函数的对称性PPT讲稿

f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
特例：a=0
xa
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于
直线对称x=
a+b 2
类比探究
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
中心对称性 从”数”的角度看，
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2a-x o
x
a
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x x
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
F(-x)=-F(x) 函数图像关于(a,0)中心对称
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),
当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
奇函数
函数图像关于(0,0)中心对称 F(-x)=-F(x)
即：F(-x)+F(x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
则函数图像关于点
(
a+,bC 2
)对称
☺ 知识内容： 函数图像的对称性
y=F(x)图像关于x=a轴对称
对称关系式
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
从”数”的角度看，
y
f(1)= f(3)
f(0)= f(4)
f (x)
f(-2)= f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
12 3
x2
f(310)= f(4-310)
f(x)= f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
f(x)= f(4-x)
函数的对称性课件
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1) F(1) F(2) F(2)
F(x) F(x)
-x
x
-3 -2 -1
X
12 3 4 5 67 8
x0
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
() 在y=f(x)图像上任取一点P
P’ 2a-x0
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’
则有P’的坐标应满足y=f(x) x0
P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
也在f(x)图像上
（代数证明） 求证
y=f(x)图像关于直线x=a对称
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a+x)+F(a-x)=2b
y
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
点 ( a+,b0 )
则函数图像关于 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
x=a
a F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f图(x像)关于 轴对x称 a
证明： （必要性）
f (a x) f (a x) x D
-3 -2 xx-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
已知
f(x)=f(2a-x)
() 在y=f(x)图像上任取一点P
若点P关于直线x=a的对称点P’
P’
P(x0,f(x0))
P’(2a-x0,f(x0))
? 也在f(x)图像上
2a-x0
x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f (x)有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’ 也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0)
则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
xa
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称 P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
x
12
f (6 x) f (6 x)
F(1) F(1) F(2) F(2)
F(x) F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f (6 x) f (6 x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
12 3 4 5 67 8
x 6
x0
x6
思考？若函数 图f像(x关)于 轴对称x， a
Y
f(x)= f(-2-x) f(-1+x)= f(-1-x)
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
12 3 4 5 67 8
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)= f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)= f(-2-x)
-2-x
-3 -2 -1 x=-1
x
x
12 3 4 5 67 8
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称