数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
数学物理方法梁昆淼答案
数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。
的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。
4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。
5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。
7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。
?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。
?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。
(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。
11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。
其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。
则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。
af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
l
2
1 2 2 2 2 [ f ( x )] dx 2la0 l a k l bk 2l l k 1 k 1
l n n
n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin ] dx l l l 2l l l k 0 k 1 n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin 10 ] dx l l l 2l l l k 0 k 0
积化和差后容易证明其余三式， 例如：
cos( ) cos( ) 2 cos cos kx nx 1 ( k n )x ( k n )x cos cos cos cos l l 2 l l l l kx nx 1 l ( k n )x ( k n )x -l cos l cos l dx 2 -l cos l dx -l cos l dx
0πx πx 2πx kx 1 cos , cos , cos , , cos , l l l l 0πx πx 2πx kx sin 0, sin , sin , , sin , l l l l
k x -l 1 cos l dx 0 (k 0) 正交性 l k x -l 1 sin l dx 0 l k x n x -l cos l cos l dx 0 (k n) l k x n x -l sin l sin l dx 0 (k n) l k x n x -l cos l sin l dx 0
f (x) f (x+2l) • -l o +l •
数学物理方法5傅里叶变换
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
复变函数与积分变换-傅立叶变换
但是显然有： 但是显然有：
1 t < 1 +∞ sin ω cos ω t 2 1 t =1 dω = ∫0 π ω 2 0 t > 1 π 2 t <1 即： +∞ sin ω cos ω t π t =1 dω = ∫0 ω 4 0 t >1
4
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
在间断点 kπ ( k = 0, ±1, ±2,⋯) 处， 1 f ( x ) 收敛于 fT ( t0 + 0 ) + fT ( t0 − 0 ) = 0 2 所有的工程中使用的周期函数都可以 所有的工程中使用的周期函数都可以 用一系列的三角函数的线性组合来逼近。 用一系列的三角函数的线性组合来逼近。 Fourier级数 ---- Fourier级数
《复变函数与积分变换》 复变函数与积分变换》
第八章
湖北警官学院 张东
一、傅里叶变换的概念
在工程计算中,无论是电学还是力学, 在工程计算中,无论是电学还是力学,经 打交道。 常要和随时间而变的周期函数 fT ( t ) 打交道。 例如： 例如：
它们具有性质 fT ( t + T ) = fT ( t ) ，其中 T 1 称作周期, 代表单位时间振动的次数, 称作周期 而 代表单位时间振动的次数 T 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位时间通常取秒 即每秒重复多少次 单位是赫兹(Herz, 或Hz)。 单位是赫兹(Herz, Hz)。 1804年 傅里叶首次提出： 1804年，傅里叶首次提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数 都可以表示为单纯的正弦与余弦之和。 都可以表示为单纯的正弦与余弦之和。
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+ 解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即 ()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3， 1+解：代数式即：1z =+2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
7，1i1i-+ 解：21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin 22z i ππ=+；指数式：322i k i z e e ππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2解：将被开方的i 用指数式表示：22e i k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈。
2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++解：因为，cos Re (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos Re Re Re Re (1)Re Re 1cos cos(1)sin sin(1)Re 1cos sin 222sin sin cos 222Re 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e e e e e e e e e e e n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭=222(1)2sin 2Re sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222Re sinsin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
复变函数与积分变换 傅里叶变换
50年代以后的研 究，逐渐向多维 和抽象空间推广
满足偏微分方程 等许多数学分支 发展的需要
标志了傅里叶分 析进入了一个新 的历史时期
20世纪上半叶，Fourier 积分公式
定理 设函数 f (t) 满足
(1) 在 (, )上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；
(2)
• 以上这些优点给运算带来了许多方便，因而正弦信号在实际中作为典型 信号或测试信号而获得广泛应用。工业及照明用电就是正弦信号。
二时域频域
• 什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走
势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为 参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
• 什么是频域？频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用 到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域
最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵 循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域
中最重要的规则。
• 对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性， 信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。
• 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱 角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼 近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。
傅里叶提出任意函数可以用级数表示
未得到严 格的数学 论证
狄利克雷是历史上第一个给出函数的傅里叶级数 收敛于它自身的充分条件的数学家
特点
1. 两个同频率的正弦信号相加，虽然它们的振幅与相位各不相同，但相 加的结果仍然是原频率的正弦信号。 2. 正弦信号对时间的微分与积分仍然是同频率的正弦信号。 3 线性时不变系统（输入输出信号满足线性关系，而且系统参数不随时 间变换）输入正弦信号输出的仍是正弦信号，只有幅度和相位可能发生 变化，但是频率和波的形状仍是一样的。
复变函数与积分变换傅里叶变换
B() 2
+
f ( ) sin d.
0
傅里叶正弦积分
例 定义矩形函数为
f (x) 1
1, rectx
0,
( x 1), 2
( x 1). 2
1
0
2
1
x
2
将矩形脉冲 f (t) h rect(t / 2T ) 展开作傅里叶积分。
f (t)
偶函数
i n 2n 1
二. 傅里叶积分与傅里叶变换
1. 傅里叶积分
有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周 期函数f(x) (定义域为 x + ) ,从方便于研究而言， 它又可以看作为以 为周2l 期的函数g(x)当 趋于l 无穷大 的函数。
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
(2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则三角级数 (1.3) 收敛，且
f (x),
(1.3)
1 2
{
f
(x
0)
f
(x
0)}.
(在连续点x) (在间断点x)
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin kx
l
是奇函数，c
os
kx
l
是偶函数。
故 奇函数 f(x) 有
f
(x)
傅里叶积分值=
f (x)
[ f (x 0) f (x 0)]/ 2
连续点 间断点
3. 奇、偶函数
偶函数 f (x)
+
A() cosxd,
0
A() 2
+
f ( ) cos d.
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
第五章 第一节 傅里叶变换
bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很 难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不 适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性 振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。 我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际 情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式 不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各 种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅 里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f
北京大学数学物理方法经典课件第五章——傅里叶变换
cos
k
l
x
d
k
l
x
l sin k x l 0
k
l l
同理可证 :
l
k x
1sin d x 0
l
l
8
l k x n x
cos cos dx
l
l
l
1 2
l l
cos(k
n) x
l
cos(k
n) x
l
d
x
0
21
例2：矩形波
1
f
(x)
1
(2m ,(2m 1) ) ((2m 1) , 2m )
解：f ( x)
ck eikx ,
k
1 0
2
x
1
1
ck 2
f ( )eik d 1
2
0 1 eik d 1
bk l
l f ( )sin k d
l
l
(k 1, 2,
)
ak
1 l
l l
f ( )cos k d
l
(k 0,1, 2,
)
1
bk l
l f ( )sin k d
l
l
(k 1, 2,
)
13
4. 傅里叶级数的收敛性定理
狄里希利定理 : 若函数f(x)满足条件： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
非正弦周期函数:矩形波
1, 当 t 0
u(t
)
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
五、复数形式的傅里叶级数
如果 f (x) 是以 2l 为周期的周期函数，且满足狄里 希利条件，则可把 f (x) 展开为以下的复数形式的 傅里叶级数。
f ( x)
k
c e
k
i
kx l
其中
1 c k f ( x )e 2l l
l
i
kx l
dx
§5.2傅里叶积分与傅里叶变换
( x )
(0 l x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l
【几点结论】
1. 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开有 无穷多种形式。 f (0) f (l ) 0 2. 偶延拓可使级数满足边界条件 奇延拓可使级数满足边界条件 f (0) f (l ) 0 。
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
bk E0 sin t sin ktdt 0 E0 0 [cos(k 1)t cos(k 1)t ]dt 2
E sin(k 1)t sin(k 1)t 0 (k 1) (k 1) 2 0 E0 sin 2t t 2 2 0 k2 k 1
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A
2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2
A
sin( 0 0
)t
sin( 0 )t 0
0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。
f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2
f ( ) cos d
0
2
T
0
h cos d
2h
sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)
A
sin
0t
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
复变函数与积分变换傅里叶变换
f (z) ln(z 1) ln(z 2) f (z) ln(z 1) ln(z2 2)
ln(z k) k 1
ln(zk k) k 1
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x 2l) f (x)
要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函 数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表 现 f(x)。这就是傅里叶级数。
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
g ( x)
a0 2
+
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
令：
k
k
l
,
k
k
k1
l
,
则
g(x) a0 l
2
+
{ak cos k x bk sin k x}k .
k 1
(2.1)
ak
1 l
l l
f ( ) cosk d ,
bk
d x 0
sinc(x) d x 2
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
t 0的傅氏变换及其 t0
积分表达式,其中 0.
F () f (t) eitd t
ete jtd t
0
e( i )td t
0
1
i
i 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
(x)
a0 2
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
此为傅里叶级数展开.
数学物理方程第五章 傅里叶变换
1 k
1 k
0 2E0 ] 1 k [1 ( 2 n ) 2 ] 1
k 2n 1 k 2 n.
2012-8-1
阜师院数科院
b1
E0 2
,
和
bk 0
E (t )
E0
E0 2
sin t
2E0
1 (2n)
n 1
1
2
cos 2 n t .
f ( ) sin d .
(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。
f ( x ) A ( ), B ( )
为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 ( , ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间 ( , ) 上绝对可积（即
2 2
0
( ) tg
1
[ B ( ) / A ( )].
C ( )
为振幅谱
3. 奇、偶函数 偶函数
2012-8-1
( )
为相位谱
A ( ) cos xd ,
f (x) A ( )
0
奇函数
f (x) B ( )
B ( ) sin xd ,
f (x)
k
c
k
e
ikx
,
ck
1 2
f ( )e ( 1 ik e
ikx
d
0
1 2 ( 1 ik
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∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
l x 1 此例中 x > ⇒ > 2 l 2
0, rect(x) = 1,
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
四 用δ函数表示点量和瞬时量
1 质点的线密度分布
∫
∞
ρ (x) d x = m
-∞
∫
∞
δ (x) d x
-∞
1) 点源在原点处 , 质量为 m 的质点的线密度 ρ (x) = m δ (x) 同理可得 2) 点源在 x 0点处 , 质量为 m 的质点的线密度 ρ (x) = m δ (x - x 0 )
四 用δ函数表示点量
1 质点的线密度分布
1) 点源在原点处, 质量为m的质点的线密度
0, δ (x) = ∞ ,
ρ (x) = 0, ∞ ,
b (or + ∞ )
x
≠ 0 ........(5 ) x = 0
x x
≠ 0 ........(3 ) = 0
∫
ρ (x) d x = m......(4)
第5节 δ函数
二 δ函数的定义
2. 点源在 x 0 处
0, δ (x - x 0 ) = ∞ , x ≠ x0 x = x0
δ(x- x0)
........(7 )
0
x
0
x
∫
0, δ (x - x 0 ) d x = a (or - ∞ ) 1,
b (or + ∞ )
[x 0 ∉ (a, b)] [x 0 ∈ (a, b)]
∞
x 故取 l
1 1 or < 2 2
将ρl (x)对x在（－∞，＋∞）上积分，可得总质量
1 ) 2 1 (x ≤ ) 2 (x >
是前面定义过的矩形函 数
∫
-∞
ρ l (x) d x =
∫
1 2
= m
∫
1 2
-
1 2
m x rect( )dx l l
即
1 2
x x rect( )d = m l l
(8)
其示意图如图所示
.曲线的 " 峰 " 无限高 , 但无限窄 .曲线下的
面积为有限值 1. (6)、（8）两式提示我们，凡是 涉及函数的等式，应该 从积分
即满足 (7) 、（ 8）两式的函数称为 δ （ x - x 0）函数
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意义下去理解 .
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
•
........(5 )
0
x
∫
b (or + ∞ ) a (or -∞ )
0, δ (x) d x = 1,
(0 ∉ a,b ） （ ) (0 ∈ a,b)) （
......(6)
即满足 (5) 、（ 6）两式的函数称为 δ （ x ）函数
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
∫
∞
a -ε
f ( x )δ ( x - a ) dx
a+ε
f(x) δ(x-a)dx
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
证明： +∞ f(x) δ (x - a)dx =
∫
-∞
∫
a -ε
f(x) δ (x - a)dx +
∫
-∞
ρ l (x) d x = m....(2)
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∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
2 质点的线密度 ρ (x) (质点位于原点 )
而此时的线密度函数ρ l (x)就成为质点的线密度函数，记为ρ (x)
如果将线段的长度l → 0, 我们就得到位于坐标原点、质量为m的质点。
第5节 δ函数
三δ函数是一种广义函数
基本原因有两点 1. 没有给出函数与自变量 的关系 ( 对应关系 ) x ≠ x0 δ (x - x 0 ) = 0, , ∞ x = x 0 在通常意义下无意义 . 2. 改变一点的函数值影响函数的积分值
我们知道 , 如果只改变函数在一点 的函数值 , 并不影响函数 .在给定 区间上的积分值 但 δ 函数在整个 x 轴上处处为 （原点除外）［按理积 分值 0 应该为 0］但它的积分值＝ 1 ！
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
物理学常要研究一个物 理量在空间或时间中分 布的密度 .如 : 质量密 度、电荷密度、功率密 度等。但物理学又常常 运用质点、点电荷、 瞬时力等抽象模型。它 们不是连续分布于空间 或时间中，而是集 中于空间或时间中的某 一点的某一瞬时。它们 的密度如何描述呢？
( 0 ∉ ( a , b )) ( 0 ∈ ( a , b ))
......(6 )
∫
f(x) δ (x - a)dx =
-∞
∫
a +ε
a -ε
f(x) δ (x - a)dx = f(ζ ) δ (x - a)dx
a -ε
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∫
a +ε
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
二 δ函数的定义
对于质点、点电荷、瞬 时力等这类集中于空间 或时间中的 某一点的某一瞬时抽象 模型。在物理学中引入 δ 函数来描 述其密度 .
δ (x)
1. 点源在原点 0处
0, δ (x) = ∞ , x ≠0 x =0
x ≠0 0, m x ρ (x) = lim ρ l (x) = lim rect( ) = ........(3 ) l→0 l→0 l x =0 l ∞ , x x [x ≠ 0时, m = 0, rect( ) = 0 or 1; x = 0时，m ≠ 0, rect( ) = 1] l l
我们从连续分布过渡到 不连续分布 . 1 质量 m连续均匀分布在长为 l的线段上（线分布） 建立如图所示的坐标系 ，其线密度ρl (x)可表为
0, ρ l (x) = m , l 即 ρ l (x) (x > l ) 2 l (x ≤ ) 2
l 2
•
l 2
x
=
m x rect( )......... l l
f(ζ )δ (ζ -a ) ⋅ 2 ε 令ε → 0 则 f( ζ ) → f(a)
故有
而 δ (x - a)dx = 1
a -ε
∫
a +ε
∫
+∞
f(x) δ (x - a)dx = f(a)...... .......... (9)
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(9) 式可代替 (7) 、 作为 δ 函数的定义 . (8)
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
四 用δ函数表示点量和瞬时量
例 设在电流为 0的电路中 , 于时刻 t 0 通入电量为 q 的脉冲， 求电路中的电流 i(t)
i ( t ) = qδ ( t - t0 )
0 , t ≠ t0 i ( t ) = qδ ( t - t0 ) = ∞ , t = t0
∫
∞ -∞
i(t )dt =
∫
∞ -∞
qδ ( t - t0 ) d t = q
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)