工程力学.弯曲应力

由 Mmax [F ]
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例5 图示矩形截面木梁，已知 b = 0.12m，h = 0.18m，l = 3m， 材料 [s ] = 7 MPa，[t ]= 0.9 MPa。试校核梁的强度。 解：(1) 作 FS、M 图 可知： FSmax = 5400 N Mmax = 4050N· m (2) 校核梁的强度 A l FS
一、弯曲正应力强度条件 对一般梁，M = M(x)，作 M 图，确定 Mmax，即危险截面， M max M max ymax 或： s max 则： s max Wz Iz 发生在横截面的上下边缘处，且为单向受拉(压)。
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弯曲正应力强度条件： s max
M max [s ] Wz
可用于s sp，对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。
3 例1：悬臂梁如图示，Me= 20kN· m，E = 200 GPa，梁用No18工字 钢制成。试求梁的最大弯曲正应力。
解：(1)工字钢 Iz 、Wz 由附录E表4(P359)查得： Iz = 1.66×10–5 m4 Wz = 1.85×10–4 m3 (2) 作M 图 (3) 计算s max
M D y2 5.66 103 95 103 = 59.8 MPa < [s ] c s c max s a 6 Iz 8.84 10 stmax= 33.6 MPa < [s t] M D y1 5.66 103 45 103 sb 28.3MPa ∴ 梁安全。 6 Iz 8.84 10 注意：若将梁倒置，则 M B y2 3.13 103 95 103 sc 33.6MPa stmax= 59.8 MPa > [s t] Iz 8.84 106 梁不安全。
∴ 钢板强度不够。
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FN F 133.3MPa [s ] A (b 2t ) ∴ 钢板安全。 可见应避免偏心载荷。
s
例9 图示悬臂梁，F = 10 kN，l = 2 m，e = l/10，a = 30º ，材料 [s ] =160 MPa。试选择工字钢型号。 解：(1) 外力分析 将 F 向B 截面形心简化： 轴向力：FC= Fx= F cosa 横向力：Fy = F sina 集中力偶矩：Me= e· cosa F 梁的计算简图： 可知：梁为拉伸和弯曲组合变形。
解：(1) 受力分析，内力计算
外力 F 对A-A截面为 偏心拉伸： F
b
A t
F
偏心距：e b b t t 0.5cm 2 2 2 F A-A截面上内力： 轴力： FN = F = 80 kN 弯矩： M = Fe = 400 N· m
A A
a FN
b M A
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(2) 应力分析 F My FN sM sN Iz A a 点： F M F Fe sa N A Wz (b t ) (b t ) 2 F 6 = 163.3 MPa b 点：
Fx
F
y A
17
m
B a
m l
j
Fy
x
b a
x
+
=
确定危险截面。 3. 应力分析
sN
sM
bs
由危险截面上sN、sM的分布规律确定危险点，计算其应力：
stmax= sN + sM ，scmax= sN – sM
4. 强度计算 应： stmax≤ [st ]
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scmax≤ [sc ]
选择截面时： A、Wz未确定，需估算。
Fx
y A
15
m
B x
m l m
j
Fy
x
F Fx：轴向力，使梁产生轴向拉伸
Fy：横向力，使梁产生对称弯曲
2. 内力分析 m-m截面内力： FN = Fx= F sinj
Fx x
FN A Fy Fx
㊉ m
FN
M
M = Fyx = Fxcosj
作 FN 图、M 图 危险截面： B截面 (固定端) FN = F sinj
Mymax M Iz I z ymax
令 Wz = Iz /ymax ，称 Wz 为横截面的抗弯截面系数。
∴
σmax M Wz
四、公式适用条件 1. 纯弯曲：平面假设条件下； 2. 弹性范围内，且 Ec = Et 3. 对称弯曲，y 轴为梁横截面的纵向对称轴。 ∴ 公式
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1 M My Mymax M 、 σ 、 σmax ρ EI z Iz Iz Wz
偏心距：e 将F 向轴线简化： F'、Me F' = F Me = F· e
可知：偏心拉伸(压缩)实际为弯曲与拉伸(压缩)的组合变形， 其计算方法与弯拉(压)组合变形的方法相同。
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例8 图示带缺口钢板，两端受拉力 F = 80 kN，板宽 b = 8 cm，20 板厚 = 1cm，缺口高 t = 1cm，材料 [s ] =140 MPa。 试校核钢板的强度。(不考虑应力集中的影响。)
σmax M 20 103 108.1MPa 4 Wz 1.85 10
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例 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求： (1) 1-1截面上1、2两点的正应力； A (2) 此截面上的最大正应力； (3) 全梁的最大正应力；
1
q=60kN/m
4
B 1 1m 2m
180
+
=
危险点：a、b
sN
sM
bs
s tmax s a s N s M
4. 强度校核
应： stmax≤ [st ]
s cmax s b s N s M
scmax≤ [sc ]
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弯拉(压)组合分析步骤： 1. 外力分析 将外力分解为轴向力和横 向力。 2. 内力分析 作 FN 图、M 图
Fx
F
y A
18
m
B a
m l
先只考虑 M 作用，由 M Wz max [s ]
选择截面(型钢等)。 再用 s tmax FN M max [s ] A Wz 不满足时需重新选取。
j
Fy
x
b a
x
+
=
sN
sM
bs
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二、偏心拉伸(压缩) e F F' Me F
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作用在杆件上的载荷与杆轴线平行而不重合时，杆的变形称为 偏心拉伸(压缩)。
1
第 十一章
§11–1 §11–2 §11–3 §11–5 §11–8
弯曲应力
引 言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 梁的强度条件 弯拉(压)组合强度计算
主要介绍：梁的弯曲正应力、梁的强度分析与设计、 弯拉(压)组合问题。
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三、最大弯曲正应力
2
上、下表层： y = y max，
∴ 最大弯曲正应力 σmax
ql 2
㊉ ㊀
9
q=3.6 kN/m B
s max
M max 6 4050 Wz 0.12 0.182 = 6.25 MPa < [s ]
x
ql 2
M
ql 2 8
㊉
x
∴ 梁安全。
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例6 图示减速箱齿轮轴，已知 F = 70 kN ，d1 = 110mm， d2= 100 mm，材料 [s ] =100 MPa。 F 试校核轴的强度。 350 350 解：(1) 作M 图，确定危险截面 C C截面：Mmax= 12.25 kN· ， m d1 d2 为危险截面 D 140 D截面：MD = 9.8 kN· m，但其直 A 12.25 kN· m 径较小，也可能为危险 M 9.8 截面。 ㊉ (2) 强度校核 M M C截面：s max max 3max = 93.9 MPa < [s ] Wz d1 32
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杆件受轴向力和横向力同时作用时产生拉(压)与弯曲的组合变形。
实例： 摇臂； 钩头螺栓；
M
轴向力产生轴向拉伸；
横向力产生对称弯曲； 摇臂为拉、弯曲组合变形。
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F 外力与轴线平行，但不重合， 称为偏心拉伸(压缩)。 向轴线平移后：F、M 螺栓为拉、弯曲组合变形。
弯拉(压)组合分析： 1. 外力分析 F Fx= F sinj Fy= F cosj
A
1
q=60kN/m
5
B 1
bh3 120 1803 Iz 1012 5.832 105 m 4 12 12
M1 y 60 60 s1 s 2 105 61.7MPa Iz 5.832
z
120
ql0 4 92.6MPa Wz 6.48 M max 67.5 s max 10 4 104.2MPa Wz 6.48
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对于圆截面的等强度梁，也可由条件
M ( x) Wz ( x) [s ]
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求得直径 d(x) 的规律变化。 但实际中考虑到轴的加工方便和结构装配上的要求，常采用阶 梯形状的梁(阶梯轴)来代替理论上的等强度梁。 F
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§11–8 弯拉(压)组合强度计算
一、弯、拉(压)组合变形
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(2) 内力分析
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作 FN 图： FN = 8.66 kN
作 M 图：Mmax = 8.27 kN· m (3) 初选梁工字钢型号 由强度条件：
M max [s ] Wz M max 8.27 103 得： Wz 51.7 106 m3 51.7cm3 [s ] 160 106