第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析

§4 旋转曲面的面积

(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．

(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．

基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ————————————————————

一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐

， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经

常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为

上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即

dx x f dU )(=

以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：

⎰b

a

dx x f )(

例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形

b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为

⎰-=b

a

dx x f x f A |)()(|21

采用微元法应注意一下两点：

1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.

2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆

对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：

x

y s x x S V x

y S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||

二 旋转曲面的面积

§5 定积分在物理中的某些应用

(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．

(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．

基本要求：

(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．

(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公

式．

(三) 教学建议：

要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．

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1 变力沿直线所作的功

从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功是 FS W =

如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功

例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2r q

k F =（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在

电场中从 处沿 轴移动到)(b a b r <=处时，计算电场力 对它所做得功.

解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到

时，电场力对它所作的功近似于dr r kq

2，从而得功元素为

于是所求的为

例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m 和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。

解 如图3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于)/(2m kN xg ,这窄条的长度近似为510x

,高度为 ,因而这

一窄条的一侧所受的水压力近似为

这就是压力元素，于是所求的压力为

例3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力

解 取坐标系如图3.9.3所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取一小区间

，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量为 ，与

相距 ，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为

从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力x F 的元素为 2/322)(y a dy

am k dF x +-=ρ

于是得到引力在水平方向的分力为

上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为

平均值

内容概述：本节介绍函数的平均值求法

学习时数：2

学习目标：了解平均值的求法

学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值

学习基础：微积分基本定理

函数的算术平均值

在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如，对某一零件的长度进行次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值

作为这一零件的长度的近似值。但是，在工程技术与自然科学中，有时还要考虑一个连续函数

在区间 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率就是这样的例子。下面就来讨论如何规定即计算连续函数 在区间 上的平均值。

先把区间 分成 等分，设分点为

每个小区间的长度为)1,,2,1(-=-=∆n i n a

b x i ，设在这些分点处 的函数值依

次为 n y y y ,,,21 ，那么可以用n y y y ,,,21 的平均值

来近似表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值,如果 取的比较大,那么上述平均值就能比较确切地表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我们就称极限