2.1.2两点分布与超几何分步

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题49两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X01P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列X01…k …n p 00C n n p q 111C n n p q -…C kk n k n p q -…0C nn n p q由于表中第二行恰好是二项式展开式()001110C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++ 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N M n NC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．X01…m P 00n M N Mn N C C C --11n M N M n N C C C --…m n m M N M n NC C C --2、超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是A ．()()3,E m D nξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m mξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次.(1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C 赔付频率511052104110A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．题型二：n次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且2a b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（）A．881B．89C．724D．523例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（）A．19B．727C．827D．829例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()Eξ.变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,,1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A ．532B ．516C ．316D ．332例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X 为取得红球的次数，则()D X （）A ．157B ．207C ．2521D ．6049例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．5变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（）A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.变式12．（2022·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【方法技巧与总结】1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：（1）根据题意设出随机变量；（2）分析出随机变量服从二项分布；（3）找到参数n，p；（4）写出二项分布的分布列；（5）将k值代入求解概率．题型四：超几何分布例10．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．1190B．1895C．37190D．189190例11．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．4例12．（2022·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．变式15．（2022·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X 表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X 的分布列和数学期望．变式16．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415.(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式17．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取()*,20n n n ∈≤N 名志愿者，用X表示所抽取的n 名志愿者中老师的人数.(1)若2n =，求X 的分布列与数学期望；(2)当n 为何值时，1X =的概率取得最大值?最大值是多少?变式18．（2022·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.变式19．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n*∈N）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为1 6 .(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.变式20．（2022·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．。

高三第一轮复习两点分布,二项分布及超几何分布

两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列；第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤：第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值．【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ．答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164，所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ．二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343，所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。

2.1.3两点分布与超几何分布

2.1.3 两点分布与超几何分布
学习目标： 1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用. 2．理解两点分布和超几何分布．
探究展示
问题 1 在掷一枚图钉的随机试验中，令 X＝ 1 针尖向上 0 针尖向下
，
如果针尖向上的概率为 0.8，试写出随机变量 X 的分布列____．
分析由题意知：P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2.其分布列为：一般地，如果随机变量 X 的分布列为： X P
k n C M C NkM n P(X＝k)＝ C N
，k＝
0,1,2，…，m(m＝min{M，n})，进行处理即可．
3
问题 3 袋中有 7 个球，其中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列及 P(X>2)．
4
精讲点拨
例袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，且按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，求 (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列； (3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
X1 0.8 P 00 0.2 1－p 1 p
则称离散型随机变量 X 服从
两点分布．
2
问题 2 在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，求： (1)取到次品数 X 的分布列； (2)至少取到 1 件次品的概率。
一般地，一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)， B(N—M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 符合即可断定是超几何分布．按照超几何分布的分布列

两点分布和超几何分布PPT课件

P{X≥3}＝P{X＝3}＋P{X＝4}＋P{X＝5} ≈0.191
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在 55%左右，应如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
精选ppt课件最新
12
练习1：从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动。若随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列及P（ξ <2）。
9
超几何分布;
一般地, 在含有M件次品的N件产品中, 任取n件,
其中恰有X件次品数, 则事件X k发生的概率
为
PX
k
C
k M
C
nk NM
C
n N
,
k
0,1, 2, , m
, 其中 m
minM , n, 且n N , M N , n, M , N N .称分布列
X
0
1
3
P
C
0 M
C
n0 N M
败”，这样就得到了描述该随机试验的服从两点分布的随
机变量。（两点分布还称伯努利分布）
精选ppt课件最新
5
如果随机变量X的分布列由下表给出，它服从两点分布吗？
X 2 5 两点分布又称
P 0.3 0.7
0－1分布
不服从两点分布，因为X的取值不是0或1。
令 Y = ìïïíïïî10,, XX==52 ，则Y服从两点分布.
C
n N
பைடு நூலகம்
C
1 M
C
n 1 N M
C
n N
C C m n m M NM
C
n N
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为
超几何分布列, 则称随机变量X服从超几何分

人教A版高中数学选修2-2 2.1.2《两点分布和超几何分布》教案

?两点分布和超几何分布?教学设计鄞州区姜山中学蒋自佳一、教学内容解析本课题来自人教A版选修2-3第二章?随机变量及其分布?2.1?离散型随机变量及其分布列?第二课时，主要内容是学习两点分布和超几何分布模型。

两点分布是随机变量只有0和1两种结果的分布列，是最简单的分布列，也是之后学习二项分布的根底，起着承上启下的作用。

超几何分布是由有限个物体中抽出n个物体，成功抽出指定种类的物件的次数〔不归还〕。

两点分布和超几何分布列是离散型随机变量分布列两种重要模型，这局部内容以实际情境为主，需要学生具备一定建模才能，建立适宜的分布列，表达数学来源于生活并效劳于生活，促使学生在学习理论中形成和开展数学应用意识。

二、教学目的设置根据教材分析和课标要求，确定如下教学目的：1、知识与技能：掌握两点分布和超几何分布根本概念，能解决与两点分布和超几何分布相关概率问题。

2、过程与方法：学生已具有一定的分析解决抽象问题才能，通过设立详细问题情境，老师启发引导，归纳总结两点分布和超几何分布问题概念和解决规律，培养学生总结探究才能。

3、情感、态度与价值观：通过师生共同参与详细问题的分析，总结探究解决问题的方法，在循序渐进过程中对问题分析和逐步深化，激发学生学习兴趣。

根据上述目的，教学需要上力求表达六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象和数据分析。

三、学生学情分析1、认知根底：学生在必修3中已经学习了有关概率统计的根底知识，利用选修2-3第一章计数原理与排列组合知识可以解决古典概型的概率，在选修2-3第二章第一课时学习了随机变量、离散型随机变量的概念，分布列概念和性质，可以解决简单的分布列问题，但学生对随机变量，离散型随机变量概念理解不够深化，求分布列过程还不纯熟。

2、才能储藏：学生可以利用已有的概率统计知识解决一些简单问题，思维活泼，初步具备自主分析和探究才能，但考虑不够严谨，容易遗漏，处理抽象问题才能还有待进步。

2.1.2两点分布与超几何分布(修改)ppt课件

所以随机变量X的分布列是如取小数,注意保留小
p( X
k)
C5k
•
C 3k 95
C3 100
数位X不能太少0,此外四 1
舍五入时还要注意各
个概P率和等C50于• C1.935
C51•CFra bibliotek2 95
C3 100
C3 100
2
C52 • C915 C3
100
3
C53 • C905 C3
100
(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400; 或P(X≥1)=1-P(X=0)=1- C50 • C935 ≈0.14400; C3
1
一.离散型随机变量的分布列:
1、定义设离散型随机变量X的所有可能的取值为
x1, x2 , x3 , , xn .
X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
这个表就称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X 的分布列. 有时为了简单起见，也用等式 P(X xi ) pi,
2、对于0-1分布，设P(0)=m，0<m<1，则 P(1)= 1-m .
3、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员
罚球命中概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列。
X
0
1
P
0.3
0.7
8
例2、在含有5件次品的100件产品中, 任取3件, 求取到的次品数X的分布列. 问：X的可能取哪些值？
两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。

两点分布、超几何分布、正态分布

两点分布、超几何分布、正态分布1．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，则称离散型随机变量E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 2．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 3．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ＞0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛a服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．服从两点分布．(×)(2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)(6)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(√)(7)对于正态分布X～N(μ，σ2)，总有P(x＜μ－a)＝P(x≥μ＋a)．(√)(8)X～N(μ，σ2)，发生在(μ－3σ，μ＋3σ)，之外的概率为0，称之不可能事件．(×)(9)正态总体(1,9)在区间(0,1)和(－1,0)上的概率相等．(×)(10)随机变量分布列为是两点分布．(×)考点一两点分布、超几何分布[例1](1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13，故应选C.答案：C(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列及期望．解：①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．②X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32.[方法引航](1)两点分布列的随机变量X取值为1和0，不能取其它整数，X＝1表示“成功”.(2)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.1．若将本例(1)改为，求X 的成功率．解：p ＋p 2＝1，(p ＞0)，∴p ＝5－12∴X 的成功率P (x ＝1)＝2)215(＝3－52.2．将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在各随机选取2人，进行跟踪调查．①求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率； ②求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；③若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：①设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A ，所以P (A )＝C 23C 25＝310.②设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ，所以P (B )＝C 23C 12C 11C 25C 23＋C 13C 12C 22C 25C 23＋C 23C 22C 25C 23＝12.③X 的可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 23C 22C 25C 23＝110， P (X ＝1)＝C 13C 12C 22＋C 23C 12C 11C 25C 23＝25， P (X ＝2)＝C 22C 22＋C 13C 12C 12C 11C 25C 23＝1330， P (X ＝3)＝C 22C 12C 11C 25C 23＝115.所以E(X)＝0×110＋1×25＋2×1330＋3×115＝2215.考点二正态分布[例2](1)(2017·山西四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝__________.解析：因为P(X＞m)＝0.3，X～N(3，σ2)所以m＞3，P(X＜6－m)＝P(X＜3－(m－3))＝P(X＞m)＝0.3所以P(X＞6－m)＝1－P(X＜6－m)＝0.7.答案：0.7(2)云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5,16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5,162.5)，第2组[162.5,167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．①试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；②求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；③身高排名(从高到低)在全省130名之内，其身高最低为多少？参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ～σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：①由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，∵171.5 cm＞170.5 cm，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值．②由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，∴人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.③∵P(170.5－3×4＜ξ＜170.5＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×100 000＝130.∴身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名．[方法引航]在高考中主要考查正态分布的概率计算问题，其解决方法如下：第一步，先弄清正态分布的均值是多少；第二步：若均值为μ，则根据正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝0.5，P(X≤μ)＝0.5，P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等结论；第三步，根据这些结论、题目中所给条件及对称性，对目标概率进行转化求解即可.,说明：关于正态总体在某个区间内取值的概率问题，要熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来解题.1．(2017·江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1 C．0.15 D．0.2解析：选B.由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.2．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解：依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的12×68.26%＝34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人.[易错警示]不能正确理解正态曲线的对称性[典例]已知随机变量ξ满足正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ<1)＝12，P(ξ>2)＝0.4，则P(0<ξ<1)＝________.[错解]由P(ξ>2)＝0.4，∴P(ξ<2)＝1－0.4＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝12P(ξ<2)＝0.3.[错因]P(0<ξ<1)是P(ξ<2)的一半．[正解]由P(ξ<1)＝12得μ＝1，∴随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于x＝1对称．∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1.[答案]0.1[警示]①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[高考真题体验]1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718 C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：选C.由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.4．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.课时规范训练A组基础演练1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于() A．1B．2 C．3 D．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.2．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.3．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是()A.C12C948C1050 B.C12C950C1050 C.C12C1050 D.C948C1050解析：选A.50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) 解析：选D.由图象知，μ1<μ2，σ1<σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.5．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，则a ＝( )A.37B.73C.78D.87解析：选B.因为ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，∴a ＝73.6．若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π·e －(x ＋2)28(x ∈R )，则E (2X －1)＝________.解析：σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案：－57．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为解析：P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 3·C 2C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1 0.6 0.38．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P (92＜X ≤140)＝P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，∴P (X ＞140)＝12(1－0.997 4)＝0.001 3，∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：139．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝3)321(-＋C 2312)32()321(-＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为10.盒内有大小相同的9个球，其中24个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：(1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为：1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x )＝12π·10(x ∈R )，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B.由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又正态曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的． 2．已知X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则dx x 2)1(432e 21--⎰π＝( )A ．0.043B ．0.021 5C ．0.341 3D ．0.477 2解析：选B.由题意知，μ＝1，σ＝1，P (3＜X ≤4)＝12×[P (－2＜X ≤4)－P (－1＜X ≤3)]＝12×(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5.故选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞3)＝a ，P (1＜ξ≤3)＝b ，则函数f (a )＝a 2＋a －1a ＋1的值域是________．解析：易知正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)＝a ，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0⇒0＜a ＜12.f (a )＝a －1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1－1，令t ＝a ＋1∈)23,1(，函数f (a )＝g (t )＝t －1t －1在t∈)23,1(上是增函数，所以g (t )∈)61,1())23(),1((--=g g答案：)61,1(--4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715， P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715， P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.5．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ， “两人都不享受折扣优惠”为事件B ，则P(A)＝C212C236＝11105，P(B)＝C224C236＝46105.因为事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝11105＋46105＝57105＝1935.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是19 35.(2)据题意，得ξ的可能取值0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝46105，P(ξ＝1)＝C112C124C236＝48105，P(ξ＝2)＝P(A)＝11 105.所以ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝23.。

高中数学第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时两点分

所以P(X＝0)＝CC06C13034＝310，P(X＝1)＝CC16C13024＝330， P(X＝2)＝CC26C13014＝12，P(X＝3)＝CC36C13004＝130. 所以X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
1 30
3 10
1
1
2
6
(2)由(1)知他能及格的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝
4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝CC02C36 34＋CC12C36 24＝45. 答案：45
5．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
复习课件
高中数学第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时两点分布与超几何分布同步课件新人教A版选修2-3
1
第二章随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散型随机变量的分布列第 2 课时两点分布与超几何分布
[学习目标] 1.理解两点分布，并能进行简单的应用 (重点)． 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用(重点、难点)．
X0
1 …M
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随
机变量 X 服从超几何分布．
温馨提示两点分布的随机变量 X 只能取 0 和 1，否则，只取两个值的分布不是两点分布．

两点分布和超几何分布

应用场景
产品质量检测
生物统计学
超几何分布可以用于描述从一批产品中随机抽取一定数量的样本，样本中合格品或不合格品的概率分布。
在生物统计学中，超几何分布可以用于描述从有限总体中随机抽取一定数量的样本，样本中某一基因型或表型的个体所占的比例。
市场调查
在市场调查中，超几何分布可以用于描述从总体中随机抽取一定数量的样本，样本中某一特征的个体所占的比例。
例如，在伯努利试验中，可以用两点分布来描述试验的成功和失败的概率。
02
超几何分布
定义
定义
超几何分布是统计学中描述从有限总体中不放回地抽取n个样本，样本中某一特定类别的个体数量所遵循的分布。
公式
超几何分布的公式为H(X=k)=C(Nk)C(M(n−k))C(Nn)×P^k×(1−P)^(n−k)，其中X表示样本中某一特定类别的个体数量，N表示总体容量，M表示总体中某一特定类别的个体数量，n表示样本容量，P表示某一特定类别的个体在总体中的比例。
交叉学科研究
实际应用研究
将两点分布和超几何分布在不同学科领域中的应用进行交叉研究，促进各学科之间的交流与合作。
加强两点分布和超几何分布在各领域的实际应用研究，如统计学、生物学、物理学等，为相关领域提供更有效的解决方案。
感谢观看
THANKS
适用场景
超几何分布在统计学中广泛应用于解决不放回的抽取问题，如产品质量检测、市场调查等。
性质
无记忆性
超几何分布具有无记忆性，即从一个总体中抽取一个样本后，不影响下次抽取的概率。
独立性
超几何分布的各个抽取事件是相互独立的，即抽取一个样本不影响其他样本的抽取。
离散性
超几何分布描述的是离散随机变量的概率分布。

两点分布、超几何分布

(2)至少取到1件次品的概率(结果保留到小数点后五位).
解: (1) 所以随机变量X 的分布列是
X
0
1
2
3
P
(2) 根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率为
天津市春季学期中小学精品课程资源
超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中
恰有X 件次品，则其中
称分布列
描述1次试验的成功次数，则 P(X =0) 等于
（C ）
A.
B.
C.
D.
分析：本小题中的随机变量X 只取0和1两个结果，所以X 服从
两点分布，设成功率为 p，则可以表示出失败率为 5p，利用分布
列的概率和为1进行求解.
即，p + 5p =1,得 p = .所以失败率为，即 P(X =0) = .
天津市春季学期中小学精品课程资源
是被公认的概率
论的先驱者之一.还较早阐明随
着试验次数的增加，频率稳定
在概率附近.
天津市春季学期中小学精品课程资源
练习篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分X 的分布列.
解：罚球得分X 的取值为：0，1.
所以X 的分布列为 X0 1
P 0.3 0.7
天津市春季学期中小学精品课程资源
练习在含有3件次品的10件产品中，
（1）从中任取4件，请写出取到的次品件数的所有可能取值；（2）从中任取2件，请写出取到的次品件数的所有可能取值；（3）从中任取3件，试求：
① 取到的次品数X 的分布列；② 至少取到1件次品的概率.注意：的取值不超过含有次品的件数.

第9讲两点分布,二项分布及超几何分布8种常考题型(解析版)高二数学讲义(人教A版2019

第9讲两点分布，二项分布及超几何分布8种常考题型【考点分析】考点一：两点分布：X 01P1-PP考点二：独立重复实验①独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．②独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率()()kn kkn p p C k x P --==1，k ＝0,1,2，…，n .考点三：二项分布①二项式分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为()()kn kkn p p C k x P --==1，k ＝0,1,2，…，n.则称随机变量X 服从二项分布,记作()p n B X ,~,并称p 为成功概率.②判断一个随机变置是否服从二项分布，看两点1.是否为n 次独立重复试验，2.随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数．考点四：超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,,k n k M N MnNC C p X k k m C --=== ,其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，则称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列.如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布.考点五：二项式分布与超几何分布的区别和联系超几何分布和二项分布的相同点为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列．超几何分布和二项分布最明显的区别有两点：①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．超几何分布和二项分布二者之间也有联系：当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布．【题型目录】题型一：两点分布的概念及分布列题型二：两点分布的期望方差题型三：独立重复实验发生k 次的概率题型四：二项分布的概念题型五：二项分布的期望方差题型六：二项分布的概率最大值问题题型七：超几何分布的概率题型八：超几何分布的期望方差【典型例题】题型一：两点分布的概念及分布列【例1】（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（）A ．抛掷一枚骰子，所得点数XB ．某射击手射击一次，击中目标的次数XC ．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设1,0,X ⎧=⎨⎩取出白球取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数X 【答案】BCD【分析】由两点分布的定义依次判断，即得解【详解】由题意可知B ，C ，D 中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X 的取值为1，2，3，4，5，6，所以A 中的随机变量不服从两点分布.故选:BCD【例2】设随机变量X 服从两点分布，若()()100.3P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（）A ．0.3B ．0.35C ．0.65D ．0.7【答案】C【分析】根据两点分布概率性质可得解.【详解】随机变量X 服从两点分布，()()100.3P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.3101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.65P X ==.故选：C.【例3】对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A 表示“失败”．定义1,0A X A ⎧=⎨⎩发生，发生，如果()=P A p ，那么X 的分布为______．【题型专练】1．（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（）．A ．抛掷一枚骰子，所得点数XB ．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分XC ．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{1}X ==“取出白球”，{}0X ==“取出红球”D ．某医生做一次手术，手术成功的次数X 【答案】CD【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C ，D 满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X 可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A 不满足题意；某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X 的取值是0，2，B 不满足题意．故选：CD2．下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是______．①某运动员射击一次，击中目标的次数为随机变量X ；②某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X ；③抛掷一颗骰子，所得点数为随机变量X ；④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量1X =，取出白球；X 0=，取出红球．【答案】③【分析】分析随机变量X 的可能取值是否为两种情况，从而作出判断.【详解】伯努利型分布即两点分布，其中①某运动员射击一次，击中目标的次数有两种可能，故为伯努利型；②某医生做一次手术，手术成功的次数为两种可能，故为伯努利型；③抛掷一颗骰子，所得点数可能为1,2,3,4,5,6，故不是伯努利型；④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量1X =，取出白球；X 0=，取出红球，两种可能，故为伯努利型.故答案为：③3．已知随机变量X 服从两点分布，且(1)0.6P X ==，设32X ξ=-，那么(2)P ξ=-=_________．【答案】0.4【分析】根据两点分布得基本性质即可求解【详解】由题意得，当2ξ=-时，即3220X X -=-⇒=，所以()()()2011P P X P X ξ=-===-=10.60.4=-=故答案为：0.44．一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球．(1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有0,,1,,X ⎧=⎨⎩摸出白球摸出红球求X 的分布列；(2)从袋中任意摸出两个球，用“Y =0”表示两个球全是白球，用“1Y =”表示两个球不全是白球，求Y 的分布列．。

两点分布、超几何分布、正态分布

两点分布、超几何分布、正态分布1．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，则称离散型随机变量E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 2．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 3．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ＞0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛a服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．服从两点分布．(×)(2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)(6)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(√)(7)对于正态分布X～N(μ，σ2)，总有P(x＜μ－a)＝P(x≥μ＋a)．(√)(8)X～N(μ，σ2)，发生在(μ－3σ，μ＋3σ)，之外的概率为0，称之不可能事件．(×)(9)正态总体(1,9)在区间(0,1)和(－1,0)上的概率相等．(×)(10)随机变量分布列为是两点分布．(×)考点一两点分布、超几何分布[例1](1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13，故应选C.答案：C(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列及期望．解：①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．②X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32.[方法引航](1)两点分布列的随机变量X取值为1和0，不能取其它整数，X＝1表示“成功”.(2)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.1．若将本例(1)改为，求X 的成功率．解：p ＋p 2＝1，(p ＞0)，∴p ＝5－12∴X 的成功率P (x ＝1)＝2)215(＝3－52.2．将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在各随机选取2人，进行跟踪调查．①求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率； ②求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；③若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：①设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A ，所以P (A )＝C 23C 25＝310.②设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ，所以P (B )＝C 23C 12C 11C 25C 23＋C 13C 12C 22C 25C 23＋C 23C 22C 25C 23＝12.③X 的可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 23C 22C 25C 23＝110， P (X ＝1)＝C 13C 12C 22＋C 23C 12C 11C 25C 23＝25， P (X ＝2)＝C 22C 22＋C 13C 12C 12C 11C 25C 23＝1330， P (X ＝3)＝C 22C 12C 11C 25C 23＝115.所以E(X)＝0×110＋1×25＋2×1330＋3×115＝2215.考点二正态分布[例2](1)(2017·山西四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝__________.解析：因为P(X＞m)＝0.3，X～N(3，σ2)所以m＞3，P(X＜6－m)＝P(X＜3－(m－3))＝P(X＞m)＝0.3所以P(X＞6－m)＝1－P(X＜6－m)＝0.7.答案：0.7(2)云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5,16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5,162.5)，第2组[162.5,167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．①试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；②求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；③身高排名(从高到低)在全省130名之内，其身高最低为多少？参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ～σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：①由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，∵171.5 cm＞170.5 cm，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值．②由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，∴人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.③∵P(170.5－3×4＜ξ＜170.5＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×100 000＝130.∴身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名．[方法引航]在高考中主要考查正态分布的概率计算问题，其解决方法如下：第一步，先弄清正态分布的均值是多少；第二步：若均值为μ，则根据正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝0.5，P(X≤μ)＝0.5，P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等结论；第三步，根据这些结论、题目中所给条件及对称性，对目标概率进行转化求解即可.,说明：关于正态总体在某个区间内取值的概率问题，要熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来解题.1．(2017·江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1 C．0.15 D．0.2解析：选B.由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.2．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解：依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的12×68.26%＝34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人.[易错警示]不能正确理解正态曲线的对称性[典例]已知随机变量ξ满足正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ<1)＝12，P(ξ>2)＝0.4，则P(0<ξ<1)＝________.[错解]由P(ξ>2)＝0.4，∴P(ξ<2)＝1－0.4＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝12P(ξ<2)＝0.3.[错因]P(0<ξ<1)是P(ξ<2)的一半．[正解]由P(ξ<1)＝12得μ＝1，∴随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于x＝1对称．∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1.[答案]0.1[警示]①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[高考真题体验]1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718 C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：选C.由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.4．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.课时规范训练A组基础演练1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于() A．1B．2 C．3 D．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.2．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.3．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是()A.C12C948C1050 B.C12C950C1050 C.C12C1050 D.C948C1050解析：选A.50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) 解析：选D.由图象知，μ1<μ2，σ1<σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.5．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，则a ＝( )A.37B.73C.78D.87解析：选B.因为ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，∴a ＝73.6．若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π·e －(x ＋2)28(x ∈R )，则E (2X －1)＝________.解析：σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案：－57．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为解析：P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 3·C 2C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1 0.6 0.38．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P (92＜X ≤140)＝P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，∴P (X ＞140)＝12(1－0.997 4)＝0.001 3，∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：139．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝3)321(-＋C 2312)32()321(-＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为10.盒内有大小相同的9个球，其中24个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：(1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为：1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x )＝12π·10(x ∈R )，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B.由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又正态曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的． 2．已知X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则dx x 2)1(432e 21--⎰π＝( )A ．0.043B ．0.021 5C ．0.341 3D ．0.477 2解析：选B.由题意知，μ＝1，σ＝1，P (3＜X ≤4)＝12×[P (－2＜X ≤4)－P (－1＜X ≤3)]＝12×(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5.故选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞3)＝a ，P (1＜ξ≤3)＝b ，则函数f (a )＝a 2＋a －1a ＋1的值域是________．解析：易知正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)＝a ，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0⇒0＜a ＜12.f (a )＝a －1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1－1，令t ＝a ＋1∈)23,1(，函数f (a )＝g (t )＝t －1t －1在t∈)23,1(上是增函数，所以g (t )∈)61,1())23(),1((--=g g答案：)61,1(--4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715， P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715， P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.5．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ， “两人都不享受折扣优惠”为事件B ，则P(A)＝C212C236＝11105，P(B)＝C224C236＝46105.因为事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝11105＋46105＝57105＝1935.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是19 35.(2)据题意，得ξ的可能取值0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝46105，P(ξ＝1)＝C112C124C236＝48105，P(ξ＝2)＝P(A)＝11 105.所以ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝23.。

2.1.2两点分布与超几何分步

0，如果出现的点数小于4 X＝ 1，如果出现的点数不小于4
来研究，{X＝0}和{X＝
1}分别表示“出现的个数小于 4”和“出现的点数不小于 4”，X 服从两点分布，成功概率为 0.5.
例2
在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等
奖券 1 张，可获得价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从这 10 张中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列．
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的
分布列
．
n
2．离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi ≥
ks5u精品课件 0，i＝1,2,3，…， n；(2)∑pi＝ 1 .
i＝1
1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(
)
ks5u精品课件
例1
一袋中装有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个大小相同的球，
ξ ＰＸ1 Ｐ1 Ｘ2 Ｐ2 … … ＸｉＰｉ … …
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1) pi ≥ 0, i 1 ， 2， 3，
(2) p1 p2 p3 1
ks5u精品课件
2.1.2
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列
1．定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， …， xi，…，xn，X 取每一个值 xi (i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝ pi ，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
①由分布列性质得，
1 ②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝， 2 P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)

新人教A版：2.1离散型随机变量、两点分布,超几何分布

授课主题离散型随机变量、两点分布、超几何分布教学目标1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量、概率分布的概念．2．知道随机变量的某些函数也是随机变量，随机变量的一次函数也是随机变量．3．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.4．理解两点分布和超几何分布，运用两点分布、超几何分布研究有关随机变量的概率．教学内容1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着实验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．例如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量. 其值域是{0,1,2,3,4}，{X＝0}表示抽出0件次品；{X＝1}表示抽出1件次品；{X＜3}表示抽出0或1或2件次品．3．概率分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．4．离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥ 0，i＝1,2,3，…，n；(2)1......21=++++iPPP.5．两点分布如果随机变量X的分布列为X 1 0Ppq其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足点分布．X 1 0 P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． 6．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．题型一用随机变量描述随机现象例1 ①某座大桥一天经过的小轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：③中一天内的温度不能把其取值一一列出，不是离型随机变量．答案：B点评：随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．巩固下列命题中，正确的个数是( )①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D.答案：D题型二离散型随机变量的判断项例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．解析：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．点评：该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．巩固指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)节能灯的寿命ξ；(2)老张通常在早晨6：30－6：50之间出门乘地铁上班，那么老张出门上班的时间ξ；(3)佛山市西江水位监测站所测水位在(0,35]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)某班有23名男生，17名女生，从中选出5人参加学校的某项活动，其中所含女生的人数ξ.解析：(1)节能灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．(2)老张在6：30－6：50之间的任何时间都可能出发，所以出门上班时间不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,35]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．(4)是离散型随机变量．从40人中选出5人，所得的结果有以下几种：5个男生；4个男生和1个女生；3个男生和2个女生；2个男生和3个女生；1个男生和4个女生；5个女生．即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．题型三随机变量的取值例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.分析：(1)任取5个球时可能0白5红，1白4红，2白3红，3白2红；(2)任取3球最大号码可能为3,4,5.解析：(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.点评：本题容易忽视共3个白球，出现4白1红等情况．随机变量与试验所产生的随机事件是一种对应关系，因此准确地列出随机试验所产生的所有随机事件是正确写出随机变量取值的前提．巩固请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.(2)从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ．解析：(1)ξ可取1,2,3.{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.η可取0,1,2.{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中，{ξ＝3}表示取出分别标有1,2的两张卡片；{ξ＝4}表示取出分别标有1,3的两张卡片；{ξ＝5}表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；{ξ＝6}表示取出分别标有2,4的两张卡片；{ξ＝7}表示取出分别标有3,4的两张卡片．题型四随机变量的确定例4在对电灯泡的寿命测试中，若规定寿命在1 500小时以上的灯泡为一等品，寿命在1 000到1 500之间的为二等品，寿命在1 000小时之下的为不合格品，如果按灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？若按是否为一等品，二等品或不合格品，应如何定义随机变量？如果我们只关心灯泡的使用寿命，应如何定义随机变量？解析：当关心“灯泡是否为合格品”时，可定义随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.当关心“灯泡是否为一等品，二等品或不合格品”时，可定义随机变量Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为一等品，2，灯泡为二等品，3，灯泡为不合格品 .当关心“灯泡的使用寿命”时，可定义随机变量Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命＜1 000小时，1，1 000小时≤寿命≤1 500小时，2，寿命＞1 500小时.点评：灯泡的使用寿命是连续变量不是随机变量，而将使用寿命分为几个时间段，则可以用随机变量表示了．对于“灯泡是否合格”，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.其含义是，灯泡为不合格品时，取X ＝0；灯泡为合格品时，取X ＝1.也可以表示为X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为不合格品，2，灯泡为合格品.巩固在掷骰子试验中，随机变量的值域是什么？如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？解析：随机变量的值域为{1,2,3,4,5,6}．可以这样定义随机变量Y ＝01⎧⎨⎩，点数为奇数，点数为偶数题型五离散型随机变量的分布列的性质用例5 设随机变量X 的概率分布P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 分析：根据概率分布列的第二条性质求出a ，再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出P ⎝⎛⎭⎫X ≥35及P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 解析：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)因为X 的概率分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)因110＜X ＜710，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 点评：概率分布列的有关性质是对求概率分布列进行检验或对有关参数进行求值的依据，P (x 1＜X ＜x 2)表示在(x 1，x 2)内X 所有取值的概率的和．巩固随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (1＋k )，k ＝1,2,3，其中c 为常数，则P (ξ≥2)＝( )A.89B.23C.13D.29解析：由P (ξ＝k )＝c k (1＋k )，k ＝1,2,3，可知c 2＋c 6＋c 12＝1，解得c ＝43.故P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝1)＝1－c 2＝1－12×43＝13，故选C.答案：C题型六求离散型随机变量的分布列例6 一个正四面体玩具的四个面分别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，求ξ的分布列．解析：ξ的可取的值为2,3,4,5,6,7,8.将这个玩具连续抛掷两次，所以可能事件总数有4×4＝16个，根据古典概率的计算公式得P (ξ＝2)＝116，P (ξ＝3)＝216＝18，P (ξ＝4)＝316，P (ξ＝5)＝416＝14，P (ξ＝6)＝316，P (ξ＝7)＝216＝18，P (ξ＝8)＝116.所以，所求的ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6 7 8 P (ξ)116183161431618116点评：(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：①确定X 的所有可能的取值；②求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；③列成表格的形式．巩固将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.解析：将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36(种)等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6. P (ξ＝1)＝136，用(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y ，则ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)，则P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝936＝14，P (ξ＝6)＝1136.故ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 6 P136112536736141136题型七两点分布例7 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，求X 的分布列．解析：由题设可知X 服从两点分布，P (X ＝0)＝25215C C ＝221，∴P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－221＝1921.∴X 的分布列为：X 0 1 P2211921点评：两点分布的适用范围：(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等．巩固一个袋子中有形状大小完全相同的3个黑球和4个白球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出黑球，用1表示摸出白球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出黑球，1，摸出白球，求X 的分布列．(2)从中任意摸出两个球，用“ξ＝0”表示两个球全是黑球，用“ξ＝1”表示两个球不全是黑球，求ξ的分布列解析：(1)X 符合两点分布，P (X ＝0)＝37，P (X ＝1)＝47，分布列如下表：X 0 1 P3747(2)ξ符合两点分布，P (ξ＝0)＝C 23C 27＝17，P (ξ＝1)＝C 03C 24＋C 13C 14C 27＝67，分布列如下表： ξ 0 1 P1767题型八超几何分布例8 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析：(1)从10件产品中取出3件，这3件产品中恰有k 件一等品的概率P (X ＝k )＝337310k kC C C -⋅(k ＝0,1,2,3)．所以，随机变量X 的分布列是：X 0 1 2 3 P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，则A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3为两两互斥事件．又P (A 1)＝C 13·C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120.所以，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120．点评：超几何分布的理解：(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M ，N ，n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．巩固从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515(2)由(1)知“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.A 组1．随机变量X 的分布列如下，则m ＝( )X1234P14m13 16A.13B.12C.16D.14 答案：D2．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( ) A ．ξ取每个可能值的概率是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和答案：D3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( ) A.1718 B.2738 C.1719 D.2719解析：P (X ＝1)＝2m 3，P (X ＝2)＝4m 9，P (X ＝3)＝8m27，由离散型随机变量的分布列的性质知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X＝3)＝1，即2m 3＋4m 9＋8m 27＝1，解得m ＝2738.故选B.答案：BB 组一、选择题1．若随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则表中a 的值为( )ξ 1 2 3 4 P121616aA.1B.12 C.13 D.16答案：D2．下列A ，B ，C ，D 四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ 0 1 P0.60.3B.ξ 0 1 2 P0.902 50.0950.002 5C.ξ 0 1 2 … nP121418…12n ＋1D.ξ 0 1 2 … n P1313·2313⎝⎛⎭⎫232…13⎝⎛⎭⎫23n解析：对于表A ，由于0.6＋0.3＝0.9＜1，故表A 不能成为随机变量ξ的分布列；仿上可知，对于表C ，有12＋14＋18＋…＋12n ＋1＝1－12n ＋1＜1，故表C 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表D ，知13＋13·23＋13·⎝⎛⎭⎫232＋…＋13·⎝⎛⎭⎫23n ＝13·⎣⎡⎦⎤1＋23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n ＝1－⎝⎛⎭⎫23n ＋1＜1，故表D 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表B ，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B 可以成为随机变量ξ的分布列．答案：B3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现2件次品的概率为( ) A.2245B.949C. 47245D. 以上都不对解析：P (X ＝2)＝C 25C 250＝5×450×49＝2245.故选A.答案：A4．已知离散型随机变量X 的分布列如图所示，则常数c 为( )X 0 1 P9c 2－c3－8cA.13B.23C.13或23D.14解析：根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13.故选A.答案：A5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C ⋅的是( ) A ．P (ξ＝2) B ．P (ξ＝3) C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3) 答案：B二、填空题6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于10的概率为________．解析：两次点数之和等于10的有3种：4＋6,5＋5,6＋4，所以两次点数之和等于10的概率为P (ξ＝10)＝336＝112，所以两次点数之和不等于10的概率为1－P (ξ＝10)＝1112.答案：11127.一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x 表示取出的红球个数，P (X ＝1)的值为________．解析：由题意知，取出3球必是1个红球2个黑球，故P (X ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272208. 随机变量ξ等可能取值为1,2，…，n ，n ∈N *，若P (ξ<4)＝0.3，则n ＝________. 解析：P (ξ<4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝3n ＝0.3，解得n ＝10.答案：10三、解答题9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差为ξ，求ξ的分布列．分析：分第一次掷出的点数和第二次掷出的点数，有先后顺序，故ξ可能的取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，求出对应的概率值，列表即可．解析：由题意，第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差依次为：－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝－5)＝136，P(ξ＝－4)＝236＝118，…，P(ξ＝5)＝136.故其分布列为：ξ－5－4－3－2－101234 5P136118112195361653619112118136 10．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．解析：根据题意可知随机变量ξ的取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝2235110CC=；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球的编号只能在编号为1,2,3的三只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝2335310CC=；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球的编号为1,2,3,4的四只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝243563105CC==可得ξ的分布列为：ξ34 5P11031035A组1．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)解析：P(X＝0)＝C222C226，P(X＝1)＝C122C14C226，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝P(X≤1)，故选B.答案：B2．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝( ) A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1解析：因为Y ＝3X －2，所以X ＝13(Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.故选A.答案：A3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310，因为P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝710，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．故选D.答案：DB 组一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13k ，k ＝1,2，…，则P (1<X ≤3)＝( )A.427B.79C.1327D.1627解析：P (1<X ≤3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝132＋133＝427.故选A.答案：A3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P12122123124125126127128129m则P (ξ＝10)＝( )A.1210B.511512C.129D.1 0231 024解析：∵12＋122＋…＋129＋m ＝1，∴12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1291－12＋m ＝1.∴m ＝⎝⎛⎭⎫129＝129. 答案：C4．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，这些数被2整除的概率是( ) A.15B.14C.25D.35解析：所求概率为：14245525C A A ⋅=. 答案：C5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ＞8)，P (6＜ξ≤14)的值分别是( )A. 34，34B.23，23C.34，23D.23 ，34解析：P (ξ>8)＝112×8＝23，P (6<ξ≤14)＝112×8＝23.故选B.答案：B二、填空题6．随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5 P192157458451529则ξ为奇数的概率为________．解析：ξ为奇数的概率为：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815. 答案：8157．已知随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1若η＝2ξ－3，则η的分布列为_________________________________________________．解析：η －1 1 3 5 7 P0.10.20.40.20.18．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为：ξ 0 1 2 P解析：P (ξ＝0)＝2225C C ＝110，P (ξ＝1)＝113225C C C ⋅＝35，P (ξ＝2)＝2325C C ＝310. 答案：0.1 0.6 0.3 三、解答题9．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．解析：ξ的值取为1,2,3，…，n ，…当ξ＝1时，即第一次就取到合格品，故P (ξ＝1)＝1013；当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P (ξ＝2)＝313×1013；当ξ＝3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故P (ξ＝3)＝313×313×1013＝⎝⎛⎭⎫3132×1013；类似地，当ξ＝n 时，即前n －1次均取到次品，而第n 次取到合格品，故P (ξ＝n )＝⎝⎛⎭⎫313n －1×1013，n ＝1,2,3，… 可得ξ的分布列为：ξ 1 2 3 … n … P1013313×1013⎝⎛⎭⎫3132×1013 …⎝⎛⎭⎫313n －1×1013…10. 盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．解析：(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，所以P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量ξ的概率分布为ξ 2 3 4 5 P130215310815。

2.1.2.离散型随机变量：两点分布、超几何分布PPT课件

张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖。某顾客从
（（1120））张该该中顾顾任客客抽获中2得奖张的的，奖概求品率：总；价对值立X事（件元：）P的=概1-率CC1分6220 布23列。
1
2
1
2
1
3
5
15
15 15
2021
11
点分布？
{0，1}
否
思考5：两点分布又称0－1分布，或伯努利分布，在两点分布中，X＝1对应的试验结果为“成功”，p＝P(X＝1) 称为成功概率，能否将分布列P(X＝2)＝0.4， P(X＝5)＝0.6变换为两点分布？
0, X=2
令Y
1 , X = 5 ，则Y服从两点分布.
理论迁移
例1 已知随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下，求ξ的成功概率.
表示？
X01
P 1－p p
思考3：将上述两个分布列取名为两点分布列，那么在什么情况下，随机变量X的分布列可成为为两点分布列？
随机试验只有两个可能结果.
思考4：如果随机变量X的分布列为两点
分布列，则称X服从两点分布，在两点分
布中随机变量的值域是什么？分布列
P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6是否为两
C 3k 95
C3 100
(k
0,1, 2, 3)
∴随机变量 X 的分布列是
X0
1
2
3
P C50C935 C3
100
C51C925 C3
100
C52C915 C3
100
C53C905 C3
100
超几何分布:
一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任
取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件X k 发

两点分布和超几何

变式训练2：在含有2件次品的10件产品中，任取3件，求：取到的次品数X的分布列；
解： 1 取到的次品数X的可能取值为0,1,2，则
0 3 1 C2 C8 7 C2 C82 7 P X 0 = = ， P X 1 = = 3 3 C10 15 C10 15 2 1 C2 C8 1 P X 2 = = ，因此，随机变量的布列分为 3 C10 15
变式训练1：若该知名运动员在内线出手投篮两次，其它条件不变，问：
他两次内线投篮得分的分布列解：设他投两次篮得分为X，则X可能的取值有： 0, 2, 4， P X =2 =0.6 0.4+0.4 0.6=0.48， P X =0 =0.42 =0.16，
P X =4 =0.62 =0.36 随机变量Y的分布列为
分布列解：设他一次投篮命中的次数为X，则X 可能的取值有： 0，1，
P X =0 =0.4，P X =1 =0.6，因此，随机变量X的分布列为
X
0
0.4
P
1 0.6
X
P
1 p
0
1 p
概念的学习：表若随机变量X的分布列具有表的形式，则称 X 服从两点分布，并称p P X =1 为成功的概率注：两点分布中随机变量X一定只有两个可能的结果，且X的值只能记作0和1.
1 抽到他能背诵的课文的数量的分布列； 2 他能及格的概率。
X 可能的取值有0,1, 2,3, 4
解： 1 设抽到抽到他能背诵的课文的数量为X，则
0 5 1 C4 C6 C4 C64 5 1 P X 0 = = ，P X 1 = = ， 5 5 C10 42 C10 21 2 3 3 2 C4 C6 C4 C6 10 5 P X 2 = = ， P X 3 = = ， 5 5 C10 21 C10 21 4 1 C4 C6 1 P X 4 = = 5 C10 42

2.1.2两点分布与超几何分步

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

高三第一轮复习 两点分布,二项分布及超几何分布

2.1.3两点分布与超几何分布

两点分布和超几何分布PPT课件

人教A版高中数学选修2-2 2.1.2《两点分布和超几何分布》教案

2.1.2两点分布与超几何分布(修改)ppt课件

两点分布、超几何分布、正态分布

高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时 两点分

两点分布和超几何分布

两点分布、超几何分布

第9讲 两点分布,二项分布及超几何分布8种常考题型(解析版)高二数学讲义(人教A版2019

两点分布、超几何分布、正态分布

2.1.2两点分布与超几何分步

新人教A版：2.1离散型随机变量、两点分布,超几何分布

2.1.2.离散型随机变量：两点分布、超几何分布PPT课件

两点分布和超几何

高三第一轮复习两点分布,二项分布及超几何分布

高中数学第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 第2课时两点分

第9讲两点分布,二项分布及超几何分布8种常考题型(解析版)高二数学讲义(人教A版2019