向量与解析几何相结合专题复习
高考满分数学压轴题18 解析几何与平面向量相结合问题(可编辑可打印)
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。
它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C．y = D．y x = 【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【答案】A【解析】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=，所以1212F F F A c ==，1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-，结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-，设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521140823040b a a b ⋅--⋅=， 42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440b a b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【举一反三】解析几何与平面向量相结合问题1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+=，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即222222293294209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则3214e <≤，故选B ． 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】∵圆1C ：()2251x y ++=，圆2C ：()225225x y -+=， 动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则()222222010001511025391164x CM CC x y x x ⎛⎫=-=++-=+++-- ⎪⎝⎭20002510641,88,64x x x =++--≤≤()()2min2581086412 2.64CM-∴==+⨯-+-= ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由题意，故， ∵，∴为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，∵，所以，∴，∵， ∴在中，，即，所以离心率．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【答案】B【解析】解：由题意可得22222242519522a b a b c a c⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2229,5,4a b c ===，所以椭圆22:195x y C +=，设l ：1y kx =+,设1122(,),(,)A x y B x y因为23AM MB =，所以2123x x =-，由221195y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(95)18360k x kx ++-=则12212218953695k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩结合2123x x =-，联立消去21,x x 解得13k =±故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()()224322421x =-=-，又点P 在第一象限， ∴()221222x =-=-，即点P 到y 轴距离为222-．故选B ．2.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【答案】A【解析】如图所示：法1：由抛物线的焦点坐标可得122p =，所以1p =， 所以抛物线的方程为：22y x =， 设直线AB 的方程为：12x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，设A 在x 轴上方， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y my --=，可得：121y y =-①，由2AF FB =，即112211,2,22x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得122y y =-，代入①可得：2212y =， 所以222y =-12y =代入抛物线的方程可得：214x =，11x =，即(1,2)A ，12,42B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， 所以AB 的中点52,84M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22129||12424AB ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即圆的直径为94， 所以圆的方程为2252818464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令0x =，可得14244y =±+， 所以1420,4P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，1420,4Q ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以558tan 142221444MPQ ∠==+-，所以2255sin 95(214)MPQ ∠==+，法2．由法1可得AB 的中点M 的横坐标为58，半径98r =， 所以558tan 998MPQ ∠== 故选：A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A【解析】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-， ∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=， 所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【答案】A【解析】由题意可知，12(,0),(,0),0F c F c c ->，直线l 的方程为x a =-， 设直线1PF ，2PF 的倾斜角分别为αβ，，由椭圆的对称性，不妨设点P 为第二象限的点，即(,),0P a t t ->， 则tan ,tan .t t c a c aαβ==--+12F PF βα∠=-，12222222tan tan 22tan tan()=1tan tan 1t t ct c c a c a F PF t b t b t c a tβαβαβα---+-∴∠=-===++-+-2222c c b b b t t ≤==⋅，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号.122AB F F =，2a c ∴=，且满足222a b c =+，则2224c b c =+，223b c =，∴3=3c b ， 则12tan F PF ∠的最大值为33，故12F PF ∠的最大值是6π.当P 为第二或第四象限的点时，12F PF ∠的取值范围是(0,]6π；当P 为x 轴负半轴上的点时，120F PF ∠=. 综上可知，12F PF ∠的取值范围为[0,]6π，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围. 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．520,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示， 12B PB ∠为22A B 与21F B 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ,,a b c ，()()2221,,,A B a b F B c b =-=--，向量的夹角为钝角时， 222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<，又22222,0b a c a ac c =-∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解集155122e ---<<，又5101,02e e -<<∴<<，故选C ． 2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ． ()1,+∞ B ． ()1,2 C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【答案】6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题 【答案】D 【解析】根据抛物线的定义，可得,AA AF BB BF ''==， ∴2AA BB AD BF ''-==， ∴4AF BF BF +=， ∴060DAB ∠=，即直线AB 的倾斜角为60°，∴):1AB y x =-，与抛物线联立方程：)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得：(1,,3A B ⎛ ⎝⎭设()1,C m -，因为C 为圆上的点，故AC BC ⊥，()44,23,,33AC m CB m ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0AC BC ⋅=∴216403m --++=∴2403m +=∴3m =. 故选：D.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=【答案】B【解析】设()P x y ，，()()1122A x y B x y ，，，过点()0,1的直线为1y kx =+， 由OA OB OP +=得()()1212x y x x y y =++，，，直线1y kx =+代入224x y +=得()221230k x kx ++-= 则12221k x x k +=-+， 12221y y k+=+ 即221k x k =-+，221y k=+，所以()2211x y +-=，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，∴，∴，∴，即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴， ∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B【解析】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即222e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点则23AD CF ==.所以可得933(,)42A则3AF k =，所以直线AP 的方程为：33()4y x =-联立方程233()43y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 【答案】C【解析】12ON PF OM +=，故1ON OM OM PF -=-，即1MN FM =，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aOM OM F N =⊥，故22NF OM a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-=，故点N 在双曲线C 的右支上，13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得221012c b a a==+，故62b a =，故双曲线C 的渐近线方程为62y x =±，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立．又，，∴，∴，又，∴．故离心率的取值范围为．故选C．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B【解析】由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．3 B ．4 C ．3 D ．8 【答案】B【解析】由于双曲线的离心率为212c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故3b a =所以直线MN 的方程为)3y x a =+，设()[]()33,0P t t a t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B-，(A -，∵M 是线段AB的中点，∴3,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA =，∴()()52,12x y x y ---=--， ∴())521252x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1,33C ⎛- ⎝⎭，∴1315,,3332222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得, ，于是 ，,故选C.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题 【答案】C【解析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈，则点H 在12F PF ∠的角平分线上， 由点H 在直线x a =上，则H 是12PF F △的内心，由125430HP HF HF →++=，由奔驰定理（已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA ＋S △PAC ·PB ＋S △PAB ·PC ＝0.）知，1212::5:4:3HF F HF P HF P S S S =△△△,即1212111||:||:||5:4:3222F F r PF r PF r ⋅⋅⋅= 则1212::5:4:3F F PF PF =，设125F F λ=，14PF λ=，23PF λ=， 则125252F F c c λλ==⇒=，1222PF PF a a λλ-==⇒=，则5ce a ==.故选：C14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（） A ．5B ．C ．D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题 【答案】A【解析】设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2by a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ， 由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b ea a a c=-+① 由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-， 即为3322c a c a -=+，即5c a =， 所以5ce a==. 故选：A.15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2D 【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题 【答案】A【解析】如图所示，3MN FN =，FN ON ⊥，(),0F c ，渐近线:bON y x a=，即0bx ay -=，焦点F 到渐近线ON 的距离22bc bcFN b ca b ===+，则3MN b =，而OF c =，故ON a =. Rt NOF 中，tan FN b NOF ON a ∠==，Rt NOM 中， 3tan MN bNOM ON a∠==. 由渐近线对称性可知2NOM NOF ∠=∠，故22tan tan tan 21tan NOFNOM NOF NOF∠∠=∠=-∠，故2231bb a a b a ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得2213b a =， 所以222221231133a b b e a a +==+=+=.故选：A.16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：117．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离5d =所以5PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结空间向量和空间解析几何是高中数学中的重要内容，两者之间存在紧密的联系。
本文将对空间向量和空间解析几何的联系进行总结和阐述。
一、空间向量的概念和性质空间向量是空间中带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
空间向量具有以下性质：1. 平分定理：设空间向量$\overrightarrow{AB}$平分角$\angle AOC$，则有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$。
2. 共线定理：若空间向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$共线，则存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$。
3. 相反向量：对于任意空间向量$\overrightarrow{a}$，存在唯一一个向量$-\overrightarrow{a}$，使得$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。
二、空间解析几何的基本概念空间解析几何是利用坐标系统和代数方法研究空间中点、直线、平面等几何对象的学科。
其基本概念有：1. 空间直角坐标系：由三个相互垂直的坐标轴形成的坐标系。
通常用$(x, y, z)$表示空间中的点。
2. 空间直线的方程：空间直线可以用参数方程、对称方程或一般方程表示，如参数方程为：$$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$$其中$(x_0, y_0, z_0)$为直线上一点，$(m, n, p)$为方向向量。
3. 空间平面的方程：空间平面可以用点法式方程、一般方程或截距式方程表示，如点法式方程为：$$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=d$$其中$\overrightarrow{r}=(x, y, z)$为平面上一点，$\overrightarrow{n}=(A, B, C)$为法向量，$d$为常数。
高考数学解析几何和向量的结合专题
解析几何与向量的结合问题专题1.教学目标1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力；3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。
2.教学重点、难点2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力；2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。
3.教学过程喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。
但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。
试卷上刚做过得一题：例1：已知双曲线C ：),0,0(122>>=-n m ny m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。
若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r，求直线l 的斜率；3.1学生分析题目 站在学生角度分析：（1）学生看到32ME EB =u u u r u u u r，两个动M B 和，无法下手。
（2）学生看到32ME EB =u u u r u u u r，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ，B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程221x y -=联立，用韦达定理222222(1)(1)2101y k x k x k x k x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩，222211(1)11B B k k x x k k --+⋅-=⇒=-- 然后求出22212(,)11k k B k k +--，但下面学生不知如何求出k ，也不知怎么用32ME EB =u u u r u u u r ，然后做不下去。
第七章 向量与空间解析几何复习题
第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （ ）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（ ）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（ ） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（ ）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（ ）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（ ） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 （B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （ ）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（ ）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（ ）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（ ）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（ ）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（ ）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（ ）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（ ）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，） ，则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。
高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧
高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧在高考数学中，平面解析几何和向量是重要的考点之一。
掌握平面解析几何与向量的综合运算技巧对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些平面解析几何与向量综合运算的技巧，帮助同学们在高考中取得好成绩。
一、平面解析几何相关概念回顾在开始介绍平面解析几何与向量综合运算技巧之前，让我们先回顾一些相关的概念。
1. 坐标表示法平面解析几何中，我们通常使用坐标表示法来表示点、直线和图形。
一个二维平面上的点可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。
2. 向量的表示与运算向量是有大小和方向的量，在平面解析几何中，我们常用箭头表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。
3. 直线的方程直线可以用一般式方程、点斜式方程和两点式方程来表示。
对于一般式方程：Ax + By + C = 0，A、B和C是常数，表示一个一般的直线。
二、平面解析几何与向量综合运算技巧1. 平面解析几何技巧在解题中，对于平面上的点、直线和图形，我们可以运用平面解析几何的技巧来简化问题的解答过程。
（1）对称性技巧利用平面上的对称性，可以简化运算过程。
比如，如果点A关于坐标原点O对称的点为A'，那么向量→OA与→OA'的大小和方向相同。
（2）平行和垂直关系技巧在解题过程中，经常会涉及到直线的平行和垂直关系。
我们可以利用向量的特性来判断直线的关系。
两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量的内积为0。
（3）点到直线的距离公式对于平面上的一点P和一条直线l，我们可以利用点到直线的距离公式来求解P到l的距离。
距离公式为：d = |Ax + By + C| / √(A^2 +B^2)，其中A、B和C为直线的一般式方程参数。
2. 向量综合运算技巧向量的综合运算是高考数学中的重要考点。
掌握向量的运算技巧能够在解题过程中简化计算。
空间解析几何与向量运算
空间解析几何与向量运算
空间解析几何涉及三维空间中几何体，包括点、直线、平面等。
向量运算则是运用向量的方法进行计算和分析。
关于空间解析几何，需要掌握以下知识点：
1.空间直角坐标系：投影定理、向量表示、点、线、面的方程。
2.直线：两点式、点向式、截距式、一般式方程。
3.平面：点法式、交点式、一般式方程。
4.点、直线、平面位置关系。
5.球：球面方程、圆的方程、球与圆的位置关系。
6.圆锥曲线：双曲线、抛物线、椭圆。
而向量运算主要包括以下内容：
1.向量的基本概念：向量的表示、向量的模、向量的方向。
2.向量的加减：向量的加法、向量的减法、平移变换。
3.向量的数量积：向量的数量积的定义和性质，通过数量积求两个向量的夹角和判断向量共线。
4.向量的向量积：向量的向量积的定义和性质，通过向量积求两个向量的夹角、判断向量垂直和求平面的法向量等。
5.混合积：混合积的定义和性质，求两个向量和平面的有向体积。
综上所述，空间解析几何和向量运算都是数学中的重要内容，掌握这两个方面的知识可以帮助我们更好地理解三维几何问题，并进行有效的计算和分析。
平面向量与解析几何相结合专题复习教师用题
专题:平面向量与解析几何相结合教学立意:本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
基础知识梳理:1． 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2． 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3． 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4． 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用； 5． 曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6． 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7． 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。
而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。
在推导和探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系方面,向量是较好的工具.例题1.已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设(a x i yj =+, (b x i yj =+ , 且满足|a|+|b |=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。
解：(1) a =j y i x +-)3(, |b |=j y i x ++)3(,且|a|+|b |=4.∴点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422=+y x . (2)设A(11,y x ),B(22,y x )依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得0448522=-++m mx x ，则1x +2x =-58m, 1x 2x =)1(254-m . 因此，225221)5(m m d AB S AOB -==∆.当225m m =-时，即m=210±时，1max =S .例题2.已知A 、B 为抛物线22x py =(p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，(1)若6OA OB ⋅=-，求抛物线的方程。
向量与解析几何相结合专题复习
向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
.一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。
已知||CA ＝λ·||CB ，||AD ＝λ·||DB ，OC ∥CD ，且直线CD 的方向向量为i ＝（1，2）求顶点C 的坐标。
【解】如图：∵||CA ＝λ·||CB ，∴λ＝0||||>CB CA∵||AD ＝λ·||DB ，∴A 、D 、B 三点共线，D 在线段AB 上，且λ＝0||||>DB AD ∴||||CB CA =||||DB AD∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。
∴A 、D 、B 三点共线OC ∥CD ∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。
又∵直线CD 的方向向量为i ＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’（4,－2）， （怎样求对称点？）∵A ’（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得C （2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||AD ＝λ·||DB 和OC ∥CD 转化xCBAyOD为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||||CB CA =||||DB AD ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。
解析几何与向量综合问题—知识点大扫描专题
解析几何与向量综合问题—知识点大扫描
解析几何与向量综合时可能出现的向量内容与答案：（1）给出直线的方向向量或，那么该直线的法向量是（-k,1）or (-n,m) ；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知A，B与PQ的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；
③若存在实数,等于已知
三点共线.
（6）给出，等于已知是的定比分点，为
定比，即
（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知
是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知
是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心；（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）
（12在中，给出，等于已知是的重心；（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是
的
垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知
必通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是
的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中
边的中线;。
向量与空间解析几何知识点总结
向量与空间解析几何知识点总结一、向量。
1. 向量的概念。
- 既有大小又有方向的量称为向量。
在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。
- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。
2. 向量的运算。
- 加法。
- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。
- 减法。
- 几何方法：三角形法则。
- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。
- 数乘向量。
- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。
- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。
- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。
- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。
- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。
向量代数与空间解析几何相关概念和例题
空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
专题05 向量与解析几何三角形等相结合问题(解析版)
专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题专题概述近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.典型例题考向1 平面向量与解三角形【例1】（2018春•定州市校级期中）O 为ABC ∆的外心，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=．若(,)AO xAB yAC x y R =+∈则(xy= )A ．1B ．1-C D ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再由AO xAB yAC =+的两边点乘AB ，AC ，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程可得x ，y 的值，即可得到所求值． 【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +=，sin cos cos sin C A C A C +=，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +-+-===-， 可得120B =︒，30A C ==︒， 若AO xAB yAC =+，可得2AO AB xAB yAC AB =+，即有222132c xc y c =+，化为231x y +=，又可得2AO AC yAC xAC AB =+， 即有22233322c xc y c =+，化为21x y +=， 解得1x =-，1y =， 则1xy=-， 故选：B ．【例2】（2019•白银模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，2AB BC =-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为 ．【分析】通过向量的数量积以及余弦定理正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径R 即可． 【解答】解：因为1cos()22AB BC ac B ac π=-=-=-，所以4ac =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-．又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=．所以22()()34a c a c ac +=+-， 所以23()124a c +=，所以2()16a c +=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 60b R B ===R =．． 【变式训练】（2019秋•浦东新区期末）已知ABC ∆满足313()||||AB AC AB AC AB AC ++=，则BAC ∠为 ． 【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解． 【解答】解：如图，设3,||||AB ACAB AC AB AC ='='，则||13AD = 在△AC D '中，由余弦定理有，19131cos 2132AC D +-∠'==-⨯⨯，故120AC D ∠'=︒，60BAC B AC ∴∠=∠''=︒．故答案为：60︒．考向2 平面向量与三角形“四心”【例3】（2020•淮南一模）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC 的值为( ) A ．26B ．13C ．523D ．10【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=- ||||||||AC AT AB AS =- 646422=⨯-⨯10=．故选：D ．【例4】（2019秋•昌江区校级期末）已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】题目是选择题，不妨通过特殊三角形，利用向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ，3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．【变式训练】（2019•怀化一模）已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AG 的最小值是( )A B C ．23D ．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+，设||,||AB x AC y ==，由向量数量积的定义可知||||cos1202AB AC AB AC =︒=-，可得4xy =，然后根据向量数量积的性质可得1|||3AG x =，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+ 120A ∠=︒，2AB AC =-，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202AB AC AB AC =︒=-设||,||AB x AC y == ∴||||4AB AC = 即4xy =2221111||||()23333AG AB AC AB AC AB AC AB AC x =+=+=++=2228x y xy +=（当且仅当x y =取等号）∴2||3AG 即||AG 的最小值为23故选：C ．考向3 平面向量与平面解析几何【例5】（2020•苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的取值范围为 ． 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，求出圆心C 到AB 的距离为1，设(,)P x x -，由向量等式可得AB 的中点M 的坐标，再由||1CM =列关于x 的方程，由直线l 上存在点P ，使得PA PB OC +=，利用判别式大于等于0求得实数a 的取值范围． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点12(2x x M +，12)2y y +，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =， 圆心(,2)C a 到AB的距离||1CM ， 直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，设(,)P x x -，则1(x x -，12)(y x x x ++-，2)(y x a +=，2)， ∴1212222x x x a y y x +-=⎧⎨++=⎩，得12122212x x a x y y x +⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，即(2a M x +，1)x -+，||1CM ∴=，整理，得222(2)04a x a x +-+=，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，∴△22(2)804a a =--⨯，解得22a ---+．故答案为：22a ---+．【例6】（2020•衡阳一模）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A 、B ，若点(2,)M t 满足1()2OM OA oB =+，则||AB = ．【分析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线的定义可知12||2AB x x =++，由1()2OM OA oB =+可得(2,)M t 是AB 的中点，所以124x x +=，所以12||26AB x x =++=．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 直线AB 过焦点(1,0)F ， 12||2AB x x ∴=++，又1()2OM OA oB =+，则(2,)M t 是AB 的中点， 124x x ∴+=， 12||26AB x x ∴=++=，故答案为：6．【变式训练】（2020•四川模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =，则C 的离心率为 ．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3FB FA =，求出a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设(,0)F c -，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点且倾斜角为45︒的直线为：y x c =+，而渐近线的方程是：by x a=±，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac A a b -+，)bca b+， 由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac B b a -，)bcb a-， (ac FB c b a =+-，)bc b a -，(ac FA c a b =-+，)bca b+，3FB FA =，∴3bc bcb a a b=⨯-+， 2b a ∴=，22225c a b a ∴=+=，则c =，则e =．．专题强化1．（2020•兴宁区校级模拟）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ=++，R λ∈．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P 的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：||||2sin sin AB AC R C B==，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点P 满足||||()()sin sin AB AB AC ACOP OA OA R AB AC C Bλλ=++=++．因为AB AC +是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点， 所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心． 故选：C ．2．（2020•茂名一模）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则(AM BC = ) A ．3B ．6C ．8D ．12【分析】由题意画出图形，再由平面向量的数量积运算及向量的加法与减法运算求解． 【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2， 由2BM CM =，得BC CM =，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=．故选：B ．3．（2020•淮南一模）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( ) A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．4．（2019秋•东莞市期末）已知圆O 的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP =，则2()OA OP +的最小值为( ) A ．232B ．12C ．252D ．13【分析】可画出图形，根据2OA OP =即可得出||OP =并得出0cos 1O <∠，从而得出2()OA OP +的最小值． 【解答】解：如图， 2OA =∴22||cos 2OA OP OP O =∠=，∴||2cos OP O∠0cos 1O <∠，∴2222125()28422OA OP OA OA OP OP cos O +=++=++∠，当cos 1O ∠=时取等号， ∴2()OA OP +的最小值为252． 故选：C ．5．（2020•赤峰模拟）已知椭圆2222:19x y C a a +=+，1F ，2F 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF >恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3-，0)(0⋃，3) B ．[3-，0)(0⋃，3] C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，而120PF PF >恒成立可得12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系可得a 的取值范围．【解答】解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点， 要使120PF PF >恒成立，则12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒，即1tan 1cF PO b=<，所以22c b <， 而2222299c a b a a =-=+-=所以29a <，解得：3a >或3a <-， 故选：C ．6．（2020•江苏二模）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．【分析】取BC 边上靠近C 的三等分点D ，利用平面向量基本定理结合已知条件转化可得||||AD BC =，再利用三角形的面积公式进一步可得21()||2ABC max S BC ∆=，由此即可求得边BC 的长． 【解答】解：取BC边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又|2|3||AB AC BC +=，∴12||||33AB AC BC +=，即||||AD BC =， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =，即||2BC =． 故答案为：2．7．（2019秋•常州期末）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，则cos ABC ∠= ．【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =，设2AD t =，则3AC t =， 又由AD AB BD -=，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，BD ==，则BC =，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，BC =，则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯8．（2019春•湖州期中）如图，在ABC ∆中，M 为边BC 上一点，4BC BM =，3AMC π∠=，2AM =，ABC∆的面积为，则||CM = ；cos BAC ∠= ．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求||CM 的值，进而可得2BM =，8BC =，利用余弦定理分别求得AB ，AC 的值，根据余弦定理可求cos BAC ∠的值．【解答】解：4BC BM =，ABC ∆的面积为所以||:||3:4MC BC =，故AMC ∆的面积为由AMC ∆的面积为13||||sin ||3323AM MC MC π== 故||6MC =，||8BC =，||2BM =，所以222||26226cos283AC π=+-⨯⨯=，故||AC =2222||22222cos 84123AB π=+-⨯⨯=+=，故||AB =所以222cos 222327AB AC BC BAC AB AC +-∠===-，故答案为：6；． 9．（2019秋•南京期中）在ABC ∆中，已知(4)AB AC CB -⊥，则sin A 的最大值等于 ．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cos A 的最小值，即得sin A 的最大值．【解答】解：在ABC ∆中，(4)AB AC CB -⊥，(4)0AB AC CB ∴-=；(4)()0AB AC AB AC ∴--=； 如图所示，22450AB AB AC AC ∴-+=，即2254AB AC AB AC =+； 22422||||4cos 55||||5||||AB AC AB AC A AB AC AB AC +⨯⨯∴==，当且仅当2||||AB AC =时，“=”成立；此时sin A 35=． 故答案为：35．10．（2019春•内江期末）如图，O 在ABC ∆的内部，且30OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为 ．【分析】取AB 的中点D ，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值．【解答】解：取AB 的中点D ，连接OD ，可得2OA OB OD +=，由30OA OB OC ++=，即为23OD CO =， 可得12ACD ACB S S ∆∆=， 22115525ACO ACD ACB ACB S S S S ∆∆∆∆===， 则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为5:1．故答案为：5:1．11．（2019•河南模拟）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点D 满足3AD DC =，且2AB BD ==，则边BC 的长为 ．【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由已知可求得34b AD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 16b A =，在ABC ∆中，由余弦定理224160b a -+=，①在ABC ∆中，由60ABC ∠=︒，可得：22240b a a +--=，②，①-②可得232200a a +-=，解方程可得BC 的值．【解答】解：设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，可得：34b AD =， 2AB BD ==，∴在ABD ∆中，由余弦定理可得：222234()434cos 3216224b c AD BD b A b c AD +-+-===⨯⨯， ∴在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，可得：22341622b b a b +-=⨯⨯，可得：224160b a -+=，① 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，可得：22222142222a cb a b ac a +-+-==⨯⨯，可得：22240b a a +--=，② ∴①-②可得：232200a a+-=，解得：a=，负值舍去，即BC12．（2019•亭湖区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为 ．【分析】如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在三角形ABF 中用余弦定理解得AE ，在三角形AEC 中用面积公式求得面积，再乘以2可得．【解答】解：如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心， 连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ， 则四边形ABFC 为平行四边形，4BF AC ∴==，3cos cos cos 8AFB CAE CAO ∠=∠=∠=，设AE x =，则2AF x =，在三角形ABF 中由余弦定理得222cos 2BF AF AB AFB BF AF +-∠=， 即3(25)8-=，解得2x =，即2AE =．又sin CAE ∠=122sin 242ABC AEC S S AE AC CAE ∆∆∴==⨯⨯⨯∠=⨯=．．13．（2020•运城一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB = ．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出83BC =，又4AB BF =，求出AB ． 【解答】解：已知抛物线2:4C y x =，所以2DF =， 如图，因为3FA FB =-，所以:3:1AF FB =，又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==， 所以3243AB BF ==， 故答案为：323． 14．（2020•衡阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则||AB = ． 【分析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出||AB【解答】解：由条件得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，1212()2322x x m y y t +++===， 所以||2(31)8AB =+=，故答案为：8．15．（2020•毕节市模拟）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y轴交于点P ，若FM MP λ=λ的值为 ．【分析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|||FM PM λ=，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率．【解答】解：设(,0)F c ，则222c a b =+ 双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±， ∴垂线FM 的斜率为a b-， ∴直线FM 的方程为()a y x c b=--， 令0x =，得P 的坐标(0,)ac b， 设(,)M x y ，||||FM PM λ=，(x c ∴-，)(y x λ=-，)ac y b -， x c x λ∴-=-且4acy y bλ=-， 即1c x λ=+，5ac y b λ=，代入b y x a =， 得(1)1ac b c b a λλλ=++，即22a b λ=， 222a c a λ∴=-， 22(1)a c λ∴+=，∴c =， 3e =，2λ∴=， 故答案为：2．。
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中，点(1,— 2, 3 )在[D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2 22.方程2x y2在空间解析几何中表示的图形为[C ]A.椭圆 B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面X —1 y + 1 z +1” _x + y _1 = 03.直线11j与 >2 :— —> 的夹角是[C ]423x+y+z-2=0AJinnA.—B.— C.—D. 04324.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)A. 2 2 2 a b (a ・b)B. a 2 b 2=(a b)2C. 2 2(a 叱)=(a b) 2 2 2 2D.(a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. z 2 二 4(x y)B. z 2 _ _4.. x 2 y 2C. y 2 z 2 =4xD.2 2 y z = 4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是2 C.3关于 [B ]A 1 1A.B.—337.在空间直角坐标系中，点(B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3)C. (-1,-2,3)1，2,3) 2 D.—3yoz 平面的对称点是[A ]2 28.方程—2 弓二z ，a 2b 2表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面C. 椭球面D.球面9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b =[ C ]A. 1 3B.3C. -1D. 110.(A)平行于■:[x 2 (B)在二上 (C)垂直于2z(D)与二斜交二 121.双曲线 45 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).[y =0x+y+z = O+心 「x + y + z = O 小 11 •直线h 的方程为，直线12的方程为，则l i 与31x-30^29^030x-31y -30z = 012的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12 .已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x = y z 对称 13. 已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x=y Z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. x 2 y 2z 2 =1 B. X 2 y 2 z = 1 C. x 2 y z = 1 D. x y 2 z 2 = 115. 已知a,b 为不共线向量，则下列等式正确的是 CA. aa=a 2B. a*(a*b)=a 2bC. a ・(b ・b)=ab 2D. a 2b 2 = (a*b)2-(1,2,1), b =(-3,4, -3)，那么以a,b 为两边的平行四边形的面积是 B16.已知向量A.20B.10 .2C.10D. 5-217.已知直线 l 方程x 2y 3^0与平面二方程-x z ^0,那么l 与二的位置关系 3x + 4y +5z = 0是CA. l 在二内B. l 垂直于 Ji18.两向量a,b 所在直线夹角一，45B. a,b 夹角——4 Jiab ：： 0 , C. l 平行于•:那么下列说法正确的是 D.不能确定JIA. a 'b 夹角4C. a,3兀亠兀b 夹角可能或一4D.以上都不对19.已知|a 尸1, |b ，且(a ,b )■，则 | a b (D4(A) 1(B) 1、2(C) 220.设有直线L: x 3y 2z ^0及平面二I2x —y —10z+3 = 0:4x -2y • z - 2 =0，则直线 L ( C )。
向量代数与空间解析几何复习
（x2 x1）2 （y2 y1)2 (z2 z1)2
cos
z2 z1
（x2 x1）2 （y2 y1)2 (z2 z1)2
9
向量的运算
a-b
1. 数乘
b
a
-b
a+(-b)
2. 向量的加减法：平行四边形法则；三角
形法则
a x1i y1 j z1k x1, y1, z1 b x2i y2 j z2k x2, y2, z2
z1 i z1
z2
z2
x1 j x1
x2
x2
y1 k y2
对任意两个非零向量
a和
b，若
a
//
b
则
a
b
0。
0a a0 0 aa 0
i i j j k k 0
i j k
jk i
15
向量积的运算律：
1.反交换律：a
b
b
a
2.分配律：a
b
c
a
c
b
c
3.数乘结合律：
a
b
a
b
a
b
16
3.混合积
定义：
a, a,
b, b,
c c
为三向量，称
a
b
的混合积，记为 [a
c b
为向量
c]
混合积的坐标表达式
a {ax , ay , az}, b {bx,by ,bz}, c {cx, cy , cz}
ax ay az
a b c bx by bz cx cy cz
cos2 cos2 cos2 1
设M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2, z2 )是空间直角坐标系中
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】 1.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 32⎛ ⎝⎦C ． 32⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．52 B ． 512+ C ． 5 D ． 15+【举一反三】 1.设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -=D ． 221y x -= 【举一反三】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化 【例4】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【举一反三】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．已知分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。
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向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。
已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥＝（1，2）求顶点C 的坐标。
【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0||>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0||>DB ∴||CB =||DB∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。
∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。
~又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’（4,－2）， （怎样求对称点）∵A ’（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得C （2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。
\【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF＋||2MF ＝10。
（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求222OQ OP •的值【解】（1）由||1MF＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：1162522=+y x\（2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222PQ•＝40041【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~（2）求||＋||的最小值。
解：（1）设D （x ，y ），则CA ＝（－1，4），CD ＝（x －3，y ＋1）＝（1，7）∵·＝·∴（－1）·（x －3）＋4·（y ＋1）＝（x －3）·1＋（y ＋1）·7 整理得：2x ＋3y ＝0(2)易得点A 关于直线2x ＋3y ＝0的对称点的坐标为M （－2，－3），∴||＋||的最小值为：||＝133 ：【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x ＋3y ＝0上找一点，使它到点A 、B 的距离之和最小，利用对称点法解决。
二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。
【例4．】已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。
（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。
【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为a ＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） ！将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明||·||＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。
根据向量的运算：AM ·＝|AM |·|AN |·cos00＝7为定值。
（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+22122117144k x x k k x x、∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212++++x x k x x k ＝81)1(42+++k k k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意）【例5．】已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，FM =MT ,P 1⊥FT ,P 1∥OF 。
（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程；（2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP 求证：||1FP+||2FP =1 【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M)21,0( ）∴P 1＝（－x ，21－y ），又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），P1＝（－1－x ，t －y ） ∵P1⊥FT ∴2x ＋t(2t－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ②由①、②得：x y 42= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。
）（2）易知F （1，0）是抛物线x y 42=的焦点，由1FP=λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42=得： ;0)2(22222=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2242k k +∴||1FP+||2FP ＝111+x ＋112+x ＝1)(2212121+++++x x x x x x ＝1 （注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。
）经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。
【例6．】设平面内向量a 、b 满足：a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝1，点M （x ，y ）满足：x a ＋)4(2-y 与－x a＋互相垂直。
求证平面内存在两个定点A 、B ，使得对满足条件的任意一点M 均有||||-等于定值。
【证明】：由条件得[x ＋)4(2-y ]·（－x ＋），且·＝0从而有：0)4(2222=-+-b y a x ，∵||＝2，||＝1 ∴0)4(422=-+-y x 即：1422=-x y ，>故所求点的轨迹为双曲线，其焦点为)5,0(±，不妨设A 、B 为两个焦点，根据双曲线的定义可得：对于两个定点A 、B ，平面内的任意一点M 均有||||-等于定值【例7．】已知OA ＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且OA 与OB 的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，OF ＝λ1，点G 满足＝21（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。
【解】∵EG ＝21，∴点G 是EF 的中点， ∴OG ＝21(OE ＋OF )＝21(λOA ＋λ1OB )∵OA 与OB 的夹角为600，|OA |＝2，∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600＝1 $设＝（00,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11320200y x y x ⎩⎨⎧==⇒1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==212300y x （不合，舍） OG ＝)]1,0(),3[(21λλλ+＝))1(21,23(λλλ+ 设G （x ，y ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==)1(2123λλλy x 消去λ得：033442=+-xy x（2）2||OG ＝)214(412222++=+λλy x ≥41×（4＋2）＝23∴||的最小值为26（当λ＝21±时等号成立）【例8．】如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM ·＝0，PM ＋0=PN （1）求点N 的轨迹C ；（2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ，0），与的夹角为θ，求证0<θ<2π)【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则PM ＝（m ，－p ），＝（a ，－p ）∵·＝0 ∴02=+p am ∴a p m 2-= 设N （x ，y ），由＋=得0),(),0(=-+--p m p y x∴⎩⎨⎧=-=+020p y m x 即⎪⎩⎪⎨⎧==p y a p x 22消去p 得：ax y 42=（2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入ax y 42=0)2(222222=++-a k x k a x k ，设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2212221)2(2a x x k k a x x ＝（1x ＋a ，1y ）＝（2x ＋a ，2y ）·＝2121))((y y a x a x +++＝)4()(122121ax a x x a x x -++++·（24ax ） 。
＝222222244)2(2k a a a k k a a a =-+++>0 KA 与的夹角为θ，KA 与不共线，则θ≠0∵cos θ＝>0 ∴0<θ<2π【例9．】设平面内向量a ＝（x ，0）、b ＝（1，y ），满足： (＋3)⊥(－3) （1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||＝||,求m 的取值范围。