波浪理论及其计算原理

第七章波浪理论及其计算原理在自然界中，常可以观察到水面上各式各样的波动，这就是常讲的波浪运动。

波浪是海洋中最常见的现象之一，是岸滩演变、海港和海岸工程最重要的动力因素和作用力。

引起海洋波动的原因很多，诸如风、大气压力变化、天体的引力、海洋中不同水层的密度差和海底的地震等。

大多数波浪是海面受风吹动引起的，习惯上把这种波浪称为“风浪”或“海浪”。

风浪的大小取决于风速、风时和风区的太小。

迄今海面上观测到的最大风浪高达34m。

海浪造成海洋结构的疲劳破坏，也影响船舶的航行和停泊的安全。

波浪的动力作用也常引起近岸浅水地带的水底泥沙运动，致使岸滩崩塌，建筑物前水底发生淘刷，港口和航道发生淤积，水深减小，影响船舶的通航和停泊。

为了海洋结构物、驾驶船舶和船舶停靠码头的安全，必须对波浪理论有所了解。

当风平息后或风浪移动到风区以外时，受惯性力和重力的作用，水面继续保持波动，这时的波动属于自由波，这种波浪称为“涌浪”或“余波”。

涌浪在深水传播过程中，由于水体内部的摩擦作用和波面与空气的摩擦等会损失掉一部分能量，主要能量则是在进人浅水区后受底部摩阻作用以及破碎时紊动作用所消耗掉。

为了研究波浪的特性，对所生成的波浪或传播中的波浪加以分类是十分必要的。

一般讲，平衡水面因受外力干扰而变成不平衡状态，但表面张力、重力等作用力则使不平衡状态又趋于平衡，但由于惯性的作用，这种平衡始终难以达到，于是，水体的自由表面出现周期性的有规律的起伏波动，而波动部位的水质点则作周期性的往复振荡运动，这就是波浪的特性。

波浪可按所受外界的干扰不同进行分类。

由风力引起的波浪叫风成波。

由太阳、月亮以及其它天体引力引起的波浪叫潮汐波。

由水底地震引起的波浪叫地震水波由船舶航行引起的波浪叫船行波。

其中对海洋结构安全影响最大的是风成波。

风成波是在水表面上的波动，也称表面波。

风是产生波动的外界因素，而波动的内在因素是重力。

因此，从受力来看，风成波称为重力波。

视波浪的形式及运动的情况，波浪有各种类型。

它们可高可低，可长可短。

波可以是静止的一一驻波（即两个同样波的相向运动所产生的波），也可以是移动的——推进波（以一定的速度将波形不变地向一个方向传播的波），可以是单独的波，也可以是一个接一个的一系列波所组成的波群。

§7-1 流体运动的基本方程流体运动时，必须遵循一定的法则，这些法则就是流体运动的基本方程。

为了便于研究海水的波动现象，假设海水是理想流体。

所谓理想流体就是把流体看成为绝对不可压缩、不能膨胀、没有粘滞性、没有表面张力和汽化压力（后两者对液体而言）的连续介质。

一、运动方程对于理想流体，其运动方程可表示为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-=∂∂-=g z p dt dw yp dt dv xp dt du ρρρ111 （7-1） 式中：u 、v 、w 为水质点速度在x 、y 、z 三个坐标轴方向上的分量；ρ为海水的密度；p 为流体所受的表面力；g 为重力加速度。

用欧拉法描述流场时，可得到运动方程为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂g zp z w w y w v x w u t w yp z v w y v v x v u t v xp z u w y u v x u u t u ρρρ111 （7-2） 二、连续方程 流体在运动时，必须遵循质量守恒定律，也就是必须满足连续方程。

今在流体内取一由闭曲面S 所围成的固定几何空间，其体积为τ。

则在单位时间内所取空间内流体质量的增加量为：而同一时间内通过边界净流入到此空间内的流体质量为：式是：n V 表示沿边界外法线方向上的流体质点的速度分量。

根据质量守恒定律，得：τρτd t ⎰⎰⎰∂∂ + ⎰⎰Sn ds V ρ = 0 （7-3） 对于理想流体，有：由于体积的任意性，得到普遍形式的理想流体的连续方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u （7-4）三、边界条件1、海底的运动学边界条件在海底上的流体质点不能穿过海底边界，只能沿着边界的切线方向运动，即：0=∂∂=-=-=dz d z n n u φ （7-5）式中：n u 为沿法线n 方向的水质点速度；φ海水运动的速度势；d 为水面离海底的距离。

流体作无旋运动时，其速度势与速度的关系为：2、自由表面（海面）的运动学边界条件),,(t y x z η= （7-6）式中：),,(t y x η为自由表面的波面函数。

3、自由表面（海面）的动力学边界条件0p p = （7-7） 01=∂∂-=z t g φη （7-8）式中：0p 为海面的压力。

§7-2 微幅波理论一、速度势和波面方程为便于分析，只考虑二维的波动，则连续方程式变为：0=∂∂+∂∂zw x u （7-9） 由于在式（7-2）中含有一般非线性项()x uu ∂∂等，令小量ε=振幅/波长，用摄动法进行求解。

设可以作如下的展开： ⋯++=221u u u εε （7-10） ⋯++=221w w w εε （7-11） 则：()()()2112221221εεεεεεO u u u u u u x u u x x x +=⋯++⋯++=∂∂ （7-12） 在上式中就出现了2ε项。

在开始时()2εO 是可以考虑省略的。

对于二维波动，式（7-1）为：xp t u ∂∂-=∂∂ρ1 （7-13） zp t w ∂∂-=∂∂ρ1 （7-14） 不过，运动是无旋还是有旋的还不清楚，一般当作是有旋的，并引进流函数ψ，则z u ψ=，x w ψ-=，将这些代入式（7-13）和（7-14），消去p 后，得：02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂z x t ψψ （7-15） 令： ()()t kx i e z ωχψ-= （7-16） 将式（7-16）代入式（7-15），得：()()02''=--χχωk z i （7-17） 因为0≠ω，所以()02''=-χχk z 。

相反，如把ψ代入这个关系式，得： 02222=∂∂+∂∂zx ψψ （7-18） 上式所表示的运动是无旋的。

因此，开始时可以将速度势φ引入，即x u φ=，z w φ=，得： 02222=∂∂+∂∂z x φφ （7-19） 如将上式作为依据是合适的话，那么可设上式的解与ψ时同样形式的，可写为：()()t kx i e z ωχφ-= （7-20） 设：因为在海底d z -=处，0=w 。

因此：或者是设：得：因而可推导得：取上式的实部，则：()()t kx z d k C ωφ-+-=sin cosh （7-21） 由自由表面动力学边界条件，可得：()t kx kd gC ωωη-=cos cosh （7-22）对于微幅波动，可设：()t kx A ωη-=cos （7-23） 对比式（7-22）和（7-23），可得：kd gC A cosh ω= （7-24） 将式（7-24）代入式（7-21），得：()()t kx kdz d k Ag ωωφ-+-=sin cosh cosh （7-25） 二、波浪特性参数下面求一个重要的波浪参数公式。

在自由表面，令：()()0,,,=-≡t x z t z x F η （7-25） 由上式得：0=∂∂-∂∂-∂∂≡zF x F t F Dt DF z x φφ （7-26） 或：()ηφηφη==∂∂+∂∂-z xt z x （7-27） 还是用摄动法求解，令：上式只确定了ε的阶次，代入式（7-27），去掉含有二阶及以上小量的项，可得：zt ∂∂-=∂∂11φη ，0=z （7-28） 不失一般性，省略下标1，可得：zt ∂∂-=∂∂φη ，0=z （7-29） 由式（7-25）和式（7-29），可得：kd gk tan 2=ω （7-30） 上式称为分散方程式，因为位相速度（或称波速）c =k ω，所以可得：λππλd g kd k g c 2tanh 2tanh == （7-31） 上式中：假如201<λd ，λ为波长，()304.02tanh =λπd ，而λπd 2=0.314，两者的误差在3%左右以下时，可以设：从而象上式那样的波浪称为浅水波，c 与λ无关，不会引起分散现象。

其次，21>λh 时， ()1996.0tanh 2tanh ≈==πλπh ，因而可得： 上式表明：如果水深为表面波波长的一半以上时，波浪以与波长平方根成正比的速度向前传播，故在风吹海面产生各种波长的波浪时，长波先传播，短波迟到达。

在此引入波陡δ的概念，波陡等于波高和波长之比，即：x ，z 方向水质点速度分量u 、w 为：()()t kx kdz d k agk x t x Dt Dx u ωωφ-+=∂∂-=∂∂≈=cos cosh cosh （7-32） ()()t kx kdz d k agk z t z Dt Dz w ωωφ-+=∂∂-=∂∂≈=sin cosh cosh （7-33） 流场内的压力分布为：gz t kx khd z k Ag p p --+-=-)sin(cosh )(cosh 0ωρ （7-34） §7-3 司托克斯波浪（Stokes ）理论上一节给出的微幅波理论是在假设波幅很小的情况下得出的，即：λ/H 《1，所以其高阶小量可以忽略不计。

如果研究的波浪波幅较大，即上面的条件不能满足时，理论波形和实际波形相差很大，它无法解释实际波动中的某些现象。

为此，需要一种取消前述假定的波浪理论。

这样的波浪理论一般有下面几种：1、斯托克斯（Stokes ）一阶、三阶、五阶波浪理论。

这些理论适合于深水。

2、孤立波理论：液体波动只有一个波峰或波谷，波长无限长。

适合于水深极浅的海域3、椭圆余弦波理论：兼顾深水和浅水。

司托克斯于1847年提出了斯托克斯（Stokes ）波浪理论。

后来瑞利等人对其进行了深入研究，使其在海洋工程中得到了广泛应用。

下面看司托克斯波浪理论的推导过程。

流场的速度势和流函数可分别表示为：kx e x c kz sin βφ+-= （7-35） kx e z ckz cos βψ+-= （7-36） 式中：β为波高H 的特定常数。

由此看出，因为考虑有限的振幅，即使是有势，表面波动也不是简谐波了。

为了便于说明，还是考虑二维波的情形。

显然，流体运动满足连续方程式：及底部边界条件：当-∞→z 时，0→φ。

无旋条件为：也同样得到满足。

所需要检查的是自由表面的两个边界条件。

第一个条件就是式（7-36）所表示的，自由表面的质点不离开表面。

取自由表面的ψ值为零，则得流动必须满足的一个条件为：kx e k cos ηβη= （7-37） 第二个条件为自由表面上的压强等于大气压强（为某一常数）。