计算方法课件：第2次课 计算方法插值
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[min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )] 为插值区间；
f(x)为求插函数； g(x)为插值函数； r(x)为插值公式的余项；
f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。
插值方法 14
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x 计算g(x)作为f(x)的近似值——插值；
p(nk )(x 0 )
y(k ) 0
(k 0,1, ,n)
y
(k 0
)(k
0,1, ,n )为一组已给数据。——第2类
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。— —第3类
问题4：不过节点——第4类。
插值方法 12
2.3 问题1 2.3.1 基本概念
问题1： 设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn
是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造 一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 误差函数：
r(x)=f(x)-g(x)； 要求|r(x)|在[a，b]上比较小，即g(x)较好地逼近 f(x)。
插值方法 13
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称 基点(节点)；
构造n次多项式
n
pn ( x) ai xi
使得pn(xi)= yi 。
i0
如何确定待定系数ai？
插值方法 4
线性方程组的解法——《线性代数》 解的唯一性。
问题： 计算量大； 效率低——新增加一个或多个数
据对？ 寻求另一种方法
插值方法 5
特例1 设已知数据对(x0，y0)、(x1，y1)，构造？
次多项式
p1(x )
使得p1(xi)= yi 。
插值方法 6
特例2
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, 2)，构造？
次多项式
p2(x )
使得p2(xi)= yi 。
插值方法 7
递推
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n
次多项式
pn(x )
使得pn(xi)= yi 。
点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程；
外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也 叫外推。
插值方法 15
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。
代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
插值方法 11
2.2 几类典型问题
几类典型问题：
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]
上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得
g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。——第1类
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
插值方法 19
几个典型特例(图示) ——基函数(图形)与插值公式 线性插值 二次多项式插值(抛物线插值)
Leabharlann Baidu插值方法 20
例题 P16 例2； P17 例3；
插值方法 21
例题 已知某函数f(x)的若干离散点如下：
插值求f(1.5)(精确值0.5118277)。 Q?
22
解：(1) 一次插值 (2) 二次插值
插值方法 17
基函数
记
lk (x)
n j0
x xj xk x j
jk
为lagrange基本多项式或插值基函数。
lk(x)的性质
lk(xj)=δkj
插值方法 18
则
n
n
pn (x) f (xk )lk (x) y k lk (x)
k 0
k 0
为Lagrange插值公式。
性质
Pn(xi)=yi; 唯一性(定理)。
插值方法 9
x 3.01 3.015 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09
P* 0.999
? 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999
1
10
插值需要满足的条件
满足已知条件。 近似函数； 精度高； 简单。
谢谢！
插值方法
插值方法 16
2.3.2 Lagrange插值公式
Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数
多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x) 的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，xi互异，i=0，1，…，
n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足：
p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)
内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点
ξ(a，b) ，使得
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
k 0
插值方法 25
证明——《数学分析》
误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤
其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用
代数多项式插值不合适。
插值方法 26
插值问题中的一个非常典型的问题
插值方法 8
2.1 问题的提出(数值预测)
计算函数值
Y
Q：函数关系复杂，没 有解析表达式，或者函数形 式未知。
常见的有：由观测数据
0
(离散数据)计算未观测到的
点的函数值。
X
0
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替
要寻求的函数——插值法。
代数插值——简单函数为代数多项式
计算方法
2 插值方法
航空科学与工程学1 院
需要解决的问题类型(基本内容)：
代数方程求根； 微分(方程)求解； 积分(方程)求解； 数值预测。
计算方法绪论 2
数值预测
问题的提出 各种典型问题及对应的算法
插值方法 3
2.0 引言
典型问题的回顾
设已知互异数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，
23
Exercises 习题1(第39、40页)的
第6、9、11、12题。
插值方法 24
Lagrange余项定理
Lagrange插值余项
rn(x)=f(x)-pn(x)
Lagrange余项定理
设f(x)在包含n+1个互异节点x0，x1， … ，xn 在内的区间[a，b]内具有n阶连续导数，且在(a，b)
f(x)为求插函数； g(x)为插值函数； r(x)为插值公式的余项；
f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。
插值方法 14
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x 计算g(x)作为f(x)的近似值——插值；
p(nk )(x 0 )
y(k ) 0
(k 0,1, ,n)
y
(k 0
)(k
0,1, ,n )为一组已给数据。——第2类
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。— —第3类
问题4：不过节点——第4类。
插值方法 12
2.3 问题1 2.3.1 基本概念
问题1： 设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn
是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造 一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 误差函数：
r(x)=f(x)-g(x)； 要求|r(x)|在[a，b]上比较小，即g(x)较好地逼近 f(x)。
插值方法 13
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称 基点(节点)；
构造n次多项式
n
pn ( x) ai xi
使得pn(xi)= yi 。
i0
如何确定待定系数ai？
插值方法 4
线性方程组的解法——《线性代数》 解的唯一性。
问题： 计算量大； 效率低——新增加一个或多个数
据对？ 寻求另一种方法
插值方法 5
特例1 设已知数据对(x0，y0)、(x1，y1)，构造？
次多项式
p1(x )
使得p1(xi)= yi 。
插值方法 6
特例2
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, 2)，构造？
次多项式
p2(x )
使得p2(xi)= yi 。
插值方法 7
递推
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n
次多项式
pn(x )
使得pn(xi)= yi 。
点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程；
外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也 叫外推。
插值方法 15
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。
代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
插值方法 11
2.2 几类典型问题
几类典型问题：
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]
上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得
g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。——第1类
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
插值方法 19
几个典型特例(图示) ——基函数(图形)与插值公式 线性插值 二次多项式插值(抛物线插值)
Leabharlann Baidu插值方法 20
例题 P16 例2； P17 例3；
插值方法 21
例题 已知某函数f(x)的若干离散点如下：
插值求f(1.5)(精确值0.5118277)。 Q?
22
解：(1) 一次插值 (2) 二次插值
插值方法 17
基函数
记
lk (x)
n j0
x xj xk x j
jk
为lagrange基本多项式或插值基函数。
lk(x)的性质
lk(xj)=δkj
插值方法 18
则
n
n
pn (x) f (xk )lk (x) y k lk (x)
k 0
k 0
为Lagrange插值公式。
性质
Pn(xi)=yi; 唯一性(定理)。
插值方法 9
x 3.01 3.015 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09
P* 0.999
? 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999
1
10
插值需要满足的条件
满足已知条件。 近似函数； 精度高； 简单。
谢谢！
插值方法
插值方法 16
2.3.2 Lagrange插值公式
Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数
多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x) 的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，xi互异，i=0，1，…，
n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足：
p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)
内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点
ξ(a，b) ，使得
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
k 0
插值方法 25
证明——《数学分析》
误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤
其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用
代数多项式插值不合适。
插值方法 26
插值问题中的一个非常典型的问题
插值方法 8
2.1 问题的提出(数值预测)
计算函数值
Y
Q：函数关系复杂，没 有解析表达式，或者函数形 式未知。
常见的有：由观测数据
0
(离散数据)计算未观测到的
点的函数值。
X
0
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替
要寻求的函数——插值法。
代数插值——简单函数为代数多项式
计算方法
2 插值方法
航空科学与工程学1 院
需要解决的问题类型(基本内容)：
代数方程求根； 微分(方程)求解； 积分(方程)求解； 数值预测。
计算方法绪论 2
数值预测
问题的提出 各种典型问题及对应的算法
插值方法 3
2.0 引言
典型问题的回顾
设已知互异数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，
23
Exercises 习题1(第39、40页)的
第6、9、11、12题。
插值方法 24
Lagrange余项定理
Lagrange插值余项
rn(x)=f(x)-pn(x)
Lagrange余项定理
设f(x)在包含n+1个互异节点x0，x1， … ，xn 在内的区间[a，b]内具有n阶连续导数，且在(a，b)