矩阵论1.1节

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矩阵论第1章

例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质．（1）反身性每一个向量组都与它自身等价；（2）对称性如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价；（3）传递性如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都有 0 ，称 0 为零元素；（ 4 ） ( 有负元 ) 对任何 V ，都有元素 V ，使
0 ，称为的负元素，记为；
所以在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T

南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义

第一章线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。

§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要，先引入数域的概念。

定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。

显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。

另外，数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域，但整数集不是数域。

我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。

另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。

还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。

我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。

定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果1. V 中元素具有可加性对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足：（1）交换律 αββα+=+（2）结合律 )()(γβαγβα++=++（3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0；（4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）；2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任意P l k ∈,，任意V ∈α，满足（5）αα=1；（6）结合律 αα)()(kl l k =；（7）左分配律 αααl k l k +=+)(；（8）右分配律 βαβαk k k +=+)(；则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。

矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式

矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。

即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。

定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。

⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。

可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。

若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。

例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。

例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。

工程硕士矩阵论第一章

n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加法以及向量与实数的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节线性子空间
一.子空间的概念定义设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念定义设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ，如果存在一组数量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称或可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）

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Example 1
设A, B Cnn ,证明 A B
证：
B AB AB
A
AB A
B AB B

B A B A AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A, B, C, D Cnn ,且A可逆，AC CA,
证明 A
B AD CB
CD
证：
A C
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
CD
CD
3 EA
C
EB E
D

0
0 A
I
n

C
B
D

E 0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF

A

a11
,
a22
,L
, ann
ann
3、三角矩阵
a11 a12 ... a1n
上三角矩阵
0
a22
...
a2n

M M O M

0
0
...
ann

a11 下三角矩阵 a21
M an1
0 ... a22 ... MO an2 ...
0
0
;
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
2 rank A r
A 的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
3 rank A r
A 的最高阶非零子式的阶数

矩阵论定义定理

第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。

定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。

基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。

若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。

记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。

研究生矩阵论第1讲线性空间

矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

矩阵论——讲稿

(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．

第1章矩阵运算与矩阵分解_1

T A21 AsT1 T T A22 As 2 T T A2 r Asr
H A21 AsH 1 H H A22 As 2 H H A2 r Asr
矩阵论与数值分析
二、方阵的行列式
(一)、行列式的定义与性质
矩阵论与数值分析
(三)、矩阵的块运算 1、加法，减法
A11 A21 设A As1 A12 A22 As 2 A1r B11 A2 r B21 ,B Asr Bs1 A12 B12 A22 B22 As 2 Bs 2 B12 B1r B22 B2 r Bs 2 Bsr
矩阵论与数值分析
2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；
2
若P, Q可逆，且B PAQ, 则rank A rank B
mn n 3 设 A C , W x C Ax 0 , 则

rank A dim W n
矩阵论与数值分析
矩阵论与数值分析
3、乘法
A11 A21 设A As1 A12 A22 As 2 A1t B11 A2t B21 ,B Ast Bt1 B12 B1r B22 B2 r Bt 2 Btr
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1
H A11 H A12 H A AH 1r
A12 A22 As 2
T A1r A11 T A2 r A12 T , 则A AT Asr 1r

(课件)矩阵论

=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解采用中介法求过渡矩阵.

矩阵论及其应用-1 chapter1

线性代数预备知识复习第一章线性空间线性空间是线性代数的中心内容它是几何空间的抽象和推广在线性代数中定义了n维向量的加法和数量乘法运算讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性完满地阐明了线性方程组的解的理论现在把n维向量抽象成集合中的元素撇开向量及其运算的具体含义把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来就形成了抽象的线性空间的概念这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P [ x] ,即
n
n Pn [ x] { p an x a1 x a0 an ,, a1 , a0 R},
组实数k1，k 2， , km，向量 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km 称为这
个线性组合的系数.
（2）给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R mn
Amn Bmn C mn ,
．
Amn Dmn ,
R mn是一个线性空间.
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2r k c k ; i i 3 ri krj ci kc j .

01_矩阵论_第一章

注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基，则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3

因为所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到，许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几个例题。

矩阵论简明教程(整理全)PPT课件

n 1
1
2
x n1 n
§1.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义
1 r a n k A r
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
2 r a n k A r
A 的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
a2, j1 a3, j1
a a n, j1 n, j1
a2n
a3n
ann
2 、 A d e tA
( 1 ) j1 j2
aa jn 1 j12 j2
a n jn
j1 j2 jn
二、块矩阵的行列式
1、设 ACmm,BCmn,CCnm,DCnn,则
1A
0A
BA
0 AD
0 D 0 D CD
A2r
B2r
,
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 设 AA21 A22
As1 As2
3、乘法 A11 A12
设AA21 A22 As1 As2
A1r
A11 A12
A2r，则 AA21 A22
Asr
As1 As2
A1r A2r
Asr
A1t
B11 B12
A2t ,BB21 B22
Ast
Bt1 Bt2
B1r
B2r
Btr
C11 C12 则ABC21 C22
Cs1 Cs2
C1r
C2r
, 其中Cij
t
k1
AikBkj
Csr
i 1,2, ,s; j 1,2, ,r
4、转置与共轭转置

第一章矩阵论

A (a1 a2 an ) (a1 , a2 ,, an )
b1 b2 (3) 列矩阵 (又称为列向量) B bm
6
矩阵概念
(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元素族称为主对角线.主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵.记为 a11 0 0 0 a22 0 diag a11 , a22 ,, ann 0 ann 0
第一章矩阵论
1.1 矩阵的概念及其运算
1.2 矩阵的行列式
1.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩
1.4 矩阵的逆
1.5 矩阵的分块、克莱默法则
1
1.1 矩阵的概念及其运算
1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的线性运算与乘法 1.1.3 矩阵的转置
2
矩阵概念
引例产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.
7
矩阵概念
(5)单位矩阵主对角线上的元素全是1的对角阵
(6)上三角阵主对角线下方所有元素均为零的方阵; 下三角阵主对角线上方所有元素均为零的方阵.
1 0 E 0 0 0 1 0 0 1
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n A 0 0 ann
a11 0 0 a21 a22 0 B an1 an 2 ann
8
1.1.2 矩阵的线性运算与乘法
线性运算
加法：两同型矩阵
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2 之和为 A B ( aij
b11 b12 b1n a1n b21 b22 b22 a 22 , B bm1 bm 2 bmn amn bij ) m n .

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

矩阵论01

k

k

（4） 1 x 是 x 的负元素
k k k l k l
x 1x x 1x 1
k
[x y O]
（5） k ( x y) ( xy) x y (k x) (k y) [数因子分配律] （6） (k l ) x x x x (k x) (l x ) [分配律] （7） k (l x) ( x ) x (kl) x [结合律] （8） 1 x x x [恒等律] 由此可证， R 是实数域 R 上的线性空间。 [证毕]
10
1°
x y (1 x1 2 x2 n xn ) ( 1 x1 2 x2 n xn ) (1 1 ) x1 ( 2 2 ) x2 ( n n ) xn
正对应
x ( 1 , 2 , n ) x y (1 1 , 2 2 , n n ) y ( , , ) 1 2 n
[零元律]
[结合律]
[零元律]
5
即 y 和 z 相同，故负元素唯一。
(2) ①：设 w 0 x ，则 x w 1x 0 x (1 0) x x ，故 w O 。
[恒等律]
②：设 w (1) x ，则 x w 1x (1) x 0 x O ，故 w x 。 [证毕]
11
, E12 ,, E1n ; E21 , E22, , E2n ;; Em1 , Em 2 ,, Emn 。另一方面，还需说明元
ij mn
素个数最大。对于任意的 A (a ) ，都可由以上元素组线性表示，
A aij Eij aij Eij A 0

矩阵论黄有度1

பைடு நூலகம்
p2 n L
或( β1 , β 2， , β n ) = (α1 , α 2， , α n ) P L L
p11 p21 (1.2) 其中P = M M 过渡矩阵 pn1
p12 L p22 L
pn 2 L
p1n p2 n M M pnn
例求线性空间Cn [ x] （复数域C上次数不超过n的一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解空间的一个基为 p1 = 1, p 2 = x, p3 = x 2 ,L , p n +1 = x n 其维数为n + 1.任何次数不超过n的多项式 p = a n x n + a n −1x n −1 + L + a1x + a 0 可表示为 p = a 0 p1 + a1p 2 + L + a n p n +1 因此，p在这个基下的坐标为 p = (a 0 , a1 ,L , a n )
第一章线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的定义
是一个包含0,1的数集定义设F是一个包含的数集，且若中的是一个包含的数集，且若F中的任两个数的和， (除数为除数为0外)仍在仍在F 任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F 对这些运算封闭)，为一数域中(即F对这些运算封闭，则称为一数域。即对这些运算封闭则称F为一有理数集，实数集，例有理数集，实数集，复数集都是数域，而整数集不是数域。数域，而整数集不是数域。
2. 子空间的交与和
定义设V1 , V2为线性空间V 的两个子空间，我们分别称 V1 I V2 = {α ∈ V α ∈ V1 且α ∈ V2 }， V1 + V2 = {α ∈ V α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 为V1与V2的交与和。

第1章矩阵论

矩阵论前言为何要学矩阵论：矩阵论是数学的一个分支，是学习数学和其它学科（如数值分析、最优化理论、概率统计、控制论、信息科学）的基础，也是科学和工程计算的有力工具。

如求解线性方程组的解AX＝b在A－1存在的情况下，解为X＝A－1b，有两个问题：怎么知道A－1存在不存在；如果存在，怎么求A－1。

在A－1不存在的情况下，如何求误差范数bAX 为最小的最小二乘解。

这也涉及到矩阵范数定义，最小二乘解的求解方法。

再如，已知矩阵A，如何求A100。

或许有人会说。

简单，进行矩阵连乘不就行了。

但是，计算量太大，如何用一个更好的方法来求呢？如何求A e，Asin,A第一章线性空间与线性变换1.1线性空间1.1.1线性空间的概念及定义数域：设F是包含0和1在内的数集，若F对于数的加、减、乘、除都封闭，即F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在F中，则称F是一个数域。

由全体实数构成的集合为实数域（R）,由全体复数构成的集合为复数域（C）。

不存在所谓的整数域。

我们用F表示数域（实数域或复数域）。

线性空间：设V 是非空集合，F 是数域，在V 中定义了两种代数运算。

加法：就是给定了一个法则“＋”，对于V 中的任意两个元素α和β，在V 中都有惟一的元素γ与之对应称为α与β的和，记为βαγ+= 加法运算满足以下4条规则：（1）αββα+=+ （交换律）（2）)()(γβαγβα++=++ （结合律）（3）在V 中存在零元素“0”，对V 中的的任一元素，即V ∈α，都有αα=+0；（4）对V 中的每一元素α，都存在元素β，使0=+βα，β称为α的负元素，记为αβ-=。

数乘：就是给定一个法则，对V 中的任一元素α和数域F 中的任一数k ，在V 中都有惟一的元素δ与它们对应称为α与k 的乘积，记为αδk =。

数乘运算满足以下4条规则：（5）αα)()(kl l k = （6）αα=1（7）βαβαk k k +=+)( （8）αααl k l k +=+)(对加法、数乘运算满足（1）~（8）条规则的非空集合V ，称为定义在数域F 上的线性（向量）空间。

矩阵论1.1节

矩阵论第1章

南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义

矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式

工程硕士矩阵论第一章

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矩阵论定义定理

研究生矩阵论第1讲 线性空间

矩阵论——讲稿

第1章 矩阵运算与矩阵分解_1

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01_矩阵论_第一章

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