专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．
【举一反三】【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知函数 是定义在 上的可导函数，对于任意的
实数 x，都有 （）
，当 时
，若
，则实数 a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 令 又 从而 因此
，则当 时，
，
等价于
，所以
为偶函数，
是定义在 上的可导偶函数，若当 时，
，则函数
的零点个数为
A．0 C．2 【答案】A 【解析】 设
B．1 D．0 或 2
，因为函数 为偶函数，所以 也是 上的偶函数，所以
故函数
．由已知， 时，
，可得当 时，
，
在
上单调递减，由偶函数的性质可得函数 在
上单调递增．所以
1
，所以方程
，即
无解，所以函数
没有零点．故
x
v
u 的导函数观察可得知， u v 型导函数中体现的是“ ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可
v
v
以猜测，当导函数形式出现的是“ ”法形式时，优先考虑构造 u v 型，当导函数形式出现的是“ ” 法形式时，
优先考虑构造 u ． v
例 1.【2019 届高三第二次全国大联考】设
知选 B．
【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数 f x xsin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求
5
解即可．
【举一反三】【福建省 2019 届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数
，
于 的方程
在区间 内有两个实数解，则实数 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
f x f x 类型，我们可以等同 xf x ， f x 的类型处理， “ ”法优先考虑构造 F x f xex ，
x
“ ”法优先考虑构造 F x
f x ．
ex
例 2、【湖南省长郡中学 2019 届高三下学期第六次月考】已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都
有
是自然对数的底数），
，若
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
A．
2f
3
f
4
B．
2f
3
f
4
C． f 0
2
f
4
【答案】B
D．
f
0
2
f
3
【指点迷津】满足“ f xcos x f xsin x 0 ”形式，优先构造 F x f x ，然后利用函数的单调性
cos x
和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数
f x ；出现
xn
f x nf
x形
式，构造函数 F x enx f
x ；出现
f x nf
x 形式，构造函数 F x
f x ．
enx
【解答策略】
类型一、利用 f x 进行抽象函数构造
1．利用 f x 与 x （ xn ）构造
常用构造形式有 xf x ， f x ；这类形式是对 u v ， u 型函数导数计算的推广及应用，我们对 u v ，
即
，
由
得
由
得
，得 ，得
，此时函数 为增函数 ，此时函数 为减函数
则
，即
，则
，故 错误
，即
，则
，故 错误
当 时， 取得极小值
即当 ，
，即
，即
，故 错误
当 时， 取得极小值
此时
，则 取得极大值
2
本题正确选项：
2．利用 f x 与 ex 构造
f x 与 ex 构造，一方面是对 u v ， u 函数形式的考察，另外一方面是对 ex ex 的考察．所以对于 v
选 A． 【指点迷津】设
，当 时，
，可得当 时，
，故函数
在
上单调递减，从而求出函数的零点的个数．
【举一反三】【新疆乌鲁木齐 2019 届高三第二次质量检测】
的定义域是
，其导函数为 ，若
，且
（其中 是自然对数的底数），则
A．
B．
C．当 时， 取得极大值
D．当 时，
【答案】C 【解析】
设
，则
则
又
得
即
，所以
，若不等式
的解集中恰有两个整
数，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】
令
可设 ∵ ∴ ∴ 可得：
，则
，
， ，∴ ．
，
时，函数 取得极大值，
． 时，
3
函数 取得极小值．
，
，
，
．
∴
时，不等式
的解集中恰有两个整数 ， ．
故 的取值范围是
，故选 C．
【指点迷津】令
，可得
，可设
，
，解得 ，
例
4、
，
2
, 2
，且
sin
sin
0
，则下列结论 正确的是（
）
A．
B． 2 2
C．
D． 0
【答案】B
【解析】构造
f
x
x sin
x
形式，则
f
x
sin
x
x cos
x
，
x
0,
2
时导函数
f
x
0，
f
x单
调递增；
x
2
,
0
时导函数
f
x
0，
f
x 单调递减．又
f x 为偶函数，根据单调性和图象可
易知当 ≤0 时，方程只有一个解，
所以 >0．令
，
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令
得
，
为函数的极小值点，
又关于 的方程 = 在区间 内有两个实数解，
，若关
所以
，解得
，
故选 A.
【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数
，然后利用函数的单调性和数形结合求解
即可．
2. 参变分离，构造函数
例 5.【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三下学期第五次调研】 设 为函数 的导函数，且满足
【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是
这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现 nf x xf x 形
式，构造函数 F x xn f
x；出现 xf x nf
x 形式，构造函数 F x
， 选 B.
3．利用 f x 与 sin x ， cos x 构造
sin x ， cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．
Fx f xsin x ， Fx f xsin x f xcos x ；
Fx
f x ， F x
sin x
f xsin x f x cos x ；
sin2 x
F x f xcos x ， Fx f xcos x f xsin x ；
Fx
f x ， F x
cos x
f x cos x f xsin x
．
cos2 x
4
例
3、已知函数
y
f
x
对于任意
x
2
,
2
满足
f
xcos x
f
x sin
x
0
（其中
f
x
是函数
f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）