高三数学第一轮复习课时作业(49)双曲线

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高中数学一轮复习(含答案) 9.7 双曲线

第七节双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳：离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

2020年高中数学一轮复习课时练49 双曲线(理科)(人教A版)

课时练49 双曲线1.(2019山东临沂三模,4)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y 2=20x 的焦点重合,且其渐近线方程为y=±34x ,则该双曲线的方程为( )A.x 29−y 216=1 B.x 216−y 29=1C.x 264−y 236=1 D.x 236−y 264=12.(2019山西晋城三模,4)设双曲线C :x 28−y 2m =1(m>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M ,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上.若∠F 2MN=∠F 2NM ,则|MN|=( ) A.8√2B.8C.4√2D.43.(2019全国3,理10)双曲线C :x 24−y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√24.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F 2关于双曲线C 的一条渐近线的对称点为M ,且|F 1M|=3,则双曲线C 的实轴长为( ) A.3B.3C.3√3D.3√35.已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 2-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是 ( )A.-√33,√33 B.-√36,√36C.-2√23,2√23D.-2√33,2√336.(2019河北衡水联考,6)已知双曲线C :x 24−y 2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=√62x ,F 1,F 2分别为双曲线C 的左、右焦点,P 为双曲线C 上的一点,|PF 1|∶|PF 2|=3∶1,则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( ) A.4B.2√6C.2√10D.6√107.已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1B.x 212−y 24=1C.x 23-y 2=1 D.x 2-y 23=18.已知点F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP|,|PF 1|≥3|PF 2|,则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.√102,+∞C.1,√102D.1,529.(2019重庆二诊,14)已知双曲线x 2a 2−y 212=1(a>0)的一条渐近线方程为√3x-y=0,左焦点为F ,当点M 在双曲线右支上,点N 在圆x 2+(y-3)2=4上运动时,则|MN|+|MF|的最小值为 .10.已知方程x 2m 2+n −y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 .11.(2019四川成都模拟,14)已知F 1,F 2是双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ,与右支交于点B ,若|AF 1|=2a ,∠F 1AF 2=2π3,则S △AF 1F2S △ABF2= .12.已知直线l 与双曲线x 2-y 2=1相切于点P ,l 与双曲线两条渐近线交于M ,N 两点,则OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关13.(2019湖南常德模拟,10)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,以F 为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ,Q ,若OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 为原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√7B.√5C.√52D.√7214.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于两点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是 .15.(2019安徽安庆联考,16)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.16.(2019湖南长沙模拟,11)已知直线l1,l2是双曲线C:x 24-y2=1的两条渐近线,P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1的距离的取值范围是[12,1],则点P到渐近线l2的距离的取值范围是()A.[45,85] B.[43,83]C.[43,85] D.[45,83]参考答案课时练49双曲线1.B因为抛物线y2=20x的焦点为(5,0),所以双曲线C的右焦点也为(5,0),则有c=5.因为双曲线的渐近线方程为y=±34x,所以可设其方程为x216t−y29t=1,因为c=5,则16t+9t=25,解得t=1,则双曲线的方程为x216−y29=1,故选B.2.A由∠F2MN=∠F2NM可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=4√2,|NF1|-|NF2|=4√2,两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=8√2.故选A.3.A由已知可得a=2,b=√2,则c=√a2+b2=√6,∴F(√6,0).∵|PO|=|PF|,∴x P=√62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=√22x上,∴y P=√22×√62=√32.∴S △PFO =12|OF|·|y P |=12×√6×√32=3√24.故选A .4.B 设F 2M 的中点为N ,坐标原点为O ,则ON=1|F 1M|=3,∵点F 2到渐近线的距离为b ,∴(32)2+b 2=c 2,∴c 2-b 2=94,∴a 2=94,∴a=32,∴2a=3.故双曲线的实轴长为3,故选B . 5.A 由条件知F 1(-√3,0),F 2(√3,0),∵M (x 0,y 0), ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0),MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3-x 0,-y 0),∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-3<0.①又x 022−y 02=1,∴x 02=2y 02+2.代入①得y 02<13,∴-√33<y 0<√33.6.C ∵双曲线C :x 24−y 2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=√62x ,∴b=√6,∴c=√10. ∵|PF 1|∶|PF 2|=3∶1, ∴|PF 1|=6,|PF 2|=2, ∴cos ∠F 1PF 2=36+4-402×6×2=0, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36+4=40, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,故选C . 7.D∵双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F (c ,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=ba x 上,∴{c =2,b a=tan60°,a 2+b 2=c 2,解得{a =1,b =√3.∴双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选D .8.C 由|F 1F 2|=2|OP|,可得|OP|=c ,则△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2,可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,由双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a.又|PF 1|≥3|PF 2|,所以|PF 2|≤a , 所以(|PF 2|+2a )2+|PF 2|2=4c 2, 化为(|PF 2|+a )2=2c 2-a 2,即有2c 2-a 2≤4a 2,可得c ≤√102a ,由e=c a >1可得1<e ≤√102, 故选C .9.7 由渐近线方程可知b=√3,故可得b 2=3a 2=12,所以a 2=4,所以c=4,设双曲线右焦点为F'(4,0),由双曲线定义可知|MF|-|MF'|=2a=4.则|MN|+|MF|=|MN|+|MF'|+4,则只需求|MN|+|MF'|的最小值即可得到|MN|+|MF|的最小值,设圆x 2+(y-3)2=4的圆心为C (0,3),半径r=2,则(|MN|+|MF'|)min =|F'C|-r=5-2=3,∴(|MN|+|MF|)min =3+4=7.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3.11.12 如图,根据双曲线的定义,可得|AF 2|-|AF 1|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a ,∵|AF 1|=2a ,∠F 1AF 2=2π3, ∴|AF 2|=4a ,|AB|=|BF 2|=4a ,则S △AF 1F 2S △ABF2=|AF 1||AB |=12.12.A 取点P (2,0),则M (2,1),N (2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3. 取点P (-2,0),则M (-2,1),N (-2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3.故选A . 13.D 设双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,H 为PQ 的中点,可得FH ⊥PQ ,由F (c ,0)到渐近线的距离为FH=d=√a 2+b =b ,∴PH=√a 2-b 2.又OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OH=√c 2-b 2=2√a 2-b 2, 即7a 2=4c 2,∴e=√72,故选D .14.2√3 该双曲线的右准线方程为x=3√10=3√1010,两条渐近线方程为y=±√33x ,得P3√1010,√3010,Q3√1010,-√3010,又c=√10,所以F 1(-√10,0),F 2(√10,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2√10×√3010=2√3.15.(1,53] 设P (x ,y ),则(x+c )2+y 2=4[(x-c )2+y 2],化简得(x -53c)2+y 2=169c 2, 所以点P 在以M (5c 3,0)为圆心,43c 为半径的圆上.又因为点P 在双曲线的渐近线bx ±ay=0上,所以渐近线与圆M 有公共点,所以53bc √b +a 2≤43c ,解得5b ≤4c ,即c a ≤53,所以双曲线离心率的取值范围是(1,53].16.A 设点P (x 0,y 0),由题可设渐近线l 1:x-2y=0,渐近线l 2:x+2y=0,由点P 到直线l 1的距离d 1=|x 0-2y 0|5,点P 到直线l 2的距离d 2=|x 00|5,有d 1d 2=|x 0-2y 0|5·|x 00|5=|x 02-4y 02|5. 又x 024−y 02=1,即x 02-4y 02=4,则d 1d 2=45,则d 2=45d 1,由d 2与d 1成反比,且d 1∈[12,1],所以d 2∈[45,85],故选A .。

高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(49)双曲线

课时作业(四十九) [第49讲双曲线][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·银川一中月考] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1B.x22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 2．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34 3．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124．[2011·佛山一检] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 能力提升5．[2010·福建卷] 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 6．[2010·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝17．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12．[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝ ________________________________________________________________________.13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)[2011·江西师大附中一模] 双曲线E 经过点A (4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝2.(1)求双曲线E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a 2c(c ＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a ，则有b c ⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b 2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴ba ＝3②，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c2b2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝ca＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝ 2.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e＝ca＝2. 方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.14．[解答] 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)，c 2＝a 2＋b 2(c >0)．(1)由A 在曲线上及e ＝2得⎩⎨⎧16a 2－36b 2＝1，a 2＋b 2a2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3a 2，16a 2－12a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，c 2＝16，∴双曲线E 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)，由A (4,6)，∴AF 2⊥x 轴，设∠F 1AF 2的平分线所在直线交x 轴于点M (m,0)(|m |<4)，则点M 到直线F 1A ，F 2A 的距离相等，直线F 1A ，F 2A 的方程分别为3x －4y ＋12＝0，x ＝4，所以得|3m ＋12|5＝4－m ，解得m ＝1，即M (1,0)，故所求直线方程为y ＝6－04－1(x －1)，即y ＝2x －2.15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2，依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →，得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m 2＝1，得m ＝±4，但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪52×(－5)＋2＋1⎝⎛⎭⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3.【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t 2，令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝⎛⎭⎫1u －182－116，由u ∈(0,1]，所以1u∈[1，＋∞)，当1u ＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。

高考数学一轮复习双曲线的综合问题

3
3
＜y0＜ .
3
3
答案（1）A
2 2
（2）设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝

2
2

5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案（2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；

双曲线课件-2025届高三数学一轮复习

9

｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4

线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
⁠
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线

C.
2 2
2
双曲线－＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝

2 ，所以＝

2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为－＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为－＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲

【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业49

课时作业54 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1m x ，化成一般式即为x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点， ∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②.联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)，即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 (0,2) .解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±22x .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为4|OF |＝|AF |＋|BF |，所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2＝p .① 由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2.② 由①②可得b a ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于 4 .解析：由题意知a ＝1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2， |BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4， |BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576 .解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ，作Q 关于原点对称的点S ，如图，连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上，所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ，则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1B ．62 C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1B ．12 C.13D ．23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 53 .解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2| ＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53.16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. 因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0. 所以m ＜－2 2.所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。

2022届高考数学一轮复习课时作业双曲线

双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．22．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝03．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．25．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝() A．1 B．13C．17 D．1或136．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 38．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为49．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．2C[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝2a，则该双曲线的离心率为e＝ca＝2，故选C.]2．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝0D[由题意知，双曲线y24－x29＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝ca＝132，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是() A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t＜5BD [对于A ，当t ＝3时，方程x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t ＜1时，5－t ＞0，t －1＜0，此时曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确；对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；对于D ，当方程x 25－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足⎩⎨⎧5－t ＞0，t －1＞0，5－t ＜t －1，解得3＜t ＜5，所以D 正确．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B.]5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B [由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B.]6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝1，bca 2＋b2＝2，即a c ＝22.则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba ＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1. 所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 3ABC [设双曲线E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，所以⎩⎨⎧9m ＋2n ＝1，36m ＋11n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－1，故双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；联立直线与双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x 23－y 2＝1，消去x得y 2－22y ＋2＝0，Δ＝0，故选项B 正确；E 的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y ＝ln(x －1)上，故C 正确；因为a ＝3，c ＝2，所以双曲线E 的离心率e ＝233，选项D 错误．故选ABC.]8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4ABC [由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5.A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m ＞0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C 正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．]12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.]能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°，得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.]2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．y 216－x 248＝1 28 [∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3.∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10.而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]。

高考文科数学一轮复习课时作业双曲线A

课时作业(五十一)A第51讲双曲线[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·安徽卷] 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．[2011·成都二诊] 设集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24－y 2＝1，Q ＝{(x ，y )|x －2y ＋1＝0}，记A ＝P ∩Q ，则集合A 中元素的个数是( )A ．3 B ．1 C ．2 D ．43．[2011·朝阳二模] 双曲线x 216－y 29＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线的离心率是________．能力提升5．[2010·课标全国卷] 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6 B. 5 C.62 D.52文档收集自网络，仅用于个人学习6．[2011·湖南卷] 设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．[2012·豫南九校联考] 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12 B.47 C.23 D.34文档收集自网络，仅用于个人学习8．双曲线y 26－x 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 6 B ．3 C ．4 D ．69．[2011·南开中学模拟] 如图K51－1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1·e 2＝________.10．[2011·太原一模] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11．[2011·大连模拟] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点为F (6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．难点突破13．(1)(6分)[2011·东莞实验中学月考] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)[2010·全国Ⅰ卷] 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8课时作业(五十一)A【基础热身】1．C [解析] 双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.2．B [解析] 由于直线x －2y ＋1＝0与双曲线x 24－y 2＝1的渐近线y ＝12x 平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A 中只有一个元素．故选B.3．B [解析] 双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x －4y ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×5－0|5＝3.故选B.4.43[解析] 双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线是x 29－y 27＝1，所以a ＝3，b ＝7，所以c ＝4，所以离心率e ＝43.【能力提升】5．D [解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b ax ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12.根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，所以e ＝52，故选D.6．C [解析] 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程得：y ＝±3ax ，即ay ±3x ＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0且a >0，所以有a ＝2，故选C.7．B [解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m ，n )只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以概率为P ＝47.故选B.8．A [解析] 双曲线的渐近线为y ＝±2x ，圆心为(3,0)，所以半径r ＝|±2×3－0|3＝ 6.故选A.9．1 [解析] 作DM ⊥AB 于M ，连接BD ，设AB ＝2，则DM ＝sin θ，在Rt △BMD 中，由勾股定理得BD ＝5－4cos θ，所以e 1＝|AB |||BD |－|AD ||＝25－4cos θ－1，e 2＝|CD ||AC |＋|AD |＝2－2cos θ5－4cos θ＋1，所以e 1·e 2＝1.10．[2，＋∞) [解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以b a≥tan60°＝3，即b 2≥3a 2，c 2≥4a 2，所以e ≥2.11.x 29－y 227＝1 [解析]b a＝3，即b ＝3a ，而c ＝6，所以b 2＝3a 2＝3(36－b 2)，得b 2＝27，a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.12．[解答] (1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1. (2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4，平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.②由①②得mn ＝203，所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin120°＝533.【难点突破】13．(1)B (2)B [解析] (1)依题意有a 2＋b 2a ·m 2－b 2m＝1，化简整理得a 2＋b 2＝m 2，故选B.(2)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|，＝4a 2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＋1＝－4b 22|PF 1|·|PF 2|＋1.因为b ＝1，所以|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.。

高三数学一轮复习双曲线方程练习(无答案) 试题

某某华侨中学某某学校高三年级第一轮复习双曲线方程练习题一、选择题1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.3x 24－y 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－4y 23＝1 3．(某某高考)设圆锥曲线F 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线F 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线F 的离心率等于( ) A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或324．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF 的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．05．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为( ) A.14B.13C.23D ．－136． (东城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为( ) A.－1＋32 B.1＋32C.－1＋52 D.1＋52 二、填空题7． (某某高考)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 8．已知双曲线kx 2－y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．9．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．三、解答题10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程． 11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值X 围．12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．。

高三数学一轮复习课时作业4：§9.6 双曲线

§9.6 双曲线A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±22x 答案 B解析由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±b ax ，y ＝±2x . 2．(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案 D解析双曲线C 1、C 2的焦距均为2sin 2θ＋cos 2θ＝2. 3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案 B解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1. 5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， ∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.6．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ (λ≠0)，将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 8．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案 3解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．(3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6. 10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1答案 D解析因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 12．(2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2 B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2，故选A. 13．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50答案 B解析如图，由双曲线的定义可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ，∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.14．(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53. 16．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且满足⎩⎨⎧ a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0. 解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

双曲线高三数学一轮复习考点课件

。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩固所学知识，提高应试能力。

高三第一轮复习双曲线的定义、方程及几何性质

双曲线的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. (1) 当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为2222-b y a x ＝1(a >0，b >0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为2222-bx ay ＝1(a >0，b >0)． 3（1）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.（3）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.（4）A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，M ),(00y x 为双曲线上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=.方法规律总结1．双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a. 5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.【指点迷津】【类型一】双曲线的定义及应用【例1】已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】:设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <－1)．答案：x 2－y 28＝1(x <－1)．【例2】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】:∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 答案：34.【例3】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】:由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案：(1)x 2－y 28＝1(x <－1); (2) 34; (3)12 6.【类型二】双曲线的标准方程【例1】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 【解析】:∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案C.答案：C.【例2】已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】:法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【例3】设F 1,F 2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A.B.C.D.【解析】:易知|PF 2|=|F 1F 2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF 1|=2a+2c, 因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2, 即3c 2-2ac-5a 2=0,两边同除以a 2,得3e 2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去). 选B. 答案：B.类型三：双曲线的几何性质【例1】过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．【解析】:如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.答案：2＋ 3.【例2】设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2【解析】:由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ， C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.答案：C.【例3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】:由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【解析】:由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( )A.x 23－y 212＝1B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 【解析】:由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 选A. 答案：A.3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5【解析】: 不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5. 选D.答案:D.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫－33，0【解析】:由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．选A.答案: A.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53 B.73 C.103 D.153【解析】:如图所示，由 k PF ＝－1得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a 得sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝bc ，cos ∠POF＝aa 2＋b 2＝ac ，所以sin ∠OPF ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c .又因为S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c 28，得|PF |＝c 22，由正弦定理得a ＋b 2c c ＝bc c 22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 答案:选C. 二、填空题6．若双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为174，则m ＝________.【解析】:由a 2＝16，b 2＝m ，得c 2＝16＋m ，所以e ＝16＋m 4＝174，即m ＝1. 答案：1.7．(2016·商丘模拟)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】:由题意知渐近线的斜率为12，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. 答案：52. 8．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为________．【解析】:由题意，c ＝42＋32＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4，∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝1三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．【解析】: (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，(3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.答案：(1) 双曲线方程为x 2－y 2＝6; (2)证明：略; (3) 6.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使求t 的值及点D 的坐标．【解析】: (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．答案：(1) 双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2) t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．【二级目标】能力提升组1．已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 5 【解析】:过焦点F 2且垂直于渐近线的直线方程为：y －0＝－a b(x －c )，联立⎪⎩⎪⎨⎧--=-=cx b ay x a b y 0解得x ＝a 2c ，y ＝ab c ，故对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，由中点坐标公式可得对称点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c －c ，2abc ，将其代入双曲线的方程可得14)2(222222222=--cb b a ca c a ，结合a 2＋b 2＝c 2，化简可得c 2＝5a 2，故可得e ＝c a＝ 5.选D. 答案：D.2．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．【解析】:依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10. 答案：10.3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【解析】: (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 答案：(1) k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2) 当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.【高考连接】1. 【2012全国，理8】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A ．14 B ．35 C ．34 D ．45答案:C.2. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A ．2 C【解析】:设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM=，0120ABM∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．答案:D.。

高考数学第一轮复习双曲线

第23讲双曲线【知识要点】平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

1、已知圆1O 和圆2O 的半径分别为2和4，且12||8O O =，若动圆M 与圆1O 内切，与圆2O 外切，则动圆圆心M 的轨迹是（）。

A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的一支D 、抛物线2、已知双曲线经过点(1,22)，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为____________________。

3、（师大附中2021届月考4）（多选题）已知曲线C 的方程为221(,2,6)26x y k R k k k k+=∈≠≠--，则下列结论正确的是（）。

A 、当4k =时，曲线C 为圆B 、当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C 、“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线”的充分不必要条件D 、存在实数k 使得曲线C4、若双曲线221412x y -=上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是（）。

A 、4B 、12C 、4或12D 、65、设P 是双曲线2211620x y -=上一点，12,F F 分别是双曲线左，右两个焦点，若1||9PF =，则2||PF =（）。

A 、1B 、17C 、1或17D 、以上答案均不对注：双曲线中，||PF c a ≥-6、已知12,F F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=°，则12||||PF PF ⋅=（）。

A 、2B 、4C 、6D 、87、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）。

A 、5B 、5+C 、7D 、9双曲线中焦点三角形12212tan2F PF b S F PF ∆=∠8、（2020年全国卷3）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则a =（）。

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练49双曲线Word版含解析

课时标准练49双曲线根底稳固组1.(2021河北衡水中学适应性考试,3)双曲线= 1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2 倍 ,那么双曲线的标准方程为 ()A.= 1B.= 12= 1 D.= 1C.x -2.过双曲线x2-= 1(b> 0)的右焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 E,O 为坐标原点 ,假设∠OFE= 2∠ EOF,那么 b= ()A. B. D.3.双曲线= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1 ,F 2,过 F1作 x 轴的垂线交双曲线于A,B 两点 ,假设∠AF 2B< ,那么双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1, )C.(1,2)D.(,3 )4.(2021湖北华中师范大学第一附属中学押题,6) F1,F2分别是双曲线C:= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点 ,假设点 F2关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点为M,且 |F 1M|= 3,那么双曲线 C 的实轴长为 () A.C.5.M(x0,y0)是双曲线C: -y2= 1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.假设< 0,那么 y0的取值范围是() A.- B.-C.-D.-6.(2021山东威海二模,8)双曲线C:= 1(a>b> 0)的左右焦点分别为F1,F2,以 F2为圆心 ,F1F2为半径的圆交C 的右支于 P,Q 两点 ,假设△F 1PQ 的一个内角为 60°,那么 C 的离心率为()A. B.+ 1C. D.7.(2021四川成都七中模拟,10)双曲线 C:= 1(a> 0,b> 0)的离心率 e=,右焦点为 F,点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠ AOF= ∠ OAF,△AOF 的面积为 3,那么双曲线 C 的方程为() A.= 1 B.= 1C.= 1D.-y2= 18.(2021河北衡水联考,5)双曲线x2- = 1(b> 0)的一条渐近线截圆x2+y 2-4y=0 为弧长之比是 1∶2的两局部 ,那么双曲线的离心率为()A. B.9.(2021湖北省冲刺,14)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足|PA|= 6+|PB| ,那么|PB|的最小值为.10.方程- = 1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么 n 的取值范围是.11.假设点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆22x +y =9 的一个交点 ,那么|PA|+|PB|=.综合提升组12.(2021广东揭阳二模,11)双曲线的焦距为4,A,B 是其左、右焦点 ,点 C 在双曲线右支上 ,△ABC 的周长为 10,那么 |AC| 的取值范围是 ()A.(2,5)B.(2,6)C.(3,5)D.(3,6)13.F2,F1是双曲线= 1(a> 0,b> 0)的上、下焦点 ,点 F2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心 ,|OF 1| 为半径的圆上 ,那么双曲线的离心率为()B. D.14.在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2P,Q,其焦点是-y = 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点F1,F2,那么四边形 F 1PF2Q 的面积是.15.在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线= 1(a> 0,b> 0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2= 2py(p> 0) 交于 A,B 两点 ,假设|AF|+|BF|=4|OF| ,那么该双曲线的渐近线方程为.创新应用组16.F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且 |MF 1|>|MF 2|,线段 MF 1的垂直平分线过点 F 2,假设椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为e2,那么的最小值为 ()C. D.课时标准练49双曲线1.D由双曲线= 1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2 倍 ,可得 2,解得 m=2,所以双曲线的标准方程是= 1.应选 D.2.D由题意 ,∠OFE= 2∠EOF= 60° ,∴双曲线的一条渐近线的斜率为∴, b= ,应选 D .3.A由题意 ,将 x=-c 代入双曲线的方程22,∴|AB|= ,得 y =b-1 =∵过焦点 F 1且垂直于 x 轴的弦为 AB,∠ AF2B< ,∴tan∠ AF 2F 1=,e= >1.-e-解得 e∈(1, ), 应选 A .4.B设 F2M 的中点为 N,坐标原点为 O,那么 ON= |F 1M|=,∵点 F 2到渐近线的距离为 b,22 +b =c ,∴c2-b2= ,∴a2= ,∴a= ,∴2a= 3.故双曲线的实轴长为3,应选 B.5.A由条件知 F1( -,0),F 2(,0),= (--x0 ,-y0),= (-x0,-y0),-3< 0.①又= 1,= 2+ 2.代入①得,∴-<y 0<6.C 由对称性可知△PQF1为等腰三角形 ,假设△PQF 1的一个内角为60° ,那么△PQF 1是等边三角形 ,∴∠PF 2Q= 120° ,∴|PF 2|=|F 1F2|,|PF 1|=|PF 2| |PF·1|-|PF 2|=|PF 2|-|PF 2|= (-1)|PF 2|= (-1)|F 1F2|= 2a,即 e=-应选 C.7.C由点 A 所在的渐近线方程为bx-ay= 0,设渐近线的倾斜角为α,那么 tanα= ,因为∠AOF= ∠OAF ,所以直线 AF 的倾斜角为 2α,tan 2α=--,那么由y=-(x-c) 与 bx-ay= 0 联立方程组 ,解得 A,所以 S△c=ab= 3,因为双曲线的离心率为 e=,所以,即AOF =所以与 ab= 3联立方程 ,解得 a= 3,b=,所以双曲线的方程为= 1,应选 C.8.C22圆的标准方程为 x + (y-2) =4,故该圆的圆心坐标为(0,2),且该圆经过坐标原点,双曲线的渐近线经过坐标原点,假设双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1∶2 的两局部 ,那么双曲线的一条渐近线y=bx 的倾斜角为 ,其斜率 b= tan,据此可得 a2= 1,b2= 3,c2 =4,双曲线的离心率为e==2.应选 C.9.2因为 |PA|= 6+|PB| ,所以 |PA|-|PB|= 6<|AB| ,因此动点 P 在以 A,B 为左右焦点的双曲线的右支上,a= 3,c= 5.从而 |PB| 的最小值为 c-a= 2.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为 4,所以 c= 2,即 m2+n+ 3m2-n= 4,解得 m2 =1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3 -n)> 0,解得 -1<n< 3,11.2不妨设点 P 在双曲线的右支上 ,那么 |PA|>|PB|. 因为点 P 是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知 ,|PA|-|PB|= 2 ,2 2又 |PA| +|PB| = 36, 所以 2|PA| ·|PB|= 16,22252,所以 |PA|+|PB|= 2所以 (|PA|+|PB| ) =|PA|+|PB| + 2|PA| |PB|=·12.C设|AC|=m ,|BC|=n ,由双曲线的定义可得m-n= 2a,①由题意可得 m+n= 10-4= 6,②联立①②可得 m=a+ 3,在双曲线中 ,0<a<c=2,那么 3<a+ 3< 5,即 |AC| 的取值范围是 (3,5).13.C由题意 ,F1 (0,-c),F 2(0,c),一条渐近线方程为y= x,那么点 F2到渐近线的距离为=b.设点 F 2关于渐近线的对称点为点M,F2M 与渐近线交于点 A,∴|MF 2|= 2b,A 为 F2M 的中点 .又 O是 F1F2的中点 ,∴OA∥ F1M,∴∠F1MF 2为直角 .∴△MF 1F2为直角三角形 .∴由勾股定理得4c2=c 2+ 4b2.∴3c 22222= 4(c -a ), ∴c = 4a .∴ c=2a,∴ e= 2.应选 C.14.2该双曲线的右准线方程为 x=,两条渐近线方程为 y= ±x,得 P,Q,-,又 c=,所以 F1(-,0),F2 (,0),四边形 F1PF 2Q 的面积 S=2= 215.y=±x抛物线 x2= 2py 的焦点 F0, ,准线方程为 y=-设 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 |AF|+|BF|=y 1+ +y 2+=y 1+y 2+p= 4|OF|= 4= 2p.所以 y1+y 2=p.联立双曲线与抛物线方程得-消去 x,得 a2y2-2pb2 y+a 2b2= 0.所以 y1+y 2==p ,所以所以该双曲线的渐近线方程为y= ± x.16.A设椭圆方程为= 1(a1 >b 1> 0),双曲线方程为= 1(a2> 0,b2> 0).∵线段 MF 1的垂直平分线过点 F 2,∴|F 1F 2|=|F 2M|= 2c.又 |F 1M|+|F 2M|= 2a1,|F 1 M|-|F 2M|= 2a2 ,∴|F 1M|+ 2c= 2a1 ,|F 1M|-2c=2a2. 两式相减得 a1-a2= 2c,==4+4+2= 6,当且仅当时等号成立 ,的最小值为 6.。

(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练49双曲线理新人教A版

3 5.A 由条件知 F1(- 3,0),F2( 3,0),
∴ ��1=(- 3-x0,-y0),��2=( 3-x0,-y0),
∴ ��1·��2 = ��20 + ��20-3<0.
①
��20 又
��2
垂线,垂足为 E,O 为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则 b= ( )
1
3
A.
B. 3
C.2
D.
2
3
��2 ��2
3.(2017
河南濮阳一模,理
11)双曲线
��2
‒
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ��2
F1,F2,过
F1
作
x
轴的
π 垂线交双曲线于 A,B 两点,若∠AF2B<3,则双曲线离心率的取值范围是( )
点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围为
( )
A.(1,+∞)
[ ) 10
B. 2 , + ∞
( ]10
C. 1, 2
( ]5
D. 1,2
〚导学号 21500574〛
��2 ��2
9.过双曲线 ��2
4
近线交于 M,N 两点,则��·��的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.与 P 的位置有关
��2 ��2 13.(2017 河南南阳一模,理 10)已知 F2,F1 是双曲线��2 ‒ ��2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐