八年级数学竞赛讲座三角形的有关概念
初二三角形讲义
初二三角形讲义三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，从初二开始，我们将对三角形进行深入的学习和研究。
这不仅是为了应对考试，更是为了培养我们的逻辑思维和空间想象能力。
一、三角形的定义和基本元素三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，它们的交点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
三角形有三个顶点、三条边和三个角。
在表示三角形时，我们通常用三个大写字母来表示顶点，如△ABC。
二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。
（2）直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。
（3）钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。
2、按边分类（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
（3）等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。
三、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
例如，有三条线段 a、b、c，如果 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a 同时成立，那么这三条线段可以组成三角形；反之，如果存在 a ＋b ≤ c，a ＋c ≤ b 或者 b ＋c ≤ a 中的任何一种情况，那么这三条线段就不能组成三角形。
同时，我们还可以利用三边关系来确定第三边的取值范围。
如果已知三角形的两条边分别为 a 和 b，那么第三边 c 的取值范围是｜a b| ＜c ＜ a ＋ b 。
四、三角形的内角和三角形的内角和是 180 度。
这是一个非常重要且常用的定理。
我们可以通过多种方法来证明这个定理，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180 度。
利用内角和定理，我们可以求出三角形中未知角的度数。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念一、知识结构：1、三角形的定义；2、三角形的角平分线、中线、高；3、三角形的三边之间的关系；4、三角形的内角和定理及其推论；5、同一个三角形中边与角之间的关系；6、三角形的分类；二、典型例题：1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( )A.三边不相等的三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.任意三角形2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,222ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( )A.不等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.任意三角形3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ）A 、17B 、22C 、12或22D 、204、下面四个命题中不正确的是（ ）A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°B ．在△ABC 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形；C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多；5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数；7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？A C8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数；9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的81与61之间；10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？11、设△ABC 的三边a,b,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a+b+c=13,则以a,b,c 为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；14、已知三角形中两角之和为n °，最大角比最小角大24°，求n 的取值范围；15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ）A ．143<<k B ．131<<k C ．1＜k ＜2 D ．121<<k16、如图：O 为△ABC 内的一点，求证：（1） OA+OB+OC ＞21（AB+BC+AC ）； （2） OB+OC ＜AB+AC ； （3） OA+OB+OC ＜AB+AC+BC ；作业题：1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？2、将三边长为a 、b 、c 的三角形记作（a ，b ，c ），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形；3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值；AOB C4、如图，△ABC 内有一点D ，AD 、BD 、CD 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，E 为△ABD 内一点，AE 、BE 、DE 分别平分△ABD 的各内角；F 为△BDE 内一点，BF 、EF 、DF 分别平分△BDE 的各内角。
简单介绍三角形的基本概念与性质
简单介绍三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的概念和性质。
本文将简单介绍三角形的基本概念和性质。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段相交于一个顶点，并且不共线。
它是平面上最简单的多边形之一。
2. 三角形的分类根据边长的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 等边三角形：三条边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度各不相等。
根据角度的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
(2) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：其中三个角都小于90度。
3. 三角形的性质(1) 三角形的内角和等于180度：三角形的三个内角相加等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
(2) 三角形的外角和等于360度：三角形的每个外角都等于其对应内角的补角。
即∠D = 180° - ∠A。
(3) 三角形的两边之和大于第三边：对于任意一个三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
(4) 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度，且三条边互相相等。
(5) 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
(6) 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90度。
(7) 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都小于90度。
4. 三角形的重要定理(1) 余弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos∠C。
(2) 正弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有a/sin∠A = b/sin∠B =c/sin∠C = 2R（其中R为三角形外接圆半径）。
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识(附答案)
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13 三角形的基本知识例1130°或50°例2 B 例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2 整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1. 2（b ＋c ）2. －5＜a ＜－23. 钝角4. 180°5. 90°6. C7. D8. B9. B 10. B 11. 提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF . 12. （1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33° （2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，① 同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D . ∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°. 13. （1）（2）略 提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ， 故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1. 82. 193. 175 提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204. 2a5. A6. D7. D8. B9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ， 则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =. 10. 711. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y xx ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22. 所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°). 12. （1）S △BCD ＝2 （2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°. ∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。
三角形的概念与性质
三角形的概念与性质三角形是我们常见的几何图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
三角形在许多领域中都有着重要的应用，因此对于三角形的概念和性质的掌握非常重要。
本文将介绍三角形的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为边，而它们的交点称为顶点。
三角形的名称通常以其边的长度和角的大小来命名，例如等边三角形、直角三角形等。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角的大小，三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
二、三角形的分类1. 根据边的长度分类- 等边三角形：三条边的长度相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角的大小分类- 直角三角形：其中一个角为直角（90°）。
- 钝角三角形：其中一个角大于90°。
- 锐角三角形：其中所有角都小于90°。
三、三角形的性质1. 三角形内角和性质三角形的三个内角之和为180°。
设三角形的三个内角分别为A、B 和C，则有以下等式成立：A + B + C = 180°。
这个性质在解决三角形相关问题时非常有用。
2. 三角形的外角性质三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
设三角形的三个内角分别为A、B和C，对应的外角分别为A'、B'和C'，则有以下等式成立：A' = B + C，B' = A + C和C' = A + B。
3. 三角形的边长关系a) 等边三角形的三条边长度相等，即a = b = c。
b) 等腰三角形的两个底边长度相等，即a = c。
c) 直角三角形中，较短两条边的平方和等于最长边的平方，即a² + b² = c²（或b² + c² = a²，c² + a² = b²）。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用和重要的性质。
在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和一些常见的性质，以加深我们对三角形的理解。
一、基本概念三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形：假设三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个角都是60度。
2.等腰三角形：假设三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个角也是相等的。
3.一般三角形：如果三角形的三条边的长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
除了边的长度外，三角形还可以根据角的大小来进行分类。
根据角的大小，我们可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.锐角三角形：三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形。
2.直角三角形：拥有一个90度角的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两边相互垂直。
3.钝角三角形：拥有一个大于90度角的三角形称为钝角三角形。
二、性质除了基本的分类外，三角形还具有一些重要的性质。
1.三角形的内角和性质：三角形的三个内角的和总是等于180度。
这个性质被称为三角形的内角和定理。
2.直角三角形的性质：直角三角形是三角形中最特殊的一种。
如果一个三角形有一个90度角，那么它的另外两个角的和总是等于90度。
此外，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个性质被称为毕达哥拉斯定理。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，并且其底边的中线也是高和中线。
此外，等腰三角形的顶角的平分线也是高和中线。
4.等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角也都是60度。
此外，等边三角形的高、中线、中位线、角平分线和垂直平分线都是同一条线。
5.海伦公式：对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以计算如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
初二_三角形复习讲义(包括基本概念、全等、勾股定理)
A C B第 8 题D三角形专题复习（一）三角形基本概念：1．三角形的分类三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。
2．一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：名称 基本性质 角平分线 ①三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。
中线 三角形的三条中线相交于一点。
高 三角形的三条高相交于一点。
边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。
中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
（2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。
（3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 三角形的面积 （1）一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高 )5.多边形的内角和为 ( n – 2 )·180°（ n 为边数 ）； 多边形的外角和为360°.例题剖析一、填空题1、在△ABC 中，∠A=3∠B=32∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= ；若∠A+∠B=∠C ，则△ABC 是 __三角形2、如图 在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，则图中有 _____ 个直角三角形， 它们是_________________；∠A 是 ___ 和 ___ 公共角；互余的角有 3 几对，它们是3、如图，已知在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O ，（1）若∠ABC=500，∠ACB=650，则∠BOC= .； （2）若∠ABC+∠ACB=1300，则∠BOC= （3）若∠A=900，则∠BOC= ； （4）若∠BOC=1000，则∠A= ；AB CO课堂练习（基础题）1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．170° D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形 4．六边形的内角和等于_______度．5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______6、（综合题）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，•DF 平分∠ADC ．BE 与DF 有怎样的位置关系？为什么？7、（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．8、（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（二）全等三角形1、判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须 有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS3、有关角平分线的知识：①、把已知角平分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线。
(人教版数学)八年级竞赛专题讲解：第九讲 三角形的边与角
第九讲 三角形的边与角三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。
角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用．解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论：(1) ∠l ＋∠2=∠3+∠4；(2) 若BD 、CO 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC=90°+21∠A ； (3) 若BO 、CO 分别为∠DBC 、∠ECB 的平分线，则∠BOC=90°－21∠A ； (4) 若BE 、CE 分别为∠ABC 、∠ACD 的平分线，则∠E=21∠A ．注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部．代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)．例题求解【例1】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C ＝7∠A ，则∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题)思路点拨 设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组．【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有( )A ．4个B ．7个C ．13个D ．60个(河南省竞赛题)思路点拨 1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的关系制约．【例3】 (1)如图，BE 是∠ABD 的平分线．CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A 的大小．(“希望杯”邀请赛试题)(2)在△ABC 中，∠A=50°，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，求∠BOC 的度数． (“东方航空杯”——上海市竞赛题)思路点拨 (1)运用凹边形的性质计算．(2)由O 不与B 、C 重合知，∠B 、∠C 均非直角，这样，△ABC 既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种情况讨论．【例4】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?(2003年河南省竞赛题)思路点拨 不妨设三角形三边为a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，由三角形三边关系定理及题设条件可确定 c 的取值范围，以此作为解题的突破口．注 如图，在凹四边ABCD 中，∠BDC=∠A ＋∠B ＋∠C ．请读者证明．解所研究的问题的图形形状不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时．往往用到分类讨论法．【例5】 (1)用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．(大原市竞赛题)(2)现有长为150cm 的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于l ㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段．(第17届江苏省竞赛题)思路点拨 (1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x 、y 、3x ，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．(2)因n 段之和为定值150㎝，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．学力训练1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． (2003年河南省竞赛题)2．一条线段的长为a ，若要使3a —l ，4a+1，12－a 这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围是 ．3．如图，在△ABC 中，两条角平分线CD 、BE 相交于点F ，∠A ＝60°，则∠DFE ＝ 度．4．如图，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝α，∠DBE ＝β，则∠DCE ＝ ． (用α、β表示)． (山东省竞赛题)5．若a 、b 、c 为三角形的三边，则下列关系式中正确的是( )A ．02222>---bc c b aB ．02222=---bc c b aC ．02222<---bc c b aD ．02222≤---bc c b a(江苏省竞赛题)6．△ABC 的内角A 、B 、C 满足3A>5B ，3C ≤2B ，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7．如图，△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为( )A ．360°B ．900°C ．1260°D ．1440° (重庆市竞赛题)8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )A ．50°B ．45°C ．40°D ．35° (山东省竞赛题)9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D ＝180°．10．如图，已知射线ox 与射线oy 互相垂直，B ，A 分别为ox 、oy 上一动点，∠ABx 、∠BAy 的平分线交于C ．问：B 、A 在ox 、oy 上运动过程中，∠C 的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由．11．已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．12．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围 ．13．已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，则b 的取值范围是 ．14．如图，E 和D 分别在△ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，若∠B ＝70°，∠D=40°，则∠F 的大小是 ．15．已知△ABC 中，∠B=60°，∠C>∠A ，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定( “希望杯”邀请赛试题)16．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( )A ．143<<kB ．131<<k C ． 1<k<2 D ．121<<k 17．已知三角形的三边的长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b<c ，若b=7，则这样的三角形有( )A ．14个B ．28个C ．21个D ．49个18．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角或钝角三角形19．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．20．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．(美国数学邀请赛试题)21．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b，c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形．(1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)；(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b，c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；(3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类．(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)22．阅读以下材料并填空．平面上有n个点(n≥2)，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线……(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S发现：(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3．条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1 O条直线；(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现：(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点以有n种取法，取第二个点B 有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但A B与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=21)-n(n．(4)结论：Sn=21)-n(n．试探究以下问题：平面上有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．Sn,发现：(填下表)(3)推理：(4)结论：(甘肃省中考题)。
三角形的所有定理及概念
三角形的所有定理及概念
三角形是平面几何中的重要概念，它有许多定理和概念。
首先，我们来谈谈三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的
多边形，其中每个角的度数之和为180度。
根据边长和角度的不同，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三
角形和锐角三角形等不同类型。
三角形的定理和概念包括但不限于以下几点：
1. 三角形的角平分线定理，三角形内任意角的角平分线相交于
对边上的一点，并且此点到两个角的顶点的距离相等。
2. 三角形的中位线定理，三角形内任意两边的中位线平行且等
于第三边的一半。
3. 三角形的高定理，三角形内任意一条高都将底边分成两段，
使得这两段边乘积等于高与底边的乘积。
4. 三角形的外角定理，三角形的一个外角等于它的两个不相邻
内角的和。
5. 三角形的内角和定理，三角形内角的度数之和为180度。
6. 三角形的相似定理，如果两个三角形的对应角相等，则它们
是相似三角形；如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三
角形。
7. 三角形的勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于
斜边的平方。
除了上述定理和概念外，三角形还涉及到海伦公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等等。
这些定理和概念在解决三角形相关的问
题时起着重要的作用，能够帮助我们理解三角形的性质和特点，解
决各种三角形的计算和证明问题。
通过深入理解三角形的定理和概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也能够更好地理
解几何学的相关知识。
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略三角形是数学竞赛中一个重要的题目类型，涉及了几何学和三角函数等相关概念。
对于这类题目，理解三角形的性质和掌握解题策略是至关重要的。
首先，我们来看一些与三角形相关的常见题型。
1. 三角形的性质：1.1 三边关系：根据三条边的长度关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.2 角关系：根据三个角的大小关系，可以判断三角形的形状，如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.3 高度、中线和角平分线：这些线段可以把三角形分成几个等腰三角形，从而利用等边、等腰三角形的性质推导出结果。
2. 三角形的面积：2.1 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。
2.2 边长和高度：已知底边和高度，可以计算三角形的面积。
2.3 角度和边长：已知两条边和夹角，可以计算三角形的面积。
3. 三角形的相似和全等：3.1 相似三角形：利用三角形的相似性质，可以求解未知边长和角度。
3.2 全等三角形：利用三角形的全等性质，可以求解未知边长和角度。
在解题过程中，可以采用以下策略：1. 分析和利用已知条件：仔细阅读题目，了解已知条件和寻找解题线索。
根据已知条件，可以找到合适的定理和公式来解题。
2. 利用几何图形：画出准确且清晰的几何图形，有助于观察和推导出一些结论。
使用图形的性质和构造，可以解决一些几何问题。
3. 运用数学公式和定理：熟练掌握三角函数、海伦公式、相似三角形和全等三角形等的公式和定理。
根据需要，将问题转化为可以利用这些公式和定理求解的形式。
4. 利用等边、等腰三角形等性质：假设三角形具有一些特殊性质，如等边三角形、等腰三角形等，并根据这些性质进行推导和计算。
这些特殊性质往往可以简化问题，加快解题进程。
5. 运用三角形的内角和外角性质：根据三角形内角和外角的关系，可以推导出一些重要的结论。
利用这些结论，可以解决一些需要求角度的问题。
6. 利用垂线、中线和角平分线：根据垂线、中线和角平分线的性质，可以将三角形分成几个相等的小三角形，从而简化问题的解决过程。
三角形的基本概念和定义
三角形的基本概念和定义
1、由三条线段围成的图形叫做三角形。
围成三角形的每条线段叫做三角形的边,每两条线段的夹角叫做三角形的角，每两条线段的交点叫做三角形的顶点.三角形有3个顶点，3条边，3个角。
2、三角形具有稳定性。
3、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,这条对边叫做三角形的底。
三角形有3条高.
4、三角形按角分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
5、每个三角形都至少有2个锐角;每个三角形都最多有1个直角；每个三角形都最多有1个钝角。
6、三角形按边分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形.
7、在等腰三角形里，相等的两边叫做腰；两腰的夹角叫做顶角;顶角所对的边叫做底边；两条腰和底边的两个夹角叫做底角，等腰三角形的两个底角相等. 等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
6、三角形的内角和是180度.直角三角形的两个锐角的和是90度。
三角形的基本概念
三角形的基本概念三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个顶点组成。
它是平面上的一个闭合图形，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将讨论三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类、性质以及相关定理。
一、三角形的定义三角形是由三条线段所组成的图形，这三条线段相互连接并形成一个封闭的图形。
其中，每个线段被称为三角形的边，而线段之间的交点被称为三角形的顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边的长短和角的大小，三角形可以分为以下几类：1.等边三角形：三条边的长度相等。
2.等腰三角形：两条边的长度相等。
3.直角三角形：其中一个角度为直角（90度）。
4.锐角三角形：三个角度都小于90度。
5.钝角三角形：其中一个角度大于90度。
三、三角形的性质三角形具有以下基本性质：1.三角形的内角和等于180度。
2.任意两边之和大于第三边，即边长满足三角不等式。
3.等边三角形的三个角度均为60度，等腰直角三角形的两个角度为45度。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是著名的勾股定理。
四、三角形的相关定理三角形有许多重要的定理与之相关，这些定理帮助我们理解三角形的性质和关系：1.角平分线定理：如果一条线段从一个角的顶点出发并平分该角，那么该线段将把对边分成两个相等的线段部分。
2.三角形中位线定理：三角形中位线的长度等于一半的底边的长度。
3.角邻接定理：在一个三角形中，两个角邻接对边的边长之比等于这两个角的正弦值或余弦值之比。
综上所述，三角形是一个基本的几何图形，具有丰富的性质和特点。
我们可以通过对三角形的定义、分类、性质以及相关定理的学习来更好地理解和应用几何学中的概念。
通过深入掌握三角形的基本概念，我们可以进一步探索三角形形成的原理，并应用到实际生活和其他几何学问题中。
三角形的认知知识点
三角形的认知知识点三角形是几何学中一种常见的图形，通过三条线段连接起来构成。
了解和掌握三角形的基本概念、性质和分类，对于学习几何学和解决实际问题都是必要的。
本文将介绍三角形的认知知识点，包括基本概念、性质和分类，帮助读者全面了解和掌握三角形的相关知识。
一、基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段连接在一起构成的图形。
三角形的边是线段，边两两连接的端点称为顶点。
2. 三角形的要素：三角形有三个顶点和三条边。
三个顶点分别用大写字母A、B、C表示，三条边分别用小写字母a、b、c表示。
每条边都由两个顶点确定，如边a由顶点B和顶点C确定。
3. 三角形的符号表示：常用的表示方法是以三个顶点的大写字母按顺序排列，如△ABC表示以A、B、C为顶点的三角形。
二、性质1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度（即180°）。
设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A+∠B+∠C=180°。
2. 外角和定理：三角形的一个内角的补角是另外两个外角的和。
设三角形的一个内角为∠A，则它的补角为180°-∠A，而另外两个外角分别为180°-∠B和180°-∠C，所以有(180°-∠A)+(180°-∠B)+(180°-∠C)=360°。
3. 等边三角形性质：等边三角形的三条边相等，三个内角也相等，每个内角都是60度（即60°）。
4. 等腰三角形性质：等腰三角形的两个底边相等，两个底角也相等。
5. 直角三角形性质：直角三角形的一个内角是90度（即90°），称为直角。
直角三角形的两条腿相互垂直，并且满足勾股定理：c^2=a^2+b^2，其中c表示斜边，a和b分别表示两条腿的长度。
三、分类1. 按边的关系分类：a. 等边三角形：三条边相等，每个内角都是60度（即60°）。
b. 等腰三角形：两个底边相等，两个底角也相等。
三角形的概念
三角形的概念三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段的两个端点相连形成三个角。
在本文中，将介绍三角形的定义、性质以及一些相关的概念。
一、三角形的定义在几何学中，三角形定义为由三条线段组成，并且每两条线段的两个端点相连形成三个角。
这意味着三角形可以用三个点或者三个直线段来描述，并且它是一个闭合的图形。
二、三角形的性质1. 三角形的角度和为180度：三角形的内角和等于180度。
这是因为对于任意一个三角形，三个角的和等于一个平角，而平角的度数是180度。
2. 三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边。
这被称为三角形的三边不等式。
例如，如果一个三角形的两边长分别为a 和b，那么它们之和大于第三边c，即a + b > c。
3. 三角形的分类：三角形可以根据其边长和角度分类。
根据边长可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角度可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
4. 三角形的面积：三角形的面积可以通过海伦公式或者高度乘底边长的一半来计算。
海伦公式是一种计算任意三角形面积的公式，它用到了三角形的三边长。
5. 相似三角形：如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
相似三角形有相似比例和面积比关系，可以用于解决一些几何问题。
三、相关概念1. 直角三角形：直角三角形是其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的两条边相互垂直，并且满足勾股定理的关系，即a^2 + b^2 =c^2。
2. 锐角三角形：锐角三角形是其中所有角度都小于90度的三角形。
它的三个角都是锐角。
3. 钝角三角形：钝角三角形是其中有一个角大于90度的三角形。
它的一个角是钝角。
4. 等边三角形：等边三角形是所有边长相等的三角形。
它的三个角度也相等，每个角度都是60度。
5. 等腰三角形：等腰三角形是其中两边的边长相等的三角形。
一个等腰三角形至少有两个角度相等。
总结：三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，并且每两条线段的两个端点相连形成三个角。
初中数学知识归纳三角形的基本概念
初中数学知识归纳三角形的基本概念三角形，作为几何学的基础概念之一，在初中数学中具有重要的地位和意义。
掌握三角形的基本概念，对于学生进一步学习和理解几何学知识以及解题提供了良好的基础。
本文将对初中数学中三角形的基本概念进行归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
三角形由三个顶点、三条边和三个内角组成。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长的分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度的分类：a. 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
b. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
c. 锐角三角形：其中所有角都小于90度。
3. 根据边长和角度的组合分类：a. 等腰直角三角形：两条等长边构成直角。
b. 等腰锐角三角形：两条等长边构成锐角。
c. 等腰钝角三角形：两条等长边构成钝角。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和为180度：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 三角形的外角和：三角形的一个内角的外角和等于360度。
3. 三角形的外角和与内角和的关系：一个三角形的内角和与其对应外角和的差为180度。
四、三角形的重要定理1. 直角三角形的勾股定理：对于直角三角形ABC，设斜边为c，直角边为a和b，则有c²=a²+b²。
2. 正弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
3. 余弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则有c²=a²+b²-2abcosC。
五、三角形的应用1. 测量不可直接到达的高度：利用直角三角形的性质，可以通过测量斜边和与斜边夹角的方式间接测量不可直接到达的高度。
初二数学三角形的性质与判定
初二数学三角形的性质与判定三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它由三条线段组成，且满足两边之和大于第三边的条件。
在初二数学中，我们将学习三角形的性质与判定，深入了解三角形的各种特征和性质。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，线段叫做三角形的边，它们的端点叫做三角形的顶点。
三角形的符号可以用大写字母表示，比如ΔABC。
2. 三角形的分类根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：- 等边三角形：三条边的长度相等，即三个顶点之间的距离都相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，即两对顶点之间的距离相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，即三个顶点之间的距离都不相等。
3. 三角形的角度三角形中有三个内角，记作∠A、∠B和∠C。
这些角的性质如下：- 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°，即∠A + ∠B +∠C = 180°。
- 直角三角形：如果三角形中有一个角是90°，那么这个三角形就是直角三角形。
- 钝角三角形：如果三角形中有一个角大于90°，那么这个三角形就是钝角三角形。
- 锐角三角形：如果三角形中的三个角都小于90°，那么这个三角形就是锐角三角形。
4. 三角形的边长关系三角形中的边还有一些特殊的关系：- 三角不等式：三角形任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
- 等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，且任意两个角都是60°。
- 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等，且两个底角（底边的对角）相等。
- 等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两条直角边相等。
5. 三角形的判定在初二数学中，我们还需要学习如何根据给定的条件判定一个图形是否是三角形：- 三边判定：给定三条边的长度，如果任意两边之和大于第三边，那么这三条边可以构成一个三角形。
八年级数学定理定义总结大全
八年级数学定理定义总结大全一、三角形相关1. 三角形内角和定理- 三角形的内角和就像一个固定的小秘密，不管啥样的三角形，它的三个内角加起来永远等于180°。
就像三个小伙伴凑在一起，不管他们怎么打闹，他们的力量总和是固定的呢。
2. 等腰三角形的性质- 等腰三角形可有意思啦。
它就像一个对称的小房子，两条边（腰）是一样长的。
等腰三角形的两个底角也相等，就像住在这个小房子两边房间里的小伙伴，他们的地位是平等的呢。
而且等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，这就像是一把神奇的钥匙，能同时打开三扇不同功能的门。
3. 等边三角形的性质- 等边三角形那可是三角形里的超级明星。
它的三条边都相等，就像三个一模一样的小战士。
它的三个内角也都相等，而且每个角都是60°，就像三个小伙伴都有着同样阳光开朗的性格。
4. 三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）- SSS（边边边）：如果两个三角形的三条边都对应相等，那就像两个用同样的三根小木棍搭成的小架子，肯定是完全一样的，这两个三角形就全等啦。
- SAS（边角边）：有两条边和它们的夹角都对应相等的两个三角形全等。
可以想象成有两个三角形，它们有两条边就像两只手臂，手臂的长度一样，而且手臂之间的夹角也一样，那这两个三角形就是全等的，就像两个做着同样动作的小人。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
就好比两个三角形里有两个角是一样的，而且这两个角中间夹着的边也一样长，那这两个三角形就像一对双胞胎，完全一样。
- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
这就像两个三角形，有两个角相同，然后剩下的一条边（不是两角的夹边哦）也相等，那它们也是全等的。
- HL（斜边、直角边）：这个是专门对付直角三角形的。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那这两个直角三角形就全等啦。
就像两个直角三角形，它们的斜边是一样长的，而且有一条直角边也一样长，那它们肯定是全等的。
三角形的认知知识点
三角形的认知知识点三角形是我们数学中最基本的几何图形之一。
在学习和应用几何学时，对于三角形的认知十分重要。
本文将介绍三角形的定义、分类、性质以及相关定理和应用知识点，帮助读者更好地理解和应用三角形的概念。
一、三角形的定义和基本概念1. 定义：三角形是由三个线段组成的闭合图形，其中三个线段两两相交于一个端点。
这个端点称为三角形的顶点，而由顶点连成的线段称为三角形的边。
2. 元素：三角形有三个顶点和三条边。
顶点用大写字母表示，如A、B、C，边用小写字母表示，如a、b、c。
3. 命名方式：通常按照顶点的命名顺序来表示三角形，比如ABC表示以A、B、C为顶点的三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，三角形可以分为以下几类：1. 根据边长：- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 普通三角形：三条边都不相等的三角形。
2. 根据角度：- 直角三角形：其中一个角为直角的三角形。
- 钝角三角形：其中一个角为钝角的三角形。
- 锐角三角形：三个角都为锐角的三角形。
三、三角形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 三角形外角定理：三角形的一个内角的补角等于其他两个外角的和。
即∠A' = ∠B + ∠C。
3. 三角形的外心：外心是三角形三条外交线的交点，记为O。
外心到三角形的每个顶点的距离相等，且外心是外接圆的圆心。
4. 三角形的重心：重心是三角形三条中线的交点，记为G。
重心到三角形的每个顶点的距离的比例为2:1。
5. 三角形的垂心：垂心是三角形三条高的交点，记为H。
垂心到三角形的每个顶点的距离相等，且垂心所在直线垂直于对应边。
四、三角形的重要定理和应用1. 余弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为a、b、c，∠A的对边为a，那么有 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA，同理可得b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC。
八年级 三角形 定理定义
八年级三角形定理定义三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在八年级的数学课程中，我们将学习一些与三角形相关的定理和定义，通过这些内容，我们可以更深入地了解三角形的性质和特点。
让我们来了解一些基本概念。
在三角形中，我们通常会遇到三个重要的角度：内角、外角和对应角。
内角是指位于三角形内部的角度，外角是指位于三角形外部但与三角形某一边相邻的角度，对应角是指两条平行线被一条横切线所分割的两组内角。
接下来，我们将介绍三角形的定理和定义。
1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理是三角形最基本的性质之一，也是我们在解决三角形问题时经常会用到的重要定理。
2. 等腰三角形定理：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两侧的角）相等。
这个定理可以帮助我们判断一个三角形是否为等腰三角形。
3. 直角三角形定理：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，两个锐角（小于90度的角）的平方和等于直角边（斜边以外的两边）的平方。
这个定理被称为勾股定理，是三角形中最为著名的定理之一。
4. 三角形中位线定理：三角形的三条中位线所交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，通过这个定理，我们可以推导出三角形的一些性质。
5. 外角和定理：三角形的一个外角等于其余两个内角之和。
这个定理可以帮助我们计算三角形的外角大小。
6. 三角形的全等定理：如果两个三角形的对应边长相等，那么这两个三角形是全等的。
全等三角形具有相等的对应角和对应边，通过这个定理，我们可以解决一些有关全等三角形的问题。
7. 三角形的相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
相似三角形具有对应角度相等，但对应边长可能不等的特点，通过这个定理，我们可以解决一些有关相似三角形的问题。
以上是八年级数学课程中关于三角形的一些定理和定义。
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八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念
一、知识结构：
1、三角形的定义；
2、三角形的角平分线、中线、高；
3、三角形的三边之间的关系；
4、三角形的内角和定理及其推论；
5、同一个三角形中边与角之间的关系；
6、三角形的分类； 二、典型例题：
1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2
c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2
2
2
ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ）
A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°
B ．在△AB
C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°
D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多；
5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；
6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数；
7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？
8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A
B D F C
9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的81与6
1
之间；
10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？
11、设△ABC 的三边a,b,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a+b+c=13,则以a,b,c 为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？
12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？
13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；
14、已知三角形中两角之和为n °，最大角比最小角大24°，求n 的取值范围；
15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ） A ．143<<k B ．131<<k C ．1＜k ＜2 D ．12
1
<<k
16、如图：O 为△ABC 内的一点，求证：
（1） OA+OB+OC ＞
2
1
（AB+BC+AC ）； （2） OB+OC ＜AB+AC ； （3） OA+OB+OC ＜AB+AC+BC ； 作业题：
1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？
2、将三边长为a 、b 、c 的三角形记作（a ，b ，c ），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形；
3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、
4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值；
4、如图，△ABC 内有一点D ，AD 、BD 、CD 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，E 为△ABD 内一点，AE 、BE 、DE 分别平分△ABD 的各内角；F 为△BDE 内一点，BF 、EF 、DF 分别平分△BDE 的各内角。
若△BFE 的度数为整数，试求∠BFE 至少是多少度？ A
O
B C
5、如图，将任意△ABC 的三边四等分，BC 边上分点为321,,A A A ，AC 边上的分点为321,,B B B ，
AB 边上的分点为321,,C C C ，记△ABC 的周长为p ，111C B A ∆的周长为1p ，求证：p p p 4
3
21
1<
<；
6、三条线段能构成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段。
现有长为144厘米的铁丝，要截成n 小段（n ＞2），每段的长度不小于1厘米，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值是多少？
7、△ABC 面积为1，M 是AB 上任一点，N 是BC 上任一点，P 是MN 上任一点。
（1）将ABC AMP S S ∆∆:表示成图中已经给出的线段之比的乘积形式； （2）求证：△AMP 和△CPN 的面积中至少有一个不大于8
1
； B M P N A C
8、不等边△ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，△ABC周长的最小值；。