关于高等数学等价无穷小替换极限的计算
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则是高等数学中的一个重要概念，在分析数学、微积分、常微分方程等领域都有广泛的应用。
换言之，在这些领域中，当分式分母的值非常小或趋于0时，等价无穷小代换规则可以帮助我们简化计算，得到更加精确的结果。
具体来说，等价无穷小代换规则的公式如下：
设$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，并且有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
这个规则可以解释为，当$f(x)$和$g(x)$的极限趋于0时，我们可以将$f(x)$与$g(x)$视为等价的；即$f(x)$在$x$趋近于$a$时与$g(x)$的表现近乎相同。
在实际计算过程中，我们可以将分式中的
$f(x)$替换为$g(x)$来简化计算，而不会对结果产生显著的影响。
要注意的是，该规则只适用于$x$趋近于$a$的情况。
在其他情况下，等价无穷小代换规则可能不适用，因此需要确定当$x$趋近于
$a$时函数的极限。
总的来说，等价无穷小代换规则是分析数学中非常重要的一个概念，可以方便准确地计算数学问题。
在实际应用中，需要灵活掌握这个规则的使用方法，并在合适情况下进行判断。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n fg数列x n的极限、x fs（x T+s、x T +g ）函数f （x）的极限、x T x（x T x +、x T n x -）函数f（x）的极限这七种趋近方式。
下面0 0 0我们用tx T大表示上述七种的某一种趋近方式，即* e n T g x T g x T +s x T —g x T x x T x + x T x -）0 0 0定义：当在给定的x T大下，f （x）以零为极限，则称f （x）是x T *下的无穷小，即lim f Q)= 0。
x f 大例如，「limsin x = 0,「.函数sin x是当x f 0时的无穷小.x f 0「lim1=0,「.函数1是当x f 8时的无穷小. x f8 x x「lim( " = 0,「.数列｛( "｝是当n f 8时的无穷小. n f8 n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的x f *下，I f (x)无限增大，则称f Q)是x f *下的无穷大，即lim f Q)=8。
显然，n f 8时，n、n 2、n 3、…都是无穷大量，x f大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
关于等价无穷小的代换法求极限探讨
利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法,如果运用得当,能起到化繁为简,化难为易的作用。
但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的运用。
虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限,对于和差运算该方法失效。
由于对于积运算没有相应的性质定理,因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。
基于此,对等价无穷小的代换法在和差积商中的运算进行探讨,明确等价无穷小代换求极限的方法的适用范围是很有必要的。
1 无穷小的和、差、积、商运算中等价无穷小的代换法(i)无穷小的商之等价无穷小代换法定理1 设 ，，，是自变量在同一变化过程中的无穷小量, ~~ ，,且 lim存在,则极限 lim 存在且[1]lim lim。
定理表明在求两个无穷小之比的极限时,可以用对应的等价无穷小对分子或分母进行整体代换。
如果用来代替的无穷小选得适当的话,可以使计算简化。
例112213321002(1)12limlim 1cos 3x x x x x x(ii)无穷小为乘积因子的等价无穷小代换法定理2 设 ,, ，是自变量在同一变化过程中的无穷小量,~ ，~ ,则 .~. 。
证明:因为.lim lim .lim 1.。
定理3 设 ，是自变量在同一变化过程中的无穷小量,~ ，()f x 为自变量在这一变化过程中的另一函数,且lim ()f x 存在,则极限 lim ()f x 存在且 lim ()lim ()f x f x 。
证明:因为lim ()lim ().limlim ()f x f x f x定理说明对于无穷小与函数的乘积的极限可以用相应的无穷小的等价代换求极限。
例23322111limsin lim .51515x x x x x x x x x x定理4 设 , ，,是自变量在同一变化过程中的无穷小量, ~~ ，,()f x 为自变量在这一变化过程中的另一函数,且()lim f x存在,则极限 ()lim f x 也存在且 ()()limlim f x f x证明:()()lim=lim .lim limf x f x()limf x以上定理表明对于无穷小为乘积因子的极限也可以用等价无穷小代换求极限。
等价无穷小的替换公式
等价无穷小的替换公式
等价无穷小是微积分中一个重要的概念，它是指当自变量趋近于某个值时，与之相比可忽略不计的函数值。
在求极限、微分、积分等运算中，经常会用到等价无穷小的概念和替换公式。
常见等价无穷小替换公式包括：
1. 当x趋近于0时，sin(x)与x等价，cos(x)-1与-x/2等价。
2. 当x趋近于无穷大时，e^x与其它无穷大同阶，x与x^2同阶，ln(1+x)与x同阶。
3. 当x趋近于a时，(x-a)^n与0同阶，cos(x)-cos(a)与
-(x-a)sin(a)同阶，sin(x)-sin(a)与(x-a)cos(a)同阶。
在使用等价无穷小替换公式时，需要注意函数间的等价性应该是“当x趋近于某一值时”，而非在整个定义域内等价。
同时，在使用无穷小替换公式时，需判断其是否满足极限的条件。
总之，等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，可以简化运算过程，但在使用时需要注意细节，确保得到的结果正确。
- 1 -。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，用于将一个无穷小量替换成另一个与之等价的无穷小量，以便更方便地进行计算和求解。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x-e^x-1≈x- (1+x)^n -1 ≈ nx （n为常数）2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换公式：-e^x≈∞（指数函数增长非常快）- ln(x+1) ≈ x- sin(x)/x ≈ 1- tan(x)/x ≈ 1- arcsin(x)/x ≈ 1- arctan(x)/x ≈ 13.一些其他常见等价无穷小替换公式：- x^a - 1 ≈ ax^(a-1)（a为常数）-x^a≈∞（当x趋于无穷大且a为正数）-x^a≈0（当x趋于0且a为负数）- 1 - cos(x) ≈ x^2/2- ln(x) ≈ x^a （当 x 趋于无穷大且 a 为正数）这些等价无穷小替换公式的应用可以简化复杂的数学计算和求解问题。
需要注意的是，这些公式只是在特定的条件下成立，并不适用于所有情况，因此在使用时需要根据具体问题进行判断和决策。
除了上述列举的常见等价无穷小替换公式，还有一些与泰勒级数展开相关的公式也可以用于等价无穷小替换：-当x趋于a时，有以下泰勒级数的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...-当x趋于无穷大时，有以下泰勒级数和欧拉-麦克劳林公式的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...这些泰勒级数展开的等价无穷小替换公式可以用于近似计算函数的值和导数的值。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。
在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。
二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。
3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。
4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。
这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。
例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。
5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。
这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。
6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。
这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。
三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。
例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。
根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。
等价无穷小的替换公式
等价无穷小的替换公式等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在本文中，我们将介绍等价无穷小的替换公式及其应用。
我们来看一下等价无穷小的定义。
在微积分中，当一个函数f(x)在x趋近于某个数a时，如果它的极限为0，那么我们称f(x)是a处的一个无穷小。
如果另一个函数g(x)在x趋近于a时也是无穷小，并且f(x)和g(x)的极限相等，那么我们称f(x)和g(x)是等价无穷小。
接下来，我们来看一下等价无穷小的替换公式。
假设f(x)和g(x)是等价无穷小，那么在计算极限时，我们可以用g(x)来替换f(x)，即lim f(x) = lim g(x)。
这个公式的意义在于，当x趋近于a时，f(x)和g(x)的差距越来越小，因此它们的极限也应该相等。
等价无穷小的替换公式在微积分中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的极限时，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
此外，在求导和积分时，等价无穷小的替换公式也可以帮助我们更好地理解和计算。
下面，我们来看一个例子。
假设我们要求lim (1-cosx)/(x^2)，当x 趋近于0时。
这个极限比较复杂，但是我们可以将1-cosx化简成等价无穷小的形式。
具体来说，我们可以将1-cosx展开成泰勒级数，得到1-cosx = (1/2)x^2 + O(x^4)，其中O(x^4)表示比x^4更高阶的无穷小。
因此，原式可以化简为lim [(1/2)x^2 + O(x^4)]/(x^2)，即lim (1/2) + O(x^2)，当x趋近于0时。
由于O(x^2)是一个比x^2更高阶的无穷小，因此它的极限为0。
因此，原式的极限为1/2。
等价无穷小的替换公式是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在实际应用中，我们可以将原函数化简成等价无穷小的形式，从而更容易求出极限。
等价无穷小替换极限的计算
等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。
在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。
而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。
等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。
具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。
1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。
例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。
同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。
需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。
极限的计算方法总结
极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
关于大学高等数学等价无穷小
关于大学高等数学等价无穷小这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。
它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。
而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。
下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。
我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。
2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。
3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。
5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。
6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。
7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。
这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。
在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。
一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。
那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。
下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。
一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。
举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。
如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。
实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。
再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。
等价无穷小替换公式
等价无穷小替换公式所谓等价无穷小替换公式，是数学中一类常用的极限计算方法。
当在求极限过程中遇到无穷小量时，我们可以将它替换为一个与之等价但更易计算的无穷小量，从而简化求解过程。
以下是一些常用的等价无穷小替换公式：1. $\sin x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sinx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. $\tan x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tanx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
3.$e^x-1$等价无穷小替换公式：当$x$趋近于$0$时，$e^x-1$可以被替换为$x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
4. $\ln(1+x)$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$等价于 $x$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。
常用无穷小等价代换公式(二)
常用无穷小等价代换公式(二)常用无穷小等价代换公式本文将介绍一些常用的无穷小等价代换公式，并举例解释说明其应用。
具体内容如下：1. lim x→0sinxx=1这是一个非常经典的等价代换公式，它表示当x趋近于0时，sinxx 的极限值等于1。
这个公式在计算一些极限问题时非常有用。
例子：lim x→0sin3x 4x我们可以使用上述公式将分子和分母同时除以3，得到：lim x→0sin3x3x⋅14然后，利用等价代换公式将sin3x3x替换为1，即可得到最终的极限值：lim x→0sin3x4x=142. lim x→∞(1+1x )x=e这个公式表示当x趋近于无穷大时，(1+1x )x的极限值等于数学常数e。
这个公式非常有用，在概率和统计等领域中经常会用到。
例子：lim x→∞(1+3x)x上面的极限可以通过使用等价代换公式来求解，因为形式与上述公式类似，只需将分数部分的系数变为1即可：lim x→∞(1+3x)x=e3. lim x→0e x−1x=1这个公式表示当x趋近于0时，e x−1x的极限值等于1。
这个公式在微积分中经常会用到，特别是在求导和积分中。
例子：lim x→0e4x−1x类似地，我们可以使用等价代换公式将分子和分母同时除以4，得到：lim x→0e4x−14x⋅14然后，利用等价代换公式将e 4x−14x替换为1，即可得到最终的极限值：lim x→0e4x−1x=1以上是一些常用的无穷小等价代换公式及其应用的例子。
这些公式在数学和科学领域中非常有用，熟练掌握它们能够帮助我们更轻松地解决复杂的极限问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】讲义无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： 2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20xx x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=3．等价无穷小替换 定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim 0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim 3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xx x x x x又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法 例如，2222173373limlim142422xxx x x x x x x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x 左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin xyx x 当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论试举例说明.解：不能保证. 例x x f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x .01lim ==+∞→A x x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量 但=+∞→)()(limx f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较. 【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。