2.1.2两点分布与超几何分步

称分布列为 超几何分布
X P 0 1
0 n 1 n CM C N0M CM C N1M n n CN CN
… m nm … CM C N M
n CN
m
记为：x ~ H(n,M,N), 则称随机变量 X 服从超几何分布．
例 1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一 个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色 外完全相同.游戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖的概率.
P
0
1 12
1
5 12
2
5 12
3
1 12
变式2.从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同.每次取出一件次 品后，总有一件合格品放进此批产品中, 求直到取出一个合格品为止时所需抽取 次数Z的概率分布表.
3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球 1 都是白球的概率为 。现有甲、乙两人从袋中 7 轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再 取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球 时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可 能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量 的概率分布； （3）求甲取到白球的概率。
中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为
C C C C P ((X k )) P X k n C Nn CN
kk M M
n kk n N M N M
,, k 0,1, 2, ,,m k 0,1, 2, m
**
其中m min{ M ,,n}, 且n N ,,M N ,,n,,M ,,N N 其中m min{ M n}, 且n N M N n M N N
练习：
1、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机 变量 去描述1次试验的成功次数，则失败率p等 于（ C ） A.0
1 B. 2
1 C. 3
D.
2 3
思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求取到的次品数 X 的分布列.
超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其
1 A10 10 P( 1) A1 13 13
的所有取值为：1、2、3、4．
1 1 5 A3 A10 P( 2) 2 26 A13
1 5 A32 A10 P( 3) 143 3 A13
分布列为：

1
10 13
2
5 26
3
5 143
4
1 286
P
例3:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件 地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两 种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次 数 的分布列． （2）每次取出的产品都放回此批产品中； 解： 的所有取值为：1、2、…、k、…．
P (2 4) P ( 2) P ( 2) 1 1 1
P (2 9) P ( 3)
∴ 2 的分布列为：
12
6
4
2
0
1 3
1
1 3
4
1 4
9
1 12
P
变式引申：
1、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标 所需的射击次数 的概率分布。 2、数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k 恰好在第k个 位置上，则称有一个巧合，求巧合数 的分布列。

3.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的， 3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中， 此时盒中旧球个数X是一个随机变量。求X的分布列。
例.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖， 飞镖落在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶 内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个 圆为同心圆，半径分别为20cm，10cm， 5cm，飞镖落在不同区域的环数如图所 示，设这位同学投掷一次得到的环数为X， 求随机变量X的分布列
10 9 8
例.一个袋中装有黑球和白球共7个，从中 任取2个球都是白球的概率为1/7，现在 甲、乙两人从袋中轮流摸取一球，甲先 取，乙后取，然后甲再取，……，取后 不放回，直到两人中有一人取到白球时 即终止，每个球在每一次被取出的机会 是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)用X表示取球终止时所需要的取球次数， 求随机变量X的概率分布； (3)求甲取到白球的概率；
复习回顾
1. 随机变量
2.离散型随机变量
3.离散型随机变量的分布列
ξ Ｐ Ｘ1 Ｐ1 Ｘ2 Ｐ2 … … Ｘｉ Ｐｉ … …
离散型随机变量的分布列具有下述两个 性质：
(1) pi ≥ 0, i 1， 3， 2，
(2) p1 p2 p3 1
例：
已知随机变量 的分布列如下：
例.某大厦的一部电梯从底层出发后只能 在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层 载有5位乘客，且每位乘客在这三层的 每一层下电梯的概率均为1/3，用X表示 这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随 机变量X的分布列
例4： 已知随机变量 的分布列如下：

P
－2
1 12
－1
1 4
1 2
0
1 3
1
1 12
两点分布列的运用非常广泛.试举一个例子.
特殊的分布:
“0 - 1”分布(两点分布)：
特点:随机变量X的取值只有两种可能 记法:X～0-1分布或X～两点分布 “～”表示服从
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
C
课本49页练习3
小结
这节课你学到了什么呢？
1. 两点分布
2. 超几何分布
例3:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件 地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两 种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次 数 的分布列． （1）每次取出的产品都不放回此批产品中； 解：
2
1 6
3
1 12
分别求出随机变量⑴ 1 ；⑵ 2 2 的分布列．
解：⑵由 2 2 可得 2 的取值为0、1、4、9
P (2 0) P ( 0)
1 3
P (2 1) P ( 1) P ( 1)
1 12
1 1 1 4 12 3
高二数学 选修2-3
2.1.2离散型随机变 量的分布列(2)
特殊的分布:
两点分布
如果随机变量的分布列为： 0 1 P 1-p p 这样的分布列称为两点分布列(0—1 分布或伯努 利 分 布 ), 称 随 机 变 量 服 从 两 点 分 布 , 而 称 p P ( 1) 为成功概率.

P
－2
1 12
－1
0
1
2
3
1 12
Fra Baidu bibliotek
1 1 1 1 4 3 6 12 1 分别求出随机变量⑴ 1 ；⑵ 2 2 的分布列． 2
练习：从装有６只白球和４只红球的口袋中 任取一只球，用X表示“取到的白球个数”， 即 1• (当取到白球 )
X 0 • (当取到红球 )
求随机变量X的概率分布
P( 1)
1 C10 10 1 C13 13
3 10 P( 2) 13 13
P( k ) ( 3 )k 1 10
13
分布列为：
13
2
3 10 13 13

1
10 13
… …
k
3 k 1 10 ( ) 13 13
… …
P
练两个：
1.袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球， 设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现 从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。 2.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题， 已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考 试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2 道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列， 并求该考生及格的概率。
思考.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, ⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完， 求耗用子弹数 的分布列; ⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完， 求耗用子弹数 的分布列．
探究问题
甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且 x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄 球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的 3个球颜色全不相同，则甲获胜． （1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的 概率最大？ （2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的分布列．
多做练习: 1.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球， 设其中有 个红球，求 的分布列.
多做练习: 2.设袋中有 N 个球，其中有 M 个红球， N M 个黑球， 从中任取 n 个球，问恰有 k 个红球的概率是多少？
多做练习: 3.盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则抽 出 1 个白球和 2 个红球的概率是( ) 37 17 10 17 (A) (B) (C) (D) 42 42 21 21 (注:许多问题其实就是超几何分布问题)