广东省湛江市2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(理科) 有答案
2014年高考理科数学试题(广东卷)及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广东省湛江市高考数学二模试卷(理科)
2014年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：复数==1+i，在复平面内的对应点为（1，1），故选A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数，找出它在复平面内的对应点坐标．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数；复数与复平面内对应点之间的关系．2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱【答案】D【解析】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3.已知a=2log52，b=211，c=（）-0.8，则a、b、c的大小关系是（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.a＜b＜cD.b＜c＜a【答案】B【解析】解：2log52＜1，1＜=20.8＜211，∴a＜c＜b．故选：B．分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．4.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．5.已知向量=（1，2），=（-2，1），则（λ+）⊥（-λ）的充要条件是（）A.λ∈RB.λ=0C.λ=2D.λ=±1【答案】A【解析】解：（λ+）⊥（-λ）⇔=，∵，=，，∴5λ-5λ+（1-λ2）×0=0，即0=0，而此式恒成立，因此λ∈R．故选：A．利用（λ+）⊥（-λ）⇔=0，再利用数量积运算及其性质即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算及其性质，属于基础题．6.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±B.y=±C.y=±D.y=±【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，∴双曲线右焦点为F（4，0），得c=2∵双曲线的离心率为2，∴=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b==，∵双曲线的渐近线方程为y=x∴已知双曲线的渐近线方程为y=x故选D由抛物线的标准方程，得焦点坐标为F（4，0），也是双曲线的右焦点，得c=4．根据双曲线的离心率为2，得a=c=1，从而得到b=，结合双曲线的渐近线方程公式，可得本题的答案．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了抛物线和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．7.已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A.（0，4]B.（0，]C.（0，2）D.[，+∞）【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）或线段AB．∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b 的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（）A.7B.11C.13D.14【答案】C【解析】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b=16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13．故选：C．由所给的定义，对a※b=16，a∈N*，b∈N*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，即可确定出元素的个数本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，本题属于基本题，二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.等比数列{a n}中，a3=4，a7=16，则a5= ______ ．【答案】8【解析】解：等比数列{a n}中，∵a3=4，a7=16，∴，∴q4=4，q2=2，a1=2，∴a5==2•22=8．故答案为：8．由已知条件推导出，由此能求出a5．本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的求法．10.阅读如图所示的程序框图，若输入i=5，则输出的k值为______ ．【答案】3【解析】解：由程序框图知：若输入i=5，第一次循环i=3×5+1=16＜150，k=0+1=1；第二次循环i=3×16+1=49＜150，k=1+1=2；第三次循环i=49×3+1=148＜150，k=2+1=3；第四次循环i=148×3+1=445＞150，输出k=3．故答为：3．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞150，确定k的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．11.某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有______ 种．【答案】24【解析】解：把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即=4×3×2×1=24，故答案为：24．把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即可得到结论．本题考查排列知识，考查捆绑法的运用，属于基础题．12.在长为6cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于8cm2的概率为______ ．【答案】【解析】解：设AC=x，则CB=6-x，则矩形的面积S=x（6-x），由x（6-x）＞8，得x2-6x+8＜0，解得2＜x＜4，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故答案为：求出矩形面积大约8的等价条件，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用条件求出矩形面积大于8cm2的等价条件是解决本题的关键．13.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x2；函数g（x）=lg|x|，则函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[-6，6]内的交点个数共有______ 个．【答案】10【解析】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数∵g（-x）=lg|-x|=lg|x|=g（x），∴y=g（x）是偶函数作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间|-6，6|内的图象，可得共有10个交点故答案为：10．根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），可得函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，根据g（-x）=lg|-x|=lg|x|=g（x），可得y=g（x）是偶函数，作出函数y=f （x）与y=g（x）的图象在区间|-6，6|内的图象，即可得到结论．本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确运用函数的性质是关键．14.极坐标系中，圆O：ρ2+2ρcosθ-3=0的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的距离是______ ．【答案】4【解析】解：圆O：ρ2+2ρcosθ-3=0即（x+1）2+y2=4，表示以（-1，0）为圆心、半径等于2的圆．直线ρcosθ+ρsinθ-7=0即x+y-7=0，故圆心到直线的距离为=4，故答案为：4．把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题(本大题共7小题，共92.0分)15.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆O的切线l，则点A到直线l的距离AD= ______ ．【答案】【解析】解：∵圆O的直径AB=6，BC=3∴∠BAC=30°，线段AC=3，又∵直线l为圆O的切线，∴∠DCA=∠B=60°∴AD=．故答案为：．由已知中，圆O的直径AB=6，BC=3，根据圆周角定理的推论2，我们易判断出△ABC 是∠BAC=30°的直角三角形，又由直线l为圆O的切线我们结合弦切角定理，易得到△ACD是∠DCA=60°的直角三角形，根据直角三角形的性质，即可得到答案．本题主要考查了圆的切线的性质定理以及解三角形的知识，属于基础题．16.已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【答案】解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解析】（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x-）-1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x-）-1，再由2kπ+≤2x-≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x-）-1是关键，属于中档题．17.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？【答案】解：（1）由题意得ξ=0，1，2…．（1分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…．（4分）∴ξ的分布列为：Eξ==．…．（6分）根据列联表中的数据，K2=≈3.137．由于3.137＞2.706，∴有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．…．（12分）【解析】（1）由题意得ξ=0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB=90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB=2EF ．（1）若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；（2）若AC=BC=2AE=2，求二面角A-BF-C 的余弦值．【答案】（1）证明：∵EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB=90°， ∴∠EGF=90°，△ABC ∽△EFG ．…．（2分） ∵AB=2EF ，∴BC=2FG ，连结AF ，FG ∥BC ，FG=，…．（3分） 在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点， ∴AM ∥BC ，且AM=BC ，…．（4分）∴FG ∥AM ，且FG=AM ，∴四边形AFGM 为平行四边形，∴GM ∥FA ， 又FA ⊂平面ABFE ，GM 不包含于平面ABFE ， ∴GM ∥平面ABFE ．…（6分） （2）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°， 又EA ⊥平面ABCD ，∴AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ．…．（7分） 则由题意知A （0，0，0），B （2，-2，0）， C （2，0，0），D （0，0，1）…．（8分） ∴ =（2，-2，0）， =（0，2，0）， 又EF=，∴F （1，-1，1）， =（-1，1，1）． 设平面BFC 的法向量 =（x ，y ，z ）， 则， 取x =1，得 =（1，0，1）…．（10分）设平面ABF 的法向量 =（x 1，y 1，z 1），则， 取x 1=1，得 =（1，1，0）．…．（12分） ∴cos ＜ ， ＞= =，故二面角A-BF-C的余弦值为．…．（14分）【解析】（1）由已知条件推导出∠EGF=90°，△ABC∽△EFG，连结AF，推导出四边形AFGM 为平行四边形，由此能证明GM∥平面ABFE．（2）分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴b n=3n-1．（Ⅱ）∵++…+=a n+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=a n（n≥2），∴=a n+1-a n=2（n≥2），∴c n=2b n=2•3n-1（n≥2），∴c n=，．∴c1+c2+...+c2014=3+2×3+2×32+...+2×32013 =3+2×（3+32+ (32013)=3+2×=32014．【解析】（Ⅰ）依题意，a2，a5，a14成等比数列⇒（1+4d）2=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{a n}的通项公式；由b2=a2=3，b3=a5=9，可求得q与其首项，从而可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n-1，b n=3n-1，由++…+=a n+1，可求得c1=b1a2=3，=a n+1-a n=2（n≥2），于是可求得数列{c n}的通项公式，继而可求得c1+c2+…+c2014的值．本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查逻辑思维与综合分析、运算能力，属于难题．20.如图，点P（0，-1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【答案】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．又圆：的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t-4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．【解析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．21.已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有＜＜．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=-t＜0，h（e t）=e2t lne t-t=t （e2t-1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使＜＜成立，只需＜＜，即2＜＜，即2＜2+＜，只需＜＜，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu-，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2-1＜0，故有F（u）=lnu-＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有＜＜成立．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu-，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．。
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2
2
）
y y
开始
i=1, S=0 i 2013
是
S=S+ 1
i
2
4
侧侧侧
2
x max 等于（
侧侧侧
否 输出 S 结束
第 3 题图
）
．
2
侧侧侧
10．若
f
(x)
女生 373
一年级 二年级 三年级
男生 377 370
2ex1 ，x， 2
C．16
30，
则
Sn
y
C．{x|-1＜x＜1}
2013
C． i i 2
，若
z
a1
D．20
-4x ，过 M
l1 、 l2 分别交于 A 、 B ，若 M 是线段 AB 的中点，则 AB 等于（ ） A．12 B． 145 C． 146 D． 147
7．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）
log
3
(
x2
1)
，x
x
则
2.
11．曲线 y x3 ax 3 在点（1， m ）处的切线方程为 y 2x n ，则 a
12．已知
f
(
x)
2
sin(
3
y
z
f
(
f
(2)) 的值为
x ) (| | ) ，若 x 1是它一条对称轴，则
13．如右图，等边△ ABC 中， AB 2AD 4AE 4 ，则 BEACD
2014年全国卷2理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1} B 。
｛2｝C 。
｛0，1}D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0，1,2｝中的数，代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1，2满足.所以选D 。
2。
设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A 。
- 5 B 。
5C. — 4+ iD. - 4 — i【答案】B 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3。
设向量a,b 满足|a+b｜a —b则a ⋅b = ( ) A. 1 B 。
2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=（ )A 。
5B.C. 2 D 。
1【答案】B 【解】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5。
某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0。
75，连续两为优良的概率是0。
6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A 。
0。
8B 。
0.75 C. 0.6 D. 0.45【答案】 A 【解析】.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A 。
2014年广东高考理科数学试卷(纯word版含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}【品题】B.考查集合的并集，目测就可以得出结果. 2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【品题】A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．8 B.7 C.6 D.5【品题】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等【品题】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）【品题】B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20【品题】D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 【品题】D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.130 B.120 C.90 D.60【品题】A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅年级③3个0，2个-1：2510C =（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种【品味小题】选择很基础了，第8题稍微要一点点细心.答案是BACDBDDA ，选项延续了多年答案3221的模式二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为【品题】(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 【品题】53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5xx y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【品题】16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来.12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab=【品题】2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+， 则1220ln ln ln a a a +++=【品题】50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________【品题】()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 【品题】9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.【品填空题】10是易错点、11题有点新意；10、12、13等等是广东07—13年高考考过的. 【品小题】难度适中，出得不错。
2014年广东高考数学(理科)试题及答案
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，…。
一、选择题：…．1．已知集合M ={− 1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∪N =（ ） A ．{− 1，0，1} B ．{− 1，0，1，2} C ．{− 1，0，2}D ．{0，1}【B 】2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(3 + 4i )z = 25，则z =（ ） A ．3 − 4i B ．3 + 4i C ．− 3 − 4i D ．− 3 + 4i【A 】3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x + y ≤1y ≥− 1且z = 2x + y 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M − m =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【C 】4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225 − y 29 − k = 1与曲线x 225 − k − y 29 = 1的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【D 】5．已知向量a =(1，0，− 1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ） A ．(− 1，1，0) B ．(1，− 1，0)C ．(0，− 1，1)D ．(− 1，0，1)【B 】6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10【A 】7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1，l 4既不垂直也不平行D ．l 1，l 4的位置关系不确定【D 】8．设集合A ={(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{− 1，0，1}，i = 1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．130【D 】二、填空题：…．(一) 必做题(9～13题)9．已知x ∈R ，则不等式|x − 1|+|x + 2|≥5的解集为____________________． 【(− ∞，− 3]∪[2，+ ∞)（也可以写成{x ∈R |x ≤− 3，或x ≥2}）】10．曲线y = e − 5x + 2在点(0，3)处的切线方程为_____________________． 【5x + y − 3 = 0】小学生 3500名高中生 2000名初中生 4500名图1 图2级53111．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_____________________．【1 6】12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C + c cos B = 2b，则ab= ______________________．【2】13．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11 + a9a12 = 2e5，则ln a1 + ln a2 + …+ ln a20 = ______________________．【50】(二) 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ= cos θ和ρ sin θ = 1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______________．【(1，1)】15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ______________．【9】三、解答题：…．A BCDEF图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)= A sin(x +π4)，x∈R，且f(5π12)=32．（1）求A的值；（2）若f(θ)+ f(−θ)=32，θ∈(0，π2)，求f(3π4−θ)．【（1）3；（2）30 4．】解：（1）f(5π12)= A sin(5π12+π4)= A sin2π3= A sin(π−π3)= A sinπ3=32A =32，解得A =3．（2）f(θ)+ f(−θ)=3sin(θ +π4)+3sin(−θ +π4)=3sin(θ +π4)+3cos(θ +π4)=6[sin(θ +π4)·22+3cos(θ +π4)·22]=6sin[(θ +π4)+π4]=6sin(θ +π2)=6cos θ =32，解得cos θ =6 4．又θ∈(0，π2)，则sin θ = 1 − cos 2 θ=104．故f(3π4−θ)=3sin(π−θ)=3sin θ =304．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0. 12(30，35] 5 0. 20(35，40]8 0. 32(40，45]n1f1(45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂（工人人数较多）任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【（1）n1 = 7，n2 = 2，f1 = 0. 28，f2 = 0. 08；（2）如图所示；（3）0. 5904．】件数解：（1）依题意n1 = 7，n2 = 2，f1 = n1÷25 = 0. 28，f2 = n2÷25 = 0. 08．（2）绘制的频率分布直方图如图所示；（3）设在该厂任取4人中日加工零件数落在区间(30，35]有ξ人．则ξ服从二项分布B，且n = 4，p = 0. 2，即ξ～B(4，0. 2)．故所求概率为P(ξ≥1)= 1 −P(ξ = 0)= 1 − C400. 20(1 − 0. 2)4= 1 − 0. 4096 = 0. 5904．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC = 30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D−AF−E的余弦值．【（1）…；（2）25719．】 法二：（向量法，坐标系）解证：依题意AD ⊥CD ，又PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，则以DP →，DC →，DA →分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD = 2．（1）依题意 PC = 4，PD = 23，AD = AB = BC = 2．DA →=(0，0，2)，PC → =(0，2，0)−(23，0，0)=(− 23，2，0)，则 PC →·DA → = … = 0， 即PC →⊥DA →，故PC ⊥DA ．又PC ⊥AF ，故PC ⊥平面ADF ． （2）设 PF → = t PC →，则 PF → = t PC →= t [(0，2，0)−(23，0，0)]=(− 23t ，2t ，0)，AF → = AP → + PF →=[(23，0，0)−(0，0，2)]+(− 23t ，2t ，0) =(23(1 − t )，2t ，− 2)．又AF ⊥PC ，则 AF →·PC →=(23(1 − t )，2t ，− 2)·(− 23，2，0)= … = 0， 即4t − 3 = 0，解得t = 34，AF → =(32，32，− 2)．由（1）知 PC →=(− 23，2，0)是平面ADF 的一个法向量． 设m =(a ，b ，c )是平面AEF 的一个法向量，则m ⊥平面AEF ， 即m ⊥AF →，m ⊥EF →，又EF ∥DC ，则m ⊥DC →， 故 ⎩⎨⎧m ·AF → = 3a 2 + 3b 2 − 2c = 0m ·DC →= 2b = 0，令c =3 得m =(4，0，3)．则cos <m ，PC →> = … = − 83419= − 25719，显然所求二面角为锐角，故cos ∠D − AF − E =|cos <m ，PC →>|= 25719．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n = 2na n + 1 − 3n 2 − 4n ，n ∈N *，且S 3 = 15． （1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式．【（1）a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7；（2）a n = 2n + 1．】解：（1）令n = 1，2得a 1 = S 1 = 2a 2 − 3 − 4，a 1 + a 2 = S 2 = 4a 3 − 12 − 8， 又a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 15，联立求解得a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7．（2）法一：（数学归纳法）由（1）猜想通项公式a n = 2n + 1，然后用数学归纳法证明．…．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1（a ＞b ＞0）的一个焦点为(5,0)，离心率为 53． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【（1）x 29 + y 24= 1；（2）x 2 + y 2 = 13．】解：（1）依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧c = 5e 2 = ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫532= 59a 2 = b 2 + c 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2 = 9b 2 = 4c 2 = 5，故C 方程为x 29 + y 24 = 1．（2）设过点P 且与C 相切的两直线为l 1和l 2． ① 若l 1和l 2中有一条斜率不存在（垂直于x 轴），则依题意另一条斜率为0（平行于x 轴），显然切点分别为椭圆长轴和短轴顶点， 此时点P 坐标为(±3，±2)．② 若l 1和l 2的斜率均存在，设l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2，过点P 与C 相切的直线l 斜率为k ，则l ：y − y 0 = k (x − x 0)，即y = k (x − x 0)+ y 0， 代入C 得4x 2 + 9[k (x − x 0)+ y 0]2 = 36，即(9k 2 + 4)x 2 + 18(y 0 − kx 0)kx + 9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0，由l 与C 相切知Δ = 182(y 0 − kx 0)2 − 4(9k 2 + 4)9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0， 对k 整理得(x 02− 9)k 2 − 2x 0y 0k +(y 02− 4)= 0（x 02≠±3）…（❀）， 依题意方程（❀）的两根即为k 1和k 2， 由一元二次方程根与系数关系得k 1·k 2 = y 02− 4x 02 − 9，又l 1⊥l 2，则k 1·k 2 = − 1，即 y 02− 4x 02 − 9= − 1，整理得x 02 + y 02 = 13（x 02≠±3）．综合①②并检验得所求点P 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 13．21．（本小题满分14分）设函数f(x)=1(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3，其中k＜− 2．（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k＜− 6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）．【（1）(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)；（2）f(x)在(−∞，− 1 − 2 −k)和(− 1，− 1 +− 2 −k)上单调递增，在(− 1 −− 2 −k，− 1)和(− 1 + 2 −k，+ ∞)上单调递减；（3）(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．】解：（1）依题意得(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3＞0，即[(x2 + 2x + k)− 1][(x2 + 2x + k)+ 3]＞0，则x2 + 2x + k＜− 3，或x2 + 2x + k＞1，即(x + 1)2＜− 2 −k，或(x + 1)2＞2 −k，则|x + 1|＜− 2 −k，或|x + 1|＞ 2 −k，故− 1 −− 2 −k＜x＜− 1 +− 2 −k，或x＜− 1 − 2 −k，或x＞− 1 + 2 −k，又2 −k＞− 2 −k，则 2 −k＞− 2 −k，即− 1 − 2 −k＜− 1 −− 2 −k＜− 1 +− 2 −k＜− 1 + 2 −k，故所求定义域D为(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)．（2）法一：（导数法）依题意f'(x)= −2(x2 + 2x + k + 1)(x + 1) [(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3]3令f '(x)＞0得(x2 + 2x + k + 1)(x + 1)＜0，即[(x + 1)2−(−k)2](x + 1)＜0，则(x + 1 +−k)(x + 1 −−k)(x + 1)＜0，由数轴穿根法如图得x ＜− 1 − − k ，或− 1＜x ＜− 1 + − k ，结合定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减．法二：（复合函数单调性：同增异减）设v (t )= t 2 + 2t − 3，t (x )= x 2 + 2x + k ，则y (v )= 1v，显然y (v )是减函数． v (t )和t (x )的的对称轴分别为t = − 1和x = − 1，令t ＞−1得x 2 + 2x + k ＞− 1，即x 2 + 2x + 1＞− k ，则(x + 1)2＞− k ， 即|x + 1|＞− k ，解得x ＜− 1 − − k ，或x ＞− 1 + − k ，如图，根据复合函数的单调性复合法则及定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减． （3）令f (x ) = f (1)得1(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =1(3 + k )2+ 2(3 + k )− 3则(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =(3 + k )2 + 2(3 + k )− 3 整理得[(x + 1)2 −(− 2k − 4)](x + 2x − 3)= 0，即[x + 1 + − 2k − 4][x + 1 − − 2k − 4](x + 3)(x − 1)= 0解得x = − 1 + − 2k − 4，或x = − 1 − − 2k − 4，或x = − 3，或x = 1．tv (t ) ↗ ↘ ↘ ↗ v (x ) ↘ ↗ ↘ ↗ y (v ) ↘ ↘ ↘ ↘ y (x ) ↗↘ ↗ ↘由k＜− 6知−k＞6，则− 2 −k＞2， 2 −k＜− 2k− 4，故1∈(− 1，− 1 +− 2 −k)，− 3∈(− 1 −− 2 −k，− 1)，− 1 −− 2k− 4＜− 1 − 2 −k，− 1 +− 2k− 4＞− 1 + 2 −k，结合定义域及单调性知f(x)＞f(1)的解集为(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．。
2014年广东高考理科数学参考答案与解析
2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或 【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】 由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =； （2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。
2014年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -=( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52xy e-=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2s i n c o s ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =.（Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】因为{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，所以{1,0,1,2}M N =-.【提示】根据集合的基本运算即可求解. 【考点】并集及其运算 2.【答案】D 【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z --===-++-，故选D. 【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得z 的值.【考点】复数的四则运算 3.【答案】B【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点(2,1)-处目标函数分别取得最大值3m =，在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【考点】简单的线性规划 4.【答案】A【解析】09k <<，90k ∴->，250k ->，从而可知两曲线为双曲线. 又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，故两双曲线的焦距相等，故选A.【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a b c ，，的大小关系即可得到结论.【考点】双曲线的简单几何性质 5.【答案】B 【解析】 A.221cos 2(1)1θ==--+，不满足条件.B.22221cos 21(1)0θ==+-+，满足条件.C.22(0,1,1)1cos 21(1)θ-==-+-不满足条件.D.221)(1,0,1)1cos 21(1)θ-==-+-不满足条件.故选B .【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 6.【答案】A【解析】由图1可得出样本容量为(350045002000)2%200++=. 抽取的高中生近视人数为20002%50%20=，故选A.【提示】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数. 【考点】频率分布直方图，分层抽样7.【答案】D【解析】由12l l ⊥，23l l ⊥34l l ⊥，将四条直线放入正方体中，如图所示，111A B l =，112B C l =，13CCl =，4l ∈面ABCD ，满足已知条件，4l 为平面ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，14l l ，的位置关系不确定.数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【考点】直线与直线的位置关系 8.【答案】D【解析】A 中元素为有序数组12345(,,,,)x x x x x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1±、仅2个数为1±或仅3个数为1±，12345x x x x x ++++可取得1，2，3.和为1的元素个数为112510C C =；和为2的元素个数为：12225540C C A +=；和为3的元素个数为：131122525480C C C C C +=.故满足条件的元素总的个数为104080130++=，故选D.【提示】从条件1234513x x x x x ≤++++≤入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为和为1，和为2，和为3三种情况进行讨论. 【考点】集合的元素，排列数与组合数. 二、填空题 9.【答案】(,3)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式|1||2|5x x -++≥，可得2215x x <-⎧⎨--≥⎩①，或2135x -≤<⎧⎨≥⎩②，或1215x x ≥⎧⎨+≥⎩③. 解①求得3x ≤-，解②求得x ∈∅，解③求得2x ≥.综上，不等式的解集为(,3)(2,)-∞-+∞.【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求. 【考点】解绝对值不等式 10.【答案】53y x =-+ 【解析】因为55exy -'=-，所以0|5x y ='=-，所求切线方程为53y x =-+.【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程. 【考点】导数的几何意义 11.【答案】16【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个数不小于6，故所求概率为3671016C C =. 【提示】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论. 【考点】中位数，简单随机事件的概率 12.【答案】2【解析】由正弦定理知，cos cos sin cos sin cos 2sin b C c B B C C B B +=+=，即s i n ()2s i n B C B +=，sin 2sin A B =，从而2a b =，2ab∴=.【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果. 【考点】正弦定理 13.【答案】50【解析】由题意得，51011912=e a a a a =，又0n a >，所以1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =101011ln()a a =510lne ⨯=50.【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到51011e a a =，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【考点】等比数列的性质，数列的前n 项和，对数的运算 14.【答案】(1,1)【解析】曲线1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =，曲线2C 为sin 1ρθ=，则其直角坐标方程为1y =，所以两曲线的交点坐标为(1,1).【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标. 【考点】极坐标与直角坐标的互化15.【答案】9【解析】平行四边形ABCD 中，因为AB CD ∥，又因为DFC EFA ∠=∠，所以CDF AEF △∽△，229CDF CD EB AE AEF AE AE +⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△的面△的面积积.【提示】利用CDF AEF △∽△，可求CDF AEF △的面△的面积积. 【考点】相似三角形的判定与性质数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）三、解答题16.【答案】【解析】（Ⅰ）5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ3sin +1242A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3A32=，所以A（Ⅱ）由（Ⅰ）可知π()4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππ3()()442f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-=++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3)]sin cos (sin cos )2θθθθ++-+=，32θ=，cos θ=又π20,θ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，所以sin θ=()3π π4f θθθ-=-=⎛⎪⎭=⎫⎝【提示】（Ⅰ）由函数()f x 的解析式以及5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得A 的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据3()()2f f θθ+-=，求得cos θ的值，再由π20,θ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，求得sin θ的值，从而求得3π4f θ-⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系 17.【答案】（Ⅰ）由题意可得1n =7，2n =2，1f =0.28，2f =0.08. （Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率0.2.设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为ξ，则4,2~()0.B ξ， 4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=.所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为0.5904. 【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中121n n f ，，和2f 的值. （Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图. （Ⅲ）利用对立事件可求概率.【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 18.【答案】（Ⅰ）PD ABCD ⊥平面，PD AD ∴⊥.又CD AD ⊥，PDCD D =，AD PCD ∴⊥平面，AD PC ∴⊥.又AF PC ⊥，PC ADF ∴⊥平面，即CF ADF ⊥平面.（Ⅱ）设1AB =，则Rt PDC △中，1CD =，又30DPC ∠=︒，2PC PD ∴==，.由（Ⅰ）知CF DF ⊥，DF ∴AF ，12CF ∴.又FECD ∥，数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）DE PD ∴=CF=14， DE ∴，同理EF =34，CD =34. 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则()0,0,10,0A E ⎫⎪⎪⎝⎭，，03,4F⎫⎪⎪⎝⎭,，)0,0P ()0,1,0C . 设,(),m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AF m EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，又330,04AE EF ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩,，所以30304m AF xz m EF y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，令4x=，得z =4,(m =.由（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量(PC =，设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，cos |cos |m PCm PC m PC θ=<>===19【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判CF ADF ⊥平面，即得所求. （Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可. 【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 19.【答案】（Ⅰ）13a =25a = 37a =（Ⅱ）21n a n =+()n *∈Ν【解析】（Ⅰ）32420a S =-，3332520a S S a =-=+，又315S =，37a ∴=，320842a S -==.又2S =1S +2a 222(27)37a a a =-+=-，25a ∴=，1a =1S =2273a -=.综上知1a =3，2a =5，3a =7.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明. ①当1n =时，结论显然成立； ②假设当(1)n k k =≥时，21k a k =+，则)7(3521k k S =+++++[3(21)]()22k k k k =+⨯++=，又21234k k S ka k k +=--，21()2234k k k ka k k +∴+=--，解得2+1246k a k =+，+1(11)2k k a +∴=+， 即当1n k =+时，结论成立. 由①②知，当n *∈Ν时，21n a n =+.【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取2n =得一个关系式，再把3S 变为32S a +得另一个关系式，进而可求3a ，然后把递推式中n 取1，再结合315S =可求得12a a ，.（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的123a a a ，，的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式20.【答案】（Ⅰ）22194x y +=（Ⅱ）2213x y +=【解析】（Ⅰ）可知c =，又c a 3a ∴=，2b =2a -2c =4，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（Ⅱ）设两切线为1l ，2l .①当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±±.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2200002()()94189()360k y kx kx y kx x ++-+--=. 因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，236k ∴-2004()40y kx +--=，20(9)x ∴-2k 002x y k -2040y +-=，所以k 是方程20(9)x -2x 002x y x -240y +-=的一个根，同理1k-是方程20(9)x -2x 002x y x -2040y +-=的另一个根， 2020419y k k x -⎛⎫∴-= ⎪-⎝⎭，得20x 2013y +=，其中03x ≠±，所以点P 的轨迹方程为2213()3x x y ≠±+=，因为()3,2P ±±满足上式.综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=.【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方程可求得.（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用0∆=，得出k 和1k-是20(9)x -2x 002x y x -2040y +-=的两个根，再利用韦达定理得出0x 和0y 的关系式，即P 点的轨迹方程.【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）(,1(12,12)(12,)k k k-∞------+---+--+∞（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为(,1-∞-和(1,1--+()f x 的单调递减区间为(11)--和(1)-++∞（Ⅲ）(11(12,3)(1,12)(12,1k k k ---------+---+--+【解析】（Ⅰ）由题意可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，2[(2)3]x x k +++2[(2)1]0x x k ++->，223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2(20)x k k ∴+<---->或2(1)2(20)x k k +>-->， ||1x ∴+<或|1|x +>，11x ∴-<-+或1x <-或1x >-+.所以函数()f x 的定义域D 为(,1(12,12)(12,)k k k -∞------+---+--+∞.（Ⅱ）232(2)(22)2(22)()2x x k x x f x +++++'=-23(2+1)(22)x x k x +++=-， 由()0f x '>得2(2+1)(22)0x x k x +++<，即(111)0x x x ++-+<，1x ∴<--11x -<<-结合定义域知1x <-或11x -<<-+所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--+， 同理递减区间为(11)--，(1)-+∞. （Ⅲ）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，222[(2)(3+)]x x k k ∴++-22[(2)(3+)]0x x k k +++-=， 22()220()523x x x k x ∴++++-=，(113)(1)0x x x x ∴+++-+-=，=1x ∴1x =+3x =-或1x =，6k ∴<-，1(1,∴∈--，3(11)-∈---，1-1-1-1>-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f =的解集为：(11(12,3)(1,12)(12,1k k k --------+---+--+数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）.【提示】（Ⅰ）由题意可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，又2k <-，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用。
2014湛江二模理综(含答案)
试卷类型：A 湛江市2014年普通高考测试题（二）理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试卷号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H=1，C=12，O=16，N=14，S=32，Cu=64，Na=23一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下图为胰岛素的合成与分泌过程示意图，a、b、c、d、e表示细胞结构。
下列说法中正确的是A．结构a、b、c、d、e都具有膜结构B．应采用饲喂法研究胰岛素的功能C．丙酮酸的分解发生在结构e的内膜上D．b～d过程体现了生物膜的流动性2．罗伯特和布莱恩因在G蛋白偶联受体(GPCRs)方面的研究成果，荣获2012年诺贝尔奖。
GPCRs是一类往返跨膜七次的跨膜蛋白，右图是其结构模式图。
下列有关G蛋白偶联受体说法错误的是A．必定含有C、H、O、N、P、S等元素B．必定含有“－CO－NH－”结构C．必定经过转录、翻译等过程合成D．必定与细胞的信息传递有关3．下列临床措施中，不适宜用于诊断“下丘脑是否发生病变”的是A．监测体温变化B．收集统计尿量C．观察膝跳反射D．检查垂体功能4．右图为某基因中部分片段的示意图，下列各项推测中，不合理的是A．若②处的碱基对发生替换，会导致基因突变B．限制酶可作用于①部位，解旋酶可作用于③部位C．用PCR技术扩增此基因时需添加原料、引物和Taq酶D．转录时，模板链⑤与mRNA的碱基配对类型有2种5．下列“科学家——相关实验——研究方法或结果”的匹配中，正确的是6．下列有关生物工程的叙述中，正确的是A．在基因工程中，可根据标记基因对工程菌进行筛选B．早期胚胎培养与动物细胞培养的培养液成分完全相同C．试管动物技术可看做是动物无性繁殖的一种方式D．动物细胞工程和植物细胞工程都体现了细胞的全能性7．下列说法正确的是A．食用植物油是人体的营养物质B．分馏、干馏是物理变化，裂化、裂解是化学变化C．淀粉、蛋白质、葡萄糖都是高分子化合物D．甲烷、汽油、酒精都是碳氢化合物，都可作燃料8．在pH=1的溶液中，能大量共存的一组离子是A．Mg2+、Ca2+、HCO3－、NO3－B．Al3+、NH4+、Br－、Cl－C．K+、MnO4－、S2－、SO42－D．Na+、K+、SiO32－、Cl－9．设N A代表阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是A．标准状况下2.24 L己烷中，分子数为0.1N AB．22.4LCl2含有Cl-Cl键数为N AC．常温常压下16g O2和O3混合气体中，氧原子数为N AD．7.8gNa2O2与足量水反应，转移电子数为0.2N A10．下列反应或过程一定不是氧化还原反应的是A．△H<0的反应B．古人用热分解法制水银C．用明矾净水D．实验室用浓盐酸和MnO2制Cl211．下列说法正确的是A ．铝合金的熔点比纯铝高B ．电解MgCl 2溶液可获得金属镁C ．水晶项链和餐桌上的瓷盘都是硅酸盐制品D ．铜具有良好的导电性，常用来制作印刷电路板12．常温下关于0.1mol·L －1氯化铵溶液的说法错误．．的是 A ．c(Cl －)>c(NH 4+)>c(H +)>c(OH －) B ．加入氨水至pH=7，c(NH 4+)>c(Cl －) C ．滴加浓盐酸可能有，c(NH 4+)=c(H +)D ．加入少量CH 3COONa 固体，c(NH 4+)减小13．如图所示，一足球用网兜悬挂于O 点，A 点为网兜上对称分布的网绳的结点，OA 为一段竖直绳，设网绳的长短和足球重力不变，若足球越大，则A ．网绳的拉力越大B ．网绳的拉力越小C ．网绳的拉力不变D ．竖直绳OA 的拉力越大14．一个闭合矩形线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，产生的感应电流如图所示，由图可知A ．该交流电电流的有效值是5AB ．该交流电的频率是20HzC ．t =0时刻线圈平面位于中性面D ．该交流电电流的瞬时表达式为)(100cos 5A t i π= 15．公交车是人们出行的重要交通工具，如图所示是公交车内部座位示意图，其中座位A和座位B 的连线和公交车的前进方向垂直，当公交车在某一站台由静止开始匀加速启动的同时，一个乘客从A 座位沿AB 连线相对公交车以2m/s 的速度匀速运动到B 座位，则站在站台上的人看到该乘客A ．运动轨迹为直线B ．运动轨迹为抛物线C ．因该乘客在车上匀速运动，所以乘客处于平衡状态D ．当公交车速度为5m/s 时，该乘客对地速度为7m/s16．电梯早已进入人们的日常生活，设某人乘坐电梯时的v -t 图象如图所示，取向上方向为正方向，下列说法正确的是A ．0至t 1时间人处于失重状态B ．t 2至t 4时间内人处于失重状态C ．t 2至t 3时间内与t 3至t 4时间内电梯的加速度方向相反D ．0至t 1时间内和t 3至t 4时间内电梯的加速度方向相同二、双项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分。
2014广东高考理数试题和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10小学初中高中年级O7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
广东省湛江市数学高三理数第二次模拟试卷
广东省湛江市数学高三理数第二次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z1=a+bi,z2=-1+ai，若|z1|<|z2|，则（）A . b<-1或b>1B . -1<b<1C . b>1D . b>02. （2分） (2019高三上·东莞期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·黄石期中) 已知数列{an}，则“{an}为等比数列”是“an2=an﹣1•an+1”的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高一上·淮南月考) 定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有 <1，且函数y＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是（）A . (－2,0)∪(0,2)B . (－∞，－2)∪(2，＋∞)C . (－∞，－2)∪(0,2)D . (－2,0)∪(2，＋∞)5. （2分） (2017高一下·安徽期中) 已知△ABC中， = ，则B=（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·银川模拟) 已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A . ﹣6B . 12C . 6D . ﹣127. （2分）(2018·临川模拟) 设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 圆截直线所得的弦长为，则（）A .B .C .D . 29. （2分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A . y=﹣4sin（x﹣）B . y=4sin（x﹣）C . y=﹣4sin（x+）D . y=4sin（x+）10. （2分）有一长为的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长（）m（精确到m）.A . 53B . 52C . 51D . 4911. （2分）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·保定期末) 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln ）f（ln ），则a，b，c的大小关系正确的是（）A . a＜c＜bB . b＜c＜aC . a＜b＜cD . c＜a＜b二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最小值为﹣3，则k=________14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，a=2，b=6，B=60°，则c=________．15. （1分）设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…a5x5 ，那么的值为________16. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 在正四棱锥中, ,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题 (共7题；共31分)17. （1分） (2017高三上·济宁期末) 数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列，其前n项和为Sn ．已知S3=7，且3a2是a1+3与a3+4的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn= ，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn ．18. （5分）(2017·山东模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19. （5分） (2020高三上·泸县期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.20. （5分）(2018·郑州模拟) 已知函数，且 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试判断函数的零点个数.21. （5分）(2018·内江模拟) 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望 .22. （5分）已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，F为焦点，且PF=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求•的值．23. （5分）选修4—5：不等式选讲已知 = （）．（Ⅰ）当时，解不等式．（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共31分)17-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2014年湛江市一模理科数学试题及答案
湛江市2014年普通高考测试题（一）数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔 将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、 座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i的共轭复数是A ．iB ．i -C ．1D ． 0 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则A B =A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞ 3．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =A ．5B ．16C ．80D ．160 4．“|1|2x -<”是“(3)0x x -<” 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是6．若关于x 、y 的不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 A ．5a < B ．7a ≥ C ．57a ≤< D ．5a <或7a ≥ 7．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是 A ．(2,0)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-8．定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅= BC CA ⋅，则此三角形一定是A ．等腰三角形B ． 直角三角形C ． 锐角三角形D ． 钝角三角形 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．61()x x-展开式的常数项的值为________________。
湛江市2014年普通高考调研测试题目和答案(扫描版)
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0
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二、填空题 :本 大题共 7小 题 ,考 生作答 6小 题 ,每 小题 5分 ,满 分 30分 。 (-)必 做题 (9-1s题 )
9.过 抛物线 y2=4男 的焦点且与直线 2丌 -y+l〓 o平 行的直线方程是
10.已 知离散型随机变量 X的 分布列为
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3
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∷ ・ ・ …・ ・ …・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ● … ・ …・ ・ …・ ・ ¨・ …・ ・ ・ ・ ・ ・ 3分 ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・・ ・ ・ ・ ● ● ・・ ・ ・ ・・… ・ ・ ・ ・ ¨ ● ● ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ …・ ・ ・ ・ ・ ∴@=3.・
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湛江市 20“ 年普通高考调研测试题 数学 (理 科 )参 考答案及评分意见
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即三位同 至少两位没有 奖的概 率 为 宁 肀 :;. “ ” 法 二、 三人中至多 人不中奖 即为 一
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2014年广东省湛江市高考数学试卷一模考试数学试卷(理科)
2014湛江一模 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1i的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．1D ． 0 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则A B =( )A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞ 3．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =( ) A ．5 B ．16 C ．80 D ．1604．“|1|2x -<”是“(3)0x x -<” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是()C6．若关于x 、y 的不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥7．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是( )A ．(2,0)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,2)-∞- 8．定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅= BC CA ⋅，则此三角形一定是( )A ．等腰三角形B ． 直角三角形C ． 锐角三角形D ． 钝角三角形二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．61()x x-展开式的常数项的值为________________。
-2010．点A (0,1)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离为______________。
2014年广东高考理科数学试题及其参考答案word
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
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广东省湛江市2014届下学期高三年级二模考试数学试卷（理科）2014.04.15本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量。
参考数据：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数1ii -+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱3．已知 1.10.8512log 2,2,()2a b c -===，则a 、b 、c 的大小关系是A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4．下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5．已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，则()()a b a b λλ+⊥-的充要条件是A ．R λ∈B ．0λ=C ．2λ=D ．1λ=±6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲 线的渐近线方程为A．y = B ．y x = C．y x= D ．32y x =± 7．已知实数x 、y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，且()1,0,0a x b y a b +≤>>恒成立，则a b+的取值范围是A ．(]0,4B ．3(0,]2 C ．(0,2) D ．3[,)2+∞8．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当,m n 不全为正奇数时，m ※n =mn 。
则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ==∈∈※中的元素个数是A ． 7B ． 11C ． 13D ． 14二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．等比数列{}n a 中，374,16a a ==，则5a = ________________。
10．阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为__________.11．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法共有 __________种。
（用数字作答）12．在长为6cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于82cm 的概率为 ．13．若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-；函数()lg ||g x x =，则函数()y f x =与()y g x =的图象在区间[6,6]-内的交点个数共有个。
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆O ：22cos 30ρρθ+-=的圆心到直线 cos sin 70ρθρθ+-=的距离是_______________.15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆O 的切线l ，则点A 到 直线l 的距离AD =___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数(sin cos)sin2 ().sinx x x f xx-=(1)求()f x的定义域及最小正周期；(2)求()f x的单调递减区间．17．（本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验。
为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于90分者为“成绩优秀”。
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；(2)由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90,ACB EA ∠=︒⊥平面ABCD ，EF //AB ，FG //BC ，EG //AC ，2AB EF =.(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE ； (2)若22AC BC AE ===，求二面角A BF C --的余弦值． 19．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2514,,a a a 分别是等比数列{}n b 的2b ，3b ，4b 。
(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求122014c c c +++的值。
20．（本小题满分14分）如图，点(0,1)P -是椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径，12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D 。
(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 求△ABD 面积的最大值及取得最大值时直线1l的方程。
21．（本小题满分14分）已知函数2()ln .f x x x = (1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；(3) 设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<。
数学(理科)参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.A2.D3.B4.C5.A6.A7.B8.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 8 10. 3 11.24 12.23 13.1014. 92三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分） 解：（1）由sin 0x ≠，得()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{}|,,.x x R x k k Z π∈≠∈ ……………………….2分∵(sin cos )sin 2()sin x x xf x x -=2cos (sin cos )x x x =- 2sin 22cos x x =- sin 2cos 21x x =--)14x π=-- …………………….6分∴函数()f x 的最小正周期2.2T ππ== ………………………….7分（2）∵函数()sin f x x =的单调递减区间为3[2,2]().22k k k Z ππππ++∈由3222,().242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈，得37,().88k x k k Z ππππ+≤≤+∈……………………………………….10分∴函数()f x 的单调递减区间为37[,]().88k k k Z ππππ++∈……………….12分17. （本小题满分12分）解：（1）由题意得0,1,2ξ= ……………………………………….1分故11225454222999155(0),(1),(2).6918C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= …….4分∴ξ的分布列为：15510012.69189E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………………………….6分（2）由已知数据得……………………………………….10分根据列联表中的数据，2240(115519) 3.1376342020K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯。
由于3.137 2.706>，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。
……….12分 18.（本小题满分14分）（1）∵//,//,//,90,EF AB FG BC EG AC ACB ∠=︒∴90,EGF ∠=︒△ABC ∽△EFG 。
…………………………….2分由于2AB EF =，因此2.BC FG =连接AF ，由于1//,2FG BC FG BC =，………….3分在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则//AM BC ，且12AM BC =，……………….4分因此，//FG AM 且FG AM =,所以四边形AFGM 为平行四边形，∴//.GM FA又FA ⊂平面,ABFE GM ⊄平面ABFE ，∴//GM 平面.ABFE ………………6分 （2）解：∵90ACB ∠=︒，∴90CAD ∠=︒, 又EA ⊥平面ABCD ，∴,,AC AD AE 两两垂直。
分别以,,AC AD AE 所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -。
…………………………….7分则(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,0,1).A B C D - …………………………….8分故(2,2,0),(0,2,0)AB BC =-=，又12EF AB =，∴(1,1,1)F -,(1,1,1)BF =-.设平面BFC 的法向量111(,,)m x y z =，则00m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1110y x z =⎧⎨=⎩ ，取11z =，得11x =，所以 (1,0,1)m = 。