2020年秋高二数学期末模拟试卷及答案

2020年秋高二年级数学期末模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：

恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是()

A. p与q

B. l与m

C. q与l

D. l与n

【答案】B

【解析】解：任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；

q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；

m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，

在A中，p与q不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，l与m即不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B正确；

在C中，q与l不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错误；在D中，l与n能同时发生，不是互斥事件，故D错误．

故选：B．

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.已知集合A={a,1}，B={a2,0}，那么“a=−1”是“A∩B≠⌀”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】解：当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，即充分性成立，

若A∩B≠⌀，则a2=1或a2=a，即a=1或a=−1或a=0，

当a=1时，A={1,1}不成立，

当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，

当a=0时，B={0,0}不成立，综上a=−1，

即“a=−1”是“A∩B≠⌀”的充要条件，

故选：C．

根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．

3. 利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，

余下的每个个体被抽到的概率为1

3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )

A. 1

4

B. 1

3

C. 5

14

D. 10

27

【答案】C

【解析】根据题意，9n−1=13，解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=5

14．

4. 已知圆C ：x 2+y 2−8x +15=0，直线y =kx +2上至少存在一点P ，使得以P

为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是( )

A. [−3

5,1]

B. [−5

4,1]

C. [−4

3,0]

D. [−5

3,0]

【答案】C

【解析】解：问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2， ∴

√k 2+1

≤2，解得−4

3≤k ≤0，

故选：C ．

问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．

5. 已知在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，

AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，则AC′的长为( )

A. 5√2

B. 5√3

C. √58

D. √53

【答案】D 【解析】 【分析】

本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是解决问题的关键，属中档题．

可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，开方可得．

【解答】

解：在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，

AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°， 可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2

=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2

+AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2

+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

=32+42+52+2(−3×4×12+3×5×1

2+4×5×0)=53， 故AC ′的长等于|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√53． 故选：D ．

6. 某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位

数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x +2y 的值是

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

【答案】A 【解析】 【分析】

有数据的中位数为12，能推导出x +y 以及平均数，要使总体方差最小，只要(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2最小即可，

本题主要考查利用茎叶图整理、分析，数据估计、推断数据的能力，属于中档题． 【解答】

解：由题可知该十个数据的中位数为12，