147.四、探究与拓展14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为22，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 132解析 由题意可知，正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列． 设连接n 次后可得到1 023个正方形．由题意可知，1＋2＋…＋2n ＝1 023，∴n ＝9，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 15．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励12慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n (n ≤12，且n ∈N ＋)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，∴A n ＝40n (n ≤12，且n ∈N ＋)．第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，∴B n ＝4n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋2n (n ≤12，且n ∈N ＋)． 第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为12，公比为2的等比数列，∴C n ＝12(1－2n )1－2＝12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)． (2)令A n >B n ，即40n >2n 2＋2n (n ≤12，n ∈N ＋)，解得0<n ≤12，∴A n >B n 恒成立．令A n >C n ，即40n >12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)， 可得0<n <10，∴当0<n <10时，A n >C n ；当10≤n ≤12时，C n >A n .综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．。
§4.数列在日常经济生活中的应用
数列在日常经济生活中的应用一．学习目标1.了解数列在“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等经济活动中的应用．2. 能够在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题.3.通过具体的问题情境，进一步学会将实际问题变成数学问题,并能利用其解决具体问题.重点:分析“零存整取”“定期转存”及“分期付款”分别是哪种数列的模型．难点：将实际问题转化为数学问题，即数学的建模过程.二．问题导学温故知新:等差数列及等比数列定义、通项公式和前n项和公式,问题: 同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？带着问题我们来了解这部分内容.导学问题.1常见储蓄及利息的计算方法（1）银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以________和_______为数学模型（2）单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有_________________（3）复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是_____________（1）零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： ________________（2）定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（3）分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.三.合作探究探究一:等差数列模型(单利问题)例1. 用分期付款方式购买价格为25万元的住房一套,若购买时先付5万元,以后买年付2万元加上欠款利息.签订住房合同后一年付款一次,再过一年有付款一次,直到还完后为止,商定年利率为10%,则第五年该付多少元?购房款全部还清后实际共付多少元?探究二:等比数列模型(复利问题)例2、从社会效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51。
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第一章 数列 4 数列在日常经济生活中的应用
S20=
=1
2
105.
所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了
1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实
际花了1 255万元.
规律方法
“零存整取”是单利计息方式,解答关键是理解所有的利息和为
解 (方法一)设每年还x万元,
第n年年底欠款为an,则
2018年底:a1=50×(1+4%)-x,
2019年底:a2=a1(1+4%)-x=50×(1+4%)2-(1+4%)·x-x,
……
2027年底:a10=a9(1+4%)-x=50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%)·x-x
等差数列求和问题.
变式训练1
某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,
已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱?
解 实际取出的钱=本金+利息.
到12月最后一天取款时:
第1个月存款利息:100×12×0.165%,
第2个月存款利息:100×11×0.165%,
探究点一 单利与等差数列模型
【例1】 (1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育
储蓄”存款的月利率是0.36%.
①若每月存500元,则3年后,能一次支取本息多少元?
②欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(精确
到1元)
(2)某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天
数列在日常经济生活中的应用(课堂PPT)
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
第n个月存入的x元,到期利息为: x•r•1 元. 本金为 n•x 元
1
……1000英磅赠给波士顿的居民，如果他 们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托
付给由选举出来的公民组成的基金会，基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望，那时候用 100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了，这笔款增加到4061000英磅， 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 配，而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后，我可不敢 多作主张了！”
1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000
2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择
3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理?
自动转存
14
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
定期自动转存模型: 客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手
某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次12次 ()
某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次36次 ()
8
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
数列在日常经济生活中的应用
部付清.
小华提出的付款方式为：购买后2个月第1次付款, 再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款, 每次付款金额相同,每期支付833.33元.
商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款, 再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款, 每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息 按复利计算.
S=P(1+r)n
分期付款的有关规定
• 1.分期付款中每次付款额相同,各次付款的时间间隔 相同
• 2.分期付款中每期利息均按复利计算 • 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的
利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利 息和
分期付款
小华准备购买一台售价为5000元
的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全
分期付款模型 小华准备购买一台售价为5000元 的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全 部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1 次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第 6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%, 每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?
分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.
等比数列前n项和公式； 2.方程的思想
3.分期付款的优、缺点
作业： 课本36页习题1-4
分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本 利和的累加与一年后付款总额相等.
购买一件售价为A 元的商品,采用分期付款时要求n在 期 内全部付清,每期利率为p ,那么每次的付款数为:
x Ap1 p n
1 p n 1
现购买莱蒙都会商品房138 m2,单价为2.6万元/m2,首付 258.8万元以后向银行申请住房公积金贷款.经协商实行分期 付款,经过一年付款一次,……共付10次,10年后付清,按年利 率3.25%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(参考下列 数据:1.03259≈1.3336,1.032510≈1.3769,1.032511≈1.4216)
数列在经济生活中的应用
数列在日常经济中的应用 ——定期自动转存模型 定期自动转存模型 定期自动转存：例如，储户某日存入一笔 年期定期存 定期自动转存：例如，储户某日存入一笔1年期定期存 年后， 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理 年后 如果储户不取出本利和， 转存业务， 年的本金就是第1年的本利和 转存业务，第2年的本金就是第 年的本利和。按照定期 年的本金就是第 年的本利和。 存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税）， ），我们讨 存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税），我们讨 论： 年的P元存款 （1）如果储户存入定期为 年的 元存款，定期年利 ）如果储户存入定期为1年的 元存款， 率为r，连存n年后 再取出本利和。试求出储户n年后 年后， 率为 ，连存 年后，再取出本利和。试求出储户 年后 所得本利和？ 所得本利和？ 万元定期存款， （2）如果储户存入 万元定期存款，存期为 年，年利 ）如果储户存入1万元定期存款 存期为1年 率为1.98%，那么 年后所得本利和为多少？ 年后所得本利和为多少？ 率为 ，那么5年后所得本利和为多少
5000(1 + 0.008)12 x= 2 10 1 + (1 + 0.008) + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + 0.008)
=880.81
5000(1 + 0.008)12 x= 6 1 + (1 + 0.008)
=2685.10
日借了5000元买电脑，月利率为 元买电脑， 例2：小强通过贷款在 ：小强通过贷款在2004年1月1日借了 年 月 日借了 元买电脑 0.8%，一年内分两次还清（6月后还第一次，12月后再还第二 月后还第一次， 月后再还第二 ，一年内分两次还清（ 月后还第一次 ），每次还款金额相同 每次还款金额相同， 小强每月要付款多少？ 次），每次还款金额相同，问：小强每月要付款多少？ 2004年1月1日 2004年7月1日 年 月 日
2020年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §4 数列在日常经济生活中的应用 Word版含解析.doc
[A 基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12p C ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1解析：选D.设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D.2．某种产品计划每年降低成本q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是( ) A ．a 3q % B ．a ·(q %)3 C ．a (1－q %)3D ．a（1－q %）3解析：选D.设现在的成本为x 元，则x (1－q %)3＝a ，所以x ＝a（1－q %）3，故选D.3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( ) A ．214－1 B ．215－1 C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A.4．某企业2015年12月份产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2015年度的产值月平均增长率为( ) A.12p B ．12p －1 C.11p －1D ．11p解析：选C.设2015年1月份产值为a ，则12月份的产值为pa ，假设月平均增长率为r ，则a (1＋r )11＝pa ，所以r ＝11p －1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( ) A ．a (1＋p )7 B ．a (1＋p )8 C.ap[(1＋p )7－(1＋p )] D.ap[(1＋p )8－(1＋p )]解析：选D.2007年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )7，2008年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )6，依次类推，则2013年存入的a 元到2014年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝ap [(1＋p )8－(1＋p )]．6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元． 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝12（12＋1）2ar ＝78ar . 答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，所以a n ＝100 000×(1－10%)n ，所以a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)． 答案：100 000×(1－10%)n 65 6108．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910. 答案：9 9109．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？ 解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24 ＝10 000×1.004 57524(元)． 设每月还x 元，则到期时总共还 x ＋1.004 575x ＋…＋1.004 57523x ＝x ·1－1.004 575241－1.004 575.于是x ·1－1.004 575241－1.004 575＝10 000×1.004 57524. 所以x ≈440.91(元)． 即每月应还440.91元．10．甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时， a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（n －1）a ，n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N ＋)．(2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购， 由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a .所以n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，所以n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[B 能力提升]11．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年D ．6年解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，所以由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C.12．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：由已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2，因为b >a ，b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于 －1＋52.答案： －1＋5213．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额) 解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n （n －1）2×4－72＝－2n 2＋40n －72.获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 又n ∈N ＋，知从第三年开始获利．14．(选做题)某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N ＋)年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a ，24a ，36a ，54a ，81a .所以该林场第六年植树面积为80a 亩．(2)设第n 年林场植树的面积为a n 亩， 则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫32n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，（86－n ）a ，6≤n ≤10，n ∈N ＋.所以当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1×16a＝16a ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n1－32＝32a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1.当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋（86－n ）a ]（n －5）2＝211a ＋（166a －na ）（n －5）2.所以所求S n 的表达式为S n ＝⎩⎨⎧⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1×32a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，211a ＋（166a －na ）（n －5）2，6≤n ≤10，n ∈N ＋.。
数列在日常经济生活中的应用
分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公
比，其一般形式是：an＋a1－n an×100%＝q(常数)．
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的最 小正整数解．
2． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则 本利和y＝a(1＋xr)．
(2)根据上式，5年后本利和为 a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元).
答：5年后得本利和约为1.148万元.
解题方法
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列．a5＝4
§4 数列在日常经济生活中的应用
于是：(1+1.008 +1.008 +L+1.008 ) = 5000×1.008 于是 x
2 4 10
12
根据等比数列求和公式,得
( ) = 5000×1.00812 x ⋅ 1−1.008
1− 1.008
2 6 2
1.008 −1 算得 x≈880.8 元 ≈
12
x=
5000 1.008 × 1.008 −1 ×
这与之前研究买电脑的问 题有什么联系亦是区别? 题有什么联系亦是区别
通过比较我们很容易发现它与买电脑有许多相似点， 通过比较我们很容易发现它与买电脑有许多相似点，因此我们便可利用之前推导的 公式: 公式
x⋅
1 − [( 1 + p ) ] 1 − (1 + p )
m n
m n
n
= a (1 + p )
第一步： 在商品购买后 1年货款全部付清时，其商品 第一步： 年货款全部付清时， 售价增值到了多少？ 售价增值到了多少？
由于月利率为0.008，在购买商品后1个月， ，在购买商品后 个月 个月， 由于月利率为 该商品售价增值为： 该商品售价增值为： 5000(1+0.008)=5000×1.008 （元） × 又利息按复利计算，在商品购买后2个月 个月， 又利息按复利计算，在商品购买后 个月， 商品售价增值为： 商品售价增值为： 5000×1.008×(1+1.008)=5000×1.0082（元） × × × …… 于是，在商品购买后12个月 即货款全部付清时）， 个月（ 于是，在商品购买后 个月（即货款全部付清时）， 商品售价增值为： 商品售价增值为： 5000×1.00811×(1+1.008)=5000×1.00812（元） × ×
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
§4数列在日常经济生活中的应用
(4)④________：如果某一个量，每一期以一个固定的 百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或 减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树 木的生长与砍伐问题等．
(5)⑤________：如果容易找到该数列任意一项an＋1与 它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用 递推数列的知识求解问题．
5．模型法 模型法就是在实际问题中，构造数列模型或其他模型， 再进而构造数学模型，通过构造模型使问题顺利得到解 决． 运用模型法来解决问题时，应广泛搜集信息，抓住关 键词，准确理解题意，要善于抓主要矛盾，类比联想，从 而建立相应模型． (1)解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数 列的模型(如等差数列、等比数列、或与等差、等比数列有 关的数列)，或准确定义问题中的数列．
(1)等差数列的实际应用 在数列应用题中，若an＋1与an的关系满足an＋1－an＝ d(d为常数)时，则可以应用等差数列模型解决． 说明：要通过对题意的分析，说明数列为等差数列，
然后设出有关符号，如an，d等的意义，这样才能使阅卷者 迅速了解你的解答思路．
(2)等比数列的实际应用 在数列应用题中，通过阅读题目题意，发现 an＋1 与 an 之间的关系满足aan＋n 1＝q(q 为常数，且 q≠0)，则数列{an} 为等比数列．故这一类题目可用等比数列的模型解决． 说明：解题时，可通过不完全归纳法，先列出一些简 单的具体的情况，然后再写出一般关系式！
(4)⑯________——将所求结果还原到实际问题中． 具体解题步骤如下框图：
答案：
①等差模型 ②等比模型 ③混合模型 ④生长模型
⑤递推模型 ⑥等比数列 ⑦等差数列 ⑧等差或等比数
列 ⑨y＝a(1＋xr) ⑩y＝a(1＋r)x ⑪y＝N(1＋p)x ⑫b＝
第一章 第四节 数列在日常经济生活中的应用
第四节 数列在日常经济生活中的应用1．某储蓄所计划从2004年起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）A ．24%B ．32%C ．（308.1－1）100％D ．（408.1－1）100％2．某工厂1996年至19999年的产量和为100吨，1998年至2001年的产量和为121吨，则该工厂1996年至2001年的年平均增长率为（ ）A ．10%B ．21%C ．7％D ．14％3．在2000年至2003年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2004年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A 、4)1(q m +元B 、5)1(q m +元C 、q q q m )]1()1[(4+-+元D 、qq q m )]1()1[(5+-+元 4．本金3000元，每月复利一次，一年后得到本利和3380元，月利率是_______．5．用分期付款的方式购买某家用电器，其价格为l150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为l%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱多少元？6．某地现有居民住房的面积为a ㎡，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．（1）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积r 是多少（可取6.21.110≈）？（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后第1位）？7、某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）A 、pB 、12pC 、12)1(p +D 、1)1(12-+p8、某种产品计划每年降低成本%q ，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是 。
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分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利， 分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即 按单利计息：利息=本金×利率× 按单利计息：利息=本金×利率×存期 解：（1）根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x•r•n 根据题意, 个月存入的x 到期利息为x 元; 第2个月存入的x元,到期利息为x•r•（n-1）元…… 个月存入的x 到期利息为x 第n个月存入的x元,到期利息为xr元. 个月存入的x 到期利息为xr元 xr 不难看出,这是一个等差数列求和的问题. 不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为
(2)根据上式， (2)根据上式，5年后本利和为 根据上式 =1× a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元). ≈1.148(万元). 万元 答：5年后得本利和约为1.148万元. 年后得本利和约为1.148万元. 1.148万元
分期付款的有关规定 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同, 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的 分期付款分若干次付款 时间间隔相同. 时间间隔相同. 2.分期付款中双方的每月( 2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月 分期付款中双方的每月 利息均按复利计算, (年)的利息要计入本金. 的利息要计入本金. 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息 和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和, 在市场经济中是相对公平的. 在市场经济中是相对公平的.
把上期末的本利和作为下一期的本金, 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每 一期本金的数额是不同的. 一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 S=P(1+r)n .
例1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每 1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务, 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期, 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利( 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不 考虑利息税). 考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推 (1)若每月存入金额为x 若每月存入金额为 月利率r保持不变,存期为n个月, 导出到期整取时本利和的公式； 导出到期整取时本利和的公式； (2)若每月初存入500元 月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 (2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 若每月初存入500 0.3%,到第36 本利和是多少? 本利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 若每月初存入一定金额 0.3%,希望到第12 整取时取得本利和2 000元 那么每月初应存入的金额是多少? 整取时取得本利和2 000元.那么每月初应存入的金额是多少?
解:设小华每期还款 本利和为
x (1 + 0.008 )
10
元.
购买4个月后第2次付款 购买4个月后第2 本利和为 x …
(1 + 0.008)
元到8 x 元,此 x元到8个月后
8
元.
购买12个月后第6次付款 x 元,此 x 元当月的 购买12个月后第6 12个月后第 本利和为 x
(1 + 0.008 )
例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的 3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的 电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清. 电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场 提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同, ……购买后12个月第 次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同, 约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算. 0.8%,每月利息按复利计算 约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的 金额是多少? 金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 1:考虑小华每次还款后 解：设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款 设小华每期还款x 数为A 数为Ak元,则
6
L
A12 = A10 (1 + 0.008 ) − x
2
= 5 000 × (1 + 0.008 ) − 1.00810 x − 1.0088 x
12
−1.0086 x − 1.0084 x − 1.0082 x − x;
由题意年底还清, 由题意年底还清,所以 A12 = 0. 解得: 解得:
5 000 ×1.00812 x= 1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ≈ 880.8(元)
答：每月应存入163.48元. 每月应存入163.48元 163.48
例2.定期自动转存模型 2.定期自动转存模型
银行有另一种储蓄业务为定期存
款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后, 款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后, ,1年后 如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的 本金就是第1年的本利和. 本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业 务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: 暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: ),我们来讨论以下问题 (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 如果储户存入定期为 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和 的公式; 的公式; (2)如果存入1万元定期存款,存期为1 (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%, 如果存入 年利率为2.79%, 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)? 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?
单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息, 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金
所产生的利息不再计算利息. 所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率× 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 ,n代表存期,r代表利率,S 本金与利息和(以下简称本利和),则有 本金与利息和(以下简称本利和),则有 本利和), S=P(1+nr).
答:小华每期付款的金额为880.8元. 小华每期付款的金额为880.8元 880.8
分析2:小华在12月中共付款6 分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本 2:小华在12月中共付款 它们在12个月后的本 12 利和的累加与一年后付款总额相等. 利和的累加与一年后付款总额相等.
x 元,则 购买2个月后第1 元到10 10个月后 购买2个月后第1次付款 x元,此 x元到10个月后
0
元.
又小华一年后应还给商场的总金额增值为: 又小华一年后应还给商场的总金额增值为:
5 000 × (1 + 0.008 ) 元
12
∴ x (1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ) = 5 000 ×1.00812
5 000 × (1.008 ) x= 1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ≈ 880.8(元)
§4
数列在日常经济生活中的应用
1.了解银行存款的种类及存款计息方式； 1.了解银行存款的种类及存款计息方式； 了解银行存款的种类及存款计息方式 2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济 2.体会“零存整取” 体会 定期自动转存” 生活中的实际问题； 生活中的实际问题； 3.了解“教育储蓄” 3.了解“教育储蓄”. 了解
12
答：小华每期付款的金额为880.8元. 小华每期付款的金额为880.8元 880.8
“教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家 教育储蓄” 是一种零存整取的定期储蓄存款方式, 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式, 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式,为子女接受非义务教育 积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的. 积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储 蓄方式从2004 11月 日开始,每月按时存入250 2004年 250元 连续存6 蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6 月利率为0 到期一次可支取本利共多少元? 年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元? 解：由例3到期一次可支取本利和公式可知 由例3
n(n + 1)r x(元), 而本金为nx nx元 而本金为nx元,这样就得到本利和公式 y = nx + 2 n(n + 1)r 即y = x[n + ](元)(n ∈ N + ); ① 2
xr (1 + 2 + L + n) = n(n + 1)r x(元), 2
（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为 每月存入500元 月利率为0.3﹪ 根据① 500 0.3
36 × 37 y = 500 × (36 + × 0.3%) = 18 999(元); 2
（3）依题意,在①式中,y=2 000，r=0.3%,n=12, 依题意, 式中,y=2 000，
y 2 000 x= = n(n + 1) 12 + 6 பைடு நூலகம்13 × 0.3% n+ r 2 ≈ 163.48(元)，