数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章

第十二章 数项级数

证明题

1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 :

(4) ( n 2 2 n 1 n); 2n

2. 证明:若级数

u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0).

3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数

(a n a n 1) a 1-a .

(1)

1 1 1 (3)

1

n(n 1)(n 2)

2n 1

(5)

(5n 4)(5n 1)

1.6 6.11 11.16

(2)

4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则

n

(1)级数(b n 1 b n)发散;

1 1 1

(2)当b n≠0 时,级数

n b n 1 b1

5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有

|u N+u n+1+⋯+u n|< ε

6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有

u

n 1 v

n 1

u n v n

7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立?

8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛.

9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 .

(2) 若 n>N 0 时有

C n ≤0, 且 lim

1 b k

,则级数

a n

n1

10. 证明下列极限

11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与

2m a 2m 同时

n1 m 0

收敛或同时发散

a

12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1

N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0,

则级数 a n 收敛 ;

n1

n

(1)

l n im (n n !)

0;

(2) lim (2n!)

n! n a

n!

0(a 1).

(1) 若存在某自然数

16. (1)

(2)

(3)

( n 1) 1x

x n ,(x 0);

n 1 x

sinnx

α ,x (0,2π0(α, 0); n

2

n

cos n ( 1)n

n

设 a n >0,a n >a n+1 (n=1,2, ⋯)且 lim a n =0, 证明级数

n

( 1)n 1

a 1 a 2

a n

是收敛的

发散 .

a

13. 设级数

a n 2 收敛 ,证明级数

n

(a n 0) 也收敛 . n

14. 设a n >0,证明数列 {(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )}与级数

a n 同时

收敛或同时发散

15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛

性:

17. 设p n|u n | u n,g n|u n | u n,证明:若u n条件收敛,则级数p n与q n 都是发散的.

二、计算题

1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)

a+r+ar 2+⋯+ar n+ ⋯(a ≠0)

的敛散性.

2. 设级数u n 与v n 都发散,试问(u n v n) 一定发散

吗?又若u n 与v n(n=1,2, ⋯)都是非负数,则能得出什么结论?

3. 求下列级数的和:

(1)

1

(a n 1)(a n)

(2) ( 1)

2n 1 n(n 1)

2n 1

4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散

性

5. 应用比较原则判别下列级数的敛散

性

(3)

22

(n 2

1)[(n 1)2 1]

(1)

sin2n

2n

(2)

(-1)n-1n 2 2n 2 1

(3)

(-1)n ; n

(4)

(1)

(3)

(4)

1

n 2 a 2 ;

1

1 n

2

n2

1 (lnn) n

n

π

(2)

2n sin 3

n ;

(5) 1 cos1;

n

(6)

n n 1n ;

nn

(7)

a n 1 a 1n 2 ,(a 0) ; nn

(8)

(lnn 1

) lnn .

n 2

(lnn)

6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性

(1)

n 211

(2)

n

n

2

1

(3)

n 3

nlnnln(lnn )

(4) n 3 n(lnn) p (lnlnn) q

7. 判别下列级数的敛散性 : (1) 3n n n! n