热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布

E n j j j0
又
E
N
j0
nj
N
j
N p j j
j0
0 pj 1 p j 1 j
是个概率。
找到Βιβλιοθήκη Baidu观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。
目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。
二、可分辨和不可分辨粒子系统
微观粒子全同性原理 (量子理论)：
微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系） 是不可分辨的。
即在体积元 h 内的各运动状态，
它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
ox
xx L
x
即，一个量子态对应粒子相空间一个 h 大小的体积元。 三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 h 3。 则相空间体积 Vdpxdp中yd量pz 子态数为
V h3 dpxdpydpz
§ 6.3 系统微观运动状态的描述
具有 r个自由度的粒子具有
广义坐标： q1, qr
广义动量： p1, pr
能量：
( q 1 , q r ,p 1 , p r)
粒子运动状态： 广义坐标和广义动量的一组确定值
(q 1 , q r,p 1 ,p r)
两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中 至少一个元不同。如
(q 1 , q i q r,p 1 , p r)
统计假定，其正确性由其推论的正确与否决定。
等概率原理：系统每一个微观状态以相同的概率 出现。
导致物理结果： 同样条件，
宏观态1，微观状态数 n1 宏观态2，微观状态数 n2
宏观态1出现几率大。 n1 n2
于是：“宏观态1是平衡态”？！
必须计算每个宏观态的微观态数。
§6.5 分布和微观状态
一、分布的定义
统计物理
热现象的微观统计理论
统计物理的基本观点和方法
基本观点: ①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体 体现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。
方法: 深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用 出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
建立统计物理要解决以下三个问题：
2
自旋磁矩： eS
m
两个量子态，一个量子数
Sz
2
z
e 2m
BeB
2m
2、线性谐振子 (n1)
2
一个量子数 n。 n0,1,2,
3、自由粒子
一维情况，粒子在长 L 的区间。
视粒子为波。它
在区间 L 内应形
成驻波。波长
L nx
波矢
2
kx L nx
o
L
一个量子数 nx 0,1,2,3,
px kx 2Lnx
不可能有一个以上的粒子。
自旋整数的粒子，不受泡令原理限制－玻色统计、玻色粒子。
光子(自旋 1 )、声子 (自旋 1 )、等 自旋整半数粒子－费米统计、费米粒子。
电子、质子、夸克等 （自旋 1/2 ） 定域系粒子可区分—玻耳兹曼统计
五、例 两个粒子、三个量子态
玻耳兹曼统计
态1 态2 态3 AB
AB
AB
§ 6.2 粒子运动状态的量子描述
一、波粒二象性
微观粒子既具有粒子性质，又具有波动性质。
, p
, k
德布罗意波
德布罗意关系：
,
p
k .
联系粒子的波动性与粒 子性。
不确定关系： qp2
不可能同时精确测量粒 子的位置和动量。
h 2
ħ与h为普朗克常量，量子物理的基本常量。
二、量子态
不确定关系使粒子运动状态的经典描述是不精确的。
h3
D(p)4h3V p2
球极坐 标系变 换
V L3 ，中d量子态数
p2 ,
2m
dpdp
m
d nD ()d4 h 3 V(2m )3/21/2d
D()4h 3 V(2m)3/21/2 态密度
粒子经典运动状态
(q 1 , q r,p 1 ,p r)
粒子相空间（μ空间） “代表点”
粒子量子运动状态 在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。
不同的系统微观状态——其中任意一个的数值改变。 几何表示： μ空间 N 个代表点。 任意一个代表点的位置发生变化——不同的系统微观状态。
经典统计（与玻耳兹曼统计具有类似的形式）。
四、 量子系统的微观状态 非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在哪个量子 态，不确定哪几个粒子在这个量子态。 泡利不相容原理： 自旋整半数的粒子，在一个量子态
简并度 一个能级对应的不同的量子态的数目。
p x22 p m y2p z22 m 2 22( L n x2 n y2 n z2).
2 22 mL2
能级的简并度
nx 1, ny nz 0, ny 1, nx nz 0,
六
nz 1, ny nx 0.
2
2 22
mL2
简并度
nx 1,ny 1,nz 0, nz 1,ny 1,nx 0.
十二
相邻动量的差 px2 L (nx1 )2 L nx2 L
1 .05 15 3 0J 4s 是很小的量
在恒定大小的容积 V 中L3，粒子相邻动量差可以看作零，
可以认为能量动量连续变化(准连续）。
在动量间隔 pxpx中d的px 量子态数为 L
dnx 2dpx
同理
dny
L
2dpy
一、全同和近独立粒子的宏观系统
全同粒子 具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的 微观粒子
氢气、氧气、纯水、纯铁等等。
空气、合金等不是全同粒子系统。
近独立粒子 粒子之间的相互作用可以忽略不计。（有微弱相 互作用，以保证系统可从非平衡态到达平衡态。
系统粒子数 N
能量
N
E
i
i 1
这些粒子有不同的运动状态 （j 相空间不同的体积元）。 其中处于运动状态 j的粒子有 个n j，则系统能量又为
运动状态 (x, p)
在边长 L 的线段上。
p p1 p2
o
x1
代表点
另一个代表点。
Lx
随时间推移，代表点划 出轨迹。
等能面（线）：相空间中具有相同能量的代表点连成的面（线）。
p2 2m
：表明轨迹划出来的直线。
2、一维线性谐振子
运动状态
p
o
(x, p) 二维的相空间
p2 Ax2
2m 2
1
量子态由一组量子数表征。
简并度
一个能级对应的不同的量子态的数目。
V L3 ，中d量子态数
D()4h 3 V(2m)3/21/2d.
量子描述与经典描述之间的关系
对于宏观大小的容积， ħ是很小的量，量子描述趋近
于经典描述。
以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 x。p
p pp
p
由于不确定关系，xph 。
L
dnz 2dpz
V L3 ， pxpx，dpx py 和py dpy 中的pz量子pz 态d数pz 为
dxn dyn dzn(2 L)3dxp dyp dzphV3 dpxdpydpz
理解：
由测不准关系，对一维粒子
， 最精
确
。若用q.p 描述运动状态，即代表点的
位置时，则μ空间内h大小的相体积内只能有一个运
二、 常见粒子微观运动状态描述实例 1、自由粒子 三维空间中，如果是直角坐标，
三个坐标 x, y,z
三个动量 p x m x , p y m y , p z m z
能量
21m(px2py2pz2)
运动状态 (x,y,z,px,py,pz)
粒子相空间：6 维，3 维坐标空间，3维动量空间。
如在一维空间自由粒子
注意：一个微观状态对应一个确定的分布，而 一个分布却可以包含大量不同的微观状态。
1 2
l
1 2
l
a 1 a 2 a l
1、玻耳兹曼系统 粒子可以编号。
动能： 1m (r 2r2 2r2si2n 2)
2
r0
1m(r2 2r2si2n 2)
2
引入与θ，φ共轭的广义动量 p mr2 p m2rsin2
四维粒子相空间中 21I(P2si12nP2) I mr2 转动惯量
“量子”概念
量子：在微观领域中，某些物理量的变化是 以最小的单位跳跃式进行的，而不是连续的 。一个物理量如果有最小的单元而不可连续 的分割，我们就说这个物理量是量子化的， 并把最小的单元称为量子。
x
px2 222
2m mL2
nx2.
三维情况
px kx 2Lnx py ky 2Lny pz kz 2Lnz
nx 0,1,2,3, ny 0,1,2,3, nz 0,1,2,3,
p x 2 2 p m y 2 p z2 2 m 2 2 2(n L x 2 n y 2 n z2 ) 2 m 2 2 2n L 2 能级
研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何 描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前 3节）。
如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。
如何求出热力学量的统计表达式（七 、八 两章）。
主要内容
系统微观状态的经典描述和量子描述 等概率原理及微观状态分布 玻耳兹曼统计 玻色统计与费米统计
第六章 近独立粒子的最概然分布
系统的一个分布就是N 个粒子按能级的一套填布数
E, N,V 确定的宏观状态
能级 简并度
1 2 1 2
l l
粒子数 a 1 a 2 a l
al 表示一个分布，满足
alN , allE ;
l
l
二、 分布对应的微观状态数
微观状态:分布只管能级εL上的粒子数aL，当分 布{aL}一定时： ①对玻耳兹曼系，微观状态要确定出是哪些粒 子在这些能级中，在什么量子态上。 ②对非定域系，微观状态要确定出aL个粒子对 ωL 个量子态的占据方式。
粒子间有相互作用，但可忽略不计
主要内容
系统微观状态的经典描述和量子描述 等概率原理 三种微观状态分布（波耳兹曼分布、波色分布、
费米分布）及相互关系
§ 6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子的 运动状 态
指粒子 力学运 动状态
粒子遵守经典力学规 粒子遵守量子力学规
一、 广义动量和广义坐标
经典描述 量子描述
量子一词来自拉丁语，原意为“多少”，代表“相当数量 的某事” ，是一个不可分割的基本个体。例如，一个“光的 量子”是光的单位。
其基本概念是物质性质也许是“可量子化的”。“量子化 ” 指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。
例如，一定状态下的原子中，电子的能量是可量子化的。 这能决定原子的稳定和一般问题。
在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。
量子态由一组量子数表征，每组量子数的数目等于粒 子的自由度数目。
量子态中粒子的占据几率用波函数描述。
(x,y,z,t)2dxdydz 表示t 时刻x,y,z处在dxdydz内发
三、举例
现粒子的几率。
1、自旋状态
z
Sz 2
粒子质量 m，电荷 –e， 自旋角动量 。（量子化的）
AB
A
B
AB
BA
B
A
BA
玻色统计
态1 态2 态3 AA
AA
AA AA
A
A
AA
费米统计
态1 态2 态3 AA
A
A
AA
§ 6.4 等概率原理
在系统可能出现的各种宏观状态中，只有一个是 平衡态。 如何从各种状态中将平衡态找出来？必须确定一个 标准。
系统的宏观热力学状态由参量 U,V,n确 定。
不同的宏观状态对应的微观状态数目不一样。 ——从微观状态出发研究不同的宏观状态的特征，以区分它 们，并确定何为平衡态。
动状态。否则违反测不准关系，对于三维自由粒子，
h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r 个自
由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相
体积之dw内的量了态数为
V L3 ，pp中d的p 量子态数 ，与动量的方向无关，积分之
dnhV3
p2sindpd
4V
h3
p2dp.
D(p)dp4Vp2dp
等能线：
p2 Ax2 1
的椭圆。
2m 2
x
半长轴 a 2 2
A m2
2
半短轴 b 2m
椭圆面积 Sab2
两个椭圆面积差 S 2
z
3、转子（双原子分子的转动）
r
质点坐标：（x, y, z）
O
y 动能：1m(x 2y2z 2)
2
如果用球极坐标r，θ，φ
x
描述质点位置：
x r si c n o ,y r si sn i ,z n r co
与 (q 1 , q 'i q r,p 1 , p r)
的第 i 个广义坐标不同，故表示两个不同的运动状态。
μ空间（粒子相空间）：
(q 1 , q i q r,p 1 , p r)共2r个变量， 构成一个2r维 的抽象空间，成为μ空间（相空间）。粒子运动状态可用μ 空间中的一个 “点”进行描述。
相点：运动状态 相轨道：运动状态的变化 相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。
x
x
波粒
二相性
重叠
t1
t2 t
经典系统：粒子可分辨
t1
t2
t
量子系统：粒子不可分辨
定域的量子系统（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡 位置，如固体的原子)。
三、经典微观系统的运动状态 粒子可分辨。 系统的微观状态确定, 每个粒子的微观状态确定。
第 i 个粒子的微观状态 (q i1 , q ii q ir ,p i1 , p ir ) Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。