江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
江苏南通市2019-2020学年度第二学期高三数学适应性测试(含答案)
2020届高三数学适应性练习参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1． 已知集合{}13=A ，，{}2|20B x x x =-<，则集合A B I = ． 2． 已知复数(1i)43i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 3． 现有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 . 4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S 的值是 ．5． 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则A 与B 相对而坐的概率为 ．6． 已知向量，，a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμλμ=+∈R （，）a b c ，则λμ+的值为 ．7． 将函数()π()sin 23f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的最小正值是 ．8． 已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为 ．I ← 1While I < 6 I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S（第4题）（第5题）cba（第6题）（第11题）BCDEFA（第14题）9． 过双曲线2221(0)5y x b b-=>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ．若△POF 的面积5，则该双曲线的离心率为 ． 10．已知直线80ax by +-=()a b ∈，R 经过点(12)-，，则124a b +的最小值是 ．11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l 1，一般的十字捆扎（如图（2）所示）所用绳长为l 2．若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1，则12l l 的值为 ． 12．已知函数()f x x =，则不等2(2)()f x f x ->式的解集是 ．13．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为圆M ：224x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00()P x y ，为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为 ．14．已知等边ABC △的边长为1，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且ADF DEF S S =△△13ABC S =△．若AD =x ，CE =y ，则yx的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin sin sin B C B AA B C--=+． （1）若ABC △3ab 的值； （2）若223c b a +=，求cos A ．16．（本小题满分14分）如图，已知EA 和DC 都垂直于平面ABC ，AB=AC ＝BC =AE =2CD ，F 是BE 的中点． （1）若G 为AF 中点，求证：CG ∥平面BDE ； （2）求证：AF ⊥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ，其内有一以正方形中心O 为圆心，2百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边AB 上点P 出发，穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ （其中Q 在边AD 上）． （1）设APQ θ∠=，求观赏道PQ 的长l 关于θ的函数关系式()f θ； （2）试问如何规划设计，可使观赏道PQ 的长l 最短？G （第16题）BDFE CA（第17题）θQOAD18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，点(21，在椭圆上．若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2-=x 相交于Q ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求直线l的方程；（3）点T 是x 轴上一点，若总有0uu u r uu u rPT QT ⋅=，求T 点坐标．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1(2)0n n n S nS n ---+=，N 2n n *∈，≥，22a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记221111i i i b a a +=++，1(1)nn i i T b ==-∑．① 求T n ；② 求证：11ln ln n n n T T T ++<．20．（本小题满分16分）已知函数2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--．（1）若函数f (x )与g (x )在(0)+∞，上均单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当(e 0]a ∈-，（其中e 为自然对数的底数）时，记函数()g x 的最小值为m ．求证：312em -<-≤；（3）记()()()2ln h x g x f x x '=--，若函数h (x )有两个不同零点，求实数a 的取值范围．（第18题）POxy Q2020届高三数学适应性练习附加21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区．．．．．．域内作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈，R ，矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）若曲线1C ：292y x x =-在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线截得的弦长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，1），点B 在直线:1l y =-上，点T 满足TB u u r ∥OA u u u r，()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，T 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点P ()()00t t ，>的直线交曲线C 于点M N ，，分别过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为11M N ，．① 若1190M PN ?°，求实数t 的值；② 点M 关于y 轴的对称点为Q （与N 不重合），求证：直线NQ 过一定点，并求出这个定点的坐标．23．(本小题满分10分)已知数列}{n a 满足：11||n n a a n n*+-∈N ≤，．（1）证明：||n k n k a a n k n*+-∈≤，，N ；（2）证明：221(1)||2m i mi m m a a m *=--∈∑≤，N ．y A TBO（第22题）参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}1； 2． 522； 3． 2； 4． 17；5．13； 6． 0； 7． 512π； 8． 4±；9． 35； 10． 32； 11． 2； 12． -21（，）； 13．5710-； 14．130222⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，，． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解】（1）因为 (sin sin )(sin sin )sin (sin sin )B C B C A B A +-=-，在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得()()()b c b c a b a +-=-，化简得222a b c ab +-=， ……3分在ABC V 中，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==， ……4分 因为(0,)C π∈，所以3πC =，又ABC V 3，可得1sin 32ab C =，所以4ab =. ……7分（2）因为223c b a +=,在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,所以2sin sin 2sin 3C B A += 因为A B C π++=，所以2sin sin()2sin 3C A C A ++= ……9分由（1）得3πC =，所以2sin sin()2sin 333ππA A ++=， 化简得333sin 2A A -=，所以1sin()63πA -=. ……11分 因为203A π<<，所以662πππA -<-<，所以222cos()1sin ()66ππA A -=--=所以22311261cos cos ()6632ππA A -⎡⎤=-+=-⋅=⎢⎥⎣⎦. ……14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取EF 中点Q ，连结GQ ， 因为G 为AF 中点，所以GQ ∥AE ，且12GQ AE =. ……2分 因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ， 所以CD ∥AE ，又AE =2CD ， 所以GQ ∥CD ，且GQ CD =. 所以四边形CDQG 为平行四边形，所以CG ∥DQ ， ……4分 又CG ⊄平面BDE ，DQ ⊂平面BDE ，所以CG ∥平面BDE ． ……6分（2）取AB 中点P ，连结FP ，CP ， 因为F 是BE 的中点， 所以FP ∥AE ，且12FP AE =.因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ，所以CD ∥AE. 又AE =2CD ，所以CD ∥PF ，且CD =PF ， 所以四边形CDFP 是平行四边形.所以CP ∥DF . ……8分 因为AC ＝BC ，P 为AB 中点， 所以CP ⊥AB ，所以DF ⊥AB .因为EA 垂直于平面ABC ，CP ⊂平面ABC ，所以CP ⊥AE ，所以DF ⊥AE . ……10分 因为AB AE A =I ，AB AE ⊂，平面ABE ，所以DF ⊥平面ABE . 因为AF ⊂平面ABE ，所以DF ⊥AF . ……12分 因为AB=AE ，F 是BE 的中点， 所以AF ⊥BE .因为BE DF F =I ，BE DF ⊂，平面BDE ，所以AF ⊥平面BDE . ……14分17．（本小题满分14分）解：（1）以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(22)O ，，(cos 0)P l θ，，(0sin )Q l θ，， 所以直线PQ 的方程为sin (cos )cos l y x l l θθθ=--，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ⋅+⋅-=. ……3分 因为直线PQ 与圆O 相切， 所以圆心到直线PQ 的距离为222sin 2cos sin cos 2sin cos l d θθθθθθ+-==+，化简得2sin 2cos sin cos 20l θθθθ+-=， ……5分 解得2sin 2cos 2l θθ+-=，2sin 2cos 2()f θθθ+-=π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. ……7分（2）因为2sin 2cos 2()f θθθ+-=，则(cos sin )(2sin 2cos 22sin cos )()f θθθθθθθ-+--'=9分因为π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2220θθ+-≤，2222sin cos 0θθθθ+--< 令()0f θ'=，得π4θ=， ……11分则ππ124θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'<，()f θ单调递减，π5π412θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>，()f θ单调递增，所以π4θ=时，()f θ取得最小值为22. 答：设计成π4APQ ∠=时，可使观赏道PQ 的长l 最短. ……14分18．（本小题满分16分） 【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，得2222211+=1222.a b c aa b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，解得21.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为2212x y +=． ……3分（2）由题意，设直线l 的方程为m x y +=21， 联立方程组221212y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，得 0444322=-++m mx x ，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()221612440m m ∆=--= 解得6m = ， 所以直线l 的方程为2621±=x y ． ……6分 （3）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2-=x 无交点，不符合题意，故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +m ， 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()022412222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得：2221m k =+， ……8分所以412,P P P k x y kx m m m =-=+=，即⎪⎭⎫⎝⎛-m m k P 1,2， 因为直线l 与直线2-=x 相交于Q ，所以)2,2(k m Q --，……10分 设(0)T t ，，所以021)2(2=-+--⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅m k t t m k ，即0)1(12=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++t t m k 对任意的k ,m 恒成立， ……14分 所以01=+t ，即1-=t ，所以点T 坐标为()0,1-. ……16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为1(2)0n n n S nS n ---+=， 所以2n =时，11S =，即11a =. 因为2n ≥时，1(2)0n n n S nS n ---+=，即2n n S na n =+. n =1时也适合该式.所以2n ≥时，2n n S na n =+，112(1)1n n S n a n --=-+-，两式相减得1(2)(1)10n n n a n a ----+=， 则1(1)10n n n a na +--+=，两式相减得112(1)(1)(1)02n n n n a n a n a n -+-----=，≥. 所以11202n n n a a a n -+--=，≥，所以11n n n n a a a a +--=-. 所以数列{a n }为等差数列.因为11a =，22a =，所以公差1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=. ……4分（2）①因为a n =n ，所以2222222211(1)(1)1(1)(1)i i i i i b i i i i ++++=++=++ (1)111111(1)(1)1i i i i i i i i ++==+=+-+++， ……6分所以111111111()()()()1122334111n n T n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，…8分 ②要证11ln ln n n n T T T ++<，只要证11ln ln212n n n n n n ++<+++， 只要证+12(1)ln (2)ln1n n n n n n ++>++，即证+1+122ln ln11+1+2111n n n n n n n n n n n n ++++>--+.…10分 设+1n x n =，x >1，令ln ()11x xf x x x =>-，， 则21ln ()(1)x xf x x --'=-， ……12分 易证1ln 0x x -->，故()0f x '>在()1+∞，上恒成立. 所以()f x 在()1+∞，上单调递增， 因为121n n n n ++>+，所以12()()+1n n f f n n ++>.所以所证不等式成立. ……16分 20．（本小题满分16分）【解】（1）因为函数2()(1)f x ax a x =-+-在(0)+∞，上单调递减，所以0102a a a-<⎧⎪⎨-⎪-⎩，≤，解得1a ≥.因为21()ln 2g x x x ax x =--在(0)+∞，上单调递减，所以()ln 110g x x ax '=+--≤在(0)+∞，上恒成立， 即ln 0x ax -≤在(0)+∞，上恒成立，所以ln x a x≥在(0)+∞，上恒成立. ……2分令ln ()x t x x =，则21ln ()x t x x-'=，令()0t x '=，得e x =， 当()0e x ∈，时，()0t x '>，()t x 单调递增； 当()e +x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减， 所以max 1()e t x =，所以1ea ≥.故实数a 的取值范围为[)1+∞，. ……4分 （2）因为()ln g x x ax '=-，所以11()ax g x a x x -''=-=.当(e 0]a ∈-，时，[0e)a -∈，，所以11()0ax g x a x x -''=-=>恒成立，所以()ln g x x ax '=-在（0，+∞）上单调递增. 因为1e (1)()10e e ea a g a g +''=-=--=-<≥0，，所以(011e x ⎤∃∈⎥⎦，，使得0()0g x '=.，即00ln 0x ax -=.所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x <时，()0g x '>，()g x 单调递增. 从而2000min00000ln ()()ln 22ax x x m g x g x x x x x ===--=-. ……8分令(ln 1()12e x x x x x ϕ⎤=-∈⎥⎦，，，则ln 1()02x x ϕ-'=<.所以ln ()2x x x x ϕ=-在(11e ⎤⎥⎦，单调递减，因此()(1)1x ϕϕ=-≥，13()()e 2ex ϕϕ<=-.所以312em -<-≤. ……10分（3） 因为2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--，所以2()()()2ln (1)ln 112ln h x g x f x x ax a x x ax x '=--=+-++---， 即2()ln h x ax x x =--.所以2121()21ax x h x ax x x--'=--=， 当0a ≤时，()0h x '<在(0)+∞，上恒成立，则h (x )在(0)+∞，上单调递减，故h (x )不可能有两个不同的零点. ……12分当0a >时，22ln ()x x h x x a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令2ln ()x x F x a x +=-， 则函数()h x 与函数()F x 零点相同.因为312ln ()x x F x x -+'=，令()12ln G x x x =-+，则2()10G x x'=+>在(0)+∞，上恒成立，因为(1)0G =，则x(01)，1 (1)+∞，()F x '- 0 + ()F x递减极小值递增所以()F x 的极小值为(1)1F a =-，所以要使()F x 由两个不同零点，则必须(1)10F a =-<，所以a 的取值范围为()01，. ……14分 因为(1)0F <，1()0e F >，又()F x 在()01，内连续且单调， 所以()F x 在()01，内有唯一零点. 又()()()()22222222ln 2022a a a a a a F a a a a⋅--+=->=，且21a >， 又()F x 在()1+∞，内连续且单调，所以()F x 在()1+∞，内有唯一零点. 所以满足条件的a 的取值范围为()01，. ……16分21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】（1）因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量， 所以1111λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即1113311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1333a b +=⎧⎨+=⎩，，解得20a b =⎧⎨=⎩，．所以矩阵2130⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ……4分 （2）设曲线1C 上任一点00()Q x y ，在矩阵M 的作用下得到曲线2C 上一点()P x y ，， 则002130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以00023x y x x y +=⎧⎨=⎩，，解得00323y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．因为200092y x x =-， 所以()2292333yy x y -=-⋅，即曲线2C 的方程为2y x =． ……10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】曲线的直角坐标方程为2240x y x +-=， ……3分即22(2)4x y -+=，圆心(20)，，半径2r =，直线l 的普通方程为310x -=， ……6分 所以圆心(20)，到直线l 的距离12d =，所以直线l 被曲线C 截得的线段长度()22221222152L r d =-=-=……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++． 证明：由柯西不等式得()()22222222211x z x y z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦≥ …… 6分 因为=5x y z ++， 所以2225(2)252≥x y z ++⋅，所以222210≥x y z ++，当且仅当2a b c ==时取等号．……………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)解:（1）设T 的坐标为(),x y ，则B 为(),1x -，因为 A （0，1），所以()0,1TB y =--u u r ，(),2AB x =-u u u r因为()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，所以()20AB AB TB ?=u u u r u u u r u u r，所以220AB AB TB -?u u u r u u u r u u r，所以()24440x y +-+=，即 24x y =，所以曲线C 的方程为24x y = ……4分 （2）法一：由题意，直线MN 的斜率必存在，设为k则直线MN 的方程为：y kx t =+， 由24y kx tx yì=+ïí=ïî可得：2440x kx t --= 设()()1122,,,M x y N x y ， 则21212Δ1616044k t x x k x x t ì=+>ïï+=íï?-ïî①因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r因为()()1112,1,,1PM x t PN x t =--=--u u u u r u u u u r所以()21210x x t ++=，所以()2410t t -++=解得：1t = ……6分 ②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()()1112,0Q x y x x -+?xyPN 1MNM 1O所以222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++ 所以直线NQ 的方程为：()21114x x y y x x --=+ 令0x =得：()22211121112144444xx x x x x x x x y y t -=+=-+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分（2）法二：设()()222,,2,M m m N n n ()m n ¹，因为,,M N P 三点共线，所以MP NP k k =，所以2222m t n t m n --=，化简得：()()0mn t m n +-= 因为m n ¹，所以mn t =- ①由题意：()()112,1,2,1M m N n --，所以()()112,1,2,1PM m t PN n t =--=--u u u u r u u u u r因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r，所以()()2,12,10m t n t --?-=，所以()2410mn t ++=，所以()2410t t -++=，解得：1t = ……6分②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()22,Q m m -()0m n +?所以22222QNn m n m k n m --==+， 所以直线NQ 的方程为：()222n my m x m --=+ 令0x =得：()222n m my m mn t -=+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分23．(本小题满分10分)【解析】（1）证明：||=n k n a a +-1121|()()()|n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L1121||||||n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L ≤11112n k n k n ++++-+-L ≤kn≤． ……3分（2）用数学归纳法证明．① 当1=m 时，左边0||22=-=a a =右边；当2=m 时，由（1）得左边||||4424a a a a -+-=2222||12a a +=-=≤=右边；② 设当k m =时，结论成立，即有221(1)||2k i ki k k a a =--∑≤， ……5分 则当1+=k m 时，∑+=-+1122||1k i i k a a||221221i k k k a a a aki -+-=∑=+1221||k k ki a a +=-∑≤∑=-+ki i ka a122||由（1）得||221k k a a -+||222k kk a a -=+212kk =≤，所以1221||k k ki a a k +=-∑≤， ……8分所以∑+=-+1122||1k i i k a a 221||k i ki k a a =+-∑≤(1)2k k k -+≤(1)[(1)1]=2k k ++- 所以1+=k m 时结论成立．由①②可知原不等式成立． ……10分。
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期9月诊断测试数学试题含答案
如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}320223,nA n n n Z =∈＜＜的所有元素之积为（▲）.A.8648640B.55440C.665280D.02.已知复数z 满足3i i z z -+为负实数，31z z -+为纯虚数，则z =（▲）.A.B.1C.D.13.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124||3x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（▲）.A.3π B.34π C.56π D.23π4.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示，古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{}n a ，其中115n 且*n N ∈，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，15a =是指每月的第1天可见部分占满月的5240，8128a =是指每月的第8天可见部分占满月的128240，15240a =是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月.已知在月相数列{}n a 中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（▲）.A.124B.112C.16D.135.在平面直角坐标系中，椭圆E ：2214x y +=，P 为E 上的动点，,A B 为两个定点，其中B 点坐标为()0,3.若PAB △的面积最小值为1，最大值为5，则线段AB 的长为（▲）.A.5B.26C.6D.76.已知函数()y f x =的图像既关于点()1,1中心对称，又关于直线0x y +=轴对称.当()0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2log 10f 的值为（▲）.A.2log 6B.175C.3D.1457.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示，即512sin18.2-=︒记2sin18m =︒，则21cos36(2)sin144m +︒=-⋅︒（▲）.A.2- B.2- C.2D.51-8.若,(0,)x y ∈+∞，ln sin y x x e y +=+，则（▲）.A.ln()0x y -< B.ln()0y x -> C.e yx < D.ln y x<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于复数的命题中(i 为虚数单位)，说法正确的是（▲）.A.若关于x 的方程2(1i)14i 0(R)x ax a +++-=∈有实根，则52a =±B.复数z 满足2020(1i)i 1z +==，则z 在复平面对应的点位于第二象限C.12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中p 、q 为实数，则5q =D.已知1i z a b =+，2i z c d =+，且12z z =，则,a c b d==10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，…，(2n P n 且*)n N ∈满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠=，则下列结论中正确的是（▲）.A.2n =时，12112||||PF P F +=B.3n =时，123||||||PF P F P F ++的最小值为9C.4n =时，1324111||||||||4PF P F P F P F +=++D.4n =时，1234||||||||PF P F P F P F +++的最小值为811.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，n M ，n N 是圆222:O x y n +=上两个不同的动点，n P 是n nM N 的中点，且满足2*20().n n n OM ON OP n N ⋅+=∈ 设n M ，n N到直线20l y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（▲）.A.向量n OM 与向量n ON所成角为120︒B.||n OP n= C.22n a n n =+D.若2nn a b n =+，则数列的前n 项和为11121n +--12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l ：220bx ay a b +--=，则（▲）.A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C.记点A 到直线l 的距离为d ，则2||d AF -D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为▲.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，直线l ：y kx m =+与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若PAB △为正三角形，则实数m 的值是▲.15.已知()00,P x y 是抛物线24y x =000210x y +-+的最小值为▲.16.函数())f x x R =∈的值域为▲.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）若ABC △的内角,,A B C 满足sin cos tan A B C ==.（1）若π12B =，求C 的大小；（2）求32cos cos cos A A A +-的值.18.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0.n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n nn b n a +=+，数列的前n 项和为n T ，证明对于任意的*n N ∈，都有5.64n T <郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.（1）已知A ，B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点，P 为直线l 上一点.试探究当点P 的位置满足什么条件时，||PA PB -取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足621S =，728S =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项；（2）令14(1)(21)(21)n n n n n b a a -=--+，证明：12b b ++ (22).21n n b n +++已知点B A 、分别是椭圆22:143x y Γ+=的左、右顶点，过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于,M N 两点，（1）设直线,,AM AN BM 的斜率分别为123,,k k k ，求12k k 和23k k 的值；（2）若直线,AM AN 分别交椭圆Γ的右准线于,P Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆经过定点.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln ,e x x x f x g x x==.（1）求()f x 和()g x 的极值；（2）证明：存在直线y a =，其与曲线()y f x =和曲线()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学参考答案及评分标准2022.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CCDBDBAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.题号9101112答案ACBCACDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）所以π3C =.………………………………………………4分17.（2）………………………10分18.（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，所以当1n =时，22211(111)(11)0S S -+--+=，即21120S S --=，解得12S =或11S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以12S =，因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，则2[()](1)0n n S n n S -++=，则2n S n n =+或1n S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以2n S n n =+，.………………………………………………2分当2n 时，有1n n n a S S -=-，所以22[(1)(1)]n a n n n n =+--+-，解得2n a n =，2n ，当1n =时，112a S ==，符合2n a n =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n =，*;n N ∈.………………………………………………5分18.（2）证明：由222211(2)(2)4n n n n b n a n n ++==++⋅，.……………8分所以115(1)16464<+=，所以对于任意*n N ∈，都有5.64n T <.………………………………………………12分19.（1）不妨设A 点到直线l 的距离比B 点到直线l 的距离大，作A 点关于直线l 的对称点.A '当l 为APB ∠的平分线时，A '，B ，P 三点共线，故PA PB PA PB A B -='-='，.…………2分当l 不是APB ∠的平分线时，取这样的点P '，则A '，B ，P '能构成一个三角形，故P A P B P A P B A B '-'=''-'<'，因此，当且仅当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值．.…………………5分19.（2）证明：不妨设双曲线的焦点在x 轴上，半实轴长为a ，左右焦点分别为1F ，2F ，入射光线1l 从2F 出射，入射点Q ，反射光线2l ，双曲线在Q 点处的切线3l ，3l 在Q 点处的垂线4l ，由光的反射定律，1l ，2l 关于4l 对称，故1l ，2l 关于3l 对称，要证：反射光线2l 过点1F ，只要证：3l 是12F QF ∠的角平分线，.………………………………………………7分定义双曲线焦点所在区域为内部，渐近线所在区域为外部，由双曲线的定义，122F Q F Q a -=，对于双曲线内部的一点Q '有12||2F Q F Q a '-'>，对于双曲线外部的一点Q ''有12||2F Q F Q a ''-''<，又3l 是双曲线在Q 点处的切线，故在3l 上有且仅有一点Q 使得122F Q F Q a -=，3l 上其他点Q '''均有122F Q F Q a '''-'''<，故Q 是3l 上唯一使得12F Q F Q -取最大值的点，又1F ，2F 到直线3l 距离不相等，根据(1)中结论，可知3l 是12F QF ∠的角平分线，故反射光线2l 过点1F ，命题得证．.………………………………………………12分20.（1）数列{}n a 为等差数列，依题意有117212861521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，1d =，.………………………………………………2分所以1(1)1n a n =+-⨯，所以n a n =，.………………………………………………4分20.（2）证明：111411(2)(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n b a a n n ---=-=-+--+-+，.……………8分1123111111(1(()[(1)3355721n n b b b b n -+++⋅⋅⋅+=++--+++⋅⋅⋅+--1111122(1)1(1)1.21212121n n n n n n n --++-=+-+=++++ .………………………………………………12分21.（1）1294k k =-………………………………………………3分233k k =………………………………………………6分21.（2）此圆恒过定点()()7,01,0，………………………………………………12分22.（1）()f x 极大值1e，无极小值；………………………………………………2分()g x 极大值1e，无极小值；………………………………………………4分22.（2）证明略.………………………………………………12分。
江苏省南通市2023届高三第二次调研测试数学试题 附答案与评分建议
南通市2023届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若M ，N 是U 的非空子集，M ∩N = M ，则A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．U ðM =ND ．U ðN = M【答案】A2．若i z = (1- 2i )2，则z =A ．4+ 3iB ．4- 3iC ．- 4+ 3iD ．- 4- 3i【答案】C3．已知(x 3+ 22x)n 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A ．60B ．80C ．100D ．120【答案】B4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100m ，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A ．49.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m【答案】B5．在▱ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE =．若AB mDF nAE =+ ，则m + n =A ．12B ．34C ．56D ．43【答案】D6．记函数f (x )= sin (ωx + π4)(ω>0)的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且f (x )≤|f ( π3)|，则ω=A ．34B ．94C ．154D ．274【答案】C7．已知函数f (x )的定义域为R ，y =f (x )+e x 是偶函数，y =f (x )- 3e x 是奇函数，则f (x )的最小值为A ．eB ．C ．D ．2 e【答案】B8．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b-=>>，的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：22229()4x y a b +=+，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为A ．54B ．85C D ．【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案
南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。
江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模数学试题
一、单选题1. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，的面积为S ，若，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 设数列的前项和为，若，且，则（ ）A ．2019B．C ．2020D．3. 设集合，，则（ ）A．B ．，C ．，D ．，4.函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．5. 黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（）A ．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数B ．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数C ．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差D ．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.66. 如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（）A．B．C．D．7. 设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模数学试题二、多选题A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位9. 已知椭圆的短轴长为，焦距为.过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，.则的面积为（ ）A．B．C．D．10.中，“为锐角”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11. 已知，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12. 已知函数，其中是自然对数的底数.则关于的不等式的解集为A．B．C．D．13. 已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ）A ．0B ．1C．D．14. 曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为A．B ．2C ．4D ．815. 在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（ ）①平面；②；③直线与所成角的余弦值为④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形A ．1B ．2C ．3D ．416. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A ．10种B ．25种C ．26种D ．27种17. 若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（ ）A．B．C．D．18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（）A．B．椭圆的离心率是C．的最小值为D．的值为19. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）A．是递增数列B．C．D．20. 已知，函数，下列选项正确的有（）A ．若的最小正周期，则；B ．当时，函数的图象向右平移后得到的图象；C．若在区间上单调递增，则的取值范围是；D ．若在区间上有两个零点，则的取值范围是；21. 在四个正方体中，，，均为所在棱的中点，过点，，作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面垂直的是（）A．B．C．D．22. 如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（）A．若平面，则B．存在点S与直线MN，使平面C．存在点与直线，使D．是常数23. 已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为，，且，则（）A．B．C．D．三、填空题四、解答题24. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A ．事件A 与B 相互独立B．C ．事件A 与C 相互独立D．25.二项式的展开式中常数项为______．26.展开式中，含项的系数为______．27.设，，，若，则______.28.如图，在正方体中，点F 是棱上的一个动点，平面交棱于点E ，则下列正确说法的序号是___________.①存在点F使得平面；②存在点F使得平面；③对于任意的点F，都有；④对于任意的点F 三棱锥的体积均不变.29.已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.30.已知等差数列的前项和为，若，且，则______．31. 函数的值域为______.32. 已知集合，若，则的最小值为__________．33. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．34.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.35.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；五、解答题(2)在数列中，，求数列的前项和.36. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.37.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求38. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．39. 某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：男生女生总计选择方案一10080选择方案二200120总计(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？(2)某同学回答单选题的正确率为0.8，各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82840. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若，求直线l的斜率.41. 设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．42. 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）43. 已知正方体的棱长为2，分别为的中点．（1）画出平面截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；（2）求二面角的余弦值．六、解答题44. 我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S 型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y （单位：mm ）关于滚道径向方位角x （单位：rad ）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式；(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm 且不高于0.02mm 的钢筋，若这批钢筋由题中这种S 型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.45.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N 为AB的中点，(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．46.如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.47. 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.48.已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和.七、解答题49.已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：对任意的，.50.已知数列的前项和为，，．（1）求；（2）求证:．51. 某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.2223242526频数10101596(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.52. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977(1)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(2)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和，试求和的分布列和数学期望.53.甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）．(1)若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；(2)若比赛采用三局两胜制，且，则比赛结束时，求甲获胜局数的期望；(3)结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．54. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为，试写出两种方案中与 的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：0.0500.0100.00 13.841 6.63510.8 28（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.55. “黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由降雨量亩产量50070060040056. 学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为三个等级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力2201101八、解答题由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为.(1)求，的值；(2)从测试成绩均为或的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率.57. 已知数．(1)求函数的最小正周期，并写出函数的(2)在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，求的取值范围单调递增区间58. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，，设，.（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值.59.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为椭圆与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于S ，两点，直线NS ，NT 分别与轴交于C ，D 两点，若C ，D 的横坐标之积是2．问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．60. 动圆P 过定点，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4.(1)若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线与曲线C 的交点S ，T 满足为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．61. 已知集合，，若，求实数，的值.62. 据统计，某校高三打印室月份购买的打印纸的箱数如表：月份代号t1234打印纸的数量y （箱）60657085(1)求相关系数r ，并从r 的角度分析能否用线性回归模型拟合y 与t的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；(2)建立y 关于t 的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多少箱.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数参考数据：。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)
2020届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分160 分，考试时间120 分钟）、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|1<x<3} ，B＝{x|2<x<4} ，则A∪B＝________2. 若复数z 满足z＝i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为a＋2i3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为［12，13），［13 ，14），［14 ，15），［15 ，16），［16 ，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_ ．（第3题）（第4 题）4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为_______ ．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格， 2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为_______ ．6. 在等差数列{a n}中，a4＝10，前12 项的和S12＝90，则a18的值为 ____ ．222 x y7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知 A 是抛物线y2＝4x 与双曲线4－b2＝1（b>0）的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ．π8. 若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象经过点（，2），且相邻两条6ππ对称轴间的距离为π2，则f（π4）的值为___ ．9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为 2 ，则该正四棱锥的表面积为10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－5x，则不等式f （x －1）>f（x）的解集为．211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（－1，0），B（5，0）．若在圆M：（x －4）2＋（y －m）2＝ 4 上存在唯一一点P，使得直线PA，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P 在DA的延长线上，且满足（PB＋|x ＋3| ，x≤0，13. 已知函数f(x) ＝ 3 设g(x) ＝kx＋1，且函数y＝f(x) －g(x) 的图x3－12x＋3，x>0.象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________ ．2214. 在△ ABC中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A＋cos 2B 的最大值为_____ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. ( 本小题满分14 分)π 设向量a＝(cos α，λ sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<2，且a＋b与a－b互相垂直．(1) 求实数λ 的值；4(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α 的值．516. ( 本小题满分14 分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E 分别是AB1和BC 的中点．求证：(1) DE ∥平面ACC1A1；(2) AE ⊥平面BCC1B1.17. （本小题满分14 分）某公园内有一块以O为圆心，半径为20 米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O 外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠ QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞π台O 处的距离都不超过60 米．设∠ OAB＝α，α∈（0 ，3）．问：对于任意α，上述设计方案3是否均能符合要求？(2) 设经过点 P(2 ， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，点 Q(m ，0) ． ①若对任意直线 l 总存在点 Q ，使得 QA ＝QB ，求实数 m 的取值范围； ②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ： 的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程；2x2＋ayb 2 ＝1(a>b>0) 的离心率为 22， 且椭圆 C 短轴19. (本小题满分16 分)2x－2 已知函数f(x) ＝ln x －，a>0.x－1＋2a(1) 当a＝2时，求函数f(x) 的图象在x＝1 处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1 ，＋∞ ) ，不等式f(x) ≥0恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分) 已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2⋯a n)2＝a n1＋1a n n＋－11.a2(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求2的值；a1(2) ① 求证：数列{a n} 为等比数列；② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋⋯＋a n≤2n－1，求数列{a n} 的公比q的取值范围．2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十 ） 数学附加题 （本部分满分 40分，考试时间 30 分钟）21. 【选做题】 本题包括 A 、B 、C 三小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ]（ 本小题满分 10 分）（1） 求 a ， b 的值； （2） 求 A 的逆矩阵 A －1.x ＝t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数 ），曲线 C 的参数 y ＝ 3t ＋2值．C. [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 本小题满分 10 分） 解不等式： |2x －1| －x ≥2.【必做题】第 22 题、第 23 题， 每小题 10 分 ， 共计 20 分．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．22. (本小题满分 10 分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B ，每遇到一个岔路2 b1121， B，AB ＝a 30 － 14 1已知矩阵 A ＝B. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（ 本小题满分 10 分 ）方程为x ＝ cos θ， y＝ 3sin θ（ θ 为参数 ） ，P 是曲线 C 上的任意一点． 求点 P 到直线 l 的距离的最大口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设C 是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点 C 的概率；(2) 设这 4 名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10 分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取3个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T 的最小值；3(2) 若n≥4，求证：T≥2C n3.2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十）数学参考答案因为 0<α<π2 ，所以 sin 2α≠0，所以 λ2－ 1＝0.又因为 λ >0，所以 λ＝ 1.（6 分 ） （2） 由（1） 知 a ＝（cos α，sin α） ．44 由 a ·b ＝ ，得 cos αcos β＋ sin αsin β＝ ，554即 cos （ α－β ） ＝ .（8 分 ）5 ππ 因为 0<α<β< 2 ，所以－ 2 <α－β<0，23所以 sin （ α－β ） ＝－ 1 － cos （α－β）＝－ 5.（10 分 ）sin （α－β） 3所以 tan （ α－β）＝ cos （α－β） ＝－ 4，（12 分）tan （α－β）＋ tan β 1因此 tan α＝tan （ α－β＋β ）＝1－ tan （α－β） tan β＝2.（14 分）16. （1） 连结 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中， AA 1∥BB 1且 AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是 AB 1 的中点，所以 D 也是 BA 1 的中点． （2 分）在△ BA 1C 中， D 和E 分别是 BA 1和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C. 又因为 DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面 ACC 1A 1， 所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.（6 分 ）（2） 由 （1） 知 DE ∥A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1， 所以 BC 1⊥DE.（8 分 ） 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， DE 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE. 又因为 AE 平面 ADE ，所以 AE ⊥BC 1.（10 分 ） 在△ABC 中， AB ＝ AC ，E 是 BC 的中点， 所以 AE ⊥BC.（12 分 ） 因为 AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ， BC 1∩BC ＝ B ，1. {x|1<x<4}2. － 23. 184.316 5. 35 6. －47. y ＝± 3 x 8. 3 9. 410. （ －2， 3） 11. ± 21 12. 13. － 9，1314.2＋1 2（1） 由 a ＋b 与 a － b 互相垂直 ， － 1＝ 0.（2 分） ＝ 1，＝ 0.（4 分 ） 15. 所以 cos 2α＋λ 2sin 2α 又因为 sin 2α＋ cos 2α 所以（λ 2－ 1）sin 2α可得 （a ＋b ）·（a －b ） 22＝a －b ＝BC 1 ，BC 平面 BCC 1B 1， 所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1.（14 分 ）17. 过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝α， 所以 AH ＝20cos α，因此 AB ＝ 2AH ＝40cos α.（4 分 ） 由图可知，点 P 处的观众离点O 最远． （5 分） 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP 2＝OA 2＋ AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 23π （7 分 ）3＝400（6cos 2α＋ 2 3sin α cos α＋ 1）＝ 400（3cos 2 α＋ 3sin 2 α＋ 4） ＝800 3sin 2α＋ π3 ＋1 600.（10 分） ππ π因为 α∈ 0 ，3 ，所以当 2α＝ 6 ，即 α＝ 12时，（OP 2）max＝ 800 3＋1 600 ，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.（12 分 ）因为 20 3＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60米． （13 分）故对于任意 α，上述设计方案均能符合要求． （14 分 ）所以 b 2＝ a 2－ c 2＝1，x2所以椭圆 C 的方程为 2 ＋y 2＝1.（2 分） ①设 AB 的中点为 M （x 0，y 0） ，2x 1＋ x 24k 22k则 x0＝2＝1＋2k2，y0＝k(x 0－2) ＝－1＋ 2k 2.(6 分) 当 k ≠0时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，2 解法一：设直线的方程为 y ＝k （x －2） ，代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得（1 ＋ 2k 2）x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.因为直线 l 交椭圆 C 于两点，所以 Δ＝ （ －8k 2） 2－4（1 ＋2k 2）（8k 2－ 2）>0 ， 解得－ 2 <k< 2 .（4 分 ）设点 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2） ，＝ 400 ＋ (40cos α － 2×20× 40cos α ( － 2cossin αc＝218. (1) 依题意得 a 2c ＝1，8k 8k － 2则 x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2k－1＋2k2－0即 k QM ·k ＝2·k ＝－1.4k1＋2k2－m2k2 解得 m ＝1＋2k 2.（8 分 ）解法二：①设点 A （x 1， y 1） ， B （x 2， y 2） ，AB 中点为 M （x 0，y 0） ． 2x 1 22＋y 21＝ 1， 依题意 22 两式作差，x 2 22＋ y 2＝ 1，得y x 1－－y x 2×y x 0＝－12（x 0≠0）．x 1－ x 2 x 0 2y 1－ y 2 又因为 x 1－x 2＝kAB x 0－221所以 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ． 当 x 0＝0 时， y 0＝ 0，21符合 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ．（ⅰ）（4 分） 又因为 QA ＝QB ，所以 QM ⊥l ，所以（x 0－ m ）（x 0－ 2） ＋ （y 0－ 0）（y 0－ 0） ＝0， 即 y 0＝－ （x 0－ m ）（x 0－2） ．（ ⅱ）（6 分） 由（ⅰ）（ ⅱ） ，解得 x 0＝ 2m ，当 k ＝0 时，可得m ＝0，符合 m ＝1＋2k 22k 2.2k 2 因此 m ＝1＋2k 2k112（1－ m ）<12，解得 0≤m<12.（10 分）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 222＋y ＝ 1， 2消去 y ，得 x －4mx － 4m ＝0，所以 x 1， x 2也是此方程的两个根， 所以 x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－ 4m.（14 分） 8k 2－2 x1x2＝1＋2k 2，由 0≤k 2＝（12 分 ）x 1x 2＝又因为 x 1＋ x 2＝ 2，1＋ 2k22 所以 8k 2＝－8k －21＋2k 2 1＋ 2k 22k 1 所以 m ＝1＋2k2k 2＝ 51.（162， 解得 k 2＝ 1，8分）y 0－0因此 y 02＝ 2m － 2m 2.（8 分 ） 因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以点 M 在椭圆 C 内，2（ 2m ） 221所以 2 ＋ （2m － 2m 2）<1 ，解得 m<2. 22 又 y 20＝ 2m － 2m 2≥0，所以 0≤m ≤1.1综上，实数 m 的取值范围是 0，2 .（10 分 ）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 2 2消去 y ，2 ＋y ＝ 12得 x 2－4mx －4m ＝0.（ ⅲ）（12 分 ）当 y 0≠0时，则直线 l 为 y ＝－ x0 （x －2） ，代入椭圆的方程，2y 0得（2y 02＋ x 02）x 2－4x 02x ＋4x 20－ 4y 20＝0.将（ ⅰ） 代入上式化简得 x 2－2x 0x ＋3x 0－ 2＝0.（ ⅳ）当 y 0＝0 时，此时 x 0＝ 0，x 1＝－ 2， x 2＝ 2也满足上式． （14 分）x2由①可知 m ＝ 2，代入 （ ⅲ） 化简得 x 2－2x 0x －2x 0＝0.（ ⅴ） 因为（ ⅳ）（ ⅴ）是同一个方程， 所以 3x 0－ 2＝－ 2x 0，解得 x 0＝ ，5x 0 1所以 m ＝ 2＝5.（16 分 ）2x － 21 8 119. （1） 当 a ＝2时， f （x ） ＝lnx － x ＋3，f ′（x ） ＝ x －（x ＋3）2，则 f ′（1） ＝ 2.1又因为 f （1） ＝0，所以函数 f （x ） 的图象在 x ＝1处的切线方程为 y ＝ 2（x －1） ， 即 x －2y － 1＝0.（2 分）2x －2（2） 因为 f （x ） ＝ln x －x －1＋2a，1 所以 f ′ （x ） ＝ － 2x （x －1＋ 2a ）2 2 2 2x －2x ＋ 4a －4a ＋ 1 （ x －1） ＋4a －4ax 2＝1＋2 a －a 2∈（1，＋∞ ） ，当x ∈（1， x 2）时， f ′（x ）<0 ，x （x －1＋2a ）2，（4 分）且 f （1） ＝0. 因为 a>0，所以 1－2a<1. ①当 4a 2－ 4a ≥ 0，即 a ≥1时，因为 f ′（x ）>0 在区间 （1 ，＋∞ ） 上恒成立， 所以函数 f （x ） 在区间 （1 ，＋∞ ）上单调递增． 当 x ∈[1 ，＋∞ ）时， f （x ） ≥f （1） ＝ 0， 所以 a ≥1满足条件． （6 分 ）②当 4a 2－4a<0，即 0<a<1 时， 由 f ′（x ） ＝ 0，得 x 1＝1－2 a － a 2∈（0 ， 1） ，4a2x （x －1＋2a ）2则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，所以当x∈（1，x2）时，f（x）<f（1）＝0，这与x∈[1 ，＋∞ ）时，f（x）≥0 恒成立矛盾，所以0<a<1 不满足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1 ，＋∞ ）．（8 分）（3）①当a≥1时，因为函数 f ′（x）≥0在区间（0 ，＋∞ ）上恒成立，所以函数f（x）在区间（0 ，＋∞ ）上单调递增，所以函数f（x）不存在极值，所以a≥1不满足条件；（9 分）1②当2<a<1 时，1－2a<0，所以函数f（x）的定义域为（0 ，＋∞），由f′（x）＝0，得x1＝1－2 a－a2∈（0 ，1），x2＝1＋2 a－a2∈（1，＋∞ ）．列表如下：由于函数f（x）在区间（x 1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不满足条件．（11 分）1 ③当a＝2时，由f′（x）＝0，得x＝2.列表如下：此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，1所以a＝2不满足条件．（12 分）1④当0<a<2时，函数f（x）的定义域为（0 ，1－2a）∪（1－2a，＋∞ ），且0<x1＝1－2 a－a2<1－2a，x2＝1＋ 2 a－a2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x) 存在极大值f(x 1) 和极小值f(x 2)，(14 分)因为0<x1<1－2a<x2，x1所以ln <0，x1－x2<0，x1－1＋2a<0，x2－1＋2a>0，x2所以f(x 1) －f(x 2)<0 ，即f(x 1)<f(x 2) ，1所以0<a<2满足条件．1综上，实数a的取值范围为0，2 .(16 分)2 3 220. (1) 因为(a 1a2) 2＝a31a3，所以a22＝a1a3，因此a1，a2，a3 成等比数列．(2 分) 设公比为t ，因为a1，2a2，3a3成等差数列，a2 a3所以4a2＝a1＋3a3，即4× ＝1＋3× ，a1 a121于是4t ＝1＋3t ，解得t＝1 或t ＝3，a2 1所以a＝ 1 或3.(4 分)a1 3(2) ①因为(a 1a2⋯a n) 2＝a n1＋1a n n＋－11，所以(a 1a2⋯a n a n＋1) 2＝a1n＋2a n n＋2，n2a n＋ 2两式相除得a n＋1＝a1· n－1，a n＋1即a n n＋＋11＝a1a n n＋2，(*)(6 分)2n ＋ 2 n ＋1 n＋ 1即a n＋ 2 ＝a n ＋1a n＋3，所以a n＋2＝a n＋1a n＋3，2* 即a n2＋1＝a n a n＋2，n≥2，n∈N*，(8 分) 由(1) 知a22＝a1a3，所以a2n＋1＝a n a n＋2，n∈N*，因此数列{a n} 为等比数列．(10 分)②当0<q≤2时，由n＝ 1 时，可得0<a1≤1，所以a n＝a1q n－1≤2n－1此时f(x 1) －f(x 2) ＝ln x1 4a(x1－x2)x1－1＋2a)( x2－1＋2a).2x1－2 2x 2－ 2x1－1＋2a －ln x2 ＋x2－1＋2alnx1x2由(*) ，(*)(**)n＋ 2 n＋ 1得a n＋2＝a1a n＋3，两式相除得n＋2 n ＋1a n＋2 a n＋ 3n ＋1＝n a n＋1 a n ＋2因此 a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ≤1＋ 2＋⋯＋ 2n －1＝2n －1， 所以 0<q ≤2满足条件． （12 分） 当 q>2 时，n由 a 1＋a 2＋⋯＋ a n ≤2－1，a 1（1－ q ） n 得 1 1－q ≤2n －1，整理得 a 1q n ≤（q － 1）2 n ＋ a 1－ q ＋ 1.（14 分） 因为 q>2，0<a 1≤1，所以 a 1－ q ＋1<0，由于q >1，因此 n<log qq －1，与任意 n ∈N *恒成立相矛盾，2 2 a 1所以 q>2 不满足条件．综上，公比 q 的取值范围为 （0 ，2] ．（16 分）2b21. A. （1） 因为 A ＝， B ＝a32－b ＝1，b ＝ 1，所以 a ＝ 4， 即 （4 分 ）a ＝ 4.a － 3＝1， （2） 因为 |A |＝2×3－1×4＝ 2，（6 分）312.（10 分 ）π＋ 4 ＝ 1，此时 d 取最大值， 所以距离 d 的最大值为 62 2.（10 分 ）1C. 当 x ≥2时，由 2x － 1－x ≥2，得 x ≥3.（4 分）11当 x<2时，由 1－2x －x ≥2，得 x ≤－ 3.（4 分） 231 综上，原不等式的解集为 {x|x ≥3 或 x ≤－3} ． （10 分）22. （1） 设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ，B. 直线 l 的参数方程为x ＝ t ，y ＝ 3t （t 为参数 ） ，化为普通方程为 ＋23x －y ＋2＝ 0.（2 分）设点 P （cosθ，3sin θ），则点 P 到直线 l的距离| 3cos θ－ 3sin θ＋ 2| 6cos d ＝（ 3） 2＋1π θ＋ ＋ 242，（6分 ）因此 a 1q n<（q －1）2 n，即2qn<q －a 1112－1， AB ＝ 4所以 A －1＝取 θ＝－ 4 时， cos θ11甲选中间的路的概率为 3，在前面从岔路到达点 C 的概率为 2，这两个事件相互独立，所 32 111以选择从中间一条路走到点 C 的概率为 P 1＝ × ＝ .（2 分）3 2 6 111 同理，选择从最右边的道路走到点 C 的概率为 P 2＝ × ＝ .326因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，111所以 P （M ） ＝P 1＋P 2＝ ＋ ＝ .6631故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.（4 分） （2） 随机变量可能的取值 X ＝0，1，2，3， 4，（5 分） 01 02 4 16则 P （X ＝0） ＝C 40× 3 × 3 ＝81，P （X ＝1） ＝C 14×1 123 32 × ＝ ，3 3 81 P （X ＝2） ＝C 24× 1 2 2 2 24 3 × 3 ＝ 81，P （X ＝3） ＝C 34× 1 3 2 1 83 × 3 ＝ 81，P （X ＝4） ＝C 44× 1 4 2 0 113 × 23 ＝811，（8 分）概率分布为：8181813×881＋4×811＝43.（10 分） 23. （1） 当 n ＝3 时，共有 6 个点，因此 T 的最小值为 2.（3 分）（2） 首先证明：任意 n ，k ∈ N *，n ≥k ，有 C k n ＋1>C k n .若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 63＝20； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 53＝10； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 43＝4； 若染红色的点的0或 6， 1或 5， 2或 4，3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；证明：因为 C k n ＋ 1－ C k n ＝C k n －1>0，所以 C k n ＋1>C k n .设这 2n 个点中含有 p （p ∈ N ，p ≤2n ）个染红色的点， ①当 p ∈{0 ， 1， 2} 时， 3 3（ 2n －2）（ 2n － 3）（ 2n －4） T ＝C 2n － p ≥C 2n －2＝ 6 ＝4×（n －1）（n －2）（2n －3） 因为 所以 6 n ≥ 4，所以 2n － 3>n ， n (n －1)(n － 2) 3 3 T>4× ＝ 4C 3n >2C 3n .(5 分) 6 p ∈{2n －2，2n －1，2n} 时， 32n －2， ②当 T ＝C 3p ≥C 同理可得 T>2C 3n .(6 分 ) ③当 3≤p ≤2n － 3 时， T ＝C p ＋ C 2n －p ， 设 f(p) ＝ C p 3＋ C 23n －p ，3≤p ≤2n － 3， 当 3≤ p ≤ 2n － 4 时， f(p ＋1) －f(p) ＝ C p ＋1＋ C 2n －p －1－C p －C 2n －p ＝ C p － C 2n －p －1， 显然 p ≠2n － p －1， 当 p>2n － p － 1 即 n ≤p ≤2n － 4时， f(p ＋1)>f(p) ， 当 p<2n － p － 1 即 3≤p ≤n － 1 时， f(p ＋1)<f(p) ， 即 f(n)<f(n ＋1)<⋯<f(2n － 3) ；f(3)>f(4)> ⋯>f(n) ； 因此 f(p) ≥f(n) ＝ 2C 3n ，即 T ≥ 2C n 3. 综上，当 n ≥4时， T ≥2C n 3.(10 分)。
江苏省南通市2020届考前练习卷数学试题讲评建议
高三数学练习卷讲评建议填空题的答案必须根据设问的要求针对性作答，若所求的对象是集合，则答案必须以集合的形式呈现；若求函数的定义域和值域，则要将结果写成集合或区间的形式；若求圆的标准方程，则不能写成一般方程；若所求值为分式或分数，则要化为最简形式；填空题的书写要清晰规范，不得潦草、模糊，要便于阅卷教师评判辨认．1．集合答题注意事项：（1）高考第一题出错的机率较高，要审清交集还是并集；（2）注意有限集与无限集；（3）集合表示方法的规范性；（4）注意元素的互异性；（5）搞清题目要求填的是元素、元素的个数还是集合．2．复数答题的注意事项：（1）复数的虚部是实数；（2）共轭复数的概念；（3）求模要开方；（4）注意运用积的模等于模的积，商的模等于模的商简化运算．3．统计问题注意事项：（1）注意频率分布直方图纵轴上单位的意义（频率/组距）；（2）注意方差与标准差的区别与联系；（3）所有频率之和为1；（4）防止茎叶图概念的遗忘；（5）系统抽样防止遗漏．4．算法答题注意事项：（1）细心审题，做好转化；（2）用表格的形式罗列循环的过程，循环的次数；（3）数列运算问题要看清共有多少项．5．解析几何填空题如果是双曲线、抛物线一般为容易题，审题要认真. （1）双曲线要注意焦点位置，标准方程的形式；（2）注意双曲线,,a b c的关系与椭圆中,,a b c的关系的区别；（3）注意双曲线与抛物线定义的应用；（4）抛物线要注意开口方向，焦点位置.椭圆填空题要注意焦点所在位置，椭圆与不等式结合的题目及有关离心率问题要关注椭圆上点的坐标的取值范围；（5）注意看清焦距与半焦距等问题，注意焦半径的取值范围．6．（1）几何概型尽可能画出图形，找出相应的测度；（2）古典概型用罗列法列出所有基本事件；（3）理科生不提倡用排列组合法；（4）注意是一次性取出还是多次取出 .7．不等式问题：（1）基本不等式重点突破二元及多元问题，利用基本不等式求最值问题注意等号成立的条件，特别是多次运用不等式时；（2）二元问题可以消元化为一元问题，转化为求函数的最值．8．（1）等差数列与等比数列填空题要注意基本量法与运用等差、等比数列的性质两类方法的选择；（2）叠加法，叠乘法要注意项数；（3） 构造法主要是通过转化将数列转化为等差数列或者等比数列处理;（4）等比数列要注意公比为1±的特殊情况．（5）利用基本不等式或函数最值得方法求数列中的最值问题要注意取等号的条件，注意n 为正整数．9． 函数填空题的常考点有：（1）抽象函数问题．主要考查函数周期性奇偶性的综合应用，常常可以结合具体函数方便理解；（2）定义域．要注意对数的真数大于0，开偶次方被开方数为非负数，分式的分母不为0；（3）函数的图象和性质，函数的零点，分段函数等问题.常用方法有直接运算，数形结合，特殊化等方法.（4）导数相关问题．切线问题要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，单调区间要注意函数的定义域．10． 今年要特别关注涉及数学文化数学史和新冠疫情相关的应用题．这类问题要认真阅读，弄清其数学本质，提取出相关数学信息，准确求解．11． 直线与圆解题时要注意：（1）注意挖掘图形的几何特征，注意尽可能画出图象，利用数形结合；（2） 对于动态图形要借助临界位置帮助解题；（3）直线问题斜率不存在的情况（4）关注隐圆问题．12． 平面向量注意事项：（1）涉及特殊图形问题优先考虑坐标化(本题建系后设点C 的坐标时要注意其位置的范围，由此确定点C 横坐标的取值范围)；（2）关注用平面向量的几何意义优化解题；（3）用基底法要目标明确；（4）动态图形特殊化；（5）极化恒等式常常可以简化运算． 法一：设圆心为O ，连结OC OD ，.则=()DC AB OC OD AB OC AB OD AB ⋅-=⋅-⋅2=cos +1(0)3OC AB πθθ∈，， 所以，DC AB ⋅的取值范围为(03)，. 法二：以AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则12(10)B(10)((cos sin )23A D C πθθθ--∈，，，，，，(0，).所以，1=(20)(cos +sin +1(03)2DC AB θθθ⋅∈，，，. 法三：利用数量积的几何意义，可得.13． 分段函数、周期函数、函数零点问题注意事项：常用方法有数形结合、参数分离，特别要关注数形结合法的应用，注意临界点在分类讨论中的关键作用；建议重点关注与一次函数、二次函数、特别是三次函数有关的分段函数问题．解：令()24=f x x u -+，则由()0f u =可得，0u =或2u =．所以，原函数零点个数即方程 ()=24f x x -与()=22f x x -不同解的个数，即函数()y f x =的图象与直线24,22y x y x =-=-公共点的个数．由图可知，公共点个数共5个，所以，函数的零点个数有5个．14． 解三角形综合题要注意：（1）利用正弦定理及余弦定理进行边角转换；（2）三角形的内角和等于π；（3）记住一些三角形中的恒等式常常能帮助解题；（4）数形结合常常可以简化运算． 法一：设ABC △中角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．由已知GA GC ⊥得，0GA GC ⋅=，所以，()()0BA BG BC BG --=， 又1()3BG BA BC =+， 代入，可得2225b a c =+.又2222cos a c b ac B +=+，所以，2242cos 2sin sin sin cos b ac B B A C B ==，即（1）． 又111tan tan A C+=，即cos cos sin cos cos sin sin =1sin sin sin sinC sin sin A C A C A C B A C A A C ++==， 所以，sin sin sin B A C =（2）.由（1）（2）得1tan 2B =． 法二：连结BG 并延长，交AC 于D 点，过B 作BH AC ⊥于H 点．若点H 在线段AC 上，则tan tan BH BH A C AH CH==，． 所以 111tan tan AH CH AC A C BH BH++===， 从而AC BH =．若点H 在线段AC 的延长线上，同理可得AC BH =.设=2AC ，则23BH BD ==，，所以DH所以，点H 在线段AC 的延长线上，所以tan tan 1tan tan()1tan tan 2ABH CBH B ABH CBH ABH CBH ∠-∠=∠-∠===+∠∠.15． 作答立体几何试题时，每个结论的得出要有理有据，不得含糊；每个逻辑段的推理条件要完备，缺一不可；前后逻辑段的联系要紧密，无关信息不得混入，过程书写要清晰．考生在解题时要 注意：（1）应用直线和平面平行（垂直）的判定定理、性质定理时要把条件写全（如EF BEF ⊂平面这些条件也不要省了），每个逻辑段的条件结论要准确；（2）涉及平面几何中的有关结论要进行必要的证明；（3）对给出线段长度的题目要结合勾股定理等知识判断线线之间的位置关系；（4）对直棱柱、正棱柱、长方体、正方体中有关结论不要乱用；（5）不要乱用“准定理”；（6）认真书写防止笔误（特别是顶点字母）．16． 高考三角题的区分度往往是阅卷时对规范性的要求程度决定的，在求解三角解答题时一定要规范．作答时过程要完整，原始公式、变形过程、数据代入、结果呈现，要环环相扣；推理过程要严谨规范，符号取舍时要说理清晰，不能凭感觉简单随意；确定一个角的值时，要结合角的范围准确定论．（1）运用诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等公式时，必须分三步①呈现公式，②代入数据，③得出结果；（2）确定角的值及应用平方关系时必须交代角的范围；（3）在精准确定角的范围时可利用三角函数的图像及性质；（4）三角形中注意两边之和大于第三边，三角形的内角和等于0180，三角形的每个内角都在0π（，）之间． 17．应用题解题注意事项：（1）解题前至少把题目读两遍；（2）读题后把题目中的信息进行梳理，必要时把数据列表，平面图形类应用题建模时是设角参、数参还是点参均需要思考不同建模方案背后的答题路径，比较以后再操作．特别注意如果题中已设变量情况下不要轻易另设其他变量．考试最忌讳毫无规划，盲目求解，否则费时费力，得不偿失；（3）函数应用题要交代定义域；（4） 建模过程要分步求解，不要一次性给出最后结果；（5）实际问题要注意单位统一；（6）解出结果后要检验是不是符合条件（如本题中半圆是不是在矩形内）；（7）最后要作答．方法三：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (k <0，b >0)，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ，则AM =b m ，AN =b k -m ， ()22b b O k -，，在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r = 因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12b ()b k⋅-= 400，所以b 2=－800k ， 所以喷泉区域面积S 喷泉=()2π22MN =()()222π1π111(800)1100π()200π88()b k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥-⎣⎦==≥， 当且仅当1k =-时，取等号．此时b =202，r =20，O ．所以半圆方程为22((400(0)x y x y -+-=+-．因为AB =100 m ，AD =75 m ，所以直线BC ，CD 方程分别为x ＝100，y ＝75，所以点O 到CD 的距离d 1=75－102＞20=r ，点O 到BC 的距离d 2=100－102＞20=r ，所以AM =202＜75=AD ，AN =202＜100=AB ，所以满足以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉．所以S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2．（2）由（1）知，AM =b m ，AN =b k-m ，()22b b O k -，，若MN =100 m ，则22210000b b k +=，所以k =． 点O 到CD 的距离1752b d =-， 点O 到BC 的距离21002b d k=+． 因为以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉，所以1d r ≥，2d r ≥，即75502b -≥，100502b k +≥，所以50b ≤，0k ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭． 注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050b <≤．所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=12=，所以当50b k ==，时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2． （另解）假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=250001k k-+，记25000()(0)1k f k k k -=<+，则2225000(1)()0(1)k f k k -'=<+，所以()250001k f k k -=+在0⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是单调减函数，所以当k =时，S 假山取得最大值1250 3 m 2． 答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2．18．解析几何解答题注意事项：（1）审题时要注意长轴长、长半轴长等的区别，焦距长与c 的关系；（2）直线和圆、直线和椭圆问题注意图形几何特征的挖掘及几何性质的使用；（3）注重回归圆锥曲线的定义，利用定义或者创造条件使用定义，巧妙解题，椭圆问题注意一些常规结论（使用时要推导，本题中B 为OC 的中点一定要证明）；（4）解析几何本质上是几何问题，只不过是运用坐标法或者方程转化为代数问题，因此要充分利用几何性质，优化解题路径，减少运算量，如焦点弦问题注意定义的应用；（5）注意答题时间的把控（不要轻易放弃、也不要一条路走到黑）．（6）对于直线与二次曲线的问题要注意点差法与常规方法的选择，设点与设斜率的选择．是设点还是设直线？这需要根据具体试题而定（本题设点更方便）．在设点的前提下，答题路径是怎样的？其中运算最为复杂的节点在哪里？这种运算是不是你熟悉的？同样设直线又怎样？在对不同方案进行简单比较、规划以后再动手操作，必然会事半功倍．（7）权衡所设变量，合理选择方法，从而优化解题思路，优化运算过程，避免死算蛮算，从整体角度观察，优化运算过程．例如本题如果设直线AB 的方程就是用2x my =+这种形式，后续在解题中消去x 解题方便．因此我们在解解析几何题时要特别注重优化解题思路，提高运算求解能力．19、20．近几年19、20难度有所下降，特别是第二问．基础弱的学生立足第一问，关注第二问，不好高骛远；中等学生量力而行，力求第二问有所突破；优秀学生在确保前面题目正确的基础上要体现解题的意志力．21． 附加题三选二注意事项：（1）我市考生明确选择A 、B ，如无特殊情况不选择其他题目（如A 、B 确实有困难可尝试选择其它题目）；（2）A 、B 在解题时不要急于求成，要确保将这20分收入囊中．22． 江苏高考近几年常常考空间向量和概率，适当关注数学归纳法及抛物线．空间向量问题解题时一定要注意解题的规范性．（1）建系前一定要先证明作为坐标轴的三条直线两两垂直；（2）1 求出各点的坐标后一定要检查；（3）要理清线线角、线面角、面面角与相应的向量所成角之间的关系，防止出现符号错误、正余弦关系混乱错误；（4）如果引入字母表示相关角一点要交代清楚；（5）最后要根据题目要求下明确的结论．（方法二）连结BD ，交AC 于点O ．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，所以底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1D D ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ，所以1D D AC ⊥，1D D BD ⊥．过点O 作1DD 的平行线l ，则l AC ⊥，l BD ⊥．分别以直线CA DB l ，，为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则100)(00)(010)(011)(012)A C B M D --，，，，，，，，，，，， 所以1(311)(022)AM BD =--=-，，，，，．设异面直线1DB 与1A M 所成角为θ， 从而1112cos cos 5AM BDAM BD AM BD θ⋅=<⋅>===， 所以异面直线1DB 与1AM ． （2）由（1）得，(0)AC =-，， (11)AM =-，． 设面AMC 的一个法向量1111()x y z =，，n ，则11AC AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n 即1100AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩，=，n n 所以111100y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，， 所以10x =，取11y =，则11z =，即平面AMC 的一个法向量为1(011)=，，n ．设(2)N a b ，，，则1b =-，所以(12)CN a =+-，． 设平面ACN 的法向量为2222()x y z =，，n ，则22AC CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n 即2200AC CN ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩，=，n n所以22220((1)0.a x y z ⎧-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 所以20x =，取21y =，则21z =+， 即平面ACN的一个法向量为2(011)=+，，n ，则121212cos cos 4|||⋅π=<⋅>===⋅n n n n |n n ，解得a =，即(2)N ，， 所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 23． 一般考生重点完成第一问，不要在第二问中耗费太多时间，基础好的同学在确保前三题的正确率的基础上争取有所突破．。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，则（）A.BA ⊆ B.AB ⊆ C.ϕ=B A D.B ∈02.已知命题11,>+∈∀x R x p ：；命题x x x q =>∃3,0：，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.函数()()x x ee xf xx2sin -+=-在区间[]2,2-的大致图象为（）4.设α是空间中的一个平面，n m l ,,是三条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若n l n m ⊥⊥⊂，，αα，则m l ∥B.若m l ∥，n m ∥，α⊥l ，则α⊥nC.若m l ∥，α⊥m ，α⊥n ，则n l ⊥D.若n l m l n m ⊥⊥⊂⊂，，，αα，则α⊥l 5.在正三棱台111C B A ABC -中，2411==B A AB ，，A A 1与平面ABC 所成角为4π，则该三棱台的体积为（）A.352 B.328 C.314 D.376.设π2=a ，π2log =b ，π=c ，则（）A.ab c << B.ac b >> C.bc a >> D.cb a >>7.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+<<-+=3,31,1log 2x x ax x x x f ，在()∞+-，1上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[]93，- B.[)∞+-，3 C.[]9,0 D.(]9，∞-8.设函数()()x b ax x x f ln 2++=，若()0≥x f ，则a 的最小值为（）A.2- B.1- C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中最小值为4的是（）A.xx y ln 4ln += B.xxy -+=222C.xx y sin 1sin 4+= D.1522++=x x y 10.定义在R 上的偶函数()x f ，满足()()()12f x f x f =-+，则（）A.()01=f B.()()011=++-x f x f C.()()x f x f 2121-=+ D.()10201=∑=i i f 11.在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为B A AC 1,的中点，则（）A.∥MN 平面11A ADD B.1AC MN ⊥C.直线MN 与平面C C AA 11所成角为4πD.平面1MND 经过棱11B A 的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“0>xy ”是“y x y x +=+”的.（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为.14.已知ba323+=，则b a -2的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，F E D ,,分别为B B BC AB 1,,的中点.（1）证明：∥11C A 平面DE B 1；（2）若1=AB ，AC AB ⊥，F A D B 11⊥，求点E 到平面11FC A 的距离.16.（本小题满分15分）已知函数()xxx f +-=11log 2.（1）判断并证明()x f 的奇偶性；（2）若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈31,31x ，[]2,2-∈t ，不等式()62-+≥at t x f 恒成立，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为菱形，⊥PB 平面ABCD .（1）证明：平面⊥P AC 平面PBD ；（2）若PC P A ⊥，二面角C BP A --的大小为120°，求PC 与BD 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）设函数()cx bx ae x f x++=2.（1）若1=a ，1-==c b ，求证：()x f 有零点；（2）若0=a ，1-=b ，是否存在正整数n m ,，使得不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，若存在，求n m ,；若不存在，说明理由.（3）若0≠b ，非空集合(){}()(){}00=∈==∈x f f R x x f R x ，求c a +的取值范围.19.（本小题满分17分）已知有限集{}()N n n a a a A n ∈≥=,2,,,21 ，若n n a a a a a a 2121=+++，则称A 为“完全集”.（1）判断结合{}222,1221+---，，是否为“完全集”，并说明理由；（2）若集合{}b a ,为“完全集”，且b a ,均大于0，证明：b a ,中至少有一个大于2；（3）若A 为“完全集”，且*N A ⊆，求A .参考答案一、单选题1.D 解析：∵{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，∴B ∈0.2.B解析：命题p ：0=x 时，11=+x ，假命题；命题q ：0=x 或1或1-，真命题，则p ⌝和q 都是真命题.3.C解析：()x f 为奇函数，图象关于原点对称，排除AB，2π=x 时，0222>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππe e f ，排除D，故选C.4.B解析：αα⊥⊂n m ，，则n m ⊥，又n l ⊥，m 与l 可能相交，A 错.m l ∥，n m ∥，则n l ∥，α⊥l ，则α⊥n ，B 正确.5.C解析：延长111CC BB AA ，，交于S 点，1AA 与平面ABC 所成角为SAO ∠，∴SO AO =，而3344233232=⋅⋅==AD AO ，3321=OO ,34234421=⨯⨯⨯=∆ABC S ，3232221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，()3143323233431=⨯++⨯=V .6.C解析：22>=πa ，()2,1log 2∈=πb ，()2,1∈=πc ，a 最大.设()x x x f ln =，则()2ln 1xxx f -='，令()0='x f ，解得e x =，∴()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∵e <<2π，∴()()2f f <π，即22ln ln <ππ，即22ln 2ln <ππ，∴2ln ln <ππ∴ππ<2ln ln ，即ππ<2log ，即c b <，∴b c a >>.7.A解析：∵()x f 在()∞+，3上单调递增，∴()012≥-='x ax f 在()∞+，3上恒成立，∴9≤a ，∵()x f 在()∞+-，1上单调递增，∴()3313log 2a+≤+，∴3-≥a ，综上，a 的取值范围是[]93，-.8.B解析：∵()0≥x f 恒成立，则1是02=++b ax x 的根，即01=++b a ，∴ab --=1则()()()()x a x x x b ax x x f ln 11ln 2++-=++=,∵01≥++a x ，∴01≥+a ，即1-≥a ，∴a 的最小值为1-.二、选择题9.BCD解析：选项A，()1,0∈x 时，0ln 4ln <+=xx y ，A 错误；选项B，4222222=≥+=-xxy ，当且仅当x x -=222，即1=x 时“=”成立.B 正确；选项C，242sin 1sin 4=≥+=x x y ，当且仅当xx sin 1sin 4=，即21sin ±=x 时“=”成立，C 正确；选项D，4421411412222=≥+++=+++=x x x x y ，当且仅当14122+=+x x ，即32=x 时“=”成立.D 正确.10.AC解析：当1-=x 时，()()()111f f f =---，∴()()011==-f f ，A 正确；∴()()02=-+x f x f ，即()()x f x f -=+2，即()x f 关于1=x 对称，则()()x f x f +=-11，∴B 错，C 对；()()x f x f =+2，则()x f 的周期为2，无法判断()0f 的值，()10201=∑=i i f 的值无法判断，故D 错.11.ABD解析：∵M 分别为AC 的中点，∴M 也是BD 中点，又N 分别为B A 1的中点，∴MN 为D BA 1∆的中位线，则D A MN 1∥，又⊂D A 1平面11A ADD ,⊄MN 平面11A ADD ,∴∥MN 平面11A ADD ，故A 正确；如图建系，设正方体的边长为1，则()()11000,11，，，，C A ,()()0001011，，，，，D A∴()1111，，-=AC ,()1011--=，，D A ，∴011=⋅AC D A ,即11AC D A ⊥,∴1AC MN ⊥，B 正确；平面C C AA 11的垂线为BD ，而D A 1与BD 所成角为3π，∴直线MN 与平面C C AA 11所成角为6π，C 错误；()10021,2110,21,211，，，，，D N M ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=210,21，MN ，⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,11N D ,设平面1MND 的法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅02121021211c b a N D n c a MN n，不妨设1=a ，则1,3-=-=c b ，∴()1,3,1--=n，11B A 靠近1A 的三等分点⎪⎭⎫ ⎝⎛1311，，P ，则⎪⎭⎫⎝⎛=0,3111，P D ,∴01=⋅n P D ，∈P 平面1MND ，D 正确.三、填空题12.充分不必要解析：∵0>xy ，∴y x ，同号，∴y x y x +=+，∴是充分条件，由y x y x +=+，则0≥xy ，∴是不必要条件，∴“0>xy ”是“y x y x +=+”的充分不必要条件.13.π3解析：球的直径为2，半径为1，设圆柱底面圆半径为r ，∴1412=+r ，∴23=r ，∴ππ312=⋅=r S 侧.14.8log 3解析：方法一：()ba 32log 3+=,∴()()b b b a bb-+⋅=-+=-3ln 32ln 232log 223，令()()x x f x-+⋅=32ln 3ln 2，则()23233232321323ln 33ln 2+-=+--⋅=-+⋅⋅='xx xx x x x x f ，令()0='x f ，解得2log 3=x ，∴()x f 在()2log 3，∞-上单调递减，在()∞+，2log 3上单调递增，∴()()8log 2log 4ln 3ln 22log 333=-⋅=≥f x f .方法二：由bba322323⋅≥+=可得：b a3832⋅≥，可得832≥-ba ，∴8log 23≥-b a ，当且仅当2log 3=b ，4log 3=a 时“=”成立.∴b a -2的最小值为8log 3.四、解答题15.解：（1）证明：∵E D ,分别为BC AB ,的中点，∴AC DE ∥.又∵11C A AC ∥，∴DE C A ∥11，∵⊄11C A 平面DE B 1，⊂DE 平面DE B 1，∴∥11C A 平面DE B 1.（2）法一：设O D B F A =11 ，∵F A D B 11⊥，∴︒=∠+∠9021，又∵︒=∠+∠9032，∴31∠=∠，又∵︒=∠=∠90111BD B F B A ，∴BD B F B A 111~∆∆，设m BF F B ==1，∴2121mm =，∴21=m ，∵∥DE 平面11FC A ，∴点D 到平面11FC A 的距离即为点E 到平面11FC A 的距离，由AB AC ⊥，A A AC 1⊥，A A A AB =1 ，∴⊥AC 平面AB A 1，∴DO AC ⊥，即11C A DO ⊥，又∵F A DO 1⊥，∴⊥DO 平面11FC A ，且254111=+=DB ，5525211==OB ，∴1053=OD ，即点E 到平面11FC A 的距离为1053.法二：建立如图所示空间直角坐标系，设m BF =，∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0212,0,1,0,12,0,011，，，，D m B m F m A ，∴()m F A m D B -=⎪⎭⎫⎝⎛--=,0,12,0,2111，，∴0221211=+-=⋅m F A D B ，解得21=m .设n AC =，∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2,21,1,021011,0,011n E n C F A ，，，，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,,1210111n FC F A ，，，，设平面11FC A 的一个法向量()z y x n ,,=，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-021021z ny x z x ，∴()2,0,1=n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,2,211n E A ，∴点E 到平面11FC A的距离1053523===d .16.解：（1）由对数函数的定义可得011>+-xx，即()()011<+-x x ，∴11<<-x ，∴函数()x f 的定义域为()1,1-，关于原点对称，∵()()01log 11log 11log 222==+-+-+=+-xxx x x f x f ，∴()()x f x f -=-，∴()x f 为奇函数.（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++-=x x x x f 121log 121log 22，由复合函数的单调性可知，()x f 在⎦⎤⎢⎣⎡-31,31上单调递减，由题意知()()max 2min 6-+≥at t x f ，∴()1316max2-=⎪⎭⎫⎝⎛≤-+f at t.法一：由162-≤-+at t 在[]2,2-∈t 上恒成立，可得052≤-+at t 恒成立，令()52-+=at t t g ，只需()()⎩⎨⎧≤-+=≤--=-0524205242a g a g ，解得2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.法二：当0=t 时，16-≤-显然成立；当[)0,2-∈t 时，25t at -≤，即215max-=⎪⎭⎫⎝⎛-≥t t a ；当(]2,0∈t 时，25t at -≤，即215min =⎪⎭⎫⎝⎛-≤t t a ；∴2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.17.解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，又∵⊥PB 平面ABCD ，∴AC PB ⊥，又B PB BD = ，∴⊥AC 平面PBD ，又∵⊂AC 平面P AC ，∴平面⊥P AC 平面PBD .（2）∵⊥PB 平面ABCD ，∴AB PB ⊥，BC PB ⊥，∴ABC ∠即为二面角C BP A --的平面角，即︒=∠120ABC ，建立如图所示空间直角坐标系，设m PB BC AB ===，2，由222AC PC P A =+，∴124422=+++m m ，解得2=m ，∴()()()()0,31000002200，，，，，，，，，，D B C P ，∴()()0,31202，，，，=-=BD PC ，设PC 与BD 所成角为θ，∴66262cos =⨯==θ.∴PC 与BD 所成角的余弦值为66.18.解：（1）当1=a ，1-==c b 时，()x x e x f x --=2，∵()0222<-=--e f ，()ef 11=-，且()x f 在R 上连续，由零点存在定理知，()x f 在()12--，上存在零点.（2）当0=a ，1-=b 时，()cx x x f +-=2，不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，由图知m c cx x =-+-2的两根为n m ,，且442--≥c c n ，即02=++-c m cx x 的两根为n m ,，∴⎩⎨⎧+==+cm mn c n m ，∴mn n m =+2，即121=+n m ，∴2,1>>n m ，∴()()222=---n n m ，即()()221=--n m ，由n m <知⎩⎨⎧=-=-2211n m ，解得⎩⎨⎧==42n m ，此时6=c ，且满足442--≥c c n ，∴存在4,2==n m 符合题意.（3）由题意知()0=x f 的根均为()()0=x f f 的根，设0x 为()0=x f 的一个根，即()00=x f ，∴()()00=x f f ，∴()00=f ，∴0=a ，∴()()c bx x cx bx x f +=+=2，∴()()()()()()[]()()c bcx x b x f c x bf x f x cf x bfx f f ++=+=+=222，令()c bcx x b x g ++=22，当0=c 时，()0=x f 的两根b c x x -==21,0，而()00≠g ，022≠=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c c c c b c g ，∴必有()x g 中04222<-=∆c b c b ，∴40<<c ，综上40<≤c .∴[)4,0∈=+c c a ，即c a +的取值范围为[)4,0.19.解：（1）∵()()()2222212212221221=+⨯-⨯-⨯-=++-+--，∴{}222,1221+---，，为“完全集”.（2）∵集合{}b a ,为“完全集”，∴ab b a =+，0,>b a ，∴ab b a ab 2≥+=，∴4≥ab ，∵b a ≠，∴4>ab .假设2,0≤<b a ，则40≤<ab ，这与4>ab 矛盾，故b a ,中至少有一个大于2.（3）若2=n ，设{}b a A ,=，∵A 为完全集，∴ab b a =+，且*,N b a ∈，b a ≠，由()()111=---b b a ，∴()()111=--b a ，∴⎩⎨⎧=-=-1111b a ，解得2==b a ，这与b a ≠矛盾，舍去.若3=n ，设{}c b a A ,,=，∵A 为完全集，∴abc c b a =++，且*,N c b a ∈，，c b a ≠≠，不妨设c b a <<，∴c abc 3<，∴3<ab ，故2,1==b a ，∴c c 23=+，∴3=c ，∴{}3,2,1=A 符合.若4≥n ，设{}n a a a A ,,,21 =，不妨设n a a a <<< 21，∵A 为完全集，，∴n n n na a a a a a a <=+++ 2121，∴n a a a n <-121 ，①另一方面()()!1121121-=-⋅≥-n n a a a n ，下证：()n n >-!1，4≥n ，∵4≥n 时，()()()022421!12>≥+-=---≥--n n n n n n n ，∴()n n >-!1，这与①矛盾，舍去.综上，{}3,2,1=A .。
2020届江苏省七市 高三第二次调研考试(4月) 数学理(含附加)
2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三第二次调研考试（4月）数学理科(满分160分，考试时间120分钟)2020．4参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a －5，7}．若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值是________．2. 若复数z 满足zi＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．(第4题)3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．4. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．6. 在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是________．7. 在等差数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝a 2＋a 4，a 8＝－3，则a 20的值是________．(第8题)8. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1＋V 2V的值是________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T.若PT ＝PO ，则PC 的长是________．11. 若x ＞1，则2x ＋9x ＋1＋1x －1的最小值是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝e x 在点P(x 0，ex 0)处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(x 0，0)，△PAB 的面积为3，则x 0的值是________．13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2))，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则A 6A 7→·A 7A 8→的值是________．14. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧|log 2x －a|，0＜x ≤4，f （8－x ），4＜x ＜8.若存在实数m ，使得关于x 的方程f(x)＝m有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π4))，其中0＜α＜π2.(1) 求(b －a )·a 的值；(2) 若c ＝(1，1)，且(b ＋c )∥a ，求α的值．16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：(1) PQ∥平面ABC；(2) PQ⊥平面ABB1A1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝1，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当AN ＝127AM时，求直线l 的方程．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE ＝y1，AM＝y2(单位：百米)．(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的“F点”．(1) 设函数f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)．①当k＝1时，求函数f(x)的极值；②若函数f(x)存在“F点”，求k的值；(2) 已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)－g(x2)|≥1，求a的取值范围．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝18.设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝－1，a n＋b n ＝－12S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是等差数列；(3) 是否存在等差数列{c n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ？若存在，求出所有符合题意的等差数列{c n }；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0.若曲线C 1：x24＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C 的方程为ρ＝r(r ＞0)，直线l 的方程为ρcos(θ＋π4)＝ 2.设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝27，求r 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，求证：x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z1＋z 2≤ 2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业．(1) 求发生调剂现象的概率；(2) 设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．23.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1，x2，…，x n)为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量a＝(x1，x2，…，x n)，其中x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，…，n.记范数为奇数的n维向量a的个数为A n，这A n个向量的范数之和为B n.(1) 求A2和B2的值；(2) 当n为偶数时，求A n，B n(用n表示)．2020届高三模拟考试试卷(七市联考)数学参考答案及评分标准1. 92. 53. 104. 525. 236. π67. －158. 139. 2 10.13 11. 812. ln 613.42714. (－∞，1) 15. 解：(1) 因为向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π4))，所以(b －a )·a ＝a ·b －a 2(2分)＝cos αcos(α＋π4)＋sin αsin(α＋π4)－(cos 2α＋sin 2α)(4分)＝cos(－π4)－1＝22－1.(6分)(2) 因为c ＝(1，1)，所以b ＋c ＝(cos(α＋π4)＋1，sin(α＋π4)＋1)．因为(b ＋c )∥a ，所以[cos(α＋π4)＋1]sin α－[sin(α＋π4)＋1]cos α＝0.(9分)于是sin α－cos α＝sin(α＋π4)cos α－cos(α＋π4)sin α，从而2sin(α－π4)＝sin π4，即sin(α－π4)＝12.(12分)因为0＜α＜π2，所以－π4＜α－π4＜π4，于是α－π4＝π6，即α＝5π12.(14分)16. 证明：(1) 取AB 的中点D ，连结PD ，CD.在△ABB 1中，因为点P ，D 分别为AB 1，AB 中点， 所以PD ∥BB 1，且PD ＝12BB 1.在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1∥BB 1，CC 1＝BB 1.因为点Q 为棱CC 1的中点，所以CQ ∥BB 1，且CQ ＝12BB 1.(3分)于是PD ∥CQ ，PD ＝CQ.所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ ∥CD.(5分)因为CD ⊂平面ABC ，PQ ⊄平面ABC ，所以PQ ∥平面ABC.(7分) (2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC. 又CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD.因为CA ＝CB ，点D 为AB 中点，所以CD ⊥AB.(10分) 由(1)知CD ∥PQ ，所以BB 1⊥PQ ，AB ⊥PQ.(12分)因为AB ∩BB 1＝B ，AB ⊂平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以PQ ⊥平面ABB 1A 1.(14分)17. 解：(1) 记椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)．因为右顶点A(a ，0)在圆C 上，右准线x ＝a 2c与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相切，所以⎩⎨⎧（a －3）2＋02＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2c －3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.于是b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) (解法1)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.所以x N ·2＝16k 2－124k 2＋3，解得x N ＝8k 2－64k 2＋3.(6分)由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －2），（x －3）2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2－(4k 2＋6)x ＋4k 2＋8＝0， 所以x M ·2＝4k 2＋8k 2＋1，解得x M ＝2k 2＋4k 2＋1.(8分)因为AN ＝127AM ，所以2－x N ＝127(x M －2)，(10分)即124k 2＋3＝127·21＋k 2，解得k ＝±1.(12分)所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)(解法2)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)．由方程组⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3t 2＋4)y 2＋12ty ＝0，所以y N＝－12t3t 2＋4.(6分)由方程组⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，（x －3）2＋y 2＝1，消去x ，得(t 2＋1)y 2－2ty ＝0，所以y M ＝2t t 2＋1.(8分) 因为AN ＝127AM ，所以y N ＝－127y M .(10分)即－12t 3t 2＋4＝－127·2t t 2＋1，解得t ＝±1.(12分) 所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)18. 解：(1) 因为S △ADE ＝23S △ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD ＝x ，所以12AD ·AE ·sin π3＝23(12×32×sin π3)，所以AE ＝6x.(2分)由⎩⎨⎧0＜AD ＝x ≤3，0＜AE ＝x6≤3，得2≤x ≤3. (解法1)在△ADE 中，由余弦定理得DE 2＝AD 2＋AE 2－2AD ·AE ·cos π3＝x 2＋36x 2－6.所以，直道 DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝x 2＋36x2－6，x ∈[2，3]．(6分)在△ADM 和△AEM 中，由余弦定理得AD 2＝DM 2＋AM 2－2DM ·AM ·cos ∠AMD ①，AE 2＝EM 2＋AM 2－2EM ·AM ·cos(π－∠AMD) ②.(8分)因为点M 为DE 的中点，所以DM ＝EM ＝12DE.由①＋②，得AD 2＋AE 2＝DM 2＋EM 2＋2AM 2＝12DE 2＋2AM 2.所以x 2＋(6x )2＝12(x 2＋36x 2－6)＋2AM 2，所以AM 2＝x 24＋9x 2＋32.所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋32，x ∈[2，3]．(10分)(解法2)在△ADE 中，因为DE →＝AE →－AD →，所以DE →2＝AE →2－2AE →·AD →＋AD →2＝(6x )2－2·6x ·xcos π3＋x 2＝x 2＋36x2－6.所以，直道DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝x 2＋36x2－6，x ∈[2，3]．(6分)在△ADE 中，因为点M 为DE 的中点，所以AM →＝12(AD →＋AE →)．(8分)所以AM →2＝14(AD →2＋AE →2＋2AD →·AE →)＝14(x 2＋36x2＋6)．所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋32，x ∈[2，3]．(10分)(2) 由(1)得，两条直道的长度之和为DE ＋AM ＝y 1＋y 2＝x 2＋36x 2－6＋x 24＋9x 2＋32≥2x 2·36x2－6＋2x 24·9x 2＋32(12分)＝6＋322(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝36x 2，x 24＝9x 2，即x ＝6时取“＝”)．(14分)答：当AD ＝6百米时，两条直道的长度之和取得最小值(6＋322)百米．(16分)19. 解：(1) ① 当k ＝1时，f(x)＝x 2－2ln x(k ∈R )，所以f ′(x)＝2（x －1）（x ＋1）x (x ＞0)．令f ′(x)＝0，得x ＝1.(2分)列表如下：－＋所以函数f(x)② 设x 0是函数f(x)的一个“F 点”(x 0＞0)．因为f ′(x)＝2（kx 2－1）x(x ＞0)，所以x 0是函数f ′(x)的零点．所以k ＞0.由f ′(x 0)＝0，得kx 20＝1，x 0＝1k. 由f(x 0)＝x 0，得kx 20－2ln x 0＝x 0，即x 0＋2ln x 0－1＝0.(6分) 设φ(x)＝x ＋2ln x －1，则φ′(x)＝1＋2x＞0，所以函数φ(x)＝x ＋2ln x －1在(0，＋∞)上单调递增，注意到φ(1)＝0， 所以方程x 0＋2ln x 0－1＝0存在唯一实数根1，所以x 0＝1k＝1，得k ＝1. 根据①知，k ＝1时，x ＝1是函数f(x)的极小值点，所以1是函数f(x)的“F 点”． 综上，实数k 的值为1.(9分)(2) 因为g(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)， 所以g ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c(a ≠0)．因为函数g(x)存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程⎩⎨⎧3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 3＋bx 2＋cx ＝x 的两个相异实数根． 由ax 3＋bx 2＋cx ＝x 得x ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0.(11分)① 当x ＝0是函数g(x)一个“F 点”时，c ＝0且x ＝－2b3a ，所以a(－2b 3a )2＋b(－2b3a)－1＝0，即9a ＝－2b 2.又|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2b 3a －0≥1，所以4b 2≥9a 2，所以9a 2≤2(－9a)． 又a ≠0，所以－2≤a ＜0.(13分)② 当x ＝0不是函数g(x)一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程⎩⎨⎧3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0的两个相异实数根．又a ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b 3＝b ，c 3＝c －1，解得⎩⎨⎧b ＝0，c ＝32.所以ax 2＝－12，得x 1，2＝±－12a. 所以|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝2－12a≥1，得－2≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是[－2，0)．(16分) 20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 1＝1，a 4＝18，所以q 3＝18，解得q ＝12.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(12)n －1.(3分)(2) 证明：由(1)得，当n ≥2，n ∈N *时，(12)n －1＋b n ＝－12S n －1 ①，所以(12)n ＋b n ＋1＝－12S n ②，②－①，得b n ＋1－12b n ＝(12)n ，(5分)所以b n ＋1（12）n －b n （12）n －1＝1，即b n ＋1a n ＋1－b na n ＝1，n ≥2，n ∈N *.因为b 1＝－1，由①得b 2＝0，所以b 2a 2－b 1a 1＝0－(－1)＝1，所以b n ＋1a n ＋1－b na n＝1，n ∈N *.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是以－1为首项，1为公差为等差数列．(8分)(3) 解：由(2)得b n a n ＝n －2，所以b n ＝n －22n －1，S n ＝－2(a n ＋1＋b n ＋1)＝－2(12n ＋n －12n )＝－n2n －1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n ＝dn ＋c ，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ， 即对任意n ∈N *，都有－n 2n －1≤dn ＋c ≤12n －1 ③.(10分)首先证明满足③的d ＝0.若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.(ⅰ) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＞1≥12n －1＝a n ，这与c n ≤a n 矛盾．(ⅱ) 若d ＜0，则当n ＞－1＋cd，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＜－1.而S n ＋1－S n ＝－n ＋12n ＋n 2n －1＝n －12n ≥0，S 1＝S 2＜S 3＜…，所以S n ≥S 1＝－1.故c n ＝dn ＋c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾．所以d ＝0.(12分)其次证明：当x ≥7时，f(x)＝(x －1)ln 2－2ln x ＞0.因为f ′(x)＝ln 2－1x ＞ln 2－17＞0，所以f(x)在[7，＋∞)上单调递增，所以当x ≥7时，f(x)≥f(7)＝6ln 2－2ln 7＝ln 6449＞0.所以当n ≥7，n ∈N *时，2n －1＞n 2.(14分) 再次证明c ＝0.(ⅲ) 若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N *，S n ＝－n 2n －1＞－1n＞c ，这与③矛盾．(ⅳ) 若c ＞0时，同(ⅰ)可得矛盾． 所以c ＝0.当c n ＝0时，因为S n ＝1－n 2n －1≤0，a n ＝(12)n －1＞0，所以对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n .所以c n ＝0，n ∈N *.综上，存在唯一的等差数列{c n }，其通项公式为c n ＝0，n ∈N *满足题设．(16分)2020届高三模拟考试试卷(七市联考) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为AA－1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 002a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎩⎨⎧b ＝1，2a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01120.(4分) 设P(x ′，y ′)为曲线C 1上任一点，则x ′24＋y ′2＝1.又设P(x ′，y ′)在矩阵A 变换作用下得到点Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤01120⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ′x ′2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎨⎧y ′＝x ，x ′2＝y ，即⎩⎨⎧x ′＝2y ，y ′＝x ， 代入x ′24＋y ′2＝1，得y 2＋x 2＝1，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ， 于是曲线C ：ρ＝r(r ＞0)的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2， 表示以原点为圆心，半径为r 的圆．(3分)由直线l 的方程ρcos(θ＋π4)＝2，化简得ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(6分) 记圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝|2|2＝ 2.又r 2＝d 2＋(AB2)2，即r 2＝2＋7＝9，所以r ＝3.(10分)C. 证明：因为x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，所以11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2＝1－x 21＋x 2＋1－y 21＋y 2＋1－z 21＋z 2＝1.(5分)由柯西不等式得(x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2)(11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2)≥(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2)2， 所以(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2)2≤2.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2≤ 2.(10分)22. 解：(1) 记2家小店分别为A ，B ，A 店有i 人休假记为事件A i (i ＝0，1，2)，B 店有i 人休假记为事件B i (i ＝0，1，2)，发生调剂现象的概率为P ，则P(A 0)＝P(B 0)＝C 02(12)2＝14，P(A 1)＝P(B 1)＝C 12(12)2＝12， P(A 2)＝P(B 2)＝C 22(12)2＝14.所以P ＝P(A 0B 2)＋P(A 2B 0)＝14×14＋14×14＝18.答：发生调剂现象的概率为18.(4分)(2) 依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，则 P(X ＝0)＝P(A 2B 2)＝14×14＝116，P(X ＝1)＝P(A 1B 2)＋P(A 2B 1)＝14×12＋12×14＝14.P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)＝1－116－14＝1116.(8分)所以X 的分布列为所以E(X)＝2×1116＋1×14＋0×116＝138.(10分)23. 解：(1) 范数为奇数的二元有序实数对有(－1，0)，(0，－1)，(0，1)，(1，0)，它们的范数依次为1，1，1，1，故A 2＝4，B 2＝4.(3分)(2) 当n 为偶数时，在向量a ＝(x 1，x 2，x 3…，x n )的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，n －1进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或－1，共有C 1n ·2n －1个，每个a 的范数为n －1；a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或－1，共有C 3n ·2n －3个，每个a 的范数为n －3；…a 的n 个坐标中含n －1个0，其余坐标为1或－1，共有C n －1n ·2个，每个a 的范数为1；所以A n ＝C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n·2， B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2.(6分) 因为(2＋1)n ＝C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2＋…＋C n n ①，(2－1)n ＝C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2－…＋(－1)n C n n ②，①－②2得C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＝3n －12， 所以A n ＝3n －12.(8分)(解法1)因为(n －k)C k n ＝(n －k)·n ！k ！（n －k ）！＝n ·（n －1）！k ！（n －1－k ）！＝nC k n －1， 所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2 ＝n(C 1n －1·2n －1＋C 3n －1·2n －3＋…＋C n －1n －1·2)＝2n(C 1n －1·2n －2＋C 3n －1·2n －4＋…＋C n －1n －1)＝2n ·(3n －1－12)＝n ·(3n －1－1)．(10分)(解法2)①＋②2得C 0n ·2n ＋C 2n·2n －2＋ (3)＋12. 因为kC kn＝k ·n ！k ！（n －k ）！＝n ·（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1， 所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2 ＝n(C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2)－[C 1n ·2n －1＋3·C 3n ·2n －3＋…＋(n －1)·C n －1n ·2] ＝nA n －n(C 0n －1·2n －1＋C 2n －1·2n －3＋…＋C n －2n －1·2)21 ＝n ·(3n －12－3n －1＋12)＝n ·(3n －1－1)．(10分)。
2020届高三2月联考(线上)数学(理)试题)
2.
已知
i
为虚数单位，
a、b
R
，复数
1 2
i i
i
a
bi
,则
A. 1 2 i
B. 1 2 i
C. 2 1 i
D. 2 1 i
55
55
55
55
3. 已知 A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若 BA BC BA BC ，则 AC2 =
(II)若 M , N 分别为曲线 C1 和曲线 C2 上的动点，求 MN 的最大值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4 —5：不等式选讲
已知函数 f x 2x 7 2x 5 (I )解不等式 f x 6 ；
(II)设函数
f
x 的最小值为 m
，已知正实数 a,
若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积
相等.如图（1）,函数
f
x
sin x , x 2, 0
2
的图象与 x
1 x 12 , x 0, 2
轴围成一个封闭区域 A（阴影部分），将区域 A A（阴影部分）沿 Z 轴的正方向上移
6 个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其
数学（理科）试題（第 1 页，共 6 页）
7. 已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，现在 ABC 内随机取一点，此
点取自， GAB 、 GAC 、 GBC 的概率分别记为 P1、P2、P3 ，则
A.P1 P2 P3
南通市2020届高三阶段调研测试_2.5模试卷及其详细解析
第 1 页 共 16 页 Read x If x < 0 Then m ← 2x +1 Else m ←23x - End If Print m （第4题） 南通市2020届高三阶段性练习
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合{}2101M =--，，，，{}
20N x x x =+≤，则M N =I ▲ ．
【答案】{}10-，
2． 已知复数i 2i
a ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】12
- 3． 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，
则这5次得分的方差是 ▲ ．
【答案】85
4． 根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值
是 ▲ ． 【答案】32 5． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221y x a b
-=(00)a b >>，
，则该双曲线 的渐近线的方程是 ▲ ．
【答案】2y x =±
6． 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同
学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ▲ ．
【答案】12
7． 将函数()π()sin 23
f x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到函数()
g x 的图象．若()g x 为奇函数， 则ϕ的最小正值是 ▲ ． 【答案】π6
8． 已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2=a ，|2+|4=a b ，则||=b ▲ ．
【答案】4。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
江南十校2020高三第二次联考数学理科答案
绝密★启用前江南十校2020届高三第二次联考数学(理科)试题参考答案一㊁选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.答案:D 解析:解得U =y y {}>0,A =x 1<x {}<2,故C U A =0,()1∪2,+[)¥㊂2.答案:B解析:解得cos α=-513,故f cos ()α=1,则f f cos ()[]α=f ()1=2㊂3.答案:A解析:如图所示,点P 在平面区域内任一点P ,点Q 在半圆x 2+y 2=10≤y ≤()1上,过点O 作直线x +y -5=0的垂线,垂足为P ,交半圆于Q ,此时PQ 取最小值,求得PQmin=522-1㊂4.答案:B解析:()f t =log b t 为增函数,0<sin α<cos α<1得log b sin α<log b cos α<0;()g t =cos ()αt 为减函数,则x >y ㊂当a <0时,()h t =t a 在第一象限单调递减,a =logb sin α且cos α>sin α,则x <z ㊂故z >x >y ㊂5.答案:D解析:由题得sin θ=x 2+12x ,由x 2+12x ≥1或x 2+12x≤-1且-1≤sin θ≤1得:sin θ=±1,故x =±1㊂6.答案:D解析:y =sin 2x +cos 2x =2sin 2x +πæèçöø÷4=2sin2x +πæèçöø÷8,y =-2cos 2x =2sin 2x -πæèçöø÷2=2sin 2x -πæèçöø÷4,故向右移3π8个单位㊂ 7.答案:C解析:a 4=a 2+2d ,a 8=a 2+6d ,因为a 42=a 2㊃a 8且d ≠0,求得a 2=2d ,所以公比q =a 4a 2=2;或解:q =a 8a 4=a 4a 2=a 8-a 4a 4-a 2=4d 2d=2㊂8.答案:C解析:m ⊥αα‖}β⇒m ⊥β n ⊥üþýïïïïβ⇒m ‖n.9.答案:A解析:()f ′x =e x +e -x +1>0x ()>0,故()f x 在0,+()¥上单调递增㊂b ∈0,(]1时,()[]f f b =b 成立,即()f b =b 有解, 则e -b +e b +b -a =b ,故a =e -b +e b ,b ∈0,(]1㊂令e b =t ,则t ∈1,(]e ,e b +e -b =t +1t ∈2,e +1æèçùûúúe ,即a ∈2,e +1æèçùûúúe ㊂10.答案:C解析:构造长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,使MN 与BD 1重合㊂设长方体长㊁宽㊁高分别为x ,y ,z ,则x 2+y 2+z 2=1㊂由题知x 2+z 2=a ,y 2+z 2=b ,x 2+y 2=c ,a 2+b 2+c 2=2㊂a +b +()c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac≤3a 2+b 2+c ()2=6,故a +b +c ≤6㊂11.答案:A解析:连PI 延长x 轴于D ,连IF 1㊁IF 2㊂在△PF 1D 中有ID IP =DF 1PF 1,在△PF 2D 中有IDIP =DF 2PF 2,故ID IP =DF 1PF 1=DF 2PF 2=DF 1+DF 2PF 1+PF 2=2c 2a =e =12,故S △IF 1F 2S △PF 1F 2=ID PD =13㊂12.答案:B解析:f (x +2)=f (2-x ),推得f (x +4)=f (-x )=f (x ),故f (x )最小正周期为4.f (x i )-f (x i +1)≤4-1=3,x n 取得最小值,则需尽可能多的x i 取到最高(低)点,由2993=9923以及2x =2得:x n (min)=99×2+1=199㊂二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案:25解析:sin(π+α)=2cos(π-α)可得tan α=2sin α(2cos 2α2-1)=sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=2514.答案:2解析:如图,作小圆的直径AE ,连DE ,则DE =4,AE =DE 2-DA 2=23=2r =BC AB 2+AC 2=BC 2=12≥2AB ㊃AC ,则AB ㊃AC ≤6,V =13㊃12㊃AB ㊃AC ㊃AD =16×2AB ㊃AC =13×AB ㊃AC ≤215.答案:{x |x >-12}解析:令=g (x )=xf (x ),由x 1f (x 1)-x 2f (x 2)x 1-x 2<0,得g (x )在(-∞,0)为减函数,且g (x )为偶函数,故g (x )在(0,+∞)上为增函数,g (x )<g (x +1)即g (x )<g (x +1)故x <x +1,解得x >-12㊂16.答案:33解析:取F 1D 的中点Q ,连EQ ㊁PQ ㊂PF →1㊃→PD =14(PF →1+→PD )2(PF →1-→PD )[]2=14(4→PQ 2-DF →12)=→PQ 2-14DF →12,同理EF →1㊃→ED =→EQ 2-14DF →12,PF →1㊃→PD ≥EF →1㊃→ED 恒成立等价于→PQ ≥→EQ ,故EQ ⊥BF 1,得到DF 1=DB ,设DF 2=x ,则BF 2=2x ,DF 1=2a -x ,由2a -x =3x ,得x =a 2,BF 1=BF 2=a ,DF 1=32a ,在△F 1BF 2中,cos∠F 1BF 2=2a 2-4c 22a 2=1-2e 2,在△DF 1B 中,又cos∠F 1BD =a 2+(32a )2-32a )22a ㊃32a=13,所以1-2e 2=13,解得e =33.三㊁解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(1)()g x =2sin 2x +πæèçöø÷3+2sin 2x =23sin 2x +πæèçöø÷6, 3分当-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π,k ∈Ζ时函数单调递增,即()g x 的单调递增区间为-π3+k π,π6+k éëêêùûúúπ,k ∈Ζ. 5分(2)由f (π6-x )=f (π6+x )得f (x )图像关于x =π6对称7分故π3+φ=k π+π2. φ=k π+π6,k ∈Ζ.又-π2<φ<π2得φ=π6. 10分18.(1)由题意可设→DB =a ,则→AD =3a .在△ACD 中有:AC 2=AD 2+CD 2-2AD ㊃CD cos∠ADC ①在△BCD 中有:BC 2=DB 2+CD 2-2DB ㊃CD cos∠BDC ②①+3㊃②可得CD 2=13a 2,在△ACD 中有:AD 2=AC 2+CD 2-2AC ㊃CD cos∠ACD ,解得cos∠ACD =513266分或解:由题意可设∠ACD =θ,在△ACD 中:AD sin θ=CDsin 60° ①在△BCD 中:DB sin(60°-θ)=CDsin 60°②由①㊁②可得3sin(60°-θ)=sin θ,解得tan θ=335,故cos θ=513266分(2)→AM =→m AC +12→AB =→m AC +23→AD ,且C ㊁M ㊁D 三点共线,所以m =137分S △ABC =12→AB ㊃→AC ㊃32=23,故→AB ㊃→AC =8 8分→AM 2=13→AC +12→æèçöø÷AB 2=19→AC 2+14→AB 2+13→AC ㊃→AB =43+19→AC 2+16→AC 2≥4 11分当且仅当→AC =23时;所以→AM min =2 12分19.(1)由na n +1=n ()+2S n ,n ∈N *可得n S n +1-S ()n =n ()+2S n ,即S n +1n +1=2S n n ,n ∈N *,所以S n n =S 11㊃2n -1=2n ,故S n =n ㊃2n2分T n =1×21+2×22+3×23+ +n ㊃2n ①2T n =1×22+2×23+3×24+ +n ㊃2n +1 ②①-②得:-T n =1×21+22+23+ +2n -n ㊃2n +1∴T n =n ()-1㊃2n +1+26分(2)b n =S n n ()+12n =n ㊃2n n ()+1㊃2n =n n +17分证法一:∵2n -12n =2n ()-122()n 2<2n ()-122()n 2-1=2n -12n +110分∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n<13×35× 2n -12n +1=12n +112分证法二(参照给分):∵nn +1=n n +1㊃nn +1<n n +1㊃n +1n +2=n n +2,∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n <13㊃35 2n -12n +1=12n +1.证法三(参照给分):数学归纳法略.20.(1)取AD 中点E ,则由已知得BE ⊥AD PE ⊥}AD⇒AD ⊥平面PBE ⇒AD ⊥PB 4分(2)AD ⊥平面PBE AD ⊂平面}ABCD⇒平面ABCD ⊥平面PBE ,又平面PBE ∩平面ABCD =BE.过P 作PO ⊥BE 交BE 的延长线于O ,则PO ⊥面ABCD ,由题可得到∠PEO =60° 6分建立如图所示直角坐标系,设PB 的中点为G ,则P (0,0,32),B (0,332,0),PB 中点G (0,334,34)连接AG ,A (1,32,0),C (-2,332,0),→GA =(1,-34,-34),→PB =(0,332,-32),→BC =(-2,0,0),于是→GA ㊃→PB =0,→BC ㊃→PB =010分→GA 与→BC 的夹角θ为所求二面角的平面角,则cos θ=→GA ㊃→BC →GA →BC =-277 12分21.(1)取左焦点F 1(-1,0),△PQF 2的周长为:PF 2+QF 2+PQ =2a -PF 1+2a -PF 2+PQ=4a -(PF 1+PF 2-PQ )≤4a (三点P ㊁Q ㊁F 1共线时取等号),由4a =8,a =2,椭圆E 的方程:x 24+y 23=15分(2)可设直线l :x =my +1x =my +1x 24+y 23ìîíïïï=1得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4 7分S △MF 1N =12F 1F 2y 1-y 2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12m 2+13m 2+49分令t =m 2+1(t ≥1),y =3t +1t在[1,+¥)单调递增,S =123t +1t≤3,S △F 1MN最大值为3,此时m =0,所以直线的方程为x =1. 12分22.(1)e x -x -a ≥0恒成立,a ≤e x -x 恒成立,令h (x )=e x -x ,h′(x )=e x -1,x >0,h′(x )>0,h(x )单调递增,x <0,h′(x )<0,h (x )单调递减,h (x )min =h (0)=1,故a ≤1 4分(2)g (x )=12sin 2x -12x 2+e x ,g′(x )=cos 2x -x +e x ≥1+cos 2x ≥0,g (x )单调递增,且g (0)=1 6分令Q (x )=g (x )+g (-x ),则Q (x )=12sin 2x -12x 2+e x -12sin 2x -12x 2+e -x =e x +e -x -x 2 8分令Q′(x )=e x -e -x -2x =h (x ),h′(x )=e x +e -x -2≥0.h (x )单调递增,h (0)=0,故当x >0时,Q′(x )>0,所以Q (x )单调递增,且Q (0)=2 10分由g (0)=1及g (x )为单调递增函数,g (x 1)+g (x 2)=2,则x 1㊁x 2异号,不妨设x 2>0,则Q (x 2)>Q (0)=2,即g (x 2)+g (-x 2)>2,g (-x 2)>2-g (x 2)=g (x 1),g (x )为单调递增函数,故-x 2>x 1,x 2+x 1<012分。
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期10月诊断调研测试数学试题(解析版)
D.若复数z满足 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为
【答案】D
【解析】
【分析】取 ，计算模，可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算，可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限，判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积，判断D.
【详解】对于A，取 ，则 ，故A错误；
【答案】
【解析】
【分析】设 中点为 ，则利用向量的加法得到 ，而 ， ，以此求出 ．然后利用余弦定理和不等式确定C最大时b值，利用勾股定理确定直角三角形后得出面积．
【详解】设 中点为 ，则
， ，即 ，
由 知角 为锐角，故 ，
当且仅当 ，即 时 最小，又 在 递减，故 最大.此时，
恰有 ，即 为直角三角形， .
【详解】 为正三棱椎， 为 的中心，
∴ 平面 ，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，
∴ ，
故 ．
故选：D.
8.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到 ，根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围，进一步求出答案.
【详解】设 ，∴ ，
因为直线 过点 ，且斜率不为零，
所以设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，
易得 ，所以 ．
因为 ， ，且 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以D正确．
故选：BCD．
12.已知某四面体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是 注： ， ， ，则 ，当且仅当 时，等号成立 （）
A.若 且该四面体的侧面存在正三角形，则
所以 ，即 .
故选：ABD
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（第4题）江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ▲ ． 2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ．5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．成绩/分（第3题）7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ．9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．14．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()312=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；AB CF E（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（第17题）l 1l 2 AB C（第18题）（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩阵 分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．ABDOC（第21—A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ▲ ．【答案】{}13，2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】433． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图（第22题）（第4题）所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．【答案】304． 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 ▲ ． 【答案】1255． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】136． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ． 【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】979． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ ． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abca b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．/分（第3题）【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．【答案】1014．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ， ()312=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()3122=-，c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a22 a ⋅b b 21，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分（2）因为5π6α=，所以()3122=-，a ．依题意，()31sin cos 2ββ+=--+，b c ． …… 8分因为()//+a b c ，所以()()3311cos sin 022ββ--+--=．化简得，311sin cos 22ββ-=，所以()π1sin 32β-=． …… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<． 所以ππ36β-=，即π2β=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1．因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1． …… 2分又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ． …… 5分 又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． …… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ∠ACF ，AB AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BECF ． …… 9分又由（1）知，BE CF ．所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC EF ． (11)分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，AA 1B 1C 1B CF E（第16题）所以BC // 平面AEF ． …… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b3．…… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+． …… 4分因为()22100032PB x y x =+-，所以2264229a a+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=． …… 6分 （2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+． …… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． …… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． （第17题）B 1B 2PQO xy所以012x x =-． …… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==． …… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-． …… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+． …… 12分 所以121221212212621PB B QB B k S xk S x k k ∆∆-+===+． …… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（第18题）（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分 解得r =…… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，， ……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x=所以当x =a=max V =3． …… 14分 方法二：202a x a ≤≤，从而a ……11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a==≤≤．所以当a =x=max V =3． …… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 …… 16分【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，210x =时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法一中的求解过程要体现()210p x V ≤≤，凡写成()210p x V =≤的最多得5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+． …… 2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列． …… 4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，…… 6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．…… 8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，， …… 10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥ …… 12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠．由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． …… 14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列． …… 16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==． …… 10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． …… 12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． …… 14分 这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． …… 16分 20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤． …… 3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >． …… 5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． …… 8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-．从而2121sin sin x x x x ->-． …… 10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-． ……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设()()ln 1h t t t =>，所以()210h t -'<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b -> 即2124x x b <． ……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．…… 5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ABDC（第21—A 题）EO…… 5分 则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()1． …… 2分 将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=． …… 5分所以()1P 到直线l 40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=． …… 8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+． …… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，= 2a cbc +++=2=（当且仅当a b c ==取“=”）． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===． …… 3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：（第22题）…… 8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． …… 10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i 0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=； …… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑()121021C nn k n k k +++==+∑()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑()()1121210021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除． …… 10分。