数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换

∫

∞ ,

x = 0

比较 , 可得

∫

b (o r + ∞ ) a (o r - ∞ )

0, δ (x ) d x =  1 ,

(0 ∉ ( a ,b )) (0 ∈ ( a ,b ))

......(6 )
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

我们从连续分布过渡到 不连续分布 . 1 质量 m连续均匀分布在长为 l的线段上（线分布） 建立如图所示的坐标系 ，其线密度ρl (x)可表为
 0,  ρ l (x) =  m , l  即 ρ l (x) (x > l ) 2 l (x ≤ ) 2
l 2

•

l 2

x

=

m x rect( )......... l l
第5节 δ函数

三δ函数是一种广义函数
δ 函数的严格的数学理论 ，要涉及泛函分析的知 识 .按照 广义函数的理论 , δ 函数的确切意义应是在 积分运算下 来理解 .我们介绍 δ 函数的目的是给大家提 供一个有用的
数学工具 , 而对一些数学命题不去 追求数学上的严谨或 证明 , 而是只给一定的解释或 说明 .
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

二 δ函数的定义
对于质点、点电荷、瞬 时力等这类集中于空间 或时间中的 某一点的某一瞬时抽象 模型。在物理学中引入 δ 函数来描 述其密度 .

δ (x)

1. 点源在原点 0处
 0, δ (x) =  ∞ , x ≠0 x =0
第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

引入δ 一 引入δ函数的物理背景
物理学常要研究一个物 理量在空间或时间中分 布的密度 .如 : 质量密 度、电荷密度、功率密 度等。但物理学又常常 运用质点、点电荷、 瞬时力等抽象模型。它 们不是连续分布于空间 或时间中，而是集 中于空间或时间中的某 一点的某一瞬时。它们 的密度如何描述呢？

-∞

+

∫

∞

f(x) δ (x - a)dx

∫

a +ε

f(x) δ (x - a)dx

a -ε

根据(6)式

a+ε

∫
+∞

b (o r + ∞ ) a (o r - ∞ )

可知上式右边第一、三 项的为0

[Q 在这两段上δ (x - a) = 0] 对于中间一项利用中值 定理, 有

0, δ (x ) d x =  1 ,
第5节 δ函数

五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性

∫

+∞

f(x) δ (x - a)dx =

-∞

∫

a +ε

f(x) δ (x - a)dx = f(ζ ) δ (x - a)dx
a -ε

a -ε

∫

a +ε

其中,ζ ∈ (a - ε , a + ε )
注意 , 这里只是利用积分中值 定理的基本思想 .因为被积函数 是 f(x) δ (x - a) 而不是 f(x), 如严格按中值定理应是

∫

∞

a -ε

f ( x )δ ( x - a ) dx

a+ε

f(x) δ(x-a)dx
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性

证明： +∞ f(x) δ (x - a)dx =

∫

-∞

∫

a -ε

f(x) δ (x - a)dx +
从物理上看 , 显然有 ∞

∫

ρ (x) d x = m......(4)

也即

-∞

∫

∞

-∞

lim ρ l (x) d x = m
l→ 0

由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度

分布函数的直观图像。

它在

x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。

四 用δ函数表示点量
1 质点的线密度分布

1) 点源在原点处, 质量为m的质点的线密度
 0, δ (x) =  ∞ ,

ρ (x) =  0, ∞ , 
b (or + ∞ )

x

≠ 0 ........(5 ) x = 0

x x

≠ 0 ........(3 ) = 0

∫

ρ (x) d x = m......(4)

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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

四 用δ函数表示点量和瞬时量
1 质点的线密度分布

∫

∞

ρ (x) d x = m

-∞

∫

∞

δ (x) d x

-∞

1) 点源在原点处 , 质量为 m 的质点的线密度 ρ (x) = m δ (x) 同理可得 2) 点源在 x 0点处 , 质量为 m 的质点的线密度 ρ (x) = m δ (x - x 0 )

第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

四 用δ函数表示点量和瞬时量
例 设在电流为 0的电路中 , 于时刻 t 0 通入电量为 q 的脉冲， 求电路中的电流 i(t)

i ( t ) = qδ ( t - t0 )

 0 , t ≠ t0 i ( t ) = qδ ( t - t0 ) =   ∞ , t = t0

..........

...(1)
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
l x 1 此例中 x > ⇒ > 2 l 2
  0,  rect(x) =  1,  
•

........(5 )

0

x

∫

b (or + ∞ ) a (or -∞ )

 0, δ (x) d x =  1,

(0 ∉ a,b ） （ ) (0 ∈ a,b)) （

......(6)

即满足 (5) 、（ 6）两式的函数称为 δ （ x ）函数
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)

∞

-∞

∫

 0, δ (x) d x =  a (or - ∞ ) 1,

( ∀ a, b < 0 or a, b > 0) ......(6) (a < 0 < b)

如 果 取 ρ ( x )= δ (x ), 则 只 满 足 （ 6 ） ， 而 不 满 足 （ 4 ） . 而 (4 ) 是 物 理 上 的 客 观 事 实 . 如 果 取 ρ ( x )= m δ (x ), 则 (3 )(4 )(5 )(6 ) 都 能 成 立 .

(8)

其示意图如图所示

.曲线的 " 峰 " 无限高 , 但无限窄 .曲线下的

面积为有限值 1. (6)、（8）两式提示我们，凡是 涉及函数的等式，应该 从积分

即满足 (7) 、（ 8）两式的函数称为 δ （ x - x 0）函数
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意义下去理解 .

第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

二 δ函数的定义
2. 点源在 x 0 处
 0, δ (x - x 0 ) =  ∞ , x ≠ x0 x = x0

δ(x- x0)
........(7 )
0

x

0

x

∫

0, δ (x - x 0 ) d x =  a (or - ∞ ) 1,

b (or + ∞ )

[x 0 ∉ (a, b)] [x 0 ∈ (a, b)]

∫

∞ -∞

i(t )dt =

∫

∞ -∞

qδ ( t - t0 ) d t = q

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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

五 δ函数的性质
1 δ 函数是偶函数

由图象很容易看出 δ (-x) = δ (x) or δ ( x-x 0 ) = δ ( x 0 -x ) 2 δ 函数具有挑选性 对任何一个定义在 (-∞,+∞)上的函数f(x),有
∞

x 故取 l

1 1 or < 2 2

将ρl (x)对x在（－∞，＋∞）上积分，可得总质量

1 ) 2 1 (x ≤ ) 2 (x >

是前面定义过的矩形函 数

∫Leabharlann Baidu

-∞

ρ l (x) d x =

∫

1 2

= m

∫

1 2

-

1 2

m x rect( )dx l l
即

1 2

x x rect( )d = m l l

-∞

第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。

( 0 ∉ ( a , b )) ( 0 ∈ ( a , b ))

......(6 )

∫

f(x) δ (x - a)dx =

-∞

∫

a +ε

a -ε

f(x) δ (x - a)dx = f(ζ ) δ (x - a)dx
a -ε
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∫

a +ε

第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)

∫

-∞

ρ l (x) d x = m....(2)
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∞

第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数

引入δ 一 引入δ函数的物理背景
2 质点的线密度 ρ (x) (质点位于原点 )
而此时的线密度函数ρ l (x)就成为质点的线密度函数，记为ρ (x)
如果将线段的长度l → 0, 我们就得到位于坐标原点、质量为m的质点。
称此为 δ 函数的挑选性，因为它 把函数 f(x) 在 x = a的值 f(a) 挑选了出来。

∫

+∞

f(x) δ (x - a)dx = f(a)

-∞

证明： ∀ε > 0

∫

+∞

-∞

f ( x )δ ( x - a ) dx =

∫

a -ε

-∞

f ( x )δ ( x - a ) dx + ∫
+

a +ε

x ≠0  0, m x ρ (x) = lim ρ l (x) = lim rect( ) =  ........(3 ) l→0 l→0 l x =0 l ∞ , x x [x ≠ 0时, m = 0, rect( ) = 0 or 1; x = 0时，m ≠ 0, rect( ) = 1] l l

f(ζ )δ (ζ -a ) ⋅ 2 ε 令ε → 0 则 f( ζ ) → f(a)
故有

而 δ (x - a)dx = 1
a -ε

∫

a +ε

∫

+∞

f(x) δ (x - a)dx = f(a)...... .......... (9)
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(9) 式可代替 (7) 、 作为 δ 函数的定义 . (8)
第5节 δ函数

三δ函数是一种广义函数
基本原因有两点 1. 没有给出函数与自变量 的关系 ( 对应关系 ) x ≠ x0 δ (x - x 0 ) =  0, , ∞ x = x 0 在通常意义下无意义 .  2. 改变一点的函数值影响函数的积分值
我们知道 , 如果只改变函数在一点 的函数值 , 并不影响函数 .在给定 区间上的积分值 但 δ 函数在整个 x 轴上处处为 （原点除外）［按理积 分值 0 应该为 0］但它的积分值＝ 1 ！

四 用δ函数表示点量
1 质点的线密度分布

1) 点源在原点处 , 质量为 m 的质点的线密度 ∞ x ≠ 0 ........(3 )  0, ρ (x) d x = m......(4) 将 ρ (x) =  ∞ , x = 0  -∞ x ≠ 0  0, δ (x) =  ........(5 ) 与
2 位于 x 0而电量为 q 的点电荷的线密度分布

同上可得

ρ (x) = q δ (x - x 0 )

3 作用于瞬时 t 0而冲量为 I的瞬时力

m 、 q、 I都是累积量，力的累积 量为冲量，而
F = dI dt

∴ 作用于瞬时 t 0而冲量为 I的瞬时力 = Iδ (t - t 0 )
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因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章

傅里叶变换(Fourier transforms)