(共创)考研数学一模拟试卷
考研数学一(选择题)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )A．m＋nB．－(m＋n)C．n－mD．m－n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m 所以应选C．知识模块：行列式2．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：向量3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．知识模块：高等数学4．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( ) A．不可导。
B．可导且f’(0)≠0。
C．取得极大值。
D．取得极小值。
正确答案：D解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。
从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。
而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。
知识模块：高等数学6．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1α1+k2α2+…+ks αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s．又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D．知识模块：向量8．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：综合9．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)＝(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C．因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A＝(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)＝r(AC)＝r(AC)＝r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)＝r(C)＝3，因此应选C．知识模块：向量10．曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )A．1倍．B．2倍．C．3倍．D．4倍．正确答案：A解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学11．设f(x)=，F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt＋∫1x(2－t)dt=，选(B)．知识模块：高等数学12．已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．知识模块：向量代数与空间解析几何13．设级数收敛，则必收敛的级数为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。
考研数学(数学一)模拟试卷306(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷306(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是( )A．设存在X>0，在区间(X，+∞)内f’(x)有界，则，f’(x)在(X，+∞)内亦必有界．B．设存在X＞0，在区间(X，+∞)内f(x)有界，则f’(x)在(X，+∞)内亦必有界．C．设存在δ＞0，在区间(0，δ)内f’(x)有界，则f(x)在(0，δ)内亦必有界．D．设存在δ＞0，在区间(0，δ)内f(x)有界，则f’(x)在(0，δ)内亦必有界．正确答案：C解析：C的证明．因为在(0，δ)内f’(x)有界，所以存在M>0，当0＜x＜δ时，｜f’(x)｜≤M．对于区间(0，δ)内的任意x，另取同定的x0∈(0，δ)，有｜f(x)｜=f(x)－｜f(x)+f(x0)｜≤｜f(x)一f(x0)｜+｜f(x0)｜=｜f’(ξ)(x一x0)｜+f(x0)｜＜Mδ+f(x0)｜．所以f(x)在区间(0，δ)内有界．A的反例：f(x)=x，f’(x)=1．在区间(1，+∞)内f’(x)有界．但f(x)在(1,+∞)内无界．B的反例：在区间(1，+∞)内f(x)有界，在(1，+∞)内f’(x)无界．D的反例：在区间(0，1)内，f(x)有界．在(0，1)内f’(x)无界．2．若级数收敛，则下述结论不成立的是( )A．必收敛．B．必收敛．C．必收敛．D．必收敛．正确答案：C解析：C的反例收敛，但收敛．故C不正确．而A，B，D是正确的．因为收敛，所以从而于是｜an2｜≤｜an2｜=an2，所以A绝对收敛．又因所以绝对收敛．又因an+12)，所以绝对收敛．3．设常数则( )A．当0＜a＜1时，f(x)的最大值是B．当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(0)．C．当a≥1时，f(x)的最小值是D．当a≥1时，f(x)的最小值是、f(0)．正确答案：C解析：f’(x)=ax2一1，f’’(x)=2ax．当0＜a＜1时，为闭区间内部的唯一驻点，又因f’’(x)＞0，故为最小值．也是最小值．在两端点处，f(0)=0．现在要比较与0的大小．可见，当时为最大值，当时，，故f(0)=0为最大值．所以A、B都不正确．当a≥1时．驻点不在闭区间的内部，故在(x)是严格单州减少的，所以为最小值，选C．4．设区域其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续，等式成立的一个充分条件是( )A．f(一x，一y)=f(x，y)．B．f(一x，一y)=一f(x，y)．C．f(一x，y)=f(x，一y)=一f(x，y)．D．f(一x，y)=f(x，一y)=f(x，y)．正确答案：D解析：当C成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数．积分应为零．不选C．因题中未说类似于C，可知也不选A、B．当D成立时，f(x，y)关于x和y分别都足偶函数．将D在各个象限中的部分分别记为D1，D2．D3与D4，于是故选D．5．已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系．则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( )A．α1=一ξ2一ξ3一…一ξr，α2=ξ1一ξ3一ξ4一…一ξr，α3=ξ1+ξ2一ξ4一…一ξr，…，αr=ξ1+ξ2+…+ξr-1．B．β1=一ξ2+ξ3+…+ξr，β2=ξ1+ξ3+ξ4+…+ξr，β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr，…，βr=ξ1+ξ2+…+ξr-1．C．ξ1，ξ2，…，ξr的一个等价向量组．D．ξ1，ξ2，…，ξr的一个等秩向量组．正确答案：B解析：β1=ξ2+ξ3+…+ξr．β2=ξ1+ξ3+…+ξr．β3=ξ1+ξ2+ξ4+…+ξr,βr=ξ1+ξ2+…+}ξr-1是Ax=0的基础解系．因①由解的性质知，Aβi=A(ξ1+ξ2+…+ξi-1+ξi+1+…+ξr)=0，故βi均是Ax=0的解向量．②向量个数为r=n 一r(A)，与原基础解系向量个数一样多．③因由ξ1，ξ2，…，ξr线性无关及r≥3，有故β1，β2，…，βr线性无关，则是Ax=0的基础解系，故应选B．另外对A，当r=3时，α1=一ξ2一ξ3，α2=ξ1一ξ3，α3=ξ1+ξ2．因α1一α1+α3=一ξ2一ξ3一(ξ1一ξ3)+ξ1+ξ2=0，α1，α2，α3线性相关，故A中α1，α2，…，αr，不是Ax=0的基础解系．对C，与ξ1，ξ2，…，ξr等价的向量组，向量组个数可以超过r个(即与ξ1，ξ2，…，ξr，等价的向量组可能线性相关)．对D，与ξ1，ξ2，…，ξr等秩向量组可能不是Ax=0的解向量，且个数也可以超过r，故A，C．D均不成寺．6．设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( )A．ad—bc＜0B．b，c同号C．b=cD．b，c异号正确答案：D解析：对C，当b=c时，A是实对称阵→A～A，故C是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角阵．对A，当ad一bc＜0时，由(*)，(a+d)2一4(ad一bc)＞0．A有两个不同的特征值→A～A．故A是充分条件．对B，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a一d)2+4bc＞0．A有两个不同的特征值→A～A．故B是充分条件．对D，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a 一d)2+4bc=0时，会有二重特征值．例：b=一1，c=1，异号，有λ1=λ2=0，但r(QE—A)=1，线性无关的特征向量只有一个，，故D不是充分条件，故应选D．7．设X服从正态分布N(0，σ2)，对于任意实数μ，则下列命题正确的是( )A．P{X＞μ}=P{X≤μ}B．μX～N(0，μ2σ2)．C．X+μ～N(μ，σ2+μ2)D．P{X＜μ}=1一P{X＜一μ)正确答案：D解析：X服从正态分布N(0，σ2)，则所以选项A错误，另一方面故选项D 正确．选项B中，若μ=0，则不成立；选项C中，随机变量X作了平移变化，变换后的随机变量X+μ～N(μ，σ2)．8．设随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)，则下列给出的选项中X 与Y不独立而一定不相关的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：可以验证选项A，D中X与Y相互独立，且不相关．选项C中X与Y的边缘概率密度分别为所以f(x，y)≠fx(x).fy(y)，即X与Y不相互独立．故X 与Y不是不相关．选项B中X与Y的边缘概率密度分别为所以f(x，y)≠fx(x).fy(y)，即X与Y不相互独立．而coy(X，Y)=E(XY)一EX.EY=0，故X与Y 不相关．填空题9．设为曲线y=y(x)在区间一1≤x≤1上的弧段，则平面第一型曲线积分=__________.正确答案：解析：．因为的偶函数，所以为x的奇函数，所以所以如上所填。
考研数学(数学一)模拟试卷424(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷424(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(z)在x=0的某一邻域内有连续的四阶导数，且当x≠0时，f(x)≠0，若F(x)=在z一0点连续，则必有( )A．f’(0)=1B．f(0)=2C．f”‘(0)=3D．f(4)(0)=4正确答案：C解析：因为F(x)在x=0点连续，故有因此f”‘(0)=3，故选(C)．2．设F(x)=∫0xtf(x一t)dt，其中f(x)可导，且f(0)=0，f’(x)＞0，则y=F(x)在(0，+∞)内( )A．递增且为凹弧B．递减且为凸弧C．递减且为凹弧D．递增且为凸弧正确答案：A解析：令x—t=u，则F(x)=∫0xtf(x—t)dt=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du，F’(x)=∫0xf(x)dx，F”(x)=f(x)，因为f’(x)＞0，故f(x)单调增加，当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，所以F”(z)＞0，F’(x)＞0，故选(A)．3．设f(x，y)为连续函数，则使f(x，y)dy成立的充分条件是( )A．f(一x，y)=一f(x，y)B．f(一z，一y)=f(x，y)C．f(一x，一y)=一f(x，y)且f(一z，y)=f(x，y)D．f(一x，y)=f(x，y)且f(x，一y)=f(x，y)正确答案：D解析：此时f(x，y)既是关于z的偶函数，又是关于y的偶函数，故选(D)．4．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．可能收敛也可能发散正确答案：D解析：5．设规阶方阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组Ⅰ：α1，α2，…，αn，Ⅱ：β1，β2，…，βn，Ⅲ：γ1，γ2，…，γn，如果向量组Ⅲ线性相关，则( )A．向量组Ⅰ线性相关B．向量组Ⅱ线性相关C．向量组Ⅰ与Ⅱ都线性相关D．向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关正确答案：D解析：由|AB|=0，得|A|=0或|B|=0，故向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关，故选(D)．6．设A是秩为3的4阶矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个解．若α1+α2+α3+=(0，6，3，9)T，2α2一α3=(1，3，3，3)T，k为任意常数，则Ax=b的通解为( )A．(0，6，3，9)T+k(1，1，2，0)TB．(0，2，1，3)T+k(一1，3，0，6)TC．(1．3．3，3)T+k(1，1，2，0)TD．(一1，3，0，6)T+k(一2，0，一3，0)T正确答案：C解析：本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题．由r(A)=3，知齐次方程组Ax=0的基础解系只有一个解向量．由非齐次线性方程组解的性质，知(α1+α2+α3)一3(2α2一α3)=(α1一α2)+4(α3一α2)=(一3，一3，一6，0)T 是Ax=0的解，所以Ax=0的基础解系为(1，1，2，0)T．又2α2一α3=α2+(α2一α3)=(1，3，3，3)T是Ax=b的解，所以Ax=b的通解为(1，3，3，3)T+k(1，1，2，0)T，故应选(C)．7．设随机变量X1和X2相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是( )A．max(X1，X2)B．min(X1，X2)C．X1+X2D．X1一X2正确答案：B解析：本题考查两个相互独立的指数分布的随机变量函数的分布，是一道有一定难度的综合题．设X1，X2的分布函数为F(x)，则max(X1，X2)的分布函数为所以(A)选项错误．min(X1，X2)的分布函数为所以min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布，故应选(B)．进一步分析，由E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=，知选项(C)错误；由E(X1一X2)一E(X1)一E(X2)=0≠，知选项(D)错误．8．设总体X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0，σ2)，X1， (X)与Y1，…，Yn是分别来自总体X与Y的简单随机样本，若统计量服从t(n)分布，则=( )A．B．C．2D．4正确答案：B解析：本题考查两个正态总体的抽样分布，属于基础题．由题设，知从而填空题9．函数y=y(x)由微分方程及y(1)=0确定，则曲线y=y(x)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=一x．解析：从而斜渐近线为y=一x．10．正确答案：解析：11．设函数f(x，y)在点(0，0)处可微，且f’x(0，0)=1，f’y(0，0)=一1，则极限正确答案：1．解析：12．函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度向量gradu|M为________．正确答案：解析：13．已知三阶矩阵记它的伴随矩阵为A*，则三阶行列式正确答案：一58．解析：14．设X是离散型随机变量，其分布函数为又设Y是连续型随机变量，其概率密度为记a=P{X一1}，则概率P{y≥a)=________．正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷48(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷48(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的图形面积可表示为( )．A．一∫02x(x一1)(2一x)dxB．∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dxC．一∫01x(x一1)(2—x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD．∫02x(x一1)(2一x)dx正确答案：C解析：曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)．知识模块：高等数学2．双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为( )。
A．B．C．D．正确答案：A解析：双纽线(x2+y2)2=x2一y2的极坐标形式为r2=cos2θ，再根据对称性，有A=4×cos2θdθ，选(A)．知识模块：高等数学填空题3．设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分∫1+∞f(x)如收敛，且满足f(x)=f(x)dx，则f(x)=___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学4．设f(x)==___________．正确答案：e—1解析：知识模块：高等数学5．设f(x)二阶连续可导，且y(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf”(2x)dx=___________。
正确答案：2解析：知识模块：高等数学6．设f(x)=则∫—15f(x—1)dx=___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．=___________(其中a为常数)．正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8．设f(x)∈C[—π，π]，且f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)．正确答案：涉及知识点：高等数学9．设f(x)=∫1xdt，求∫01x2f(x)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学10．求正确答案：涉及知识点：高等数学11．求正确答案：涉及知识点：高等数学12．正确答案：涉及知识点：高等数学13．设f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2(2x)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学14．设f(x)=．正确答案：涉及知识点：高等数学15．设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学16．设f(t)=∫12dx，求∫01t2f(t)dt．正确答案：涉及知识点：高等数学17．求∫013x2arcsinxdx．正确答案：涉及知识点：高等数学18．求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．正确答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．因为f(+∞)=f(—∞)=∫0+∞(2一t)e—tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．涉及知识点：高等数学19．求正确答案：涉及知识点：高等数学20．计算．正确答案：涉及知识点：高等数学21．∫—11(2+sinx))dx．正确答案：涉及知识点：高等数学22．计算．正确答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则涉及知识点：高等数学23．设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．正确答案：令g(x)=∫axf(x)dt—∫xbf(t)dt，因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，所以g(a)=一∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．涉及知识点：高等数学24．设f(x)为连续函数，证明：正确答案：(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π—dt)f(sint)(—dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt =∫0π(π一x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx 一∫0πxf(sinx)dx =π∫0πf(sinx)dx—I，则I=∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫—ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx =2∫0πf(sinx)dx=4f(sinx)dx．(3) 涉及知识点：高等数学25．证明：．正确答案：涉及知识点：高等数学26．设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x一t)dt．正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x—t)dt=x∫0xf(t)dt一∫0xtf(t)dt=xF(x)一∫0xtdF(t) =xF(x)一tF(t)|0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．命题得证．涉及知识点：高等数学27．设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx —arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．正确答案：涉及知识点：高等数学28．设f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；(2)证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．正确答案：涉及知识点：高等数学29．设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．正确答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．涉及知识点：高等数学。
【考研】考研数学一全真模拟卷及解析
【考研】考研数学一全真模拟卷及解析考研数学一是众多考研学子面临的一大挑战。
为了帮助大家更好地备考，我们精心准备了这份全真模拟卷及详细解析，希望能对大家的复习有所助益。
一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分）1、设函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），则＼（f(f(x)）＼）为（）A ＼（＼frac{1}｛1 ＋ 2x^2 ＋ x^4} ＼）B ＼（＼frac{1}｛1 ＋2x^2} ＼） C ＼（＼frac{1}｛1 ＋ x^2} ＼） D ＼（＼frac{x^2}｛1＋ x^2} ＼）解析：因为＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），所以＼（f(f(x)）＝＼frac{1}｛1 ＋（＼frac{1}｛1 ＋ x^2}）＾2} ＝＼frac{1}｛1 ＋＼frac{1}｛（1 ＋ x^2)＾2}｝＝＼frac{1 ＋ x^2}｛1 ＋ x^2 ＋ 1} ＝＼frac{1 ＋ x^2}｛2 ＋ x^2} ＼neq\）选项中的任何一个，此题无正确选项。
2、设＼（y ＝ y(x)＼）是由方程＼（e^y ＋ xy e ＝ 0\）所确定的隐函数，则＼（y'（0)＼）的值为（）A －1B 0C 1D 2解析：对方程两边同时对＼（x\）求导，得＼（e^y ＼cdot y' ＋ y＋ x ＼cdot y' ＝ 0\）。
当＼（x ＝ 0\）时，代入原方程得＼（e^y e＝ 0\），解得＼（y ＝ 1\）。
将＼（x ＝ 0\），＼（y ＝ 1\）代入＼（e^y ＼cdot y' ＋ y ＋ x ＼cdot y' ＝ 0\），得＼（e ＼cdot y' ＋ 1 ＝0\），解得＼（y'（0) ＝＼frac{1}｛e}＼）。
3、设＼（f(x)＼）具有二阶连续导数，且＼（f(0) ＝ 0\），＼（f'（0) ＝ 1\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＼）等于（）A ＼（0\）B ＼（＼frac{1}｛2} ＼）C ＼（1\）D 不存在解析：利用泰勒公式，将＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处展开：＼（f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2) ＝ x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)＼），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)｝｛x^2} ＝＼frac{1}｛2}f'＇（0)＼）。
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：解析：知识模块：高等数学2．设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．正确答案：解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E —A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数3．设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数4．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分5．经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．正确答案：解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上．∏1：4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0，∏2：7(x+1)+8(y一2)+9(z 一3)=0，故所求直线方程为知识模块：向量代数和空间解析几何6．已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．正确答案：0解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0．由于r((A*)*)＝可见r((A*)*)＝0．知识模块：线性代数7．若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行四边形的面积S=________。
正确答案：解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。
因此，所求平行四边形的面积知识模块：高等数学8．两个平行平面∏1：2x—y一3z+2=0与∏2：2x—y一3z一5=0之间的距离是_________。
考研数学(数学一)模拟试卷501(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷501(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．f(x)﹦则f(x)在x﹦0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f﹢’(0)，f－’(0)都存在，则f(x)在x﹦0点处右连续和左连续，所以f(x)在x﹦0处连续；但f﹢’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x﹦0处不可导。
故本题选C。
本题考查函数的极限、连续与可导。
函数在某点极限存在当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且相等；函数在某点连续当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且等于函数在该点的函数值；函数在某点可导当且仅当函数在该点左导数等于右导数。
2．设I﹦，则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜KB．I＜K＜JC．J＜I＜KD．K＜J＜I正确答案：B解析：当0＜x＜时，因为0＜sin x＜cos x，所以ln(sin x)＜ln(cos x)，因此综上可知，I＜K＜J。
故本题选B。
本题考查定积分大小的比较。
本题在计算过程中会用到定积分的比较定理，即设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫abf(x)dx ≤abg(x)dx。
3．具有特解y1＝e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．－y”－y’﹢y﹦0B．﹢y”－y’－y﹦0C．－6y”﹢11y’－6y﹦0D．－2y”－y’﹢2y﹦0正确答案：B解析：由y1﹦e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1﹦－1，λ2﹦一1，λ3﹦1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ－1)(λ﹢1)2﹦0，即λ3﹢λ2－λ－1﹦0，其对应的微分方程为﹢y”－y’－y﹦0。
故本题选B。
本题考查高阶常系数齐次线性微分方程。
本题已知特解求三阶常系数齐次线性微分方程，考生可由题目已知的特解得到齐次微分方程的特征根，进而得到其特征方程，从而得到结果。
2019共创考研数学一模拟1试卷与解答
)
x
1
y
z x
z y
，求
u x
．
(17)(本小题满分 10 分)证明： x 0 ，时 ln(e2x x) 3x 5 x2 。 2
(18)(本小题满分 10 分)设两曲线积分
I1
(3xy2 x3)dx P(x y,
L
)dy 及
I2
．
1
(10)
dx
2 (x 1)3 x2 2x
。
x cos t,
(11)过点
P0
(1,
1,
2)
且与曲线
:
y
sin
t,
在点 P1(
z 2 cos t sin t
1, 2
1 , 2) 的切线平行，又与曲面 2
: 2x3 yez ln(1 z) 在点 P2 (1, 2, 0) 的法线平行的平面方程为
(6) 【答案】C
(7)【解】由于 E(XY ) E(X 3) x3(x)dx 0 ；又 E(X ) 0 ，所以 E(XY ) E(X E) Y( );
所以 Cov(X Y, ) 0 ，即不相关； 概率 P{X 1,Y 1} P{X 1, X 2 1} P{X 1} 2(1) 1 ， P{X 1} (1)
xx0
xx0
xx0
(D) lim[ f (x ) g(x )] 不存在，但 lim g(x) 存在，则 lim f (x) 不存在
xx0
xx0
xx0
(2)设 f (x) g(x) 在区间[0, 2] 上二阶可导，且 f (0) g(0) 0, f (2) g(2) 1，且 f (x) 0 ，
考研数学一(高等数学)模拟试卷275(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷275(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：显然=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．由于所以f－’(0)=0．又故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选D．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与x’是同阶无穷小，则k等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：用洛必达法则，极限存在且不为0，所以k=3，选C．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( ) A．0个B．1个C．2个D．无穷多个正确答案：B解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且F(b)=∫abf(t)dt＞0，故F(x)=0在(a，b)内至少有一个根．又所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个零点．故F(x)=0在(a，b)内仅有一个根．应选B．知识模块：一元函数积分学4．已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，则点P的坐标是( )A．(1，－1，2)B．(11，1，2)C．(1，1，2)D．(－1，－1，2)正确答案：D解析：切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1)．又由z=x2+y2可得曲线切平面的法向量(zx’，zy’，－1)=(2x，2y，－1)．令(2x，2y，－1)∥(2，2，1)，解得x=－1，y=－1，代入z=x2+y2，解得z=2．所以P点坐标为(－1，－1，2)．知识模块：向量代数与空间解析几何5．化为极坐标系中的累次积分为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由可得x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y－1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，其极坐标形式为D= 知识模块：多元函数积分学6．设区域其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续，等式成立的一个充分条件是( )A．f(－x，－y)=f(x，y)B．f(－x，－y)=－f(x，y)C．f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D．f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)正确答案：D解析：当C成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数，积分应为零，不选C，因为题中未说类似于C，可知也不选A，B．当D成立时，f(x，y)关于x和y分别都是偶函数，将D在各个象限中的部分分别记为D1，D2，D3与D4，于是故选D．知识模块：多元函数积分学7．微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如( )A．Asin2xB．Acos2xC．x(A+Bcos2x+Csin2x)D．A+x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：D解析：原方程可以写成由待定系数法可知该方程有形如(Ⅰ))的特解．知识模块：常微分方程填空题8．极限=______．正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续9．曲线v的全部渐近线为______．正确答案：x=0；和y=1解析：因为x=0为铅直渐近线；y=1为水平渐近线．知识模块：一元函数微分学10．设曲线y=y(x)在点与直线4x－4y－3=0相切，且y=y(x)满足方程则该曲线在相应x∈[一1，1]上(x，y)点的曲率为______ ．正确答案：解析：由时，p=1，得c1=0．从而在(x，y)点的曲率知识模块：一元函数微分学11．xx(1+lnx)的全体原函数为_______．正确答案：x2+C，其中C为任意常数解析：因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)连续，则[∫0xtf(x2－t2)dt]=_____．正确答案：xf(x2)解析：知识模块：一元函数积分学13．向量场A(z，3x，2y)在点M(x，y，z)处的旋度rotA=______．正确答案：(2，1，3)解析：设向量场A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则知识模块：多元函数积分学14．设由平面图形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体力的密度为1，则该旋转体＄对x轴的转动惯量为______．正确答案：解析：由题意有知识模块：多元函数积分学15．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______．正确答案：解析：由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知，无论f(x)在x=±π处是连续还是间断，其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示．因f(π－)=5，f(－π+)=x2｜x=－π=π2，故知识模块：无穷级数16．函数在[－π，π]上展开为傅里叶级数(ancos nx+bnsin nx)，则an=______ ，bn=______，和函数S(x)=______．正确答案：解析：f(x)在[－π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈(－π，π)．由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：an=0，n=0，1，2，…(在[－π，π]上，f(x)除去间断点x=0外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，知识模块：无穷级数17．设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数．则=______．正确答案：解析：傅里叶系数又由狄利克雷定理知，知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷20(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．求的最大项．正确答案：令f(x)＝(x≥1)，由f(x)＝得f’(x)＝，令f’(x)＝0得x＝e．当x∈(0，e)时，f’(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，f’(x)＜0，则x＝e为f(x)的最大点，于是的最大项为，因为，所以最大项为涉及知识点：高等数学部分2．设，求y’．正确答案：当｜x｜＜1时，；当x＞1时，y’＝1；当x＜一1时，y’＝一1；由得y在x＝一1处不连续，故y’(一1)不存在；由得，由得，因为y－’(1)≠y ＋’＋(1)，所以y在x＝1处不可导，故涉及知识点：高等数学部分3．设x＝x(t)由sint一＝0确定，求．正确答案：将t＝0代入sint一＝0得再由＞0得x＝1，两边对t求导得，从而＝e＋1，两边再对t求导得涉及知识点：高等数学部分4．设x3一3xy＋y3＝3确定y为x的函数，求函数y＝y(x)的极值点．正确答案：x3一3xy＋y3＝3两边对x求导得3x2一3y一＝0，解得，令得y＝x2，代入x3—3xy＋y3＝3得x＝一1或x＝，因为，所以x＝一1为极小点，极限值为y＝1；因为，所以x＝为极大点，极大值为涉及知识点：高等数学部分5．x＝φ(y)是y＝f(x)的反函数，f(x)可导，且f’(x)＝，f(0)＝3，求φ”(3)．正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．设f(x)连续，，且，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x＝0处的连续性．正确答案：涉及知识点：高等数学部分7．设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性．正确答案：把x＝1代入不等式中，得f(1)＝2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x一1｜，得涉及知识点：高等数学部分8．设f(x)在x＝0的邻域内二阶连续可导，，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的曲率．正确答案：涉及知识点：高等数学部分9．设且f”(0)存在，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x＝0处连续，所以c＝0，即由f(x)在x＝0处可导，得b＝1，即于是涉及知识点：高等数学部分10．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在，使得f(η)＝η；(2)对任意的k∈(一∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]＝1．正确答案：(1)令φ(x)＝f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，＞0，φ(1)＝一1＜0，由零点定理，存在η∈，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)设F(x)＝e－kx(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)＝F(η)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)＝0，整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]＝1．涉及知识点：高等数学部分11．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)＝，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f”(ξ)＝0．正确答案：由积分中值定理得f(2)＝＝f(c),其中c∈，由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)＝0．令φ(x)＝exf’(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝ex[f’(x)＋f”(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)＋f”(ξ)＝0．涉及知识点：高等数学部分12．设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜＝M．当x0＝0时，则M＝0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M＝｜f(x0)｜＝｜f(x0)一f(0)｜＝｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤｜f(ξ)｜≤，其中ξ∈(0，x0)，故M＝0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．涉及知识点：高等数学部分13．设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η＝(ea ＋eb )[f’(η)＋f(η)]．正确答案：令φ(x)＝ex f(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)＝f(b)＝1，得＝eη[f’(η)＋f(η)]，从而＝(ea ＋eb )eη[f’(η)＋f(η)]，令φ(x)＝e2x ，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝2e2ξ．即2e2ξ＝(ea ＋eb)eη[f’(η)＋f(η)]，或2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．涉及知识点：高等数学部分14．设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且＝一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)≥8．正确答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，＝一1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)＝一1，再由费马定理知f’(c)＝0，根据泰勒公式f(0)＝f(c)＋f’(c)(0—c)＋(0一c)2，ξ1∈(0，c) f(1)＝f(c)＋f’(c)(1一c)＋(1一c)2，ξ2∈(c，1)整理得涉及知识点：高等数学部分15．一质点从时间t＝0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．正确答案：设运动规律为S＝S(t)，显然S(0)＝0，S’(0)＝0，S(1)＝1；S’(1)＝0．由泰勒公式两式相减，得S”(ξ2)一S”(ξ1)＝一8→｜S”(ξ1)｜＋｜S”(ξ2)｜≥8．当｜S”(ξ1)｜≥｜S”(ξ2)｜时，｜S”(ξ1)｜≥4；当｜S”(ξ1)｜＜｜S”(ξ2)｜时，｜S”(ξ2)｜≥4．涉及知识点：高等数学部分16．设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f”(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：正确答案：由泰勒公式得f(0)＝f(x)一f’(x)x＋f”(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)＝f(x)＋f’(x)(1一x)＋f”(ξ2)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f’(x)＝．两边取绝对值，再由｜f”(x)｜≤1，得涉及知识点：高等数学部分17．设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f”(x)≠0．证明：(1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；(2)正确答案：(1)对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f”(x)∈C(－1，1)且f”(x)≠0，所以f”(x)在(一1，1)内保号，不妨设f”(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式，得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋[*361]，其中ξ介于0与x之间，而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得涉及知识点：高等数学部分18．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：由泰勒公式得涉及知识点：高等数学部分19．f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．正确答案：由泰勒公式得两式相减得f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)＝6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．涉及知识点：高等数学部分20．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有涉及知识点：高等数学部分设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．21．写出f(x)在x＝c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；正确答案：f(x)＝f(c)＋f’(c)(x—c)＋(x—c)2，其中ξ介于c与x之间．涉及知识点：高等数学部分22．证明：．正确答案：分别令x＝0，x＝1，得f(0)＝f(c)一f’(c)c＋c2，ξ1∈(0，c)，f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(c，1)，两式相减，得f’(c)＝f(1)一f(0)＋，利用已知条件，得｜f’(c)｜≤2a＋[c2＋(1一c)2]，因为c2＋(1一c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a＋．涉及知识点：高等数学部分设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．23．写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；正确答案：由存在，得f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)＝0，则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为其中ξ介于0与x之间．涉及知识点：高等数学部分24．证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得正确答案：上式两边积分得因为f(4)(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[一a，a]上积分得从而于是根据介值定理，存在ξ1∈[一a，a]，使得f(4)(ξ1)＝，或a5f(4)(ξ1)＝再由积分中值定理，存在ξ2∈[一a，a]，使得a5f(4)(ξ1)＝＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)．涉及知识点：高等数学部分25．设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．正确答案：涉及知识点：高等数学部分26．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’_(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g”(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0，由f’＋(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0；由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0，因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．令h(x)＝，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，而，所以令φ(x)＝f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ‘(x)＝f”(x)g(x)－f(x)g”(x)，所以．涉及知识点：高等数学部分27．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．正确答案：涉及知识点：高等数学部分28．设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f”(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．正确答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a ＋b)，使得两式相减得f(a＋b)一f(a)一f(b)＝[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a．因为f”(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a＋b)一f(a)一f(b)＝[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a＞0，即f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．涉及知识点：高等数学部分29．设f(x)在[a，b]上连续，且f”(x)＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1＋(1一λ)x2]≤λf(x1)＋(1一λ)f(x2)．正确答案：令x0＝λx1＋(1一λ)x2，则x0∈[a，b]，由泰勒公式得f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x—x0)＋(x—x0)2，其中ξ介于x0与x之间，因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x—x0)，于是两式相加，得f[λx1＋(1一λ)x2]≤λf(x1)＋(1一λ)f(x2)．涉及知识点：高等数学部分30．设f(x)二阶可导，且f”(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．正确答案：由，得f(0)＝0，f’(0)＝1，又由f”(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)＋f’(0)x＝x．涉及知识点：高等数学部分31．设f(x)在[0，＋∞)内可导且f(0)＝1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex (x＞0)．正确答案：令φ(x)＝e－xf(x)，则φ(x)在[0，＋∞)内可导，又φ(0)＝1，φ’(x)＝e－x (x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)＝1，所以有f(x)＜ex (x ＞0)．涉及知识点：高等数学部分32．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f”(x)＞0，取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明：f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)．正确答案：令x0＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn，显然x0∈[a，b]．因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x—x0)，分别取x＝xi(i＝1，2，…，n)，得由ki＞O(i＝1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i＝1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)，即f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)．涉及知识点：高等数学部分33．证明：当x＞0时，(x2一1)Inx≥(x一1)2．正确答案：令φ(x)＝(x2一1)lnx一(x一1)2，φ(1)＝0．故x＝1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)＝0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．涉及知识点：高等数学部分34．当x＞0时，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分35．设0＜a＜b，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分36．求由方程x2＋y3一xy＝0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．正确答案：根据隐函数求导数法，得涉及知识点：高等数学部分37．设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f’(0)＝f(1)＝f’(1)＝0．证明：方程f”(x)一f(x)＝0在(0，1)内有根．正确答案：令φ(x)＝e－x[f(x)＋f’(x)]．因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)＝0，而φ’(x)＝e－x[f”(x)一f(x)]且e－x≠0，所以方程f”(c)一f(c)＝0在(0，1)内有根．涉及知识点：高等数学部分38．设f(x)＝3x2＋Ax－3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20．正确答案：f(x)≥20等价于A≥20x3一3x5，令φ(x)＝20x3一3x5，由φ’(x)＝60x2一15x4＝0，得x＝2，φ”(x)＝120x一60x3，因为φ”(2)＝一240＜0，所以x＝2为φ(x)的最大值点，最大值为φ(2)＝64，故A至少取64时，有f(x)≥20．涉及知识点：高等数学部分39．设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝一2，f’(0)＝1，f”(x)≥0．证明：f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．正确答案：因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)＝1．当x＞0时，f(x)一f(0)＝f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)＋x，因为＝＋∞，所以．由f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＝一2＜0，＝＋∞，则f(x)＝0在(0，＋∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．涉及知识点：高等数学部分。
考研数学一(高等数学)模拟试卷64(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷64(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)二阶连续可导，，则( )．A．f(2)是f(x)的极小值B．f(2)是f(x)的极大值C．(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D．f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：A解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．知识模块：高等数学2．设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则( )．A．x=0是f(x)的极大值点B．x=0是f(x)的极小值点C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f”(x)=一4x+g(x)，f”(0)=0，f”‘(x)=一4+g’(x)，f”‘(0)=一4＜0，因为f”‘(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”‘(x)＜0，选(C)．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学4．设函数f(x)满足关系f”(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f”(0)=0，f”‘(x)=1—2f’(x)f”(x)，f”‘(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f”‘(x)＞0，再由f”(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学5．下列说法正确的是( )．A．设f(x)在x二阶可导，则f”(x)在x=x0处连续B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点正确答案：D解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．知识模块：高等数学6．设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：B解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k ＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．知识模块：高等数学7．设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．知识模块：高等数学8．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( )．A．两个极大点，两个极小点，一个拐点B．两个极大点，两个极小点，两个拐点C．三个极大点，两个极小点，两个拐点D．两个极大点，三个极小点，两个拐点正确答案：C解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x ∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．知识模块：高等数学填空题9．设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．正确答案：a=2，b=一1解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．知识模块：高等数学10．设F(x)= ∫0x (x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=___________．正确答案：解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，知识模块：高等数学11．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，[f(x)一f(x—1)]，则a=___________．正确答案：1解析：=e2a，由f(x)一f(x一1)=f’(ξ)，其中ξ介于x一1与x之间，令x →∞，由e2，即e2a=e2，所以a=1．知识模块：高等数学12．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=___________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[—1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)] =3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学13．曲线y=的斜渐近线为___________．正确答案：y=2x—4解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学一)模拟试卷381(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷381(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，则f(x)有( )．A．两个可去间断点B．两个无穷间断点C．一个可去间断点，一个跳跃间断点D．一个可去间断点，一个无穷间断点正确答案：C解析：显然x=0，x=1为f(x)的间断点．由f(0+0)=f(0—0)=0，得x=0为f(x)的可去间断点；由f(1—0)≠f(1+0)，得x=1为f(x)的跳跃间断点，应选C2．设f(x)连续，且则下列结论正确的是( )．A．f(1)是f(x)的极大值B．f(1)是f(x)的极小值C．(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D．f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B解析：因为=2，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x一1|＜δ时，有，即当x∈(1一δ，1)时，f’(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f’(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B3．函数f(x)=x2一12x+q的零点个数为( )．A．1个B．2个C．3个D．零点个数与q取值有关正确答案：D解析：令f’(x)=3x2一12=0，得驻点x1=一2，x2=2，f”(x)=6x，因为f”(一2)=一12＜0，f”(2)=12＞0，所以x1=一2为极大值点，x2=2为极小值点，极大值和极小值分别为f(一2)=16+q及f(2)=一16+q，且当f(2)=一16+q＞0，即q＞16时，f(x)=x3-12x+q只有一个零点；当f(2)=一16+q=0，即q=16时，f(x)=x3一12x+q有两个零点，其中一个为x=2；当f(一2)=16+q＞0，f(2)=一16+q ＜0，即|q|＜16时，f(x)=x3一12x+q有三个零点；当f(一2)=16+q=0，即q=一16时，f(x)=x3+12x+q有两个零点，其中一个为x=一2；当f(一2)=16+q ＜0，即q＜一16时，f(x)=x3一12x+q只有一个零点，故选D4．设正项级数发散，令Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：5．设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选D6．设A为n阶实对称矩阵，P为n阶可逆矩阵，设n维向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：(P1AP)T=PTAT(PT)-1=PTA(PT)-1，由Aα=λα，得PTAα=λPTα，从而PTA(PT)1PTα=λpTα或者(P-1AP)TPTα=λPTα，于是(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量为PTα，选B7．设事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是( )．A．AB与A+C独立B．AB与AC独立C．A与BC独立D．A+B与A+C独立正确答案：C解析：由A与BC独立，得P(ABC)=P(A)P(BC)，因为A，B，C两两独立，所以P(BC)=P(B)P(C)，于是P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，即A，B，C相互独立，选(C)．8．设X，Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，下列结论正确的是( )．A．X+Y～E(2λ)B．X～Y～E(2λ)C．min{X，Y}～E(2λ)D．max{X，Y}～E(2λ)正确答案：C解析：因为X～E(λ)，Y～E(λ)，所以Fx(x)=令Z=min{X，Y)，则Fz(z)=P{Z ≤z}=1-P{Z＞z}=1一P{X＞z，Y＞z} =1一P{X＞z}P{Y＞z}=1一[1一P(X ≤z}].[1一P{Y≤z}] =1一[1一Fx(z)].[1一Fy(z)]当z＜0时，Fz(z)=0；当z ≥0时，Fz(z)=1一e-2λz．于是Fz(z)=即Z～E(2λ)，选C填空题9．设f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=_______正确答案：解析：10．正确答案：解析：11．两容器盛盐水20L，浓度为15 g／L，现以1 L／min的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀)，从第一只容器以1L／min的速度将溶液注入第二只容器，搅拌均匀后第二只容器以1L／min的速度排出，则经过________分钟第一只容器溶液浓度为原来的一半，t时刻第二只容器含盐量为_________．正确答案：解析：设t时刻第一、二只容器含盐分别为m1(t)，m2(t)g，m1(0)=m2(0)=300g，在时间[t，t+dt]内，解得m1(t)=，由m1(0)=300，得C1=300，于是m1(t)=令m1(t)=150，得t=20ln2 min．12．设f(x)在区间[一3，0)上的表达式为f(x)=，则其正弦级数在点x=20处收敛于______．正确答案：2解析：对f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数S(x)是以6为周期的奇函数，S(20)=s(2)=一S(一2)=[f(一2—0)+f(一2+0)]=213．设A为三阶实对称矩阵，ξ1=为方程组AX=0的解，ξ2=为方程组(2E —A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．正确答案：解析：显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1=0，λ2=2，因为A为实对称阵，所以ξ1Tξ2=k2一2k+1=0，解得k=1，于是又因为|E+A|=0，所以λ3=一1为A的特征值，令λ3=一1对应的特征向量为14．设总体X～E(λ)，且X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，令S12=则E(S12)=_____．正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’－(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f’+(a)存在，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．知识模块：高等数学2．设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )·A．∫axf(t)dtB．∫－xaf(t)dtfdtC．∫－x0f(t)dt－∫x0f(t)dtD．∫－xxtf(t)dt正确答案：D解析：设φ(x)=∫－xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt+2∫0xtf(t)dt≠φ(x)，选(D)．知识模块：高等数学3．设un=(－1)nln(1+)，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：显然因为n→∞时，ln2(1+)～1／n2，而1／n2收敛，所以un2收敛，选(B)．知识模块：高等数学填空题4．正确答案：2解析：当x→0时，有1－cosax～a／2x2，则1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2，知识模块：高等数学5．设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为_______．正确答案：y=－1／π(x－ln2)解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由dx／dt=得dx／dt|t=－1=－1，则dy／dt|t=－1=－π，dy／dx|x=ln2=π，则法线方程为y=－1／π(x－ln2)；(2)当t=1时，由dx／dt=2t／(1+t2)得dx／dt|t=1=1．则dy／dt|t=1=π，dy／dx|x=ln2=π，法线方程为y=－1／π(x－ln2)，即法线方程为y=－1／π(x－ln2)．知识模块：高等数学6．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．设直线l过点M(1，－2，0)且与两条直线l1：垂直，则l的参数方程为_______．正确答案：解析：直线l1的方向向量为s1={2，0，1}×{1，－1，3}={1，－5，－2}，直线l2的方向向量为s2={1，－4，0}，则直线l的方向向量为s=s1×s2={－8，－2，1}，直线l的方程为知识模块：高等数学8．函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数最大值为_______．正确答案：6解析：函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的梯度的模，而gradu|(1，－2，2)={2x，－2z，－2y}|(1，－2，2)={2，－4，4}，方向导数的最大值为=6．知识模块：高等数学9．设f(u)连续，则d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．正确答案：－xf(x2－1)解析：∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)f(t)dt，则d／dx∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2d／dx∫0xduf(t)dt，d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dr=－xf(x2－1)．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷53(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷53(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设D：x2+y2≤16，则｜x2+y2一4 ｜dxdy等于( )．A．40πB．80πC．20πD．60π正确答案：B解析：|x2+y2一4|dxdy=∫02πdθ∫04|r2一4|rdr=2π∫04|r2—4|rdr =2π[∫02(4一r2)rdr+∫24(r2一4)rdr]=80π，选(B)．知识模块：高等数学2．设区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=sin(x+y)dxdy，则( )A．I1＞I2＞I3B．I2＞I3＞I1C．I1＜I2＜I3D．I2＜I3＜I1正确答案：B解析：由[ln(x+y)]3dxdy≤0；当≤x+y≤1时，由(x+y)3≥sin3(x+y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选(B)．知识模块：高等数学3．设平面区域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于( )．A．2π∫12rf(r)drB．2π[∫12rf(r)dr—∫01rf(r)dr]C．2π∫12rf(r2)drD．2π[∫02rf(r2)—∫01rf(r2)dr]正确答案：A解析：dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2π∫12rf(r)dr，选(A)．知识模块：高等数学4．设x2+y2≤2ay(a＞0)，则(x，y)dxdy在极坐标下的累次积分为( )．A．∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrB．∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdrC．dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrD．dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：B解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(x，y)dxdy=∫0πdθ∫02asin θf(rcosθ，rsinθ)rdr，选(B)．知识模块：高等数学5．极坐标下的累次积分dθ∫02cosθf(rcosθ，rsinθ)等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：x2+y2≤2x(y≥0)，则D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤}，选(D)．知识模块：高等数学填空题6．计算∫02dx∫x2y2dy=__________．正确答案：解析：改变积分次序得知识模块：高等数学7．计算=__________．正确答案：1—sin1解析：改变积分次序得知识模块：高等数学8．(x2+xy—x)dxay=__________，其中D由直线y=x，y=2x及x=1围成．正确答案：解析：知识模块：高等数学9．=__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学10．=__________．正确答案：解析：改变积分次序得知识模块：高等数学11．设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+(x，y)dσ，其中D由y=0，y=x2及x=1围成，则f(x，y)= __________．正确答案：xy+解析：知识模块：高等数学12．设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==__________。
考研数学一(填空题)模拟试卷125(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷125(题后含答案及解析)题型有：1.1．=___________。
正确答案：解析：对原极限进行恒等变形，即因为x→0时，ln(1+x)～x，ex一1～x，cosx一1～一x2，则有知识模块：函数、极限、连续2．设∫0yetdt+∫0ycostdt=xy确定函数y=y(x)，则dy／dx=_______．正确答案：解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得知识模块：高等数学3．设A为3阶矩阵，丨A丨=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则丨BA*丨=__________.正确答案：-27解析：A两行互换得到B，由行列式性质丨A丨=-丨B丨，故丨BA*丨=丨B*丨丨A*丨=-丨A丨.丨A丨2=-27．知识模块：综合4．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α为转置，则矩阵βαT的非零特征值为正确答案：2解析：矩阵A=βαT的秩为1. 知识模块：综合5．设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)＝，且f(1)＝4，则＝____________。
正确答案：解析：知识模块：高等数学部分6．甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜．设甲、乙每次投篮的命中率分别是P与0．5，则p=_______时，甲、乙胜负概率相同．正确答案：解析：记事件Ai表示甲在总投篮次数中第i次投中，i=1，4，7，10，…．事件Bj表示乙在总投篮次数中第j次投中，j=2，3，5，6，8，9，…．记事件A，B分别表示甲、乙取胜．事件A可以表示为下列互不相容的事件之和，即这是一个公比q=0．25(1一p)的几何级数求和问题．由于0＜0．25(1一p)＜1，该级数收敛，且若要甲、乙胜率相同，则P(A)=P(B)=0．5，即按这种游戏规则，只有当，甲、乙胜负概率相同．知识模块：概率论与数理统计7．两异面直线之间的距离为___________．正确答案：7解析：s1＝{4，一3，1}，s2＝{一2，9，2}，n＝{4，一3，1}×{一2，9，2}＝{一15，一10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：一15x一10(y ＋7)＋30(z一2)＝0，即π：3x＋2y一6z＋26＝0，知识模块：高等数学部分8．=_________．正确答案：＋C解析：知识模块：高等数学9．函数u=在点A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，—2，2)方向的方向导数为________。
考研数学(数学一)模拟试卷389(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷389(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设y=y(x)是由方程y2+xy+x2－x=0确定的满足y(1)=－1的连续函数，则=_______．A．－2B．3C．1D．2正确答案：C解析：由隐函数存在定理知，由方程y2十xy+x2－x=0确定的满足y(1)=－1的连续函数在x=1邻域必有连续的导数，将方程对x求导得2yy’+y+xy’+2x －1=0，解出y’(x)=．于是y’(1)=0选(C)．2．定积分的值等于A．πB．π／2C．π／3D．π／4正确答案：D解析：故应选(D)．3．下列等式或不等式中正确的共有A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：要逐一分析．对于①：由可知①正确．对于②：因为arctan在点x=0处无定义，不能在[－1，1]上用牛顿一莱布尼兹公式，因此②不正确．事实上故④不正确．综上分析，应选(B)．4．设z=z(x，y)由φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0所确定，其中φ对所有变量有连续偏导数，a，b，c为非零常数，且，则=_______．A．2cB．cC．3cD．4c正确答案：B解析：两边分别对x，y求偏导数得由①×a+②×b，可得5．设A是3阶矩阵，其特征值为1，－1，－2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是A．A+EB．A－EC．A+2ED．2A+E正确答案：D解析：由于｜A｜=∏λi，故A可逆A的特征值不为0．由A的特征值为1，－1，－2，可知2A+E的特征值为3，－1，－3．所以2A+E可逆．故选(D)．6．n维向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是A．秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t．B．r(Ⅰ) =r(Ⅱ)=n．C．向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价．D．向量组(Ⅰ)线性无关，向量组(Ⅱ)线性无关且s=t．正确答案：C解析：向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关．例如：向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同，故(A)不正确．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n是向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价的充分条件，不必要．例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为n．故(B)不正确．向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅰ)的极大无关组等价，向量组(Ⅱ)与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价．如果向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价，反之亦对．故(C)正确．应选(C)．注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确．7．已知随机变量，且X1与X2独立．记A={X1=1}，B={X2=1}，C1={X1X2=1}，C2={X1X2=－1}，则A．A，B，C1相互独立，A，B，C2相互独立B．A，B，C1相互独立，A，B，C2两两独立C．A，B，C1两两独立，A，B，C2相互独立D．A，B，C1两两独立，A，B，C2两两独立正确答案：D解析：由题设条件计算得P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0．5，P(A)P(B)P(C1)=0．125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0．25，P(ABC1)=0．25，P(ABC2)=0，由此验证知(D)正确．应选(D)．8．设X1，X2，…，Xn是取自正态总N(μ，σ2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为，S2，则服从自由度为n的χ2分布的随机变量是A．B．C．D．正确答案：D解析：因X～N(μ，σ2)，所以～χ2(n－1)，又因与S2独立，根据χ2分布的可加性，只需4个选项中的第1个加项服从χ2(1)分布即可．依题意，有应选(D)．填空题9．设在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=_______．正确答案：4e解析：由g(x)在点x=0处连续及g(x)=1+2x+0(x)(x→0)g(0)==1由复合函数求导法及变限积分求导法10．微分方程2x3Y’=y(2x2－Y2)的通解是_______．正确答案：=Cx，其中C≠0为常数解析：这是齐次方程．原方程变形为分离变量得积分得=ln｜x｜+C1，即=ln｜x+C1．因此，通解为=Cx，其中C≠0为常数11．函数u=xyz2在条件x2+y2+z2=4(x>0，y>0，z>O)下的最大值是_______．正确答案：2解析：用拉格朗日乘子法求解．令F(x，y，z)=xyz2+λ(x2+y2+z2－4)，解方程组=yz2+2λx=(xyz2+2λx2)=0，①=xz2+2λy=(xyz2+2λy2)=0，②=2xyz+2λz=(2xyz2+2λz2)=0，③=x2+y2+z2－4=0，④由①，②，③得y=x，z=，代入④得x=1，y=1，z=因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为u=xyz2=2．填2．12．设函数f(x)的傅氏级数的和函数为其中an=，则S(－9)=_______．正确答案：1／2(1+e)解析：f(x)应为偶函数，周期T=4(l=2)，且(*)将题设中的an表达式改写，即于是S(－9)=S(－9+8)=S(－1)=S(1)=[f(1－0)+f(1+0)]=1／2(1+e)13．已知A是3阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，如果矩阵A的特征值是1，2，3，那么矩阵(A*)*的最大特征值是_______．正确答案：18解析：因为(A*)*=｜A｜n－2A，又｜A｜=∏λi=6，所以(A*)*=6A，从而(A*)*的特征值为6，12，18，显然其最大特征值为18．14．设随机变量X，Y独立同分N(μ，σ2)，其联合密度函数f(x，y)在(2，2)处有驻点，且f(0，0)=，则(X，Y)服从的分布是_______．正确答案：N(2，2；2，2；0)解析：由于X，Y独立同分布，故f(x，y)=fX (x)．fY (y)=而f(x，y)在(2，2)处有驻点，可知μ=2．又即=2e2．得σ2=2所以(X，Y)服从正态分布N(2，2；2，2；0)解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(线性代数)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数2．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．rB．=nC．rD．＜n正确答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数3．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数是k1，k2，…，km，使得是k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C．向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…，αm中任一向量均不能由其余m一1个向量线性表示正确答案：D解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数是k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α1=，α2=线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．知识模块：线性代数4．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为零B．必有两行元素对应成比例C．必有一列是其余列向量的线性组合D．任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=一2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．A．α1+α3B．3α3一α1C．α1＋2α2＋3α3D．2α1—3α2正确答案：D解析：因为AX=0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=0α1—2α3=一2α3，故一2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3一α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1－3α2为特征值0对应的特征向量，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为可逆的实对称矩阵．则二次型XTAX与XTA－1X( )．A．规范形与标准形都不一定相同B．规范形相同仉标准形不一定相同C．标准形相同但规范形不一定相同D．规范形和标准形都相同正确答案：B解析：因为A与A－1合同，所以XTAX与XTA－1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．知识模块：线性代数填空题7．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=________．正确答案：(一1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(一1)mn=(一1)mnab．知识模块：线性代数8．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则｜(A)－1－3A*｜=________．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A－1，故｜(A)－1—3A*｜=｜4A－1－6A－1｜=｜(一2)A－1｜=(一2)4｜A－1｜=16×=8．知识模块：线性代数9．设=________．正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以，于是．知识模块：线性代数10．设A=(a＜0)，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为_________．正确答案：X=(C1，C2为任意常数)解析：因为AX=0有非零解，所以｜A｜=0，而｜A｜==一(a+4)(a一6)且a ＜0，所以a=一4．因为r(A)=2，所以r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=O，所以A 的列向量组为A*X=0的解，故A*X=0的通解为X=(C1，C2为任意常数)．知识模块：线性代数11．设方程组有解，则a1，a2，a3，a4满足的条件是________．正确答案：a1+a2+a3+a4=0解析：因为原方程组有解，所以r(A)=，于是a1+a2+a3+a4=0．知识模块：线性代数12．设A为三阶实对称矩阵，且为A的不同特征值对应的特征向量，则a=________．正确答案：3解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3—6a=0，a=3．知识模块：线性代数13．二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2＋4x2x3的矩阵为________．正确答案：解析：因为f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以A=．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学一)模拟试卷465(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷465(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，无穷小α=的阶数由高到底的次序为( )A．α，β，γB．β，γ，αC．γ，α，βD．γ，β，α正确答案：B解析：应选(B)．2．下列命题正确的是( )．A．若f(x)在x0处可导，则一定存在δ＞0，在｜x一x0｜＜δ内f(x)可导B．若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在｜x—x0｜＜δ内f(x)连续C．若存在，则f(x)在x0处可导D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且正确答案：D解析：令f(x)==0得f(x)在x=0处可导(也连续)．对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；令f(x)==0≠f(0)，所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有3．设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且f’(x)=lncosx+∫0xg(x一t)dt，=一2，则( )．A．f(0)为f(x)的极大值B．f(0)为f(x)的极小值C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)．4．当x=一2时，级数的收敛半径为( )．A．R=2B．R=4C．R=1D．R=正确答案：A解析：5．设A为可逆矩阵，令P1=，则A—1P1100AP2—1等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：P1=E23，因为Eij—1=Eij，所以Eij2=E，即P1100=E．P2=E13(4)，因为Eij—1(k)=Eij(一k)，所以P2—1=，于是A—1P1100AP2—1=P2—1，选(B)．6．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=2，λ3=4，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，令P=(一3ξ1，2ξ2，5ξ3)，则P—1(A*+2E)P等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：A*+2E对应的特征值为μ1=10，μ2=一2，μ3=0，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则一3ξ1，2ξ2，5ξ3仍然是A*+2E的对应于特征值μ1=一2，μ2=10，μ3=0的特征向量，于是有P—1(A*+2E)P=，选(B)．7．下面4个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是( )．A．X～N(5，)B．Y～U(5，7)，即区间(5，7)上的均匀分布C．Z服从指数分布f(z)=D．T服从指数分布f(t)=正确答案：B解析：8．设总体X服从标准正态分布，(X1，X2，…，Xn)为总体的简单样本，，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：填空题9．=___________．正确答案：解析：10．设函数y=y(x)由xy==___________．正确答案：一2解析：x=0代入，得y=0．11．设由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz(e，0)=___________．正确答案：解析：将x=e，y=0代入得z=1．x=zey+z两边求微分得dx=zey—zdy+(z+1)ey+zdz，将x=e，y=0，z=1代入得dz(e，0)=dy．12．y”一2y’一3y=e—x的通解为___________．正确答案：y=C1e—x+C2e3x一e—x解析：特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，则方程y”一2y’一3y=0的通解为y=C1e—x+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe—x，代入原方程得A=一，于是原方程的通解为y=C1e—x+C2e3x一e—x．13．设A为三阶实对称矩阵，α1=(m，一m，1)T是方程组AX=0的解，α2=(m，1，1一m)T是方程组(A+E)X=0的解，则m=___________．正确答案：1解析：由AX=0有非零解得r(A)＜3，从而λ=0为A的特征值，α1=(m，一m，1)T为其对应的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)小于3，｜A+E｜=0，λ=一1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2=(m，1，1一m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．14．设总体X～N(0，σx)，且X1，X2，…，X15为来自总体X的简单随机样本，则统计量=___________．正确答案：t(5)解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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5
（B） 1， 2，2 线性无关
（D） 1， 2，3 ， 1 2 线性无关
(C)合同且相似
(D)不相似也不合同
（7）设随机事件 A, B 独立， P (C ) 0 ，则下列说法正确的是（
(A). C 与 A B 不独立 (C). A C 与 B C 独立
）
(D). B 与 A C 不独立
1 2 2 （13）设 A 2 1 a （ a 为某常数） ， B 为 4 3 阶非零矩阵，且 BA=0 ，则 R( B) ______ 3 1 1
（14）设总体 X ~ N ( , ) ， X 1 , , X n 与 X n 1 是 X 的简单随机样本，且 X 与S 分别是样本 X 1 , , X n
2019 考研数学模拟试卷
2019 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试卷 （模拟 ）
考生注意:本试卷共二十三题,满分 150 分,考试时间为 3 小时.
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项 前的字母填在题后的括号里.
（1）函数 f ( x) (A) 1
2
2
( X X n 1 ) 2 的样本均值与样本方差，对统计量： C ~ F (1, n 1) ，则常数 C S2
.
3
2019 考研数学模拟试卷
三、解答题:15～23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 xe x , x 0, x ( x tan x )2 ． （15） （本题满分 10 分）设 f ( x ) ，求极限 lim f (t ) d t x 0 1 cos x, x 0.
（I） x 1 x ln(1 x ) 0 ； （II） （19） （本题满分 10 分）设 x 0 ，证明不等式：
1 1 ln 2 (1 ) ． x (1 x ) x
x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0 （20） （本题满分 11 分）已知齐次方程组 Ax 0 为 a1 x1 4 x2 a2 x3 a3 x4 0 ， B 是 2 4 矩阵， Bx 0 2 x1 7 x2 5 x3 3 x4 0
x0
．
y ( x) _________ . x tan 2 x
（11）曲线 y ln cos x, x [0,
3
] 的弧长是＿＿＿＿＿＿＿．
（12）设 :
x 2 y 2 z 2 1, 2 从 z 轴正向看上去 沿逆时针方向绕行，则 x d s ________ . x y z 1,
x( x 1)e 的无穷间断点个数为（ ）. ln x 2 1
(B) 2 (C) 3 (D) 4
1 x +1
（2 ）设函数 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内可导， g ( x) 在 x 0 的某个邻域内连续，且 lim
x 0
g ( x) 0 ，又 x
f ( x) sin x 2 g ( x t ) d t ，则（ ） ．
1
Байду номын сангаас
（16） （本题满分 10 分）求函数 z ( x y )e
2 2
x2 y 2
在集合 D {( x, y ) | x
1 1 , y } 上的极值． 2 2
x2 x x2 y 2 d , 区域 D : x 2 y 2 1, y 0 . （17） （本题满分 10 分）求二重积分 I 2 2 1 x y D
(B). A 与 B C 不独立
3 2 1 x ,0 x 2 （8）设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x ) 8 ，则 2 的数学期望为（ X 0, 其他 7 3 3 3 （A） （B） （C） （D） 8 4 8 2
）.
二、填空题:9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中的横线上.
n
发散，则 u n
2
1 n
n
u
n 1 n 1
2 n
及
v
n 1
n
均收敛 ,则
(u
n 1 n 1
vn ) 2 收敛
un vn 收敛 ,则 un 2 与 vn 2 收敛
n 1
（5）设向量组 1， 2，3 线性无关， 1 不可由 1， 2，3 线性表示，而 2 可由 1， 2，3 线性表示，则
(9) 设曲线 y f ( x) 过点 (1, 2) ，且当 x 在 x 1 处取得增量 x 是相应的函数值增量 y 的线性主部是
1 1 x x ，则曲线 y f ( ) 在 x 0 处的法线方程是： 2 1 x
（10）设 y y ( x) 满足 y y sin kx ，且 y (0) 0 ，则 lim
（A） x 0 是 f ( x) 的极小值点
0
x
（B） x 0 是 f ( x) 的极大值点
（C）点 (0, f (0)) 是曲线 y f ( x) 的拐点 （D） x 0 不是 f ( x) 的极值点，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点 （3）设函数 f (u ) 具有连续导数，函数 z z ( x, y ) 由方程式 x z yf ( z x ) 确定，则 z
（18） （本题满分 10 分）在过原点和 (1, 2) 点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一 （I）求此曲线方程； 条平行线与 x 轴及曲线围成的面积是另一平行线与 y 轴及曲线围成面积的 2 倍， （II）求曲线 y f ( x ) 与 x 轴及 x 1 围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所成的立体体积。
1 3 | X )； 2 2
（23） （本题满分 11 分）设总体 X 具有概率密度函数
c x ( 1) , x c, f ( x； ) xc 0,
4
2019 考研数学模拟试卷
其中 c 0 已知， 1 未知， X 1 , X 2 , , X n 为从该总体中抽取的一个简单随机样本。 （I）求参数 的矩估计； （II）求参数 的最大似然估计.
2
2019 考研数学模拟试卷
下列结论正确的是（ ） （A） 1， 2，2 线性相关 （C） 1， 2，3 ， 1 2 线性相关
1 2 3 1 （6）设 A 2 3 1 , B 1 3 2 1 3 (A)合同不相似 2 3 3 2 ,则 A 与 B( 2 1 (B)相似不合同 )
2 2
z z y x y
（
） ． (A) x
(B) y ) ．
(C) x
(D) y
（4）下列各项中正确的是 ( (A) 若
u
n 1
n
收敛，且 u n v n ( n 1, 2 , ) , 则
v
n 1
n
收敛
(B) 若正项级数 (C) 若 (D) 若
u
n 1
2 0 2 0 与对角矩阵相似。 a 6 T X AX 为标准形。
（22） （本题满分 11 分）设平面区域 D 由曲线 y 1/ x 及直线 y 0, x 1, x e 所围成，二维随机变量
2
（II）概率 P (Y ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布，求（I）条件密度函数 fY | X ( y | x) ； （III） E ( XY ) .
的基础解系为 1 (1, 2,3, 1) ， 2 (0,1, 2,1) ；
T T
（I） 求矩阵 B ； （II） 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，求 a1 , a2 , a3 , a4 的值； （III）求方程组 Ax 0 满足 x3 x4 所有解。
2 （21） （本题满分 11 分）已知矩阵 A 8 0 （1）求可逆变换 X CY ，化二次型 f T （2）指出 X AX 0 表示什么曲面。