函数的值域题型总结
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数定义域值域求法总结 (1)
函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。
2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。
一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。
因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。
一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。
定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ?2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
高中函数值域的7类题型和16种方法
高中函数值域的7类题型和16种方法函数值域是指函数输出值的集合。
在高中数学中，我们常常遇到一些关于函数值域的问题。
下面将介绍高中函数值域的7类题型以及解决这些问题的16种方法。
1. 函数值域的确定式题：给出一个函数的解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过分析函数的定义域和性质推导函数的值域。
- 使用函数的图像来确定函数的值域。
- 借助导数和极值的概念来确定函数的值域。
2. 函数值域的确定性问题：给出一个函数的图像，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过观察图像的特点，确定函数的最大值和最小值。
- 借助极值和区间的概念，确定函数的值域。
3. 函数值域的不等式问题：给出一个函数的不等式解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 分析给定不等式的解集，确定函数的值域。
- 将不等式转化为等式，解出方程，确定函数的值域。
4. 函数值域的集合表示问题：给出一个函数的值域，要求将其表示为集合。
解决方法：- 分析函数的定义域和性质，将函数的值域表示为集合。
- 借助函数的图像来表示函数的值域。
5. 函数值域的推导题：给出一个函数的值域，要求推导出函数的解析式。
解决方法：- 分析给定的值域，推导出函数的定义域和性质，再根据推导出的定义域和性质写出函数的解析式。
6. 函数值域的综合题：综合运用多种方法，确定函数的值域。
解决方法：- 根据题目要求，运用不同的方法来确定函数的值域。
- 分析题目中给出的条件，结合函数的性质来确定函数的值域。
7. 函数值域的实际问题：将函数值域与实际问题联系起来，解决实际问题。
解决方法：- 将实际问题转化为函数模型，通过确定函数的值域来解决实际问题。
- 根据实际问题给出的条件和约束，运用适当的方法来确定函数的值域，作为问题的解答。
以上是高中函数值域的7类题型和16种方法。
对于不同类型的问题，我们可以根据题目要求和给定条件，选择合适的方法来求解函数的值域。
通过练习这些题型，我们可以提高对函数值域的理解和分析能力。
函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)
函数得定义域与值域一、定义域:1。
函数得定义域就就是使函数式得集合、2。
常见得三种题型确定定义域：①已知函数得解析式，就就是、②复合函数f [g（ｘ)]得有关定义域,就要保证内函数g（x）得域就是外函数ｆ (x)得域、③实际应用问题得定义域,就就是要使得有意义得自变量得取值集合、二、值域：１。
函数y＝ｆ（x)中，与自变量x得值得集合、2．常见函数得值域求法,就就是优先考虑，取决于 ,常用得方法有：①观察法;②配方法;③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法;⑦判别式法；⑧有界性法;⑨换元法（又分为法与法)例如:①形如y＝,可采用法;②y＝,可采用法或法;③y=a［f（x）］2＋ｂf (x)＋ｃ,可采用法;④y=ｘ－，可采用法；⑤y＝x－,可采用法;⑥y=可采用法等、典型例题例１、求下列函数得定义域：(１）ｙ＝；（2)y=; （3）y＝、解:（1)由题意得化简得即故函数得定义域为｛x|x〈0且x≠—１}、（2)由题意可得解得故函数得定义域为｛ｘ|—≤x≤且x≠±｝、（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥１,故函数得定义域为［１，+∞）、变式训练1：求下列函数得定义域:（1）ｙ=+(x—1）0 ; （2)y=+(５x－4)０； (３)y=+lgcosx;解:（1）由得所以－３〈x〈2且x≠１、故所求函数得定义域为（—3,1）∪（１，２)、（2）由得∴函数得定义域为（３)由,得借助于数轴，解这个不等式组,得函数得定义域为例2、设函数ｙ＝f（x）得定义域为[0，1］，求下列函数得定义域、(1)y=f（3x）； (2）y=f(）;(３)y=f(； (４)ｙ=f（x+a)+f(x－a)、解：（1)０≤3x≤1，故0≤ｘ≤,ｙ=f（3x)得定义域为［0, ］、（2）仿(１）解得定义域为[1，+∞)、(3）由条件,y得定义域就是f与定义域得交集、列出不等式组故ｙ＝f得定义域为、(4）由条件得讨论:①当即０≤a≤时,定义域为[a，1—a］；②当即－≤ａ≤0时，定义域为［-a,1＋ａ］、综上所述：当0≤a≤时,定义域为［a,1－a］;当—≤a≤0时,定义域为［—a，１+ａ］、（0<a＜）得定义域就是（ ) 变式训练2:若函数f（x）得定义域就是［0，1］,则f(x+a)·f（ｘ—a）A、 B、[ａ，１—a］ C、［—a,１+a]D、［0,1］解: B例3、求下列函数得值域：（1)y= (２)y＝x—；（３)y＝、解：(1)方法一（配方法)∵y=1—而∴0〈∴∴值域为、方法二 (判别式法）由y=得(ｙ-1）∵ｙ=1时，1、又∵R,∴必须＝(1-y）2—4y（y-１）≥0、∴∵∴函数得值域为、（2)方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y＝-均在上递增,故y≤∴函数得值域为、方法二 (换元法）令=ｔ，则ｔ≥0，且x=∴y=－（t+1)2+1≤(t≥０），∴y∈(—∞，]、（3）由ｙ=得，ｅx=∵ｅx＞０,即＞0，解得－1＜y＜1、∴函数得值域为{y|—1〈y〈1}、变式训练3：求下列函数得值域：(1）y＝; (２）y=｜x|、解：(１）（分离常数法）y=-，∵≠0,∴y≠-、故函数得值域就是｛y｜ｙ∈Ｒ,且ｙ≠-｝、(２)方法一（换元法）∵１－x2≥0,令ｘ=sin,则有y＝｜ｓincｏs|＝｜sｉn２|,故函数值域为［０,］、方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数得值域为、例4.若函数f(x）=ｘ2-x＋a得定义域与值域均为［1，b](b＞1）,求ａ、ｂ得值、解：∵f（x)＝（x－1）2＋a-、∴其对称轴为ｘ=1,即［1,b］为f（x)得单调递增区间、∴f(x）min=f(1）=a—=１①f（x)ｍax=f（b)=b２—b+a=b ②由①②解得变式训练4：已知函数f（x）=x2—4ax+2a+６（x∈R)、(1)求函数得值域为［0,＋∞）时得a得值;(2）若函数得值均为非负值，求函数ｆ(a）=2—ａ|a+3|得值域、解：（１)∵函数得值域为［0,+∞),∴Δ=1６a2—４（2ａ＋６)＝02ａ2－a－3=0∴a=-1或a ＝、(２)对一切x∈R，函数值均非负，∴Δ=8（2a2-a－3)≤0-1≤a≤,∴a+３＞０，∴f(a）＝２-a(a+3）=－a2－3a+2＝－(a+)2+（a）、∵二次函数f(a）在上单调递减，∴ｆ（a)min=f＝—，f(a)max=f（-1)=4，∴f（a）得值域为、小结归纳１。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。
解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。
解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。
将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。
二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。
一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。
解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。
例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。
令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。
因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。
2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。
解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。
例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。
因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。
值域12种归纳(解析版)
专业专心专注值域12类归纳1.一、热点题型归纳题型一:值域基础1：幂函数求值域1若函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R )的定义域和值域分别为集合A ,B ，且集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，则b +c 的最大值为_________．【答案】5【详解】由题可知，a 0，b 2-4ac 0，则A =-b +b 2-4ac 2a ，-b -b 2-4ac 2a，B =0，4ac -b 24a，因为{x ，y |x ∈A ，y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，所以b 2-4ac -a =4ac -b 24a=1，可得a =-4，b 2+16c =16，c =1-b 216，所以b +c =-b 216+b +1=-116b -8 2+5，当b =8时有最大值5．方法归纳基本规律1.幂函数主要考察一元二次函数2.二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论Δ.1设二次函数f x =mx 2-2x +n m ,n ∈R ，若函数f x 的值域为0,+∞ ，且f 1 ≤2，则m 2n 2+1+n 2m 2+1的取值范围为___________.【答案】[1,13]【详解】二次函数f (x )对称轴为x =1m，∵f (x )值域为0,+∞ ，∴m >0且f 1m =0⇒m ⋅1m 2-2m +n =0⇒n =1m⇒mn =1，n >0.f 1 ≤2⇒m -2+n ≤2⇒m +n ≤4，∵m 2n 2+1+n 2m 2+1=m 2m 2+1 +n 2n 2+1 m 2+1 n 2+1 =m 4+n 4+m 2+n 2m 2n 2+m 2+n 2+1=m 2+n 2 2-2m 2n 2+m 2+n 2m 2+n 2+2=m 2+n 2 2+m 2+n 2 -2m 2+n 2+2=m 2+n 2+2 m 2+n 2-1 m 2+n 2+2=m 2+n 2-1∴m 2+n 2-1≥2mn -1=1，m 2+n 2-1=(m +n )2-3≤42-3=13，∴m 2n 2+1+n 2m 2+1∈[1,13].故答案为：[1,13].2已知函数f (x )=x 3-3x 在x ∈5-m 2,m -1 的值域为a ,b b >a ，则实数m 的取值范围为________.【答案】6,7【详解】由解析式知：f (x )=3(x 2-1)，∴(-∞,-1)、(1,+∞)上f (x )>0，即f (x )单调递增；(-1,1)上f (x )<0，即f (x )单调递减；∴f (x )有极大值f (-1)=2，极小值f (1)=-2，第1页共28页自律自信自强博观而约取 厚积而薄发由题意知：a =-2,b =2，即有：m -1>5-m 25-m 2<-1m -1>1f (5-m 2)≥-2f (m -1)≤2，解得6<m ≤7，故答案为：6,7 3已知函数y =x 2+2x 在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3]，则a ⋅b 的最大值为________.【答案】3【详解】432132111Oxy画出函数f x =x 2+2x 的图像可知,要使其在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3],由于有且仅有f -1 =-1,所以-1∈[a ,b ]⇒a ≤-1≤b ,而f -3 =f 1 =3,所以有[a ,b ]⊆-3,1 ,a =-3或b =1,又∵a <0,a ⋅b 的最大值为正值时,b <0,∴b ≠1,a =-3,所以a ⋅b =-3b ,当b 取最小值时,,a ⋅b 有最大值.又∵b ≥-1,∴a ⋅b 的最大值为-3 ×-1 =3；故答案为：3.题型二:值域基础2：指数函数求值域1函数f (x )=a +b e x+1(a ,b ∈R )是奇函数，且图象经过点ln3,12 ，则函数f (x )的值域为____【答案】(-1,1)【详解】函数是奇函数，则:f (0)=a +b e 0+1=a +b2=0①,结合函数所过的点可得:f ln3 =a +b e ln3+1=a +b 4=12②,①②联立可得:a =1b =-2 ，则函数的解析式为:f (x )=1+-2e x +1，结合指数函数的性质可得:e x +1>1，-2e x +1∈(-2,0)，f (x )=1+-2e x +1∈(-1,1).故答案为：(-1,1).方法归纳基本规律1、底数讨论单增单减讨论。
函数的值域的7种题型
函数的值域的7种题型函数的值域是函数输出值的集合。
理解函数的值域对于理解函数的性质和行为非常重要。
以下是函数的值域的7种题型：1. 基础题型：给定一个简单的函数，例如 $f(x) = x^2$，求其值域。
这种题型主要考察对基本函数性质的理解。
2. 复合函数：给定一个复合函数，例如 $f(g(x))$，其中 $g(x) = x^2$，求其值域。
这种题型要求理解复合函数的性质，特别是内外函数的值域和定义域关系。
3. 分段函数：给定一个分段函数，例如 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，求其值域。
这种题型要求理解分段函数的性质，特别是不同分段的值域。
4. 三角函数：给定一个三角函数，例如 $f(x) = \sin x$，求其值域。
这种题型要求理解三角函数的性质，特别是其周期性和振幅。
5. 指数和对数函数：给定一个指数或对数函数，例如 $f(x) = 2^x$ 或 $f(x) = \log_2 x$，求其值域。
这种题型要求理解指数和对数函数的性质，特别是其单调性和定义域。
6. 抽象函数：给定一个抽象函数，例如 $f(x) = x^2 + 1$，求其值域。
这种题型要求对函数性质有更深入的理解，特别是如何通过函数的性质判断其值域。
7. 实际应用题：给定一个实际问题，例如求一个物理过程的输出范围，或者求解一个经济模型的参数范围。
这种题型要求将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具求解值域。
通过解决这些题型，可以加深对函数值域的理解，提高解决实际问题的能力。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)].解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f (23)＝23＋123＋2＝58.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (1x )＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2. (2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. (3)4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________. 答案 6解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3，f (3)＝f (2)＋1＝4，f (4)＝f (3)＋1＝5，f (5)＝f (4)＋1＝6.二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
函数值域的求法常考题型含详解
的
值域为 ,3 3, ；
（2）∵
y
3x 2 x2
3(x 2) x2
8
3
x
8
2
，且
x
8
2
0
，
∴ y 3 ，∴函数的值域是{y | y 3} ．
函数值域的求法常见题型
题型一：求一次函数、二次函数的值域。 1、求下列函数的值域（直接法）
（1） y 3x
（2） y x 1， x 1, 2,3, 4,5 ；
2、求下列函数值域：（图像法） （1）y＝2x2－2x＋3；
（2） f (x) x2 2x 3, x (1, 4]
（2））y＝x2＋x(－1≤x≤1)
3 的值域
为
5 2
,
；
（2）由题意
y
x2
x
x
1 2
2
1 4
, 1
x
1
，
当
x
1
时，
y
x
1 2
2
1 4
0
；当
x
1 2
时，
y
x
1 2
2
1 4
1 4
；
当
x
1
时，
y
x
1 2
2
1 4
2
；
函数 y x2 x 的图象为抛物线的一部分，如图：
由图象可知，函数
y
x2
x, 1
x
1
的值域为
1 4
3、设 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 0≤x≤2 时，y＝x；当 x>2 时，y＝f（x）的图象是 顶点为 P（3，4）且过点 A（2，2）的抛物线的一部分．
(精华)函数定义域与值域经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围； （2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为__________；函数2)f 的定义域为_________；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
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求函数的值域在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下。
一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+=x y 7 3cos 2+=θy 提示：（1）一次函数R y b kx y ∈+=,。
（2）二次函数0,2≥=y x y 。
（3）幂函数0,≥=y x y 。
（4）指数函数0,>=y a y x 。
（5）反比例函数0,≠=y xky 。
（6）三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈，则函数21y x x =+-的值域是 23⎡⎣ .2函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。
3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x xx x f 的值域 ]2,2[-4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y xx 的值域 ),23[+∞5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。
]33,81[提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。
三、分离常数法求函数的值域1求函数x x y -+=132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y3求函数25422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y }提示：（1）函数a c y b ax d cx y ≠++=,。
（2）函数ef a b e fcd y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为（ ]10,1[ ）2函数21,(12)y x x =-+-≤<的值域是（ (]3,1- ）3函数1422-+=x x y 的值域 ),3[+∞-4函数6822++-=x x y 的值域 ),3[+∞-提示：（1）二次函数c bx ax y ++=2，当]44,(,0);,44[,022ab ac y a a b ac y a --∞∈<+∞-∈>。
（2）函数]4,1[,322∈++=x ax x y 的最值，动轴定区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。
（3）函数],1[,342a x x x y -∈+-=的最值，定轴动区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。
五、判别式求函数的值域 1求函数2212+++=x x x y1求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2(2求函数12322++--=x x x x y 的值域]32123,3()3,32123[+- 提示：（1）函数)0(112111212222≠++++++=c x b x a c x b x a c x b x a y ，不能求值域，需要转化为关于x 的一元二次方程0)()()(2121221=-+-+-c y c x b y b x a ya ，然后042≥-ac b ,解关于y 的一元二次不等式。
六、反解法求函数的值域1 求函数2211x x y +-=的值域 ]1,1(- 2求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2(提示：（1）把2x 看作一个整体，反解x ，得到2x 的表达式，然后根据分离常数的思路解y 的取值范围。
六、换元法求函数的值域 （三角换元和根式换元） 1 求函数x x y 21-+=的值域；]1,(-∞2 已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 033=+-y x 的距离的最小值。
263 已知函数21x x y -+=的值域是 ]2,1[-提示：（1）上述1中，将根式令为021≥=-t x ，然后转化为2122-+-=t t y ，利用二次函数的思路求值域。
（2）三角函数换元，就是利用椭圆的参数方程解决最值问题，上述椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ，（θ为参数），然后利用点到直线的距离即可。
七、线性规划中的最值问题1 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为_____-1_____。
2设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 [3,3]-提示：（1）已知约束条件围成一个区域，然后根据区域的顶点带入目标函数求最值。
八、切线的斜率法 1求函数2cos sin -=θθy 的值域.]33,33[-2求函数xxy cos 24sin 3++=的值域 ]333,333[+- 提示：（1）先根据参数方程三角换元，然后在利用斜率公式求取值范围。
九、三角函数中的值域问题1函数2()sin 3cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( 32 )2 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为]3,3[-3已知函数2π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围。
302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，提示：（1）这是三角函数b x A y ++=)sin(ϕϖ在某区间上的取值问题。
十、基本不等式求最值问题1已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为 22 。
2 已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 ),9[+∞ 。
3若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是______332_______。
提示：（1）基本不等式形式中主要有：)0,0(,2>>≥+b a ab b a ，)0,0(,2<<-≤+b a ab b a 。
（2）222)2(,2b a ab ab b a +≤≥+ 十一、双绝对值中的取值范围1 求函数31---=x x y 的值域 ]2,2[-2 已知函数52---=x x y 的值域 ]3,3[-3 若不等式a x a x ≥-+-2对任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围]3,(-∞提示：（1）双绝对值是分段函数的另一种形式，],[,b a b a y b x a x y +--∈---=。
（2）三角不等式b a b x a x b x a x -≥+-+≥+++)()( 十二、构造法求函数的值域 1求函数5413622++++-=x x x x y 的值域 ),43[+∞2函数22()ln(11)f x x x x x =++-+的值域为 (),0-∞ . 3 函数 11--+=x x y 的值域 ]2,0(提示：第1,2题将构造成两点间的距离；第3题构造成双曲线。
十三、利用导数求函数的最值1求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值。
2和-122 已知函数x x x f -=ln )(的最大值 -1 3设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++，求)(x f 的最大值2ln 提示：上述用导数研究函数的单调性，先求导，再求极值点，然后通过函数的单调性求最值。
习题一、求下列函数的值域1 ]2,1[,1)(∈+=x x x f2 ]2,1[,2)(∈=x x f x3 ]2,1[,log )(2∈=x x x f4 ]4,0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 5 ]2,0[,cos sin 3)(π∈+=x x x x f 6 ]1,1[),3(log )(2-∈+=x x x f 7 ]4,1[,32)(2-∈--=x x x x f 8 ]2,1[,2log )(2∈+=x x x x f 9 ]2,1[,log )(2∈=x x x f二、有关函数的值域问题1 已知函数]4,1[,12∈+=x x y 的值域为 ]9,3[ 2已知函数12+=x y 的值域为 R3已知函数x y 2=的值域为 0≠y 4已知函数14+-=xy 的值域为 1≠y5函数322+--=x x y 的值域为（ ]4,(-∞ ） 6函数2122y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的值域为（ ),2[+∞- ） 7已知函数322+-=ax x y 在]4,1[的最大值为11，求a 的值 8函数12+=-xy 的值域为（ ),1(+∞ ） 9函数x xy 22+=-的值域为（ ),2[+∞ ）10函数xxy --=22的值域为 R11函数3)21(+=xy 的值域为（ ]4,2( ） 12函数4)2(-=xy 的值域为（ ),3[+∞- ） 13函数2)2(-=xy 的值域为（ ),2(+∞- ） 14函数3)2(+-=x y 的值域为（ )3,(-∞ ）15已知函数4424+-=x x y 在]4,1[上的最值16已知函数16224++=x x y 在]4,1[上的最大值与最小值的和17已知函数2cos 3sin -+=x x y 的值域为]0,4[- 18函数21y x x =++______[2,)-+∞___。
19函数xy 232-=的值域是( )32,(-∞ ). 20函数]4,0(,log 2∈=x x y 的值域是( ]2,(-∞ ). 21函数x y 2log =的值域是( R ).22函数]8,4(,4)(log 2∈+=x x y 的值域是( ]7,6( ). 23函数x y 416-=的值域是( )4,0[ ). 24函数x y 216-=的值域是( )4,0[ ). 25函数()()2log 31x f x =+的值域为()0,+∞ 26函数)43(log 2+=xy 的值域是( ),2(+∞ ). 27函数)64(log 22++=x x y 的值域是( ),1[+∞ ). 28函数)64(log 221++=x x y 的值域是( ]1,(--∞ ).29函数]3,0(,22∈+=x xx y 的值域是( ),4[+∞ ). 30已知,1,0,=+>b a b a 求ba 41+的最小值931已知y x ,，满足1422=++xy y x ，求y x +2的最大值 5102 32求函数11--+=x x y 的值域 ]2,0(33求函数2)1(12+-++=x x y 的值域 ]21,0[+34求函数12243++-=x x x x y 的值域]41,41[-。