6.第二章 类比法的基本概念

第二章类比法的基本概念

2.1 类比法的来由

客观世界是一个矛盾的统一体.一方面,大自然中,无穷无尽的实体和千变万化的现象,构成了一个色彩纷呈的“万花筒”; 另一方面,在一事物与他事物、一个类与另一个类、一个领域与另一个领域之间,却存在着一定的共性.这种共性不仅体现在事物的性质之间的相似性上,还体现在支

配事物变化的自然规律之间的相似性上.正是自然现象及其规律的这种相似性,为我们的类比思维提供了客观依据.

类比”一词是来源于希腊文“analogia”，原意之一为比例，后来引申为某种类型的相似.所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的思考和处理问题的方法，它常称为类比法，也称类比推理，它是一种从特殊到特殊的推理方法，是一种或然性推埋，其结论是否正确，还需要经过严格的证明.类比属于合情推理，在科学的发明，数学命题的发现，乃至数学习题的解答中发挥了重要的作用.拉普拉斯曾指出“甚至在数学里，发现问题的主要工具也是归纳和类比”.

2.2 类比法的定义

在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成份.如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法.

数学中许多定理，公式和法则都是用类比推理出的.解题中为寻找问题的线索，往往借助于类比的方法.在类比的应用过程中，不可避免地要与分析综合、一般化、特殊化等思维方法一起运用，在数学解题中的思维

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方法往往与解题者原有知识，经验中的类似形式或结构，类似方法或模式有千丝万缕的联系.

2.3 类比法的分类

根据不同的标准,类比法可以分为以下不同类型:

⑴根据类比中对象的不同,类比可分为个别性类比、特殊性类比和普遍性类比等类型.

ⅰ个别性类比是类比法的最原始、最简单类型,也是最常用、最常见的类型.它是以某个别对象为前提推出另一个别对象为结论的推理.个别

性类比推理是在个别对象之间进行的.

ⅱ特殊性类比是从已知的某类对象中部分对象具有或不具有某情况,推出另一部分对象也具有或不具有此情况的推理.

ⅲ普遍性类比是在两类所有对象之间进行的.它是从已知的某类所有对象都具有或不具有某情况,推出另一类对象也具有或不具有此情况的推理.

⑵根据类比中的断定不同,类比可分为正(肯定式) 类比、负(否定式) 类比和正、负(肯定否定式) 类比等类型.

ⅰ正类比又叫肯定式类比,它是根据两个或两类对象在一些列情况相同或相似,并且又已知其中一个对象还具有其它情况,由此推得另一个对

象也具有这个情况推理.

ⅱ负类比又叫否定式类比,它是根据两个或两类对象在一些列情况上相异,而推得它们在另一些情况也相异.

ⅲ正、负类比又叫肯定否定式类比,它是根据两个或两类对象在一些列情况上相同或相异,由此推得在另一些情况上也相同或相异.

⑶根据类比中的内容不同,类比可分为性质类比、关系类比、条件类比等类型.

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ⅰ性质类比又叫质料类比,它是根据对象之间的相同或相似属性而进行的类比.

ⅱ关系类比是根据对象之间的关系而进行的类比.

ⅲ条件类比是根据对象之间的条件关系而进行的类比.

⑷根据类比中的前提和结论中的对象不同,类比可分为同类类比和异类类比等类型.同类类比又可分为“以己推人”式类比、“以人推己”式类比、“以人推人”式类比、“以物推物”式类比等类型;异类类比又可分为“以人推物”式类比、“以物推人”式类比等类型.

ⅰ“以己推人”式类比是拿自己与别人来进行类比,是一种“老吾老以及人之老,幼吾幼以及人之幼”式的推理.

ⅱ“以人推己”式类比是拿别人与自己来进行类比.

ⅲ“以人推人”式类比是拿人与人来进行类比.

ⅳ“以物推物”式类比是拿物与物来进行类比.

ⅴ“以人推物”式类比是拿人与别的事物进行类比.

ⅵ“以物推人”式类比是拿别的事物与人来进行类比.

⑸根据思维方向,类比可分为单向类比、双向类比和多向类比等类型.

ⅰ单向类比是拿某个对象和另一个对象进行单方向类比.

ⅱ双向类比是既拿此对象和彼对象进行类比又拿彼对象和此对象进

行类比.双向类比可分为“以己推人且以人推己”、“以此人推彼人且以彼人推此人”、“以人推物且以物推人”和“以此物推彼物且以彼物推此物”等类型.

ⅲ双向类比是在二者之间进行的,而多向类比是在三者以上对象之间进行的.

⑹根据结论的可靠程度,类比可分为科学类比和经验类比等类型.此外,根据对象的多少,类比还可分为完全类比和不完全类比等类型.

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ⅰ经验类比是源于经验的类比,是建立在简单的经验知识基础上的类比.自古以来,人类凭借智慧和细心的观察,积累了许多经验.有了经验,便可以类比

ⅱ科学类比是建立在科学分析基础上的类比.

2.4 类比法的特点

类比是最活跃、最基本的一种推理形式,它有着自己的一些特点:

⑴跳跃性

我们知道,类比所要求的前提条件是最少的,无论两个系统的联系多

么遥远,只要有那么一点的相似之处,都可以将它们类比.也就是说,从一

个系统跳转到另一个相去甚远的系统,思维中出现了一个很大的跳跃.这

一跳跃性决定了类比法

不但需要逻辑思维,它还特别需要象直觉、灵感等一些非逻辑方法,否则无法做出真正有价值的类比来.有时候,两个类比物之间的共同点越少,类比的结论也越具有突破性、独创性.

⑵可靠程度低

无论在传统归纳逻辑中还是在现代归纳逻辑中,类比法是被研究得最不充分的领域之一.为什么呢? 主要原因有二:第一,这种推理的对象是单个事物,所得结论是关于单个事物的,即是“特殊———特殊”,也可以是“一般———一般”的推理,因而缺乏普遍性;第二,也是最主要的一方面,这种推理的可靠程度是很低的.首先,实际上,在类比推理的思维过程中,

还有一潜在的中介物,即假定有把类比对象统一起来的大系统或它的普遍规律,于是思维从已知的特殊上升为假定的“一般”,再由这个“一般”演绎为未知的特殊.

2.5 类比法在数学中的作用

1、运用类比，纵向沟通，“以点串线”

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