7第七章 点的合成运动

18ຫໍສະໝຸດ Baidu
点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对 速度的矢量和， 速度的矢量和， 即：
r r r va = ve + vr
注：
⑴ 各速度分别沿各自的轨迹切线。 ⑵
r va
r vr r vr
M M
r ve
r r r v a 由 ve 与 v r
① ②
构成的速度四边
形的对角线来确定。
∆t
r r r MM ' v = lim MM 1 , v = lim MM 2 , va = lim , e r ∆t →0 ∆ t ∆t →0 ∆ t ∆t →0 ∆ t r r r r MM 2 M 1M ' = lim vr = lim ∴ v a = ve + v r ∆t→0 ∆ t ∆t →0 ∆ t
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x'
[例2] 曲柄摆杆机构 已知：OA= r , ω, OO1=l图 例 曲柄摆杆机构, 已知： 图 示瞬时OA⊥ 摆杆O 角速度 示瞬时 ⊥OO1 求：摆杆 1B角速度ω1 确定动点、 解：１）确定动点、动系 动点：套筒 套筒A 动系：摆杆O 动点 套筒 ， 动系：摆杆 1B 三种运动、 r ２）三种运动、速度分析：
相对轨迹： AM 2 ， 相对位移：MM 2 ； 牵连轨迹： 牵连位移： MM 1 ， MM 1 ；
y
M2
r va
M'
r vr
M A
r r ve 2
x
MM ' = MM 1 + M 1M '
M1
A'
MM ' = lim ∆t →0 ∆ t
lim MM 1 + lim M 1 M '
∆t →0
∆t
∆t →0
r 动系上与动点相重合 对定系的加速度； 与动点相重合点 牵连加速度 ：动系上与动点相重合点对定系的加速度；ae
强调： 强调： １）动点 ２）牵连点－－－动系上与动点相重合的点 牵连点－－－动系上与动点相重合的点 －－－动系上与动点相重合的
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杆作上下运动。 例：已知凸轮往复式水平运动，并带动AB杆作上下运动。 已知凸轮往复式水平运动，并带动 杆作上下运动 分析三种运动及三种速度。 分析三种运动及三种速度。 １）首先要确定的是动点、 首先要确定的是动点、 动系、静系。 动系、静系。 动点：AB杆上 点 杆上A点 动点： 杆上 动系： 动系：固结于凸轮Ｏ'上 上 静系： 静系：固结在地面上
分析物体Ｍ的运动； 分析物体Ｍ的运动； １）从地面上看，Ｍ的运动 从地面上看，Ｍ的运动 ，Ｍ 是斜直线运动。 是斜直线运动。 ２）从运动合成与分解角度看： 从运动合成与分解角度看：
y
r v1
M'
r a. Ｍ物体以 v1向上的直线运动。 向上的直线运动。 r b. 小车以 v2 向右的直线运动（平动）； 向右的直线运动（平动）；
y'
v 绝对轨迹： 绝对轨迹：园， a ⊥ OA ,
va = ω ⋅ r
r
相对运动： 相对运动：沿O1B 杆的直线运动 vr // O1 B ⊥O 牵连运动： 牵连运动：O1B 绕O1的摆动 ve = ? 方向⊥O1B
３）点的速度合成定理
Q sin ϕ = r r2 + l2
ve =
r 2ω r2 + l2
∴
Ｍ物体的运动是两种简单运动的合成。 物体的运动是两种简单运动的合成。
4
x
例２：车在匀速前进，轮作纯滚动，求车轮上Ｍ点的运动。 车在匀速前进，轮作纯滚动，求车轮上Ｍ点的运动。
y
vt
M
o
I
从运动合成与分解的角度看： 从运动合成与分解的角度看：
r v
解：分析Ｍ点的轨迹：旋轮线。 分析Ｍ点的轨迹：旋轮线。 其运动方程为： 其运动方程为：
3）牵连点M’，作定轴转动； ）牵连点 ，作定轴转动；
r ve ⊥ OM
若动点在Ｍ 若动点在Ｍ１点：
ve = ω ⋅ OM
v'e = ω ⋅ OM '
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三种加速度： 三种加速度：
r 动点相对定系的加速度； 绝对加速度 ：动点相对定系的加速度； aa r 相对加速度 ：动点相对动系的加速度； ar 动点相对动系的加速度；
r r r va = ve + vr 画出速度四连形 ve = va sin ϕ ve = O1 A ⋅ ω1
ve r 2ω ∴ ω1 = = 2 2 O1 A r + l
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圆盘凸轮机构
21002210.avi
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[例3]已知：OC＝e , R = 3 e , ω（匀角速度）图示瞬时,OC⊥CA 例 已知： ＝ 匀角速度）图示瞬时 ⊥ 已知 且 O, A, B三点共线。求：从动杆AB的速度 三点共线。 从动杆 的速度 三点共线
r va
三种速度分析： 三种速度分析： r 绝对速度 ： va ↑ 或 ↓ r 相对速度： vr 沿轨迹切线 相对速度 r 牵连速度： 牵连速度 ve → 或 ←
r vr
r ve
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v 绝对速度 ： a
相对速度 ： vr
牵连速度 ：ve
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r rt rn 相对加速度： 相对加速度： ar = ar + ar r 牵连加速度： 牵连加速度： ae
ϕ o1
x
xM = vt − r sin ϕ y M = r − r cos ϕ vt ϕ= r MI = OI = vt
若求Ｍ点的速度，对方程求导即可。 若求Ｍ点的速度，对方程求导即可。
a. Ｍ点绕轴Ｏ1 作定轴的匀速转动。 点绕轴Ｏ 作定轴的匀速转动。
r b. 轴O1随小车以 v 向右的直线运动（平动）； 向右的直线运动（平动）；
x'
∴
y
r v1
M M'
r v2
r v2
x
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r 动系上与动点相重合 对定系的速度； 与动点相重合点 牵连速度 ：动系上与动点相重合点对定系的速度；ve v 例：M以 vr 沿OA运动，园盘以ω匀速转动，分析 t 时刻Ｍ点牵连速度。 以 运动， 匀速转动， 时刻Ｍ点牵连速度。 运动
M '1
M1
r v 动点相对定系的速度； 绝对速度 ：动点相对定系的速度； a r 动点相对动系的速度； 相对速度 ：动点相对动系的速度；vr
一、问题的提出： 问题的提出：
3
§7–1 相对运动、牵连运动、绝对运动 相对运动、牵连运动、
一、问题的提出： 问题的提出： 在点的运动中，描述点的运动是以地面为参考体。 在点的运动中，描述点的运动是以地面为参考体。 地面为参考体 r r v1提升Ｍ物体并向 例：小车以 提升Ｍ r v2 v2右运动，求Ｍ的速度。 的速度。 以 右运动，
r va r ve
r r r v 已知 ve 、 r ，求 va r r r ve 、va ， 求 vr 已知
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解题步骤： 解题步骤： 明确指明动点 动系； 动点与 ① 明确指明动点与动系； 动点与动系是两个物体，有其相对运动，相对轨迹明显； 动点与动系是两个物体，有其相对运动，相对轨迹明显； 分析三种运动及相应的三种速度； ② 分析三种运动及相应的三种速度；
三种速度： 三种速度：
r v 'e1
r ve
ω
O
v vr v vr
A, t
因为： 点在园盘上作直线运动 点在园盘上作直线运动， 因为： M点在园盘上作直线运动， 并随园盘转动。 并随园盘转动。 1）园盘为动系，作定轴转动； ）园盘为动系，作定轴转动； 动系
M' M
M0
A0 , t0
v 2）相对速度 vr 沿OA; ）
y
vt
M
o
y'
r v
小车上固结一坐标系, 小车上固结一坐标系 即：动系 x' y ' 研究对象： 研究对象：Ｍ点
ϕ o1
I
x'
x
两个坐标系： 两个坐标系： 固定坐标系 x, y 运动坐标系 x ' y '
相对某一参考体的运动可由相对其它参考体的几个简单 运动组合而成. 运动组合而成. 这种运动称为合成运动。 这种运动称为合成运动。
r 绝对加速度： 绝对加速度： aa
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§7–2 点的速度合成定理
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r r t , AB运动v2 ; 动点Ｍ在上AB以 vr 在运动。 牵连点Ｍ１ 动点Ｍ在上AB AB以 在运动。 牵连点Ｍ
t ' , A' B ' 运动 ; 动点Ｍ’ 动点Ｍ
B
MM 绝对轨迹： MM ' ，绝对位移： ' ；
B'
y'
r v2
三种速度： 三种速度：
r 动系上与动点相重合 对定系的速度； 与动点相重合点 牵连速度 ：动系上与动点相重合点对定系的速度；ve
∵
动系是平动， 动系是平动， 动系上各点速度是相同的。 动系上各点速度是相同的。 Ｍ’点是动系的一个点， 点是动系的一个点， r r v ' M = v2 r 点的牵连速度是： Ｍ点的牵连速度是： v2
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动点： 动点： AB杆上A点 动系： 动系： 固结于凸轮Ｏ'上 静系： 静系： 固结在地面上
三种运动分析： 三种运动分析： 绝对运动： 直线 绝对运动 相对运动： 曲线（圆弧） 相对运动 牵连运动： 直线平动 牵连运动
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动点： 杆上A点 动点： AB杆上 点 杆上 动系： 动系： 固结于凸轮Ｏ'上 上 静系： 静系： 固结在地面上
x'
绝对运动：？ 绝对运动：？ 相对运动：垂直向上的直线运动 相对运动：
y
r v1
r vr
r va
r ve
x
r 牵连运动： 牵连运动：向右的平动 ve r r
ve = v 2
r r r va = ve + vr 画出速度四连形
３）由点的速度合成定理
r r vr = v1
r vr
M
va = v 2 e + v 2 r = v 2 2 + v 21
r r r 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 绝对运动 va ；相对运动 vr ； 牵连运动 ve ；
画出速度四边形。 绝对速度一定在四边形的对角线上） ③ 画出速度四边形。 绝对速度一定在四边形的对角线上） （
r vr
M
r va r ve
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r r v1 提升物体，并以 v2 向右运动，求此瞬时 向右运动， 例：已知小车以 提升物体， 物体的速度。 物体的速度。 确定动点、 解：１）确定动点、动系 动点：Ｍ ：Ｍ点 动点：Ｍ点 动系 x ' y ' r 定系 x, y ； y' v2 三种运动、速度分析： ２）三种运动、速度分析：
上海工程技术大学工程力学部 刘立厚
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第七章 点的合成运动 相对运动、牵连运动、 §7–1 相对运动、牵连运动、绝对运动 §7–2 点的速度合成定理 §7–3 牵连运动是平移时点的加速度合成定理 §7–4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成 定理 科氏加速度 §7–5 小结 习题
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§7–1 相对运动、牵连运动、绝对运动 相对运动、牵连运动、
y
M'
两个坐标系： 两个坐标系： 定系： 定系： 固定坐标系 x, y 动系： 动系： 运动坐标系 x' y '
r v1
M
x
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②
Ｍ点的运动＝Ｍ相对车轴的转动＋车对地的平动 点的运动＝Ｍ相对车轴的转动＋ ＝Ｍ相对车轴的转动 Ｍ点的运动＝Ｍ相对动系转动＋动系相对定系的运动 点的运动＝Ｍ相对动系转动＋ ＝Ｍ相对动系转动
确定动点、 解：１）确定动点、动系 动点: 动点 AB杆上 A点， 动系 固结于圆盘 杆上 点 动系:
相对运动： A点在园盘上滑动，vr ⊥ CA，vr = ? 相对运动： 点在园盘上滑动， 牵连运动： 牵连运动： 园盘绕 O 点的转动 点的转动.
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二、绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对运动、相对运动、 Ｍ点的运动＝Ｍ相对动系运动＋动系相对定系的运动 点的运动＝ 相对动系运动＋ 研究对象： 研究对象：Ｍ点
y'
r v2
x'
两个坐标系： 两个坐标系： 定系 x, y ： 动系 x ' y ' ：
绝对运动：动点Ｍ相对定系的运动； 绝对运动：动点Ｍ相对定系的运动； 相对运动：动点Ｍ相对动系的运动； 相对运动：动点Ｍ相对动系的运动；
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随车的平动组合而成的。 ∴ Ｍ 点的运动是 M 绕车轮的定轴转动与 M 随车的平动组合而成的。
① Ｍ点的运动＝Ｍ点相对车直线运动＋车对地的直线运动 点的运动＝Ｍ点相对车直线运动＋ ＝Ｍ点相对车直线运动
Ｍ点的运动＝Ｍ点相对动系运动＋动系相对定系的运动 点的运动＝
y'
r v2
x'
小车上固结一坐标系, 小车上固结一坐标系 即：动系 x ' y ' 研究对象：Ｍ点 研究对象：
y
M'
牵连运动：动系相对定系的运动。 牵连运动：动系相对定系的运动。
r v1
M
x
r 动点相对定系的速度； 绝对速度 ：动点相对定系的速度； a v r 动点相对动系的速度； 相对速度 ：动点相对动系的速度； r v r r 绝对加速度 aa ； 相对加速度 ar 。
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三种速度： 三种速度：
r v 绝对速度 ：动点相对定系的速度； a 动点相对定系的速度； r 动点相对动系的速度； 相对速度 ：动点相对动系的速度；vr