1充分条件与必要条件导学案
1.2.1充分条件与必要条件导学案
课题 1.2.1充分条件与必要条件编制人:杨松 审核人:孙振兴，周俊杰学习目标：正确理解充分条件、必要条件的概念，并能判断命题中p 是q 、q 是p 的充分或必要条件自主学习：知识链接1.判断下面命题它们的真假性：（1）若x>a 2＋b 2，则x>2ab ； （2）若0ab =，则0a =2.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.新课探究1.一般地，“若p 则q ”为真命题，即由 通过推理可以得出 。
这时，我们就说 记为 并且说p 是q 的 ，q 是p 的2.如果“若p ，则q ”为假命题，那么由q 推不出q ，记为：pq ，此时我们说q 不是p 的充分条件，q 不是p 的必要条件。
3.一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作 . 此时，我们说，p 是q 的 ，简称4.一般地，若p ⇒q ,但q ≠> p ，则称p 是q 的充分但不必要条件；若p ≠>q ，但q ⇒ p ，则称p 是q 的必要但不充分条件；若p ≠>q ，且q ≠> p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件；②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1=x ，则0342=+-x x ；（2）若x 为无理数，则2x 为无理数.例2.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若x y =，则22x y =（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；例3.下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；例4.设甲、乙、丙是三个命题，若果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么丙是甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件学生自我总结：当堂练习:1.用符号”与“⇒“≠> ”填空： （1）22y x =__________y x =;（2）内错角相等_________两直线平行；（3）bc ac =__________b a =.2.在下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）P ：四边形是正方形，q ：四边形的四边相等. (2)P:,3≠t q:92≠t .（3）若x x f =)(，则),)(+∞∞-在（x f 上为增函数；(4)p:y x >,q:yx 11<. 3.下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.4.条件p ：x x =，条件q ：x x -≥2，则q 是p 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 当堂检测:已知命题p ：实数)0(03422<<+-a a ax x x 满足，q ：实数062≤--x x x 满足或 0822>-+x x ，且q 是p 的必要不充分条件.求a 的取值范围.。
导学案：充分条件和必要条件
《充分条件和必要条件》导学案1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；3．培养学生的辩证思维能力．一．课前准备：1．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“pq ”； “若p 则q ”为假，记作“pq ” ．2．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．（1）若y x =，则22y x = （ ）（2）若0=ab ，则0=a （ ）（3）若12>x ，则 （ ）（4）若 或2=x ，则0232=+-x x （ ）（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）二．探索新知：探究（一）：上面命题的条件和结论有什么关系？命题（1）中y x = 22y x =；22y x = y x =； 命题（2）中0=ab 0=a ；0=a 0=ab ； 命题（3）中12>x ； 12>x ；命题（4）中 或2=x 0232=+-x x ；0232=+-x x 或2=x ；命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；两个三角形对应角相等 两个三角形相似．新知（一）一般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为p 是q 的充要条件，记作 ；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．动手试试（一）：1．如果：2>x ，：，则是的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）2．“c b a >>”是“0))()((<---a c c b b a ”的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）探究（二）：从集合的观点来看“q p ⇒，则p 是q 的充分条件”给定两个条件，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{}p x x A 满足条件=，{}q x x B 满足条件=新知（二）q p ⇒,相当于 ；p q ⇒,相当于 ；,q p ⇔相当于 ．动手试试（二）：已知：02082>--x x ，：)0(,01222>≥-+-a a x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围．1．自我评价你完成本节学案的情况为（ ）A ．很好B ．较好C ．一般D ．较差2．当堂检测（限时5分钟，满分10分）在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要：（1）“和都是偶数”是“是偶数”的 条件．（2）“b a =”是“b a 22=”的 条件．（3）“直线与平面内无数条直线垂直”是“α⊥l ”的 条件．（4）“0=a ”是“函数)()(2R x ax x x f ∈+=为偶函数” 的 条件．（5）“N M x ⋂∈”是“N M x ⋃∈”的 条件．1．“βα>”是“βαsin sin >”的 条件．2．“N M >”是“N M 22log log >”的 条件．3．若 是两个非零向量，则“b a 32=”是“” 的 条件． 4．已知：)0()15(22>>-a a x ，：01322>+-x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围．。
导学案充分条件与必要条件
导学案 §1.2.1充分条件与必要条件一、学习目标1.理解充分条件与必要条件的概念；2.会判断命题中的充分条件与必要条件；3.能初步对充分条件与必要条件进行简单应用。
二、学习重点与难点1. 学习重点：理解充分条件与必要条件的概念.2 .学习难点：必要条件的符号语言的理解与判断方法. 三、知识框架判断所给原命题及其逆命题的真假——分析p,q 之间的关系——充分条件与必要条件的概念——分析已知命题中p,q 之间的充分性与必要性之间的关系——充分条件与必要条件的四种类型——判断充分条件与必要条件的方法——简单应用 。
四、新课导学（一）自主活动一：探究充分条件与必要条件的概念。
1、给出下列若“p 则q ”形式的命题并提出有关问题。
(1) 命题1：若小明是山东泗水人，则小明是中国人. 命题2：若A=Ø，则A B=Ø. 命题3：若22,b a b a>>则 .命题4：是增函数则且若)(),10()(x f a a a x f x≠>= .(2) 判断原命题及其逆命题的真假 ，并说出命题1的逆否命题。
(3)思考1： ？同时反过来讲， (4)试使用同样的说法分析命题2中p 与q 的关系。
(5)如果我们将上述真命题中的p 与q 之间的关系推广到一般情况，又该如何描述呢？2 .充分条件与必要条件的定义：一般地，“若p 则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q 这时我们就说，由p 可推出q ，记作q p ⇒并且说p 是q 的_____条件,q 是p 的_____条件。
思考2：分析命题3和命题4，我们又会得到怎样的结论？一般地，“若p 则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q 这时我们就说，由p 可推出q 记作q p ⇒此时我们就说p 不是q 的_____条件,q 不是p 的_____条件。
结论1：由定义可知，p 是q 的充分条件等同于说q 是p 的必要条件。
充分条件与必要条件导学案
§1.2充分条件与必要条件导学案【一】学习目标1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2．理解“⇒”“⇒”“⇔”的意义，并会应用解题。
【二】小组交流 合作探究（阅读课本第9-11页完成下列问题）问题1. 命题“若22x a b >+，则2x ab >”（1）p ： q ：（2）判断该命题的真假____（3）该命题可记为：问题2. 命题“若0ab =,则0a =”（1）p q ：（2）判断该命题的真假_____（3）该命题可记为：结论：1、一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的2、一般地，“若p ，则q ”为____命题，是指由p 不能得出q .我们就说,由p 不能推出q ,记作______ ,并且说p 不是q 的 ,q 不是p 的问题3.命题a ，R b ∈,“若b a >，则c b c a +>+”（1）p ： q ：（2）判断该命题的真假_____（3）该命题可记为：结论：3、一般地，如果既有p q ⇒，又有p q ⇒，记作______,此时我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
问题4. 观察命题1、命题2中p 、q 的关系，试得出如下结论结论：4、如果有p ____q ，q _____p , 则p 是q 的充分不必要条件，5、如果有p ____q ，q _____p , 则p 是q 的必要不充分条件，问题5. 命题a ，R b ∈,“若b a >，则ba 11>” （1）p ： q ：（2）判断该命题的真假_____（3）p 与q 的关系___________________结论：6、如果有p ____q ，q _____p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，练习；用符号“⇒”与“”填空：（1） 22x y = x y =； p 是q 的 条件（2） 内错角相等 两直线平行； p 是q 的 条件（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；p 的 条件是q（4） ac bc = a b =； p 的 条件是q【三】理顺思路 总结升华总结：用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤Step1:________________________Step2:________________________Step3:________________________【四】运用理论 解决问题用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表 是 是有理数是实数 、 是偶数 是是例1、已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件。
高中数学第一章充分条件与必要条件导学案
充分条件与必要条件课时目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．1．“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作：p⇒q，读作“p推出q”．此时我们称p是q的______________2．如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的__________一、选择题1．“A＝B”是“sin A＝sin B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分又不必要条件2．“k≠0”是“方程y＝kx＋b表示直线”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分又不必要条件3．a<0，b<0的一个必要条件为( )A．a＋b<0 B．a－b>0C．ab>1 D.ab>－14．命题p：α是第二象限角；命题q：sin α·tan α<0，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分又不必要条件5．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既是充分条件也是必要条件D二、填空题6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．8．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．三、解答题9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围能力提升11．“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．§2充分条件与必要条件2．1 充分条件2．2 必要条件知识梳理1．充分条件 2.必要条件作业设计1．A [“A＝B” “sin A＝sin B”，反过来不对．]2．B [k ＝0时，方程y ＝kx ＋b 也表示直线．]3．A [a <0，b <0a ＋b <0，反之不对．]4．A [p ：α是第二象限角⇒语句q ：sin α·tan α<0，反之不能成立．]5．A6．充分不必要解析 由lg x >lg y ，得x >y >0， 由x >y ，得x >y ≥0.7．充分不必要解析 ab ≠0⇒a ≠0，所以是充分条件；a ≠0，b ＝0⇒ab ＝0，不必要条件．8．必要不充分解析 命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 无公共点，反之不对．9．解 由f (x )＝ax 2＋bx ＋1是偶函数，得f (－x )＝ax 2－bx ＋1＝ax 2＋bx ＋1恒成立．∴bx ＝0对任意实数x 恒成立，所以b ＝0，同理由b ＝0也可以得出f (x )是偶函数．故“若p ，则q ”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p 既是q 的充分条件，又是必要条件．10．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1；由x 2－5x －24<0，得－3<x <8.因为N 是M 的必要条件，所以，M ⊆N .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥－3a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]．11．A [若a >0，则|a |>0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分条件；若|a |>0，则a >0或a <0，所以“a >0”不是“|a |>0”的必要条件．]12．解 由x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0，得3a <x <a ；由x 2＋2x －8>0或x 2－x －6≤0，可得x <－4或x ≥－2.因为q 是p 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2a <0.⇔解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.。
高中数学人教A版(2019)必修第一册 1 充分条件与必要条件导学案
1.4充分条件与必要条件(导学案)【学习目标】1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)【自主学习】知识点一 命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句.2、命题的真假：判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 .注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题.3、命题的形式：可写成“若p ，则q ”“如果p ，那么q ”等形式.其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.问题1：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）3≥3．（2）3能被2整除吗？（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（4）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（5）若0342=+-x x ，则x=1.知识点二 充分条件与必要条件知识点三 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．注意：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p ，则q ”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p ，则q ”的形式．(2)不能将“若p ，则q ”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q ”为真命题时，才有“p ⇒q ”．(3)对p ⇒q 的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q ．①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p ⇒q ”这一逻辑关系的表达．知识点四 充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}知识点五充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件．【经典例题】考点一充分条件、必要条件的判断角度1 定义法例1“a>0且b>0”是“ab>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】1、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2、俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断角度2 集合法x ”成立的（）条件例2 “ 0< x <2”成立是“2A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【跟踪训练】设集合A={x|0≤x<3}，集合B={x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件角度3 递推法例3 已知q是r的必要不充分条件，s是r的充分且必要条件，那么s是q成立的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法：(1) 定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假．(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．(3) 等价法：利用p⇔q 与q⇔p 的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇔p2⇔…⇔pn ，可得p1⇔pn ；充要条件也有传递性． 考点二 充分、必要条件的选择例4（多选）（2023高一限时训练）“−12<x <2”的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．1x >-B ．0<x <1C ．−12<x <12D ．x <2【跟踪训练】1、使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．23x <<B ．0x >C ．25x -<<D ．1x >2、（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“x −1>0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）A ．x >1B ．x >2C ．3x <D ．x >0考点三 根据充分条件求参数取值范围例5 （2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合P ={x|a −1≤x ≤6a −14}，Q ={x|−2≤x ≤5}．(1) 若a =3，求(∁R P )∩Q ；(2) 若“x ∈P ”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【跟踪训练】已知集合A ={x |3−a ≤x ≤3+a }，B ={x |x ≤0或x ≥4}．(1)当a=1时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【方法总结】应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．考点四充要条件的证明例6求证：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0)【方法总结】1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．。
选修1-1充分条件与必要条件导学案
§1.2.1 充分条件与必要条件自我评价 你完成本节导学案的情况为A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差一、学习目标:1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系.二、学法指导1.请同学们画出四种命题的相互关系图.2.将命题“大于5的实数x 一定大于3”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.解：若p ，则q ：_____________________________________逆命题：_____________________________________（ ） 否命题：_____________________________________（ ） 逆否命题：___________________________________（ ）三、探究问题探究问题一：充分条件和必要条件的概念 1. 命题“若0x >，则2x >-” （1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：_________________ 2. 命题“若0ab =,则0a =” （1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：_________________ 新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 练习：用符号“⇒”与“”填空： （1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =.探究问题二：1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.（4）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （5）若5x >，则10x >2.下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >（4）若5a +是无理数，则a 是无理数； （5）若()()0x a x b --=，则x a =.探究问题三：五、课后归纳本节课你学会了哪些内容？六．当堂检测1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠3.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.4.p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.。
充分条件与必要条件导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《1.4.1充分条件与必要条件》导学案姓名小组第组【学习目标】1.理解充分条件的概念，判定定理与充分条件的关系。
2.理解必要条件的概念，性质定理与必要条件的关系。
3.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件的方法。
4.培养学生的辩证思维能力。
【自主学习】知识点一命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句。
2、命题的真假：判断为真的语句是；判断为假的语句是。
注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题。
3、命题的形式：可写成“”“如果p，那么q”等形式。
其中p称为命题的，q称为命题的。
问题1：下列哪些是真命题？哪些是假命题？（1）3≥3。
（2）3能被2整除吗？（3）同位角相等，两直线平行。
（4）相等的角是对顶角。
（5）若｜a|>|b|，则a>b。
（6）三角形任意两边之和大于第三边。
（7）今天天气真好啊！知识点二充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件问题2：下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。
知识点三判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。
注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题。
若不是，则首先将命题改写成的形式。
（2）对p⇒q的理解：当成立时，一定成立，即由p通过推理可以得到q。
①为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“p⇒q”这一逻辑关系的表达。
知识点四充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆B是的充分条件；是的必要条件B⊆A是的充分条件；是的必要条件课堂总结【课后练习】一、选择题1.下列语句是命题的是（）A.今天天气真好啊！B.你怎么又没交作业？C.x>2D.方程x2+2x+3=0无实根2.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件3.下列说法正确的是（）A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.“x=2时，x2-3x+2=0”是真命题二、填空题4.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⟂BD”的条件。
《充分条件与必要条件》导学案
第2课时充分条件与必要条件1.理解充分条件和必要条件的含义.2.会判断两个条件间的充分必要关系.3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.函数y=x cos x+sin x的图象大致为().图象分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排除法,从解析式结合图象我们很容易找到三个角度来排除,一是利用函数是奇函数可以排除B,二是利用x=时,y=1,可以排除C,三是利用x=π时,y=-π,可以排除A,所以答案选D.问题1: 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作, 并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.根据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:(1)“图象关于原点对称”是“该图象是函数y=x cos x+sin x的图象”的条件;(2)“ y=f(x)的图象是y=x cos x+sin x的图象”是“f()>0”的条件;(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图象不是y=x cos x+sin x的图象”的条件.问题2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若,则p是q的充分不必要条件;(2)若,则p是q的必要不充分条件;(3)若,则p是q的充要条件;(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?Venn图表示法问题4:p与q的充分、必要性和p与q的充分、必要性之间有何联系?若p是q的充分不必要条件,则q是p的;若p是q的必要不充分条件,则q是p的;若p是q的充要条件,则q是p的;若p是q的既不充分也不必要条件,则q是p的.1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是().2.在△ABC中,“sin A>”是“A>”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的条件.4.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分条件、必要条件、充要条件的判断分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B;(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.充要条件的探求与证明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>b,q:>.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠.已知命题p:1-c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.1.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A成立”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线m⊂平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的().A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设有如下三个命题:甲: m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.4.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>0且b>0, q:ab>0(2)p:>1, q:x>y.(2013年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):第2课时充分条件与必要条件知识体系梳理问题1:p⇒q (1)必要(2)充分(3)充分问题2:(1)p⇒q,且q⇒/p (2)p⇒/q,且q⇒p (3)p⇒q,且q⇒p (4)p⇒/q,且q⇒/p问题3:充分条件充分不必要条件必要条件必要不充分条件充分条件必要条件充要条件问题4:充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件基础学习交流1.B开关A闭合,灯泡B不一定亮,灯泡B亮,开关A一定闭合.2.A∵在△ABC中,sin A>,则A∈(,),∴“sin A>”是“A>”的充分条件.∵在△ABC中,取A=,但不能推出sin A>,∴“sin A>”不是“A>”的必要条件.故选A.3.必要不充分由数列{a n}是递减数列可得0<q<1,因此“q<1” 是“数列{a n}是递减数列”的必要不充分条件.4.解:(1)∵p⇒/q且q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵q:x2=1⇔x=1或x=-1,∴x=1⇒x2=1,但x2=1⇒/x=1,∴p是q的充分不必要条件.重点难点探究探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.【小结】在判断p是q的什么条件时,准确理解和运用充分条件、必要条件、充要条件的定义是关键,而能综合、灵活地运用已学的知识是难点,故当知识点不能熟练运用时,就容易出现思维受阻的现象.探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∵p是q的充分不必要条件,∴p⇒q,即A⫋B,可知A=⌀或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内,∴Δ=a2-4<0或得-2≤a<2.【小结】p是q的充分不必要条件,利用真子集关系求解.本题易错的地方是解不等式组,请认真体会原因.探究三:【解析】(法一)设两根为x1, x2,则有即解得k<-1,∴所求充要条件为k<-1.(法二)由题意,设两根为x1, x2,应有即解得k<-1,∴所求充要条件为k<-1.[问题]使方程有两个大于1的根的充要条件是k<-1吗?[结论]问题的实质是确定所给方程的两根都大于1时k应满足的充要条件,而上面的解析中所列的不等式组仅是两根x1、x2都大于1的必要条件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有但没有x1>1,x2>1.错误的本质是没有把函数、函数图象和方程三者有机结合起来,从而找出等价关系.于是,正确解答如下:(法一)使两根x1, x2都大于1的充要条件为解得k<-2,∴所求的充要条件为k<-2.(法二)令f(x)=x2+(2k-1)x+k2.∵f(x)=0的两根都大于1,∴函数f(x)图象如图,则x1,x2都大于1的充要条件为解得k<-2,∴所求的充要条件是k<-2.【小结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.思维拓展应用应用一:(1)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(2)p⇒q,q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件.(3)p⇒/q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.应用二:c>0命题p对应的集合A={x|1-c<x<1+c,c>0},同理,命题q对应的集合B={x|x>7或x<-1}.因为p是q的既不充分又不必要条件,所以A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②,解①得c≤2,解②得c≥-2,又c>0,综上所述得c>0.应用三:(1)a=0适合.(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则必须满足⇒a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足⇒0<a≤1.综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.基础智能检测1.C由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,“A⊆B”是“A∩B=A成立”的充要条件.2.A因为平面α∥平面β且直线m⊂平面α,所以直线m∥平面β,反之,当直线m∥平面β时,直线m⊂平面α,也可能平面α和平面β相交.3.充要由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.4.解:(1)p是q的充分不必要条件.当a>0且b>0时,ab>0成立;反之,当ab>0时,只要求a、b同号即可.(2)p是q的既不充分也不必要条件.>1在y>0的条件下才有x>y成立.同理当x=2,y=-1时,>1不成立.全新视角拓展B由(2x-1)x=0可得x=或0,因为“x=或0”是“x=0”的必要不充分条件,故答案选B.思维导图构建充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要。
《充分条件与必要条件》课件与导学案
【2】 p是q的充分条件
“p是q的充分条件”和 “q是p的必要条
件”表述的是同一个逻辑关系。
【3】 q的充分条件是p
而“p是q的充分条件”只能说明p⇒q，
与q能否推导出p没有任何关系。
②注意右侧等价的表述方式：
【4】 q是p的必要条件
【5】 p的必要条件是q
1.用符号“⇒”与“⇏”填空。
⇏ > 1.
命题真假
推出关系
条件关系
“若 p，则 q”是真命题
“若 p，则 q”是假命题
p ⇒ q
P___q
p 是 q 的充分条件
p 不是 q 的 充分条件
q 是 p 的必要条件
q 不是 p 的 必要条件
思考 1：(1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系
是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p 是 q 的充分条件；③q 的充分条
怎么判断充要条件？有哪些方法？
【1】定义法： （1）分清命题的条件和结论
（2）找推式，判断 ⇒ 和 ⇒ 的真假
（3）根据条件和推式得出结论
【2】等价法
将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题
【3】赋值法
对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明
结论或者推导不成立，但不可用于证明题。
②
③
A
B
【解】因为A⊈B且B⊈A，所以A是B的
既不充分也不必要条件
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题3·传递法】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s
的必要条件，则p是q的什么条件？
【解】由题意有p⇒r，r⇏p，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒r⇒s⇒q，
人教版高中数学选修2-1充分条件和必要条件导学案
充足条件和必需条件【学习目标】1. 理解必需条件和充足条件的意义；2. 能判断条件p 能否为条件q 的充足或必需条件。
【要点难点】要点：充足、必需条件的观点难点：判断命题的充足条件或必需条件【学习过程】一、自主预习1、判断以下命题是真命题仍是假命题：2=y2；（1）若x=y，则x（2）若ab=0，则a=0；（3）若两个三角形相像，则这两个三角形对应角相等。
2、察看（1）（3）两个小题，它们的条件和结论有什么关系？3、获得新知一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 经过推理能够得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ,而且说p 是q 的, q 是p 的2 2 2 2 比如：①若x=y，则x ；x=y 是x=y =y2 2的条件；x=y是x=y 的条件．②若两个三角形相像，则这两个三角形对应角相等。
两三角形相像是两三角形对应角相等的条件．两三角形对应角相等是两三角形相像的条件．二、合作研究，概括展现问题一。
以下“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q的充足条件？（1）若x 1，则 2 x 4x 3 0 ；（2）若 f (x) x ，则 f ( x) 在( , ) 上为增函数；（3）若x 为无理数，则 2x 为无理数.变式练习：（１）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（２）若x 5，则x 10问题 2.以下“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必需条件？（1）若x y ，则 2 2x y ；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b ，则ac bc变式练习：（１）若 a 5是无理数，则 a 是无理数（２）若(x a)( x b) 0 ，则x a总结：判断充足、必需条件的步骤：（1）找出条件p 和结论q；（2）判断的真假；（3）下结论：若p=>q 为真，则p 为q 的；q 为p 的问题 3. 请用“充足”，“必需”填空（1）“a 和b 都是偶数”是“a+b 是偶数”的条件；（2）“x2≥0”是“x≥0”的条件；（3）“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“l⊥α”的条件。
1充分条件与必要条件
§2-3充分条件与必要条件导学案（新授课）主备人：徐恩战审核人：使用时间：【学习目标】1.正确理解充分条件、必要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．【学习重难点】重点：充分条件、必要条件的概念难点：判断命题的充分条件、必要条件【学法指导】小组讨论，观察探索【知识链接】1.什么是充分条件？什么是必要条件？一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知p q，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q “若p则q”为假，记作p q.【互动探究】1 判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2 （2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1 （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0命题(1)中因x＝y⇒ x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；命题(2)中因a = 0⇒ ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；命题(3)中，因“x>1⇒x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件. 命题4)中，因x＝1或x＝2⇔ x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p ⇒q，而q p.(2)必要不充分条件，即：p q，而q⇒p.(3)既充分又必要条件，即p ⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.2.充分条件与必要条件的判断：（1）直接利用定义判断：即“若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“p ⇒q ”的等价命题是“⌝q ⇒⌝p ”。
1.2.1 充分条件与必要条件 导学案
当代好课堂实验中心导学案主备人：学生姓名：高年级班组课题：充分条件与必要条件课型：新授课课时：日期：2020 年03 月20 日学习目标：1、我能正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；2.我能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练掌握判断四种命题间的关系；教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义；教学难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性。
任务与问题方法要求问题呈现一．【课前预习】1．预习教材，问题导入观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？2．归纳总结，核心必记1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．三．【巩固提升】例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.变式训练求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.四．【课堂小结】充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |满足条件q }． ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件． ②若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件． ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．④若A B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则可得p 1⇒p n ，充要条件也有传递性．五．【当堂检测】。
《充分条件与必要条件》 导学案
《充分条件与必要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。
2、能够判断给定命题中条件与结论之间的充分性、必要性。
3、学会运用充分条件、必要条件解决相关的数学问题和实际问题。
二、学习重点1、充分条件、必要条件、充要条件的概念。
2、充分条件、必要条件的判断方法。
三、学习难点1、对充分条件、必要条件概念的理解。
2、区分充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
四、知识回顾在数学中，我们经常会遇到各种各样的命题。
命题是指可以判断真假的陈述句。
例如：“三角形的内角和为 180 度”，这是一个真命题；“2 大于5”，这是一个假命题。
一个命题通常由条件和结论两部分组成。
例如，命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论。
五、新课导入我们在判断一个命题的真假时，常常会考虑条件与结论之间的关系。
比如，“如果今天下雨，那么地面会湿”，在这个命题中，如果今天真的下雨了，地面通常会湿，那么“今天下雨”这个条件对于“地面会湿”这个结论来说，有着怎样的特殊关系呢？这就引出了我们今天要学习的充分条件与必要条件的概念。
六、充分条件定义：如果命题“若 p，则q”为真命题，即由 p 可以推出 q，那么我们就说 p 是 q 的充分条件。
例如：“如果 x ＞ 5，那么 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，必然有 x ＞ 3，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。
通俗地说，有了 p 这个条件，就足以保证 q 成立，那么 p 就是 q 的充分条件。
再比如：“若一个数能被 2 整除，则这个数是偶数”，因为能被 2 整除的数一定是偶数，所以“一个数能被 2 整除”是“这个数是偶数”的充分条件。
七、必要条件定义：如果命题“若 q，则p”为真命题，即由 q 可以推出 p，那么我们就说 p 是 q 的必要条件。
例如：“如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除”，因为偶数一定能被 2 整除，所以“一个数能被 2 整除”是“这个数是偶数”的必要条件。
《充分条件与必要条件》 导学案
《充分条件与必要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件的概念。
2、能够判断给定条件之间的充分性和必要性。
3、通过实例分析，培养逻辑推理能力和思维的严谨性。
二、学习重难点1、重点（1）充分条件和必要条件的概念。
（2）判断条件的充分性和必要性。
2、难点理解充分条件、必要条件的逻辑关系，并能在实际问题中准确应用。
三、知识梳理1、充分条件如果命题“若 p，则q”为真命题，即 p ⇒ q ，那么我们就说 p 是 q 的充分条件。
例如：如果一个数是偶数（p），那么这个数能被 2 整除（q）。
因为“一个数是偶数”能够推出“这个数能被 2 整除”，所以“一个数是偶数”是“这个数能被 2 整除”的充分条件。
2、必要条件如果命题“若 q，则p”为真命题，即 q ⇒ p ，那么我们就说 p 是 q 的必要条件。
例如：如果一个数能被 2 整除（q），那么这个数是偶数（p）。
因为“一个数能被 2 整除”能够推出“这个数是偶数”，所以“一个数是偶数”是“这个数能被 2 整除”的必要条件。
3、充要条件如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，那么我们就说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p ⇔ q 。
例如：如果一个三角形是等边三角形（p），那么这个三角形的三个内角相等（q）；反之，如果一个三角形的三个内角相等（q），那么这个三角形是等边三角形（p）。
所以“一个三角形是等边三角形”是“这个三角形的三个内角相等”的充要条件。
四、实例分析1、下列“若 p，则q”形式的命题中，哪些命题中 p 是 q 的充分条件？（1）若 x ＝ 1 ，则 x² 4x ＋ 3 ＝ 0 。
因为当 x ＝ 1 时，1² 4×1 ＋ 3 ＝ 0 ，所以 p ⇒ q ，p 是 q 的充分条件。
（2）若 x 为无理数，则 x²为无理数。
当 x ＝√2 时，x 为无理数，但 x²＝ 2 为有理数，所以 p 不能推出q ，p 不是 q 的充分条件。
精品导学案：充分条件与必要条件
精品导学案：1. 2.1充分条件与必要条件教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。
教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P10 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）解析: 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。
点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。
③变式练习：P10页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）解析: 若p q ⇒，则q 是p 的必要条件。
高中数学充分条件与必要条件1导学案
选修2-1：1.2充分条件与必要条件(1)一、课前导学1．如果命题“若p ，则q ”为真，则记为__________，“若p 则q ”为假，记为__________.2．如果已知p ⇒q ，则称p 是q 的__________，q 是p 的__________．3．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的__________，记为__________.4．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的__________．5．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的__________条件．6．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p 是q 的__________条件．二、课堂导学例1 ．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：(1) （2）p ：三角形的三条边相等； q ：三角形的三个角相等例2．填表例3、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.(3)“x=3”是“x 2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. 22:;:y x q y x p == 三、课堂小结（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念.（2）判断充分、必要条件的基本步骤：①认清条件和结论；②考察p⇒q和q⇒p的真假。
（3）判别技巧：①可先简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
四、课堂练习1．设a、b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件。
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1.2.1 《充分条件与必要条件》导学案
编写人：董前周 审核：高二数学组 时间：2011-01-08
班级 组名： 姓名
【学习目标】
A 级目标：理解必要条件和充分条件的意义；
B 级目标：能判断两个命题之间的关系.
【重点难点】
重点：充分条件、必要条件的意义；
难点：充分条件、必要条件的判断.
【学习过程】
一．课前准备
复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.
复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
二．自主探究 得出结论
探究任务：充分条件和必要条件的概念
问题：分析以下四个命题的条件与结论间具有什么样的推出关系.
1. 若22x a b >+，则2x ab >；
2. 若0ab =,则0a =。
新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推
出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“⇒”与“”填空：
（1） 22x y = x y =；
（2） 内错角相等 两直线平行；
（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；
（4） ac bc = a b =.
三．合作交流，解决问题
例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x =，则2430x x -+=；
（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；
（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.
练习1：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
（2）若5
x>
x>，则10
例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？
（1）若x y
=，则22
=；
x y
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若a b
>
>，则ac bc
练习2：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？
（1）若5
a+是无理数，则a是无理数；
（2）若()()0
--=，则x a
x a x b
=.
小结：判断命题的真假是解题的关键.
练习3.下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：1
x-=
x=，q：1
（2）p：|2|3
x-≤，q：15
-≤≤；
x
（3）p：2
x-
x=，q：3
（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.
※知识拓展
设,A B为两个集合,集合A B
⊆，那么x A
∈的
∈是x A
∈的条件，x B
∈是x B
条件.
【当堂检测】
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）.
A.平行四边形对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分
D.四边形的对角线垂直
2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.
A.0x y +=
B.220x y +>
C.0x y -=
D.330x y +≠
3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线,//,//a a a αβ
B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂
C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂
D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂
4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.
5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.
6. 判断下列命题的真假.
（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；
（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；
（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；
（4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.
【课后巩固提高】
1. 判断下列命题的真假
（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；
（2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.
2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .
(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?
(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?
【课后反思】
1.今天你的收获是什么？
2.你有哪些方面需要努力？。