1.4-5 协方差传播定律应用
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hAP
解：
H P H A h AP
2 2 H h
P AP
A
P
N 站
2
25cm
2
N 25 站
所以A、P间最多可设25站。
三、水准测量高差的精度
例4．若要在两已知高程点之间布设一条附合水准路 线，如图所示，已知每千米观测中误差等于 5.0mm，欲使平差后路线中点C点高程中误差不 解： 大于10mm，问该线路长度最多可达几千米？
1 n
L1
1 n
L2
1 n
Ln
2
1 n
2
2
1 n
2
2
2
n
x
n
n个同精度独立观测值的算术平均值的中 误差等于各观测值中误差 除以 n
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
例2．有一角度测4个测回，得中误差为 0 .4 2 ,问再增 加多少测回，其中误差为 0 .2 8 ？
五、若干独立误差的联合影响
一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这
种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和， 即
Z 1 2 n
由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是 随机的，因而也可顾及 ij 0 ,得出它们之间的方差关系式
2 Z
2 1
2 Z
2 2
2 n
即观测结果的方差 应的方差之和。
，等于各独立误差所对
小结：误差传播定律的应用
ˆ [ ww] 3n
要求
x
n
h
AB
N站
h
AB
S 公里
h
AB
S
2 2 2 Z 12 2 n
能 够 灵 活 运 用 公 式
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
对某量同精度独立观测了n 次，得观测值
L1、 L 2、 、 L n
它们的中误差均为： 求n个观测值的算术平均值 x 的中误差 x ？
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
算术平均值表达式为 由误差传播律得：
x2
1 n
2
x
[L] n
少？ (计算取位至0.1″)。
解：应用菲列罗公式：
ˆ
ww
3n
其中:n代表三角形的个数
ˆ 2 3 0 . 8
协方差传播律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
协 方 差 传 播 律
函数的协方差阵
=函数的系数阵×自变量的协方差阵×系数阵的转臵阵
知识回顾
D XX 12 21 n1
12
2 2
n2
2n n2
1n
Z KX K 0
D ZZ KD XX K
i
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ 2 3 ˆ2
2
设测角方差均为 ˆ
ˆ
[ ww] 3n
ˆ
2
1 3
2
ww
3n
菲列罗公式
一、由三角形闭合差计算测角中误差
例1.某三角网共有100个三角形构成，其闭合差的 平方和为[ww]=200″，问测角中误差的估值为多
已知同精度独立观测了各三角形之内 角,由各观测角值计算而得的三角形闭 合差分别为
w1 , w 2 ,..., w n
求测角中误差
ˆ
？
一、由三角形闭合差计算测角中误差
内角和的中误差为
ˆ [ ww ] n
内角和与角度的函数关系式为 由误差传播律得
i i
i i i i
AB
测站观测高差精度相同时，水准测量高差 的中误差与测站数N的平方根成正比
AB
由此得中误差
h
N站
三、水准测量高差的精度
若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距 离s大致相等，设A、B间距离为S ， 则测站数N=S/s, 代入上式得 S
h
AB
s
站
若S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为
能 够 熟 练 推 导 公 式
解：由 x
n
得：
n
4 4 测回 0 . 8 4
0 . 84 0 . 28 3
n 测回
n9
即再增加5测回，得中误差为 0 .2 8
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
x
1
x
n
不能单纯靠增加观测次 数提高算数中数的精度
n
x
1
1.0
5
0.45
Z i f i X 1 , X 2 , , X n , i 1, 2, , t
2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化
f f f dZ i i dX 1 i dX 2 i dX n , i 1, 2, , t X 1 0 X 2 0 X n 0
2 2 S 2 4
2
三角高程测量所 B
i
v hAB
得高差的中误差
α
在传统的大地控制网中，通常
5
2 h AB
与三角点间的距 S
离成正比。
A
sec 1
2
S
2
h
AB
S
误差传播定律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
公里
1 s
N 公里
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 s
站
距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为
各测站距离大致相等时，水准测量高差 S 的中误差与距离S的平方根成正比
h AB 公里
三、水准测量高差的精度
在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为 例3． 1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差 不大于5cm，问可以设多少站？
20
0.22
50
0.14
100
0.10
n
误差传播定律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
三、水准测量高差的精度
经N个测站测定A、B两水准点间的高差， 其中第
i 站的观测高差为
。 hi
求距离为S公里的A、B两点的观测高差 中误差 h ？
AB
三、水准测量高差的精度
A、B点间总高差为 h AB h1 h2 h N
设各测站观测高差是独立同精度观测值，其
中误差均为 站，
由误差传播律得：
2 2 2 2 2 h 站 站 站 N 站
3.将微分关系写成矩阵形式： Z KX 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵
D ZZ KD XX K
T
或
dZ KdX
协方差传播律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
一、由三角形闭合差计算测角中误差
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
四、三角高程测量高差的精度
M
h AB S tan i v
2 h AB
tan S sec
知识回顾
Z KX K 0 Y FX F0
T D ZZ KD XX K T DYY F D XX F T DZY KD XX F T DYZ F D X X K
Z KX K 0 W FY F0
T D ZZ KD XX K T DWW F DYY F T D ZW KD XY F T DW Z F DYX K
HC HC HC 2 h2
4
h1 h2 H A H B 2
h
1
h2
B
2 HC
h2
4
1
2
AS C 1 S 2 1 S 2 公里 公里 25 100 4 2 4 2 4
S 16
所以该线路最长可达16千米。
误差传播定律的应用
T
独立时:
12 0 0 0
2 2
D XX
0
0 0 n2
D zz z k1 1 k 2 2 k n n
2 2 2 2 2 2
2
应用协方差传播律的具体步骤
1.按要求写出函数式：
解：
H P H A h AP
2 2 H h
P AP
A
P
N 站
2
25cm
2
N 25 站
所以A、P间最多可设25站。
三、水准测量高差的精度
例4．若要在两已知高程点之间布设一条附合水准路 线，如图所示，已知每千米观测中误差等于 5.0mm，欲使平差后路线中点C点高程中误差不 解： 大于10mm，问该线路长度最多可达几千米？
1 n
L1
1 n
L2
1 n
Ln
2
1 n
2
2
1 n
2
2
2
n
x
n
n个同精度独立观测值的算术平均值的中 误差等于各观测值中误差 除以 n
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
例2．有一角度测4个测回，得中误差为 0 .4 2 ,问再增 加多少测回，其中误差为 0 .2 8 ？
五、若干独立误差的联合影响
一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这
种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和， 即
Z 1 2 n
由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是 随机的，因而也可顾及 ij 0 ,得出它们之间的方差关系式
2 Z
2 1
2 Z
2 2
2 n
即观测结果的方差 应的方差之和。
，等于各独立误差所对
小结：误差传播定律的应用
ˆ [ ww] 3n
要求
x
n
h
AB
N站
h
AB
S 公里
h
AB
S
2 2 2 Z 12 2 n
能 够 灵 活 运 用 公 式
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
对某量同精度独立观测了n 次，得观测值
L1、 L 2、 、 L n
它们的中误差均为： 求n个观测值的算术平均值 x 的中误差 x ？
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
算术平均值表达式为 由误差传播律得：
x2
1 n
2
x
[L] n
少？ (计算取位至0.1″)。
解：应用菲列罗公式：
ˆ
ww
3n
其中:n代表三角形的个数
ˆ 2 3 0 . 8
协方差传播律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
协 方 差 传 播 律
函数的协方差阵
=函数的系数阵×自变量的协方差阵×系数阵的转臵阵
知识回顾
D XX 12 21 n1
12
2 2
n2
2n n2
1n
Z KX K 0
D ZZ KD XX K
i
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ 2 3 ˆ2
2
设测角方差均为 ˆ
ˆ
[ ww] 3n
ˆ
2
1 3
2
ww
3n
菲列罗公式
一、由三角形闭合差计算测角中误差
例1.某三角网共有100个三角形构成，其闭合差的 平方和为[ww]=200″，问测角中误差的估值为多
已知同精度独立观测了各三角形之内 角,由各观测角值计算而得的三角形闭 合差分别为
w1 , w 2 ,..., w n
求测角中误差
ˆ
？
一、由三角形闭合差计算测角中误差
内角和的中误差为
ˆ [ ww ] n
内角和与角度的函数关系式为 由误差传播律得
i i
i i i i
AB
测站观测高差精度相同时，水准测量高差 的中误差与测站数N的平方根成正比
AB
由此得中误差
h
N站
三、水准测量高差的精度
若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距 离s大致相等，设A、B间距离为S ， 则测站数N=S/s, 代入上式得 S
h
AB
s
站
若S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为
能 够 熟 练 推 导 公 式
解：由 x
n
得：
n
4 4 测回 0 . 8 4
0 . 84 0 . 28 3
n 测回
n9
即再增加5测回，得中误差为 0 .2 8
二、同精度独立观测值算术中数的中误差
x
1
x
n
不能单纯靠增加观测次 数提高算数中数的精度
n
x
1
1.0
5
0.45
Z i f i X 1 , X 2 , , X n , i 1, 2, , t
2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化
f f f dZ i i dX 1 i dX 2 i dX n , i 1, 2, , t X 1 0 X 2 0 X n 0
2 2 S 2 4
2
三角高程测量所 B
i
v hAB
得高差的中误差
α
在传统的大地控制网中，通常
5
2 h AB
与三角点间的距 S
离成正比。
A
sec 1
2
S
2
h
AB
S
误差传播定律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
公里
1 s
N 公里
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 s
站
距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为
各测站距离大致相等时，水准测量高差 S 的中误差与距离S的平方根成正比
h AB 公里
三、水准测量高差的精度
在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为 例3． 1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差 不大于5cm，问可以设多少站？
20
0.22
50
0.14
100
0.10
n
误差传播定律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
三、水准测量高差的精度
经N个测站测定A、B两水准点间的高差， 其中第
i 站的观测高差为
。 hi
求距离为S公里的A、B两点的观测高差 中误差 h ？
AB
三、水准测量高差的精度
A、B点间总高差为 h AB h1 h2 h N
设各测站观测高差是独立同精度观测值，其
中误差均为 站，
由误差传播律得：
2 2 2 2 2 h 站 站 站 N 站
3.将微分关系写成矩阵形式： Z KX 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵
D ZZ KD XX K
T
或
dZ KdX
协方差传播律的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
一、由三角形闭合差计算测角中误差
一、由三角形闭合差计算测角中误差 二、同精度独立观测值算术中数的中误差 三、水准测量高差的精度 四、三角高程测量高差的精度 五、若干独立误差的联合影响
四、三角高程测量高差的精度
M
h AB S tan i v
2 h AB
tan S sec
知识回顾
Z KX K 0 Y FX F0
T D ZZ KD XX K T DYY F D XX F T DZY KD XX F T DYZ F D X X K
Z KX K 0 W FY F0
T D ZZ KD XX K T DWW F DYY F T D ZW KD XY F T DW Z F DYX K
HC HC HC 2 h2
4
h1 h2 H A H B 2
h
1
h2
B
2 HC
h2
4
1
2
AS C 1 S 2 1 S 2 公里 公里 25 100 4 2 4 2 4
S 16
所以该线路最长可达16千米。
误差传播定律的应用
T
独立时:
12 0 0 0
2 2
D XX
0
0 0 n2
D zz z k1 1 k 2 2 k n n
2 2 2 2 2 2
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应用协方差传播律的具体步骤
1.按要求写出函数式：