条件概率和贝叶斯定理

条件概率和贝叶斯定理

条件概率

如果两个事件

A和B不是互相独立的，并且知道事件B中的一个事件已经发生，我们就能得到关于P(A)的信息。这反映为A在B中的条件概率，记为P(A︱B)：无条件概率P(A)通常称为先验概率，而条件概率通常称为后验概率。

注意：条件可以在任何一个中发生：

条件概率是概率的有效测度，所以它满足所有的基本公理。

如果A和B是独立的：

例子：

A＝{水华发生}

B＝{日平均温度超过250C}

从藻类和温度的长期观察记录中得到概率：

假设

则：

我们知道，如果水温超过250C，则发生水华的概率显著增加。

贝叶斯定理

假设样本空间S被分成一个含有n个互斥事件的集合，每个事件称为S的一个划分：

考虑S中的一个任意事件B,如下图所示：事件B可以写成由n个不相交（互斥）事件BA1，,BA2,..., BAn组成，记为：

这隐含了全概率定理：

用全概率定理和条件概率的定义可以得到贝叶斯定理：

当结果为，得到B的概率的信息给定的时，贝叶斯定理可以更新。

例子：

考虑一个由10个水样组成的集合。3个水样已被污染。定义事件如下：

事件定义

C样本已被污染

C’样本未被污染

D污染被检测出

D’污染未被检测出

P(C)=0.3（基于10个样本中有3个被污染）

假设样本分析技术不完美。通过校准检验：

P（D︱C）=0.9成功检测出P（D︱C’）=0.4 错误警报

贝斯定理（用C代替A1，用C’代替A2，用D代替B）：