数列求通项的四种方法

五种通项求法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3（例2的变型） 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例4（例1和例2的结合）已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++

+-≥，，求{}n a 的

通项公式。

四、数学归纳法

例7 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

五、不动点法

当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：d ca b aa a n n n ++=

+1用不动点的方法，即使d cx b ax x ++=令此方程的两个根为x 1，x 2， ①若x 1=x 2 则有p x a x a n n +-=-+1

1111 其中P 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将p 的表达式记住 d a c p +=

2

②若x 1≠x 2则有 2

12111x a x a q x a x a n n n n --=--++ 其中q 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将q 的表达式记住， 21cx a cx a q --=

简单地说就是在递推中令a n =x 代入 a(n+1)也等于x

然后构造数列.

例8 已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。