变差函数

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有界变差函数有界变差函数

i =1
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i

精细变差函数分析及应用文献综述

精细变差函数分析及应用变差函数作为一个分析区域化变量随机性和结构性特征的有效工具，自引入到地质学中以来，一直受到人们的重视。

在很多领域，它甚至可以独立于地质统计学方法之外，单独供人们进行分析研究时使用。

本文将系统介绍变差函数的原理、研究方法及应用现状。

定义变差函数较为普遍的定义是:变差函数为区域化变量的增量平方的数学期望，也就是区域化变量的增量的方差。

我们将区域化变量的增量的方差的一半称之为半变差函数，但由于我们通常要用到的都是半变差函数，而不是变差函数，所以，出于方便的考虑，很多学者直接将半变差函数称之为变差函数。

首先，研究对象时区域化变量。

区域化变量是地质统计学研究的对象，它是一种在空间上具有数值的实函数(G Matheron)，也就是说，它在空间的每一个点取一个确定的数值，即当由一个点移到下一个点时，函数值是变化的。

在地质、采矿领域中许多变量都可看成是区域化变量：资源储量、储层厚度、地形标高、矿石内有害组分含量、岩石破碎程度、孔隙度、渗透率、泥质含量等。

有的是二维的，有的是三维的。

区域化变量正是地质统计学研究的对象，而可以作为区域化变量的上述变量都可以利用变差函数进行研究。

其次，数学方法是增量的方差。

变差函数是在任一方向α，相距|h|的两个区域化变量值Z(x)及Z(x+h)的增量的方差（Ｚ(ｘ+ｈ) -Ｚ(ｘ)的一阶矩和二阶矩仅依赖于点ｘ+ｈ和点ｘ之差ｈ，即Ｚ(ｘ)为二阶平稳或满足内蕴假设），它是h 和α的函数，其通式为： })]()({[21)}()({21),(2h x Z x Z E h x Z x Z Var h +-=+-=αγ 从公式所示的公式我们可以看到，变差函数的实际意义是，它反映了区域化变量在某个方向上某一距离范围内的变化程度。

正因为它的这一性质，我们可以利用实验变差函数帮助我们解决实际研究应用过程中的问题。

原理在实际应用中，样品的数目总是有限的。

把由有限实验样品值构成的变差函数称之为实验变差函数，记为γ*(h)2)(1)]()([)(21)(*h x Z x Z h N h i i h N i +-=∑=γ 通过对有限实验样品分析所得的实验变差函数进行分析从而研究区域化变量的分布特征和预测某位置的变量值。

《有界变差函数》课件

3
应用范围
讨论有界变差函数分解的应用范围和实际意义。
Jordan-Hahn分解定理
详细介绍Jordan-Hahn分解定理的数学原理、证明和应用。
有界变差函数的勒贝格分解
探讨有界变差函数的勒贝格分解，讨论勒贝格分解的性质和应用。
勒贝格分解的性质
性质1
介绍勒贝格分解的第一个重要性质。
性质2
介绍勒贝格分解的第二个重要性质。
示例
提供几个具体的有界函数的例子，以便更好地理解该概念。
性质
简要介绍有界函数的一些基本性质，例如函数图像的特点。
变差函数的定义及示例
定义
定义变差函数，它描述了函数在给定区间上的波动情况。
示例
通过具体的例子展示变差函数的计算和应用方法。
有界变差函数的定义
1 定义
给出有界变差函数的数学定义，它是有界函数和变差函数的结合。
典型的有界变差函数
正弦函数
探讨正弦函数作为典型的有界变差函数的特性。
阶梯函数
详细解释阶梯函数作为有界变差函数的具体用法和特点。
锯齿波
介绍锯齿波作为有界变差函数的一种典型形态。
阶梯函数的分类
1 分类方法
介绍不同类型阶梯函数的分类方法和区别。
2 示例
提供几个具体的阶梯函数的例子，以便更好地理解该概念。
介绍有界变差函数的恒等式和命题，以及它们在数学推理中的应用。
应用-函数逼近
讨论有界变差函数在函数逼近领域中的应用和作用。
应用-泛函分析
介绍有界变差函数在泛函分析中的应用和意义。
数学证明
给出绝对连续函数与有界变差函数之间关系的数学证明。
有界变差函数的傅里叶级数表示

变差函数的概念与计算分析

变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。

它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。

本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。

一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。

通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。

如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。

二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。

其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。

2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。

（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。

（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。

（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。

（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。

三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。

换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。

为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。

1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。

变差函数的编程名词解释

变差函数的编程名词解释在编程中，我们常常使用变差函数（Variadic Function）来解决需要对数量不定的参数进行操作的问题。

它是一种特殊的函数，能够接受任意数量的参数，并对这些参数进行处理。

一、什么是变差函数（Variadic Function）？变差函数是一种可以接受不定数量参数的函数。

它的参数个数可以是任意的，这使得程序员能够更加灵活地处理不同数量的输入。

在许多编程语言中，如C、C++、JavaScript和Python等，都支持变差函数的使用。

二、如何定义变差函数？定义变差函数的方式是在函数参数列表中使用省略符号（...）来表示参数的个数不定。

以C语言为例，函数原型可以写为：```cint sum(int count, ...);```在这个例子中，count表示参数的数量，...表示接受任意数量的参数。

三、如何在函数中处理变差函数的参数？为了在函数中处理变差函数的参数，我们需要使用特定的技术。

在C语言中，我们使用stdarg.h头文件提供的宏来实现。

具体步骤如下：1. 使用va_list声明一个变量，该变量将在函数中存储参数信息。

2. 使用va_start宏初始化该变量。

3. 使用va_arg宏依次获取参数的值。

需要注意的是，这些参数的类型必须是在函数声明中指定的类型。

4. 使用va_end宏结束对参数的处理。

以下是一个简单的例子，演示了如何使用变差函数计算不定数量整数的和：```c#include <stdarg.h>int sum(int count, ...) {va_list args;int total = 0;va_start(args, count);for (int i = 0; i < count; i++) {total += va_arg(args, int);}va_end(args);return total;}```通过这个例子，我们可以看到变差函数的灵活性，它允许我们在不同的调用中传递不同数量的参数，并根据需求进行处理和计算。

地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2011

证：性质④
Ck’k(-h) =E[Zk’(x-h)Zk(x)]-mk’mk 令：y=x-h, 则x=y+h 代入上式得： Ck’k(-h) =E[Zk(y+h)Zk’(y)]-mk’mk= Ckk’(h) 因E[Zk(y+h)Zk’(y)]不一定等于E[Zk’(y+h)Zk(y)] ，故Ckk’(h)不一定等于 Ck’k(h) ，即交叉协方差函数Ckk’(h)对h和（-h）无对称性，这是较特殊的情况。因此，在两个变量出现迟后效应时，应采用交叉协方差函数进行研究。
证：性质⑤
2 k k (h ) = zk (x + h ) - z k (x )zk (x + h ) - zk (x )
= zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk = zk (x + h ) - mk z k (x + h ) - mk - z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk = zk (x + h )z k (x + h ) - mk mk - z k (x + h )z k ( x ) - mk mk = Ck k (0) - Ck k (h ) - Ckk (h ) + Ckk (0) = 2Ck k (0) - Ck k (h ) + Ckk (0) - zk ( x + h )z k (x ) - mk mk + z k (x )zk (x ) - mk mk - z k (x ) - mk z k (x + h ) - mk + z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk

变差函数

1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。

变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。

这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。

通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。

1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。

计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。

Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。

Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。

Transition曲线类型。

常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。

Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。

Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。

变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。

Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。

描述了两个不相干的样本间的差异性。

当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。

Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。

由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。

1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。

搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。

由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。

1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。

《数学变差函数》课件

举例说明
例如，分段常函数和阶梯函数都属于下半连续变差函数。
计算实例
计算下半连续变差函数的变差值和变差系数。
四、全变差函数
1
定义及性质
全变差函数是指在给定区间上，函数值无论是从上方还是从下方变化，总存在有限的变差值。
2
举例说明
例如，绝对值函数和分段线性函数都属于全变差函数。
3
计算实例
计算全变差函数的变差值和变差系数。
二、上半连续变差函数
1
举例说明
2
例如，阶梯函数和分段线性函数都属于上
半连续变差函数。
3
定义及性质
上半连续变差函数是指在给定区间上，函数值只从上方变化，变化过程可以包含跳跃。
计算实例
计算上半连续变差函数的变差值和变差系数。
三、下半连续变差函数
定及性质
下半连续变差函数是指在给定区间上，函数值只从下方变化，变化过程可以包含跳跃。
五、变差函数与控制理论
变差函数的应用
变差函数在信号处理、时间序列分析和最优控制等领域具有广泛的应用。
变差函数在控制理论中的应用
通过对变差函数的分析和设计，可以实现系统控制和优化。
控制理论中的例子分析
以PID控制器和模糊控制为例，探讨变差函数在控制理论中的具体应用。
六、总结
1 变差函数的重要性
2. 李四, 《控制理论与应用》，机械工业出版社，2019。
3. 王五, 《信号与系统导论》，清华大学出版社，2021。
变差函数是数学分析和控制理论中重要的概念，具有广泛的应用价值。
2 变差函数的简单应用
通过对变差函数的了解，可以应用于实际问题的分析和设计中。

变差函数的概念与计算分析

变差函数的概念与计算谷跃民编写在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。

一、变差函数的基本概念在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，用Y轴表示方差，可以从区域变量抽取的样本值中计算归纳出来，见图1，它通过变程来反映变量的影响范围，V(h)为变差函数值，Lag(h)为滞后距。

变差函数可以用四个参数来描述：1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示后距的增加变差（方差）变化的快慢，在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。

二、变差函数的估算与拟合1、变差函数的计算公式与估算变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：h为滞后距。

如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：i为样本序号。

2、变差函数的估算示例为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。

有界变差函数空间

有界变差函数空间
一、引言
在实分析中，有界变差函数空间是一个非常重要的概念。

它是由有界
变差函数构成的空间，具有很多重要的性质和应用。

本文将详细介绍
有界变差函数空间的定义、性质、范数等相关内容。

二、定义
1. 有界变差函数
有界变差函数指的是定义在实数轴上的一类函数，具有以下两个特征：（1）函数值在任意点都存在；
（2）函数在每个区间上都是有界变差的，即其总变差存在且有限。

2. 有界变差函数空间
有界变差函数空间BV指的是所有实数轴上的有界变差函数构成的集合。

其中，BV[a,b]表示[a,b]区间上所有有界变差函数构成的集合。

三、性质
1. BV是一个线性空间。

2. BV中每个元素都可以表示为一个连续递增或递减的分段线性函数与一个跳跃式函数之和。

3. BV中每个元素都可以表示为正部分与负部分之和。

4. BV中每个元素都可以表示为单调递增或递减的连续可微分函数与一个跳跃式函数之和。

四、范数
BV空间中常用的范数是全变差范数，定义为：
||f||_BV = |f(a)| + TV(f)，其中a为定义域上的任意一点，TV(f)表示函数f在定义域上的总变差。

五、应用
1. BV空间在偏微分方程中有广泛的应用。

2. BV空间在图像处理中也有重要的应用。

3. BV空间是测度论中测度与积分理论研究的一个重要对象。

六、结论
有界变差函数空间BV是一个非常重要的概念，具有很多重要的性质和应用。

本文详细介绍了BV空间的定义、性质、范数以及应用。

对于深入理解实分析和偏微分方程等领域有很大帮助。

第二节有界变差函数

性质2 若 f , g都是[a, b]上的有界变
差函数，则对任意常数 a, , af g
也是 [a, b] 上的有界变差函数，且
Vab (af g) | a |Vab ( f ) | |Vab (g)。
证明：设 : a x0 x1 xn b为 [a, b]的任一分划，则
进而 Vab ( f ) Vac ( f ) Vcb ( f )，任由
的任意性得 Vab ( f ) Vac ( f ) Vcb ( f )，所以
Vab ( f ) Vac ( f ) Vcb ( f )，证毕。
性质7 若 {gk }是[a, b]上的有界变差函数列，{Vab (gk )} 是有界数列，且 gk (x) 处处收敛到 g(x)，则 g 也
Vab ( f ) Vcd ( f )，
特别地，也 f 是 [c, d ] 上的有界变
差函数。
证明：任取 [c, d ] 的一个分划
: c x0 x1 xn d，对应到 [a, b] 的一个分划 ~ : a ~x0 ~x1 x0 ~x2 ~xn1 xn ~xn2 b，于是V (, f ) V (, f ) Vab ( f )，进而 Vcd ( f ) Vab ( f )，证毕。
是 [a, b]上的有界变差函数，且
Vab (g) sup Vab (gk )。
k
证明：记 M sup Vab (gk )，任取 [a, b]
的一个分划

n
:
a
k

x0

x1

xn

b
，则
V (, g) | g(xi ) g(xi1) |

变差函数的概念与计算分析

变差函数的概念与计算分析变差函数是指在一个给定区间上具有有限变差的函数。

它在数学分析中是一个重要的概念，用于描述函数在给定区间内的振动情况。

变差函数提供了一种度量函数的不连续性和波动性的工具，它与导数和积分一样重要，对于研究函数的特性和性质有着重要的作用。

在数学上，给定一个实函数f(x)在区间[a,b]上有定义，f(x)的变差V(f,[a,b])定义为：V(f,[a,b]) = sup{ ∑，f(xi+1) - f(xi)， }其中，{xi}是[a,b]上的任意分割，sup代表上确界。

简单来说，就是对于所有可能的分割，找出其中使得相邻两点之间的差的绝对值之和达到最大的分割，然后将差的绝对值之和定义为函数的变差。

通过变差函数的计算分析，我们可以得到一些重要的结论。

1.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则V(f,[a,b])=0。

也就是说，连续函数的变差为0。

2.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递增函数，则V(f,[a,b])=f(b)-f(a)。

也就是说，递增函数的变差等于函数在两个端点之间的差。

3.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递减函数，则V(f,[a,b])=f(a)-f(b)。

也就是说，递减函数的变差等于函数在两个端点之间的差的相反数。

4.对于一般的函数而言，如果我们将区间[a,b]分割成若干个子区间，分别计算每个子区间内函数的变差，然后将它们相加，得到的值一定大于等于整个区间上函数的变差。

这个结论称为变差函数的可加性。

变差函数的计算分析可以用于研究函数的不连续性和波动性质。

当变差函数的变差较大时，说明函数在给定区间上具有较大的波动，而变差较小则表示函数相对平滑。

在实际应用中，变差函数经常用于研究信号处理、波动分析以及优化问题等领域。

总之，变差函数是一种重要的数学工具，用于度量函数在给定区间上的不连续性和波动性。

通过变差函数的计算分析，可以得到函数在给定区间上的波动情况，进而揭示函数的一些重要特性。

【免费下载】变差函数的概念与计算分析

如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：i为样本序号。

变差函数和结构分析

国外杂志

International Association for Mathematical Geology ( IAMG ) Mathematical Geology Computers&Geosciences Natural Resources Research Geoderma
空间信息统计的研究内容
本征假设和二阶平稳假设期望条件比较

二阶平稳假设第一条强于本征假设
E[Z ( x)] m E[Z ( x) Z ( x h)] 0
? E[ Z ( x) Z ( x h)] 0 E[ Z ( x)] m

期望不存在的概率密度函数
1 f ( x) (1 y 2 )
C (0) E[ Z ( x)]2 {E[ Z ( x)]}2 E[ Z ( x)]2 m 2 C (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] E[ Z ( x)]E[ Z ( x h)] E[ Z ( x) E ( x h)] m 2
Var[ Z ( x) Z ( x h)] 2[C (0) C (h)]
这就要求随机函数Z(x)的各阶矩都存在，且平稳。在实际中通常采用二阶平稳假设，即要求区域化变量的一、二阶矩存在并平稳。本征假设本征假设（来自个要点） 1. 在整个区域内有

E[Z ( x) Z ( x h)] 0
2. 增量z(x)-z(x+h)的方差函数存在且平稳
Var[ Z ( x) Z ( x h)] E[ Z ( x) Z ( x h)]2 {E[ Z ( x) Z ( x h)]}2 E[ Z ( x) Z ( x h)]2 2 ( x, h) (h)

变差函数

C0:块金效应，它表示h很小时两点间的样品的变化。

可以为0，称为无块金效应。

a:变程，当h<a 时，任意两点间的观测值有相关性，并且相关程度随距离的变大而减小。

当h>a时，样品间就不存在相关性。

a的大小反映了研究对象(如油藏)中某一区域化变量(如孔隙度)的变化程度，可以用在a范围以内的已知信息对待估区域进行预测。

C＝C0+C1，称为总基台值。

C1:基台值，是先验方差与块金效应之差c=C-C0
A variogram with no range is shown in image a, image b has an intermediate range, and image c has a long range. Images d, e,and f show the effect of increasing nugget effect. Image d shows the effect of no nugget effect, or no short scale variability, image e shows an intermediate amount of nugget effect, and image f shows pure nugget effect, or complete short scale variability.
球状模型图示。

实变函数课件有界变差函数5

x1
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习题选讲（p178）
b
而对于[x1,b]的分划0：x1 b,有 | f (b) f (x1) | V ( f ) M
x1
| f (x1) || f (b) | M
n
| f (xi ) f (xi1) | | f (b) | M | f (a) | M i 1 b
n
V(,g ) |g(xi ) g(xi 1) |
i 1 n
lim
k
|
i 1
g k(xi )
g k(xi 1) |
lim
k
Vab(g
k
)
M
所以Vab(g ) supVab(g k ) ，证毕。 k
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三. 有界变差函数的类型
f
类型1：有界闭区间上的有限单调函数都是有界变差函数。
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二. 有界变差函数的性质
性质6 设 f 是[a,b]上的有界变差函数，c 是(a,b )内任一数，则(p150Th2(1))
Vab(f ) Vdc(f ) Vcb(f ) 。
证明：由全变差定义，对任意 0，可以找到分划 1 : a x0 x1 xn c 及分划 2 : c y 0 y1 y m b ，
f (x) g(x) h(x)。由Lebesgue定理( p143)知增函数g(x)和h(x)存在导数
g ' (x)和h' (x) a.e. 于[a,b]
所以f ' (x) [g ' (x) h' (x)] 存在 a.e. 于[a,b]。
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第五章第四节 4.4 有界变差函数

i=1 i=1 n n
≤ MV ( f ) + MV (g)
b a b a
故 Vab ( fg) ≤ MVab ( f ) + MVab (g))，证毕。
第四节有界变差函数性质4 上的有界变差函数，性质若 f 是 [a, b]上的有界变差函数，是常数。且 Vab ( f ) = 0，则 f 是常数。证明：若 f 不为常数，则存在 x0∈[a, b] 使得 f (x0 ) ≠ f (a) 或 f (x0 ) ≠ f (b)，作 [a, b] 的分划 : a ≤ x0 ≤ b，则 V (, f ) ≠ 0，这与
这与 | f (xn ) | →∞矛盾，故必为有界函数，证毕。
第四节有界变差函数性质2 性质若 f , g都是 [a, b]上的有界变差函数，差函数，则对任意常数 a, β, af + βg 上的有界变差函数，也是 [a, b] 上的有界变差函数，且
V (af + βg) ≤ | a | V ( f ) + | β | V (g)。
第四节有界变差函数 (1) Fubini定理问题2：跳跃函数的导数是什么？问题：跳跃函数的导数是什么？推论1(Fubini) 设 { fn}是 [a, b] 上的推论单调增加有限函数序列，且单调增加有限函数序列，
∑f
n=1
∞
n
在
[a, b] 上处处收敛到有限函数 f ，则
f ' = ∑ fn ' a.e.[a, b]。
x ∈(a, b +1]，令 f (x) = f (b)，并令
1 f (x + ) f (x) n ， n (x) = 1 n
它是Riemann可积函数，而且 n (x) ≥ 0。

§5.2 有界变差函数

因此
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的.■ 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
x1
x2
0
x0 +δ
(7)
由于 {t i }i =1 是区间 [t1 , x0 + δ ] 的一个分割, 因此
n
∑
i =2
n
f (t i ) − f (t i −1 ) ≤ V ( f ).
t1
x0 + δ
(8)
利用(7),(8)两式, 我们有
V (f)= V (f)− V (f) x x
0 0
t1
x0 +δ
x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时 ,
f ( x) − f ( x0 ) < ε .
n
取区间 [ x0 , x0 + δ ] 的一个分割
x0 = t 0 < t1 < " < t n = x0 + δ , 使得
∑
i =1
f (t i ) − f (t i −1 ) > V ( f ) − ε. x
i =1
n
≤ ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) + ∑ g ( xi ) − g ( xi −1 ) ≤V ( f ) +V ( g ). a a
因此 f + g 是 [a, b] 上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故 (iii) 得证. 往证 ( v) 成立. 对 [a, c] 的任一分割 {xi }i =0 和 [c, b] 的任一分割 {xi′}i =0 , 将它们合并后

变差函数拟合

变差函数拟合
变差函数是数学中的一个重要概念，它在拟合问题中起着关键作用。

通过对数据进行拟合，我们可以找到一个变差函数，从而更好地描述数据之间的关系。

下面我将以一个实际案例来说明变差函数拟合的过程和意义。

假设我们有一组关于某城市房价的数据，我们想要找到一个函数来描述房价与其他因素之间的关系。

为了达到这个目的，我们可以使用变差函数拟合方法。

我们需要收集一些数据，比如房子的面积、位置、楼层等因素，以及对应的房价。

然后我们可以使用变差函数拟合的方法来找到一个可以最好地拟合这些数据的函数。

变差函数拟合的过程可以简单描述如下：首先，我们假设一个初始的函数形式，然后利用数据点与该函数之间的差距来调整函数的参数。

通过迭代的过程，我们可以逐渐优化这个函数，使其更好地拟合数据。

在实际操作中，我们可以使用各种数学工具和算法来实现变差函数的拟合。

比如，最小二乘法是一种常用的拟合方法，它可以通过最小化拟合函数与数据之间的平方差来确定函数的参数。

拟合完成后，我们可以使用这个函数来预测房价。

通过输入房子的面积、位置和楼层等因素，我们可以得到一个预测的房价范围。

这
对于房地产行业和投资者来说具有重要意义，可以帮助他们做出更明智的决策。

总结一下，变差函数拟合是一种重要的数据分析方法，可以帮助我们找到一个合适的函数来描述数据之间的关系。

通过拟合出的函数，我们可以预测和分析数据，并做出相应的决策。

在实际应用中，变差函数拟合被广泛应用于各个领域，如金融、医疗和工程等。

它可以帮助我们更好地理解和利用数据，为我们的生活和工作带来更多的便利和效益。

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