计算方法课件：第2次课 计算方法插值
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计算方法第四章 插值法
《 计 算 方 法 》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
计算方法Newton插值 ppt课件
2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
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19 4 30
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12527 53
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216125 65
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91 49 63
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10 5 50
1
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差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
2020/4/2
15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
计算方法插值法
1)
Rn ( x ) K ( x) ( x - xi )
i 0
n
考察 j ( t ) Rn ( t ) - K ( x ) ( t - x i )
i0
n
j(t)有 n+2 个不同的根 x0 …
f (n ( x ) - L(nn
1)
xn x， j ( n1) ( x ) 0, x (a, b)
x - x0 y x1 - x 0 1
l ( x) y
i 0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x )
l (x) y
i0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn li ( x) Ci ( x - x j )
插值法 比较古老, 常用的方法。 当未知函数 y = f(x) 非常复杂时，在一系列节 点 x0 … xn 处测得函数值： y0 = f(x0) … yn = f(xn) 由此构造一个简单易算的近似函数 P(x) f(x)， 满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)，称P(x) 为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是多项式
项式是唯一存在的。 证明：
i 0, ... , n 的 n 阶插值多
若除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x) Pn ( x) - Ln ( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
Rn ( x ) K ( x) ( x - xi )
i 0
n
考察 j ( t ) Rn ( t ) - K ( x ) ( t - x i )
i0
n
j(t)有 n+2 个不同的根 x0 …
f (n ( x ) - L(nn
1)
xn x， j ( n1) ( x ) 0, x (a, b)
x - x0 y x1 - x 0 1
l ( x) y
i 0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x )
l (x) y
i0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn li ( x) Ci ( x - x j )
插值法 比较古老, 常用的方法。 当未知函数 y = f(x) 非常复杂时，在一系列节 点 x0 … xn 处测得函数值： y0 = f(x0) … yn = f(xn) 由此构造一个简单易算的近似函数 P(x) f(x)， 满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)，称P(x) 为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是多项式
项式是唯一存在的。 证明：
i 0, ... , n 的 n 阶插值多
若除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x) Pn ( x) - Ln ( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
计算方法 数值积分-插值型积分ppt课件
y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面 积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。
y = f(x) y
图4-1 数值积分 的几何意义
a
b
8
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
1
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
2
数值积分引论
3
第四章 数值积分
取f(x)=x, 左 b xdx 1 (b2 a2) b a (a b) 右
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x2dx 1 (b3 a3) b a (a2 b2) 右
a
3
2
所以梯形公式只有1次代数精度。
Home 28
插值型求积公式的例子
29
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
1 4
x
1 2
dx
2 3
从而，得到插值型求积公式如下：
1
f(x)dx
0
1 3
2f
1 4
f
1 2
2f
3 4
21
例2 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取 f(x) 1, x, x2 , x3 , x4 , ex
分别用梯形和辛卜生公式：
y = f(x) y
图4-1 数值积分 的几何意义
a
b
8
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
1
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
2
数值积分引论
3
第四章 数值积分
取f(x)=x, 左 b xdx 1 (b2 a2) b a (a b) 右
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x2dx 1 (b3 a3) b a (a2 b2) 右
a
3
2
所以梯形公式只有1次代数精度。
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插值型求积公式的例子
29
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
1 4
x
1 2
dx
2 3
从而，得到插值型求积公式如下：
1
f(x)dx
0
1 3
2f
1 4
f
1 2
2f
3 4
21
例2 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取 f(x) 1, x, x2 , x3 , x4 , ex
分别用梯形和辛卜生公式：
计算方法课件_插值法
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
计 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常 算 称为代数插值法。其几何意义如下图所示 方 法 课 件 y=p(x)
y=f(x)
2016/12/27
算 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 , l0 ( x2 ) 0 方 法 这个问题容易求解。由上式的后两个条件知 : 课 件 x1 , x 2 是 l0 ( x) 的两个零点。于是
1 再由另一条件 l0 ( x0 ) 1 确定系数 c ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x1 )(x x2 ) 从而导出 l0 ( x) ( x0 x1 )(jkhh x0 x 2 ) 2016/12/27 14
直接由插值条件决定，
y
计 即 a0 , a1 , a 2 满足下面 y0 算 的代数方程组： 方 O x0 法 课 2 a a x a x 0 1 0 2 0 y0 件 该三元一
y=L2(x) y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
2 a a x a x 0 1 1 2 1 y1 2 a a x a x 2 2 y2 0 1 2
(i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 近似地代替f(x)。选
x1 的值， f(x)在两个互异的点 x0 ， y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
,现要求用线性函数 p( x) ax b 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1) P(x) 为f(x)的线性插值函数 2016/12/27 jkhh 。
力学中的计算方法(插值)
f ( xi ) - f ( x j ) f [ xi , x j ] = ( i j , xi x j ) xi - x j
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f [ xi , x j ] - f [ x j , xk ] f [ xi , x j , xk ] = (i k ) xi - xk
1 + (x - x0) 2 + … … + (x - x0)…(x - xn-1)
n-1
f ( x) = f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x - x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x - x0 )( x - x1 ) ...
f [ x0 , ... , xn ]( x - x0 )...(x - xn-1 )
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
f [ x, x0 , ... , xn ]( x - x0 )...(x - xn-1 )( x - xn )
2阶差商
§2 Newton’s Interpolation
(k+1)阶差商：
f [ x0 , x1 , ... , xk ] - f [ x1 , ... , xk , xk 1 ] f [ x0 , ... , xk 1 ] = x 0 - x k 1 f [ x0 , ... , xk -1 , xk ] - f [ x0 , ... , xk -1 , xk 1 ] = x k - x k 1
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f [ xi , x j ] - f [ x j , xk ] f [ xi , x j , xk ] = (i k ) xi - xk
1 + (x - x0) 2 + … … + (x - x0)…(x - xn-1)
n-1
f ( x) = f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x - x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x - x0 )( x - x1 ) ...
f [ x0 , ... , xn ]( x - x0 )...(x - xn-1 )
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
f [ x, x0 , ... , xn ]( x - x0 )...(x - xn-1 )( x - xn )
2阶差商
§2 Newton’s Interpolation
(k+1)阶差商：
f [ x0 , x1 , ... , xk ] - f [ x1 , ... , xk , xk 1 ] f [ x0 , ... , xk 1 ] = x 0 - x k 1 f [ x0 , ... , xk -1 , xk ] - f [ x0 , ... , xk -1 , xk 1 ] = x k - x k 1
计算方法 插值法-Lagrange插值ppt课件
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
计算方法-插值法(二)
x0 f (x0)
x1 f (x1) x2 f (x2)
P0,1(x) P1,2(x)
P0,1,2 ( x)
(x x0) (x x0)
x3 f (x3) P2,3(x) P1,2,3(x) P0,1,2,3(x)
(x x0)
x4 f (x4)
P3,4(x) P2,3,4(x)
P1,2,3,4 ( x)
S1( x), x [ x0 ,x2 ]
Sn ( x), x [ xn1,xn ]
(1) S(x)在每个小区间[xk , xk1]上都是三次多项式 (2) S(x)满足 S(x j ) y j , j 0,1,, n (3) S(x)都在区间[a,b]上连续，导数值未知
高次插值的病态性质(德国Runge 20世纪初)
设函数
f
(x)
1 1 x2
,
x [5,5]，将[5,5]n等分取n
1个节点xi
5
ih,
h 10 ，i 0,1,,n，试就n 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式。
n
解:
yi
f
(xi )
1 1 xi2
作n次Lagrange插值多项式
注：同样是三次多项式,三次样条插值与分段 Hermite 插值的根本区 别在于S(x)自身光滑,不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
15
三次样条插值数学定义：
a ≤ x0, x1, …, xn ≤ b为区间[a, b]的一个分割，如果
Ln (x)
n j0
y jl j
n
1
j0
1
第4章 福大科学工程与计算-插值法PPT课件
x0 , x1, x2 ,要求一个二次插值多项式L2 (x)，使它满足 L2 (x j ) y j ( j 0,1, 2)
y L2 (x)在几何上就是通过三点(x0 , y0 ), (x1, y1), (x2, y2 )的抛物线
L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) 显然它应满足L2 (x j ) y j ( j 0,1, 2)
其插值函数的图象如图
y yy
11 0.09.9 0.08.8 0.07.7 0.06.6 0.05.5 0.04.4 0.03.3 0.02.2 0.01.1
00 00
0.05.5
ssininxx的的的的的的
11
11.5..55
222
222..5.55
对于被插函数f (x)和插值函数P(x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外P(x)的值可能就会偏离f (x) 因此P(x)近似代替f (x)必然存在着误差
(x 169)(x 225) 2025
l1 ( x)
(x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
(x 144)(x 225) 1400
l2 ( x)
(x ( x2
x0 )(x x1 ) x0 )(x2 x1 )
(x 144)(x 169) 4536
插值基函数计算复杂
低次插值
高次插值的精度不一定高
175 13.228756555322952...
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
三、插值余项Remainder
从上节可知, y f (x)的Lagrange插值
满足
n
Ln(x) y jl j (x) j0
Ln (xi ) f (xi ) i 0,1,, n
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插值方法 16
2.3.2 Lagrange插值公式
Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数
多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x) 的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，xi互异，i=0，1，…，
n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足：
p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)
插值问题中的一个非常典型的问题
插值方法 8
2.1 问题的提出(数值预测)
计算函数值
Y
Q：函数关系复杂，没 有解析表达式，或者函数形 式未知。
常见的有：由观测数据
0
(离散数据)计算未观测到的
点的函数值。
X
0
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替
要寻求的函数——插值法。
代数插值——简单函数为代数多项式
内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点
ξ(a，b) ，使得
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
k 0
插值方法 25
证明——《数学分析》
误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤
其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用
代数多项式插值不合适。
插值方法 26
谢谢！
插值方法
点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程；
外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也 叫外推。
插值方法 15
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。
代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
插值方法 19
几个典型特例(图示) ——基函数(图形)与插值公式 线性插值 二次多项式插值(抛物线插值)
插值方法 20
例题 P16 例2； P17 例3；
插值方法 21
例题 已知某函数f(x)的若干离散点如下：
插值求f(1.5)(精确值0.5118277)。 Q?
22
解：(1) 一次插值 (2) 二次插值
插值方法 17
基函数
记
lk (x)
n j0
x xj xk x j
jk
为lagrange基本多项式或插值基函数。
lk(x)的性质
lk(xj)=δkj
插值方法 18
则
n
n
pn (x) f (xk )lk (x) y k lk (x)
k 0
k 0
为Lagrange插值公式。
性质
Pn(xi)=yi; 唯一性(定理)。
[min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )] 为插值区间；
f(x)为求插函数； g(x)为插值函数； r(x)为插值公式的余项；
f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。
插值方法 14
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x 计算g(x)作为f(x)的近似值——插值；
计算方法
2 插值方法
航空科学与工程学1 院
需要解决的问题类型(基本内容)：
代数方程求根； 微分(方程)求解； 积分(方程)求解； 数值预测。
计算方法绪论 2
数值预测
问题的提出 各种典型问题及对应的算法
插值方法 3
2.0 引言
典型问题的回顾
设已知互异数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，
是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造 一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 误差函数：
r(x)=f(x)-g(x)； 要求|r(x)|在[a，b]上比较小，即g(x)较好地逼近 f(x)。
插值方法 13
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称 基点(节点)；
构造n次多项式
n
pn ( x) ai xi
使得pn(xi)= yi 。
i0
如何确定待定系数ai？
插值方法 4
线性方程组的解法——《线性代数》 解的唯一性。
问题： 计算量大； 效率低——新增加一个或多个数
据对？ 寻求另一种方法
插值方法 5
特例1 设已知数据对(x0，y0)、(x1，y1)，构造？
插值方法 9
x 3.01 3.015 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09
P* 0.999
? 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999
1
10
插值需要满足的条件
满足已知条件。 近似函数； 精度高； 简单。
次多项式
p1(x )
使得p1(xi)= yi 。
插值方法 6
特例2
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, 2)，构造？
次多项式
p2(x )
使得p2(xi)= yi 。
插值方法 7
递推
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n
次多项式
pn(x )
使得pn(xi)= yi 。
插值方法 11
2.2 几类典型问题
几类典型问题：
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]
上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得
g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。——第1类
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
p(nk )(x 0 )
பைடு நூலகம்
y(k ) 0
(k 0,1, ,n)
y
(k 0
)(k
0,1, ,n )为一组已给数据。——第2类
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。— —第3类
问题4：不过节点——第4类。
插值方法 12
2.3 问题1 2.3.1 基本概念
问题1： 设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn
23
Exercises 习题1(第39、40页)的
第6、9、11、12题。
插值方法 24
Lagrange余项定理
Lagrange插值余项
rn(x)=f(x)-pn(x)
Lagrange余项定理
设f(x)在包含n+1个互异节点x0，x1， … ，xn 在内的区间[a，b]内具有n阶连续导数，且在(a，b)
2.3.2 Lagrange插值公式
Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数
多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x) 的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，xi互异，i=0，1，…，
n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足：
p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)
插值问题中的一个非常典型的问题
插值方法 8
2.1 问题的提出(数值预测)
计算函数值
Y
Q：函数关系复杂，没 有解析表达式，或者函数形 式未知。
常见的有：由观测数据
0
(离散数据)计算未观测到的
点的函数值。
X
0
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替
要寻求的函数——插值法。
代数插值——简单函数为代数多项式
内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点
ξ(a，b) ，使得
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
k 0
插值方法 25
证明——《数学分析》
误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤
其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用
代数多项式插值不合适。
插值方法 26
谢谢！
插值方法
点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程；
外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也 叫外推。
插值方法 15
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。
代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
插值方法 19
几个典型特例(图示) ——基函数(图形)与插值公式 线性插值 二次多项式插值(抛物线插值)
插值方法 20
例题 P16 例2； P17 例3；
插值方法 21
例题 已知某函数f(x)的若干离散点如下：
插值求f(1.5)(精确值0.5118277)。 Q?
22
解：(1) 一次插值 (2) 二次插值
插值方法 17
基函数
记
lk (x)
n j0
x xj xk x j
jk
为lagrange基本多项式或插值基函数。
lk(x)的性质
lk(xj)=δkj
插值方法 18
则
n
n
pn (x) f (xk )lk (x) y k lk (x)
k 0
k 0
为Lagrange插值公式。
性质
Pn(xi)=yi; 唯一性(定理)。
[min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )] 为插值区间；
f(x)为求插函数； g(x)为插值函数； r(x)为插值公式的余项；
f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。
插值方法 14
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x 计算g(x)作为f(x)的近似值——插值；
计算方法
2 插值方法
航空科学与工程学1 院
需要解决的问题类型(基本内容)：
代数方程求根； 微分(方程)求解； 积分(方程)求解； 数值预测。
计算方法绪论 2
数值预测
问题的提出 各种典型问题及对应的算法
插值方法 3
2.0 引言
典型问题的回顾
设已知互异数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，
是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造 一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。 误差函数：
r(x)=f(x)-g(x)； 要求|r(x)|在[a，b]上比较小，即g(x)较好地逼近 f(x)。
插值方法 13
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称 基点(节点)；
构造n次多项式
n
pn ( x) ai xi
使得pn(xi)= yi 。
i0
如何确定待定系数ai？
插值方法 4
线性方程组的解法——《线性代数》 解的唯一性。
问题： 计算量大； 效率低——新增加一个或多个数
据对？ 寻求另一种方法
插值方法 5
特例1 设已知数据对(x0，y0)、(x1，y1)，构造？
插值方法 9
x 3.01 3.015 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09
P* 0.999
? 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999
1
10
插值需要满足的条件
满足已知条件。 近似函数； 精度高； 简单。
次多项式
p1(x )
使得p1(xi)= yi 。
插值方法 6
特例2
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, 2)，构造？
次多项式
p2(x )
使得p2(xi)= yi 。
插值方法 7
递推
设已知数据对(xi，yi)(i=0, 1, … , n)，构造n
次多项式
pn(x )
使得pn(xi)= yi 。
插值方法 11
2.2 几类典型问题
几类典型问题：
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]
上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得
g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。——第1类
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
p(nk )(x 0 )
பைடு நூலகம்
y(k ) 0
(k 0,1, ,n)
y
(k 0
)(k
0,1, ,n )为一组已给数据。——第2类
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。— —第3类
问题4：不过节点——第4类。
插值方法 12
2.3 问题1 2.3.1 基本概念
问题1： 设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn
23
Exercises 习题1(第39、40页)的
第6、9、11、12题。
插值方法 24
Lagrange余项定理
Lagrange插值余项
rn(x)=f(x)-pn(x)
Lagrange余项定理
设f(x)在包含n+1个互异节点x0，x1， … ，xn 在内的区间[a，b]内具有n阶连续导数，且在(a，b)