奇妙的“杨辉三角”

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趣味杨辉三角,点燃学生数学思维的火花

趣味杨辉三角，点燃学生数学思维的火花湖南怀化学院西区博雅苑 8栋204室傅世球418008一关于杨辉三角的历史原来的名字也不是“杨辉三角”，其名子是由开方得来的叫“开方作法本源”，如开平方的理论基础是用乘法公式：即22()(2)a b a a b b +-=+把一个数的平方根分成几位数字来求：先求出平方根的最高位数a ，再从原来的数减去初商a 的平方而得出余数，即22()(2)ab a a b b +-=+，如求529的平方根，①二位二位地分段：529平方厘米即为5平方分米又29平方厘米；②求初商：先确定一个面积为4平方分米的边长为2分米的正方形；③求笫一余数：529-220129⨯=；④通过笫二余数求次商：129/4039/40=+；⑤求两数和： 202343⨯+=；⑥求开方结果：23=。

开立方的理论基础是3322()(33)a b a a ab b b +-=++，用类比可得开4次方，开n 次方的理论基础。

杨辉三角有很多有趣味的性质，决不是单一的开平方，开立方，开四次方，五次方的“开方作法本源”的名字所能概括的。

远在杨辉之前的贾宪就知道这个“三角”的名称，有的称“贾宪三角”，总之是在1200年左右就研究过“贾宪三角”。

而在欧洲叫“巴斯加三角”，“杨辉三角”比“巴斯加三角” 至少要早300年。

目前, 中学生补课, 多数是数学与英语. 为什么学数学的人越来越少、越来越难呢? 尤其是排列、组合与二项式定理更是使学生感到困难, 笔者认为根源在数学教师的教学方法与随之而产生的学习数学的兴趣.二从乘法公式到杨辉三角看归纳、类比、联想的分析2.1 从乘法公式到杨辉三角二项式的乘法公式的系数就是杨辉三角中“任何数等于肩上的两个数的和” 这正是二项式的乘法公式的系数规律，杨珲三角的第n 行就是()n a b +的二项式系数，即11 1 1()a b a b +=+1 2 1 （222)2a b a ab b +=++1 3 3 1 33223()33a b a a b ab b +=+++1 4 6 4 1 （4432234)464a b a a b a b ab b +=++++11()n o n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值,…”“类比就是一种相似.”[1] 它是从一种特殊到另一种特殊的推理.这里先产生笫一个有趣的性质：123411=11.11=121.11=1331.11=14641.这些数都是“回文数”，所谓“回文数”，就是与它的“倒排数” 完全相等的数，即最高位与最低位、中间的对称位置上的数均相等的数是“回文数”。

初中杨辉三角经典例题

初中杨辉三角经典例题哎，大家好，今天咱们聊聊一个神奇的数学玩意儿，叫杨辉三角。

可能有人会想，哎呀，这听起来好高深，跟我有啥关系呢？别急，咱们慢慢聊，保证让你觉得它其实挺有意思的。

想象一下，杨辉三角就像一个金字塔，不过这个金字塔不是用石头堆起来的，而是用数字一层一层堆上去的。

看着它，仿佛一幅生动的图画，真的是太有意思了。

先说说这杨辉三角的形状，最顶端一层就是个“1”，下面一层是两个“1”，再下面就是三个数字，分别是“1、2、1”。

这儿有个小秘密，左右两个“1”是不会变的，啥都不动，总是那么稳稳当当。

而中间的数字就好比在玩拼图，上一层的两个数字加起来，变成了这一层的中间那个数字。

是不是很神奇？想象一下，有点像搭积木，越搭越高，越搭越有趣。

好啦，接下来聊聊它的用处，虽然看起来就像个数字游戏，但其实它可是个数学小能手。

比如说，咱们都知道组合问题吧？这个杨辉三角就像个宝藏箱，里面藏着各种组合的答案。

就拿抽奖来说，假设你有10个球，想从中抽出3个，杨辉三角就能告诉你一共能抽出多少种组合。

真的，拿到答案的那一瞬间，你会觉得自己好像开了个小窍门，嘿嘿。

再说说二项式定理，听上去高大上，其实就是个简单的公式。

你知道吗？杨辉三角在这里也是个好帮手。

它能帮助你快速展开像(a + b)的n次方这种表达式，想想看，是不是省了不少力气？所以说，这杨辉三角不光是个好玩意儿，还是个勤快的小助手呢。

再聊聊在生活中，我们常常能看到杨辉三角的影子。

比如说，咱们吃的饺子，如果把饺子馅看成是不同的材料，做饺子的时候，你就得想怎么搭配了。

杨辉三角就像你的搭配师，告诉你到底有多少种搭配方式。

想象一下，今天晚上你想做饺子，突然脑子里冒出“哎，我可以加点虾仁、白菜、肉末！”这时候，杨辉三角就成了你创意的源泉，哈哈！咱们在生活中也常常遇到一些选择。

比如说，你和小伙伴们一起去玩，突然有了10个地方，想选择3个去。

这个时候，杨辉三角就能帮你算出有多少种选择方式。

神奇的三角---杨辉三

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 8 36 7 28 84 6 21 56 126 5 15 35 70 126 4 10 20 35 56 84 3 6 10 15 21 28 36 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
用杨辉三角求高次方
将各行数字相排列，可得 11的N次方： 1=11º 11=11¹ 121=11³ 注：15101051≠11的5次方，应为：

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
0行 1 1行 1 1 2行 1 2 1 3行 1 3 3 1 4行 1 4 6 4 1 ……
从上倒下，都是上面两个数加起来的和就是对应下面一
个数，列如：1+1=2，1+2=3，1+3=4
.
性质

1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 36 7 28 84 6 21 56 126 5 15 35 70 126 4 10 20 35 56 84 3 6 10 15 21 28 36 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

杨辉三角与斐波那契数列
将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、 9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3
第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n 数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第 6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契 2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个数斐波那契数

杨辉三角计算方法

杨辉三角计算方法嘿，咱今儿就来说说这神奇的杨辉三角计算方法。

你可别小瞧了它，那可是数学里的一大宝贝呢！杨辉三角就像是一个藏着无数秘密的宝库。

它的样子很特别，一层一层的，排列得整整齐齐。

那怎么去计算它呢？咱一步一步来。

先看看最上面那一行，就一个数字 1，这就是起点啦。

然后下面那一行呢，嘿，两个 1，简单吧？再往下走，就有点意思了。

每个数字都是它上面两个数字的和呀！比如说第三行中间那个数字 2，不就是它上面两个 1 加起来的嘛。

你想想，这就好像是搭积木一样，一层一层往上堆，每一层都有它独特的规律和魅力。

咱要是掌握了这个规律，那计算起来不就得心应手啦？你说这杨辉三角是不是很神奇？它不仅仅是一些数字的排列，还蕴含着好多数学的奥秘呢。

就好比是一个神秘的花园，等着你去探索，去发现那些隐藏在其中的美丽花朵。

咱再举个例子哈，比如你要算第五行的某个数字。

那你就先找到它上面那一行对应的两个数字，然后一加，嘿，答案就出来啦！是不是挺简单的？但这里面可藏着大学问呢。

而且啊，杨辉三角可不仅仅是用来计算几个数字那么简单。

它在很多数学领域都有着重要的作用呢。

就像一把万能钥匙，可以打开好多数学难题的大门。

你想想，要是没有杨辉三角，那得少了多少乐趣呀！数学不就变得枯燥无味了嘛。

有了它，咱就可以在数字的海洋里畅游，尽情享受数学带来的快乐。

杨辉三角就像是一个忠诚的伙伴，一直陪伴着我们在数学的道路上前行。

它让我们看到了数字的奇妙之处，也让我们对数学更加着迷。

所以啊，可别小看了这杨辉三角计算方法，它可是有着大大的能量呢！学会了它，你就像是掌握了一门神奇的武功秘籍，能在数学的江湖里闯荡出一番天地。

怎么样，还不赶紧去试试，去感受一下杨辉三角的魅力？。

杨辉三角系数的规律公式

杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。

简单来讲，它就是一个三角形的数阵。

从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就像搭积木一样，一层一层地往下搭。

杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。

比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。

你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。

以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。

比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。

这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。

我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。

我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。

我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。

”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

再说说杨辉三角的对称性。

它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。

从中间画一条线，两边的数字完全一样。

这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。

而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。

比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。

这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。

杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。

初中数学杨辉三角

初中数学杨辉三角哎呀，今天咱们聊聊一个很有意思的东西——杨辉三角！听起来高大上，其实它就是一个简单的数字排列。

别看名字复杂，其实就像一个小山丘，层层叠叠，挺好看的。

你想想，一开始就是个小小的“1”，然后它就开始长大，慢慢变得越来越庞大，真是像个小宝宝一天一天长大的感觉。

第一层就是个“1”，第二层有两个“1”，就像小朋友在玩，两个小伙伴手牵手，满满的都是童趣。

接着往下走，第三层是“1 2 1”，四层变成“1 3 3 1”。

嘿，瞧瞧，这里面藏着什么秘密！你有没有发现，每个数字其实都是它上面两个数字的和。

就像我们在生活中，朋友的力量，合起来就能成就更大的事情。

这个小小的三角形，可真是蕴藏了不少人生哲理呢！不得不提一提它的用途。

你知道吗？这玩意儿在组合数学里可是个大明星。

无论是选择、排列还是组合，杨辉三角都能帮上忙。

就好比说，你有三种水果，想选出两种来吃，杨辉三角告诉你，有多少种搭配方式。

嘿，真是个万能小助手！记得我小时候，常常为了选水果发愁，现在想想，简直是小儿科了。

而且呀，杨辉三角还有个特别的地方，就是它跟二项式定理有密切关系。

你可以把它想象成一个魔法师，召唤出各种不同的组合。

比如说，(a + b)的平方展开，结果就是1、2、1，这不是刚好对应着杨辉三角的第二层吗？魔法般的连接，真是让人惊叹不已。

数学有时候就像是一场奇妙的旅行，每一步都充满了惊喜。

除了这些，杨辉三角在概率和统计中也扮演着重要角色。

比如说，掷骰子，抽奖，甚至做一些小小的游戏时，你都能用到它。

它就像是生活中的调味品，给你带来意想不到的精彩。

在学校里学到这些，简直就像发现了新大陆，眼前一亮，感觉生活更丰富多彩了。

咱们再说说视觉效果。

杨辉三角的形状实在是太美了，特别是当你用彩笔画出来的时候。

每一层都是一个不同的颜色，形成一个炫彩的阶梯，简直像是一幅艺术品！你有没有试过在纸上画它？越画越有成就感，越看越开心。

就像小时候做手工，做出一个漂亮的东西，总是特别自豪。

杨辉三角的规律公式(a b)的n次方

杨辉三角的规律公式(a b)的n次方好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有一个超级有趣的东西，那就是杨辉三角。

这玩意儿可藏着不少的规律和公式呢，特别是当我们碰到形如 (a + b)^n 这样的式子时，它就能大显身手啦。

先来说说杨辉三角长啥样。

它就是一个三角形形状的数字排列，从最上面的 1 开始，然后下面的每一行数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就拿简单的几行来说，第一行是1，第二行是1 1，第三行是1 2 1，第四行是 1 3 3 1，第五行是 1 4 6 4 1 ，是不是有点意思？我记得有一次给学生们讲杨辉三角的时候，有个小家伙特别积极，瞪着大眼睛一直盯着黑板上的数字，嘴里还念念有词。

我就问他：“你是不是发现啥秘密啦？”他兴奋地说：“老师，我发现每行数字的个数都比行数多 1 个！”我笑着给他点了个赞，这孩子观察得还挺仔细。

那杨辉三角和 (a + b)^n 到底有啥关系呢？其实啊，杨辉三角中的每一行数字，就是 (a + b)^n 展开式的系数。

比如说 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ，系数是 1 2 1，正好就是杨辉三角的第三行。

再比如 (a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角的第四行。

而且啊，杨辉三角还有一个特别好玩的性质。

就是它的每行数字，左右都是对称的。

就像照镜子一样，是不是很神奇？咱们再深入一点，假如要求 (a + b)^5 的展开式，咱们不用费劲去一个一个乘，直接看杨辉三角的第六行，1 5 10 10 5 1 ，那展开式就是a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 。

在实际解题的时候，杨辉三角可帮了大忙。

有一次考试，就有一道题是让求(a + b)^4 的展开式，很多同学都傻眼了，不知道从哪儿下手。

但是平时认真研究过杨辉三角的同学，很快就写出了答案，轻松拿到了分数。

有趣的中国古代数学故事

中国古代数学故事——杨辉三角的奇妙之旅中国古代的数学学问博大精深，在古代数学的发展历程中，不乏许多有趣的故事。

其中，杨辉三角是一种独特的数学图形，它曾经给人们带来无限的惊喜和启发。

本文将为你讲述杨辉三角的奇妙之旅。

杨辉三角的诞生与发展杨辉三角最早出现在公元5世纪，也就是南北朝时期的中国。

这一数学图形是由中国古代数学家杨辉发现并研究的，因此得名杨辉三角。

杨辉三角是一种规律的数字阵列，它的构造方法很简单：首先在第一行放置一个数字1，然后从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。

通过这样的方法，一个奇妙的图形便逐渐形成。

杨辉三角的神奇与应用杨辉三角不仅仅是一个数学图形，它还蕴含着许多神奇的特性和应用。

下面，让我们一起来探索其中的奥秘。

二项式定理的发现杨辉三角中最为人津津乐道的神奇特性之一，就是它与二项式定理的关系。

二项式定理是数学中的重要定理之一，它表达了任意整数幂的多项式展开式中各项的系数。

通过观察杨辉三角的一些特点，我们可以发现每一行的数字之和正好是2的n次方，其中n代表行数。

这个规律与二项式定理中的二项展开系数恰好吻合，从而使杨辉三角与二项式定理紧密联系在一起。

杨辉三角在概率中的应用杨辉三角还可以应用于概率的计算中。

我们知道，概率是描述事物发生可能性的数值，而杨辉三角中的数字又与组合数相关联。

在杨辉三角中，每个数字都可以表示为它所在位置的行数和列数，也就是组合数C(n, k)。

通过计算不同行数和列数的组合数，我们可以得到一系列与概率相关的数值。

这种方法在离散数学和概率统计中有着广泛的应用。

加密中的利用——编码与解码在古代，人们常常使用杨辉三角进行加密和解码。

通过特定的编码规则，将明文转化为杨辉三角中的数字，然后通过解码规则将数字重新还原为明文。

杨辉三角加密法的基本思想是，将明文的每个字母与阵列中的数字相对应，然后将这些数字按照特定的规律排列成杨辉三角。

通过这种加密方式，即使有人获得了密文，也很难通过逆向推理得到明文的内容。

杨辉三角数学小故事

杨辉三角数学小故事《奇妙的杨辉三角》嘿，大家知道杨辉三角不？那可真是个神奇又好玩的东西！有一天我在图书馆闲逛，偶然间翻到一本数学书，看到了杨辉三角。

哎呀呀，刚开始我还不以为意呢，心想不就是一些数字排列嘛，能有多厉害。

但当我仔细一瞧，哟呵，有点意思！你看这些数字一层一层地排列着，就好像是个数字金字塔。

我就琢磨着，这些数字咋就这么有规律呢，就跟约好了似的乖乖地站在那儿。

越研究越觉得好玩，就像是发现了一个隐藏的宝藏。

我突然就想到，如果这些数字能说话，那它们肯定会有一堆有趣的故事。

比如说最上面的那个数字1，它肯定觉得自己老威风了，统领着下面这一大帮子数字。

下面的数字呢，也都各有各的位置，谁也不能乱插队。

然后我又试着找一些规律。

嘿，还真让我找到了！比如每行两端的数字都是1，就跟坚守岗位的哨兵似的。

中间的数字呢，都是上面那行相邻两个数字之和。

这可真是太有意思了，感觉就像是数字们在玩接力游戏。

我还发现这杨辉三角在生活中也有不少应用呢。

比如说计算组合数啥的，就特别好用。

以前觉得很难的问题，现在有了它，好像一下子就变得简单起来了。

这杨辉三角就像是一个隐藏在数学世界里的小魔法，等着我们去发现和探索。

每次看到它，我就忍不住想要去挖掘更多的秘密。

我还跟我的小伙伴们分享了这个有趣的发现，他们一开始也是将信将疑，等我给他们一讲解，都纷纷被杨辉三角的魅力所吸引。

我们一起在那研究、探讨，一个个都像着了魔似的。

总之呢，这杨辉三角真是个奇妙的东西。

它让我看到了数学不只是枯燥的公式和计算，还有这么多有趣好玩的地方。

现在我每次看到数字，都感觉它们好像在向我眨眼睛，说不定它们也是杨辉三角中的一部分呢！大家也快去感受一下杨辉三角的神奇魅力吧，相信你们一定会被它吸引住的！。

奇妙的“杨辉三角”

奇妙的“杨辉三角”作者：蓸梭峰来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2019年第02期如图1.这是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，人们称之为“杨辉三角”.杨辉还在书中说，这个图出自贾宪的《释锁》算书.但可惜的是，贾宪的书失传了，在西方的数学史著作中，把这个图形称为“帕斯卡三角”，西方人认为这个图形是法国数学家帕斯卡（1623-1662）于1645年首创的，其实，在杨辉之后，中国元代数学家朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）一书中还曾用过这个图形.中亚细亚的阿尔·卡希于1427年、德国数学家阿卜亚鲁斯于1527年也使用过这个图形.但他们都比杨辉或贾宪要晚很长时间了.一、“杨辉三角”的性质这个图形有什么用处呢？“杨辉三角”的原名叫“开方作法本源图”，是用来开方的，其原理至今仍然适用.我们知道，所以，这个图表示的是（a+b）n当n=l，2，3，4，5，…时展开式的系数.下面，我们对“杨辉三角”的性质初步归纳一下.（1）对称性：每行中与首末两项等距的两个数相等;（2）递归性：1以外的任一个数都等于它肩上的两个数之和;（3）和幂性：第n+l （n=0，1，2，3，…）行的各数之和等于2n.借助于这些简单性质，可以解答与（a+b）n有关的问题.例1 （a+b）20的展开式中第三项的系数为（）.A.2017B.2 016C.191D.190解析：先探索规律.（a+b）3，的第三项的系数为3=1+2，（a+b）4的第三项的系数为6=1+2+3，（a+6）5的第三项的系数为10=1+2+3+4……不难发现，（a+b）20的第三项的系数应为l+2+3+…+19=（1+9）×19/2 =190.故选D.二、“杨辉三解”的应用不少数学家对各个正整数在“杨辉三角”这个无限大的数阵中出现的次数抱有很大的兴趣.人们发现，l出现了无数多次;2仅出现了1次;3，4，5这三个数都出现了2次;6出现了3次……还有一些较大的数，它们出现的次数更多.例如，120出现了6次，而3003出现了8次（先后出现在第15，16，79，3 004行）.人们自然会问，是否有大于l的正整數，在“杨辉三角”中出现的次数超过8呢？遗憾的是，到目前为止数学家们还没有找到这样的正整数.1971年，英国数学家大卫·辛马斯特猜测，那些大于1的正整数在“杨辉三角”中出现的次数会有一个上限.这就是所谓的“辛马斯特猜想”.例2 已知图2中每个小方格都是正方形.求从A到B的最短路径解析：我们从简单的情形人手，对图形中左上角的2x2网格进行分析后可知，每个结点的最短路径数如图3所示.把这个数阵旋转一下，我们会惊讶地想起“杨辉三角”.因为其中每一个数字是它“肩上”的两个数字之和.于是，对这类问题可从“杨辉三角”的角度给出一个一般性的解法.将正方形网格的相邻两边与“杨辉三角”的两个都是l的斜行分别叠合，作平行四边形，则平行四边形另一个顶点所对应的值就是所要求的最短路径数.易知从A到B的最短路径有35种（如图4）.数学可以把看起来复杂的事物变得简明，也可以把看似毫不相关的两个事物巧妙地联系在一起.随着学习的深入，我们将会领略“杨辉三角”的更多的有趣性质.。

杨辉三角原理

杨辉三角原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超有意思的杨辉三角原理！你知道不，这杨辉三角就像是一个神奇的魔法阵。

咱就说，你看那杨辉三角，一层一层的，多像我们小时候叠的纸金字塔呀！每一行的数字都有它独特的规律，就好像它们在悄悄告诉我们什么秘密一样。

比如说，从最上面开始，每层的数字两边都是 1，这就好像一个守护宝物的卫士，坚定地站在那里！然后呢，中间的数字可就有趣啦，它们是上一行相邻两个数字之和。

哎呀呀，这可不是一般的厉害呀！
有一次，我和小伙伴一起研究杨辉三角，我们就像是探险的小伙伴，试图解开这个神秘三角的谜团。

我们一个数一个数地看，一个规律一个规律地找，那种投入的感觉，简直太棒啦！我当时就在想，这杨辉三角背后到底隐藏着多少奇妙的东西呢？
它可不只是一堆数字的排列哦！它在数学、科学甚至艺术领域都有广泛的应用呢！这不就和我们生活中的很多小事物一样吗？看似普通，实则蕴含着巨大的能量。

杨辉三角就像是一个智慧的宝库，等待我们去不断挖掘。

你难道不想去探索一下吗？你不想知道它还能给我们带来哪些惊喜和启示吗？我觉得呀，我们应该好好去研究它，去发现它更多的美妙之处。

相信我，一旦你深入了解了杨辉三角原理，你一定会被它深深地吸引，就像我一样，对它充满着好奇和喜爱！
总之，杨辉三角原理真的太神奇、太有趣啦！大家可别错过这个探索的好机会哦！。

直角杨辉三角的规律总结

直角杨辉三角的规律总结《直角杨辉三角的奇妙规律总结》嘿，朋友们！今天咱来聊聊那个超级有趣的直角杨辉三角。

这东西可真是太有意思啦，就像一个隐藏着无数小秘密的宝藏盒子，每次打开都有新惊喜。

当我第一次看到直角杨辉三角的时候，就感觉像是进入了一个奇妙的数字魔法世界。

那一排排整齐的数字，就像是训练有素的士兵在列队，特别壮观。

你看啊，它有一个特别明显的规律，就是每行的数字个数就等于行数。

这多有意思啊，就好像是在告诉我们，每行都是一个独立的小团队，有着自己的独特之处。

而且呢，每行的两端都是1，这就好像是两个忠实的卫士，守护着这一行的秘密。

再说说那些中间的数字，那可真是神奇了。

它们都是由上一行相邻的两个数字相加得来的。

这感觉就像是数字们在玩接力游戏，一个传给另一个，然后就产生了新的数字。

每次看到这种巧妙的计算方式，我都忍不住感叹，原来数字之间也能这么好玩！而且啊，直角杨辉三角还有一个特别牛的地方，就是它和二项式定理有着紧密的联系。

咱先不说二项式定理这高深的东西，就单说这两者的关系，那简直就是天作之合。

通过直角杨辉三角，我们可以很轻松地找到二项式展开后的各项系数。

哇塞，这可太实用了吧！我有时候就会想，是谁这么聪明，发现了这么神奇的直角杨辉三角呢？真是佩服得五体投地。

这也让我明白了，在数学的世界里，到处都藏着惊喜，只要我们有一双善于发现的眼睛。

每次研究直角杨辉三角，我都感觉自己像是一个侦探，在寻找那些隐藏在数字背后的秘密。

有时候可能会遇到一些难题，但每当我破解一个规律的时候，那种成就感简直爆棚。

就好像我找到了打开宝藏大门的钥匙，别提多开心了。

总之，直角杨辉三角真的是太有趣了。

它让我看到了数学的魅力和神奇，也让我更加喜欢探索和发现新的东西。

朋友们，你们也快来一起感受一下直角杨辉三角的奇妙吧，相信你们也会被它深深吸引的！哈哈！。

数学家杨辉三角的故事

数学家杨辉三角的故事
杨辉三角，也被称为贾宪三角或帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在中国古代，数学家杨辉在南宋时期（1261年）的著作《详解九章算法》中首次描绘了这一三角形，并称之为“开方作法本源”图。

在欧洲，法国数学家帕斯卡在1654年也发现了这一规律，因此这个表在欧洲也被叫做帕斯卡三角形。

杨辉三角的发现是中国古代数学的杰出研究成果之一。

这个三角形把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的优美结合。

杨辉三角的每个数等于它上方两数之和，这一性质使得其在数学中有着广泛的应用。

例如，在组合数学中，杨辉三角可以用来计算组合数；在代数中，它可以用来展开二项式；在概率论中，它可以用来计算某些事件的概率等。

此外，杨辉三角还与一些数学游戏和问题有关，如“堆垛术”问题、纵横路线图问题等。

这些问题都可以通过杨辉三角来找到解决方案。

总之，杨辉三角是一个在数学中有着广泛应用和深远影响的数学概念，它的发现和应用展示了中国古代数学的卓越成就和独特魅力。

杨辉三角在日常生活中的有趣应用

杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，也被称为帕斯卡三角，是一个在数学中非常重要的结构。

它不仅仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多有趣的应用。

下面我们就来看看杨辉三角在日常生活中的一些有趣应用。

1.组合数学：杨辉三角的一个重要应用是在组合数学中。

二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示在n个不同元素中选取k个元素的组合数。

杨辉三角的第n行第k个数字就是二项式系数，也就是C(n, k)。

这使得杨辉三角成为了一个非常方便的工具，可以快速地查找二项式系数。

2.概率论：在概率论中，杨辉三角也被广泛应用。

比如，在赌博游戏中，我们可以用杨辉三角来计算各种可能的结果的概率。

假设有一个游戏，玩家可以猜一个骰子的点数，如果猜对了就得奖。

我们可以用杨辉三角来计算玩家猜对点数的概率。

3.编码理论：在编码理论中，杨辉三角也被用来构造一些特殊的编码。

比如，有一种叫做"里德-所罗门码"的编码，就是用杨辉三角来生成的。

这种编码具有很强的纠错能力，被广泛应用在各种数字设备和通信系统中。

4.图形学：在图形学中，杨辉三角也被用来生成一些特殊的图形。

比如，有一种叫做"杨辉三角图"的图形，就是用杨辉三角来生成的。

这种图形具有很强的对称性和美感，被广泛应用在各种设计和艺术作品中。

5.生物学：在生物学中，杨辉三角也被用来描述一些生物学的现象。

比如，在遗传学中，有一种叫做"孟德尔遗传"的现象，就是用杨辉三角来描述的。

这种现象描述了基因在遗传过程中的规律，对于理解生物的遗传和进化具有重要意义。

6.投资理财：在投资理财中，杨辉三角也可以被用来计算投资收益。

假设有一个投资计划，每年投资一定的金额，并且每年的收益率为一定的百分比。

我们可以用杨辉三角来计算在一定年限后，投资的总金额和总收益。

7.教育教学：在教学活动中，杨辉三角也是一个非常好的教学工具。

它可以帮助学生更好地理解数学概念，比如组合数学、概率论等。

杨辉三角—知识点详解

杨辉三⾓—知识点详解杨辉三⾓杨辉三⾓（欧洲叫帕斯卡三⾓）是⼀个很奇妙的东西，它是我国数学家杨辉在1261年发现的，欧洲的帕斯卡于1654年发现，⽐我国的巨佬数学家杨辉晚了393年。

（在此show⼀下我的爱国情怀）铺垫知识(1)⼆项式系数⼆项式系数，定义为(1+x)n展开之后x的系数。

通常来讲，⼆项式系数代表的是从n件物品中，⽆序地选取k件的⽅法总数，如果你读过我全排列的博客，那么你会发现，这就是我们定义的“组合数”。

证明也⽐较简单：我们假设上述的n=4，k=2，通过组合数公式可以得出组合数为6.假如我们把(1+x)4展开并标记每⼀个x，就会得到：(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)上式等于：(1+x1)⋯(1+x4)=⋯+x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4+⋯我们发现，假如把标记去掉，这个x2的系数正好等于6.也就证明了：(1+x)n中x k的系数正好等于从n个元素中选取k个元素的组合数（C k n）.杨辉三⾓性质杨辉三⾓（帕斯卡三⾓），是⼆项式系数在三⾓形中的⼏何排列。

我们看⼀发杨辉三⾓的图，并在此图上进⾏后续的讲解：（版权：转载⾃百度）我们从这张杨辉三⾓⽰意图上发现，杨辉三⾓的每⾏⾏⾸与每⾏结尾的数都为1.⽽且，每个数等于其左上及其右上⼆数的和。

这样我们发现，杨辉三⾓左右对称。

那么我们就可以通过这些基本概念把这个杨辉三⾓同我们所说的组合数即⼆项式系数联系在⼀起：通过刚才的知识铺垫，我们发现，第i⾏的第j个数，我们可以⽤C j i来表⽰从i个元素中选取j个元素的组合数。

（注意，这⾥的第i⾏是从0计数）并且，由于对称性，我们可以发现，杨辉三⾓中第n⾏的第m个数恒等于本⾏的第n-m+1个数。

与⼆项式系数知识点进⾏结合，我们会发现(1+x)n展开后，各次数的系数正好对应第n⾏的每⼀项。

杨辉三⾓代码实现的递推公式在很多题⽬中，我们常常需要⽤打表的形式先处理出杨辉三⾓矩阵，然后再以此为基础进⾏程序求解。

神奇的杨辉三角_刘彦永

中学生数学·２０１８年１月上·第５７７期（高中）趣味数学东北师范大学附属中学（１３００２１）　刘彦永　田立杰　孙桂萍图１南宋的杨辉在他１２６１年所著的《详解九章算法》一书中记录了图１所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在的杨辉三角，其本质是二项式系数在三角形中的一种几何排列（如图２）．杨辉三角中蕴含着许多奇妙的性质，也与许多数学问题有着密切的联系．古今中外，有许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都层深入研究过杨辉三角，１１　１１　２　１１　３　３　１１　４　６　４　１１　５　１０　１０　５　１１　６　１５　２０　１５　６　１１Ｃ０１　Ｃ１１Ｃ０２　Ｃ１２　Ｃ２２Ｃ０３　Ｃ１３　Ｃ２３　Ｃ３３…………Ｃ０ｎ－１Ｃ１ｎ－１……Ｃｎ－２ｎ－１Ｃｎ－１ｎ－１Ｃ０ｎ　Ｃ１ｎ　Ｃ２ｎ　……　Ｃｎ－１ｎ　Ｃｎｎ图２杨辉三角有下列常见性质：（１）第ｎ行第ｒ个数是Ｃｒ－１ｎ－１．（２）两侧边上数字都是１，其它数都是两肩上数之和，即Ｃｒ－１ｎ－１＋Ｃｒｎ－１＝Ｃｒｎ．（３）第ｎ行的数字之和是Ｃ０ｎ－１＋Ｃ１ｎ－１＋Ｃ２ｎ－１＋…＋Ｃｎ－１ｎ－１＝２ｎ－１，ｎ≥２．（４）每一行的数字是对称出现的，即Ｃｒｎ＝Ｃｎ－ｒｎ．（５）每一行奇数位上的数的和与偶数位上的数的和相等，即Ｃ０ｎ＋Ｃ２ｎ＋Ｃ４ｎ＋…＝Ｃ１ｎ＋Ｃ３ｎ＋Ｃ５ｎ＋…＝２ｎ－１．下面我们通过几个例子，来欣赏一下杨辉三角形的神奇．１．杨辉三角与纵横路线图例１　纵横路线图是一类有趣的数学问题．图３是某城市的部分街道图，纵横各有５条路，从Ａ处走到Ｂ处且路径最短，共有多少种不同的走法？解　我们把图３顺时针旋转４５度，然后在交叉点标上杨辉三角对应的数，如图４．一般地，每个交点上的数就是从Ａ处到达该点的方法数，故答案是７０．图３图４由此看来，杨辉三角与纵横路线图也有着密切的联系．无独有偶，２０１６年的高考试题就出现了纵横路线图问题．例２　（２０１６年新课标Ⅱ卷理）小明从街道的Ｅ处出发，先到Ｆ处与小红会合，再一起到位于Ｇ处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．（Ａ）２４（Ｂ）１８（Ｃ）１２（Ｄ）９解　在街道交汇处标记出杨辉三角中对应的数字，如图５，从Ｅ处到Ｆ处的走法共有６种，从Ｆ处到Ｇ处的走法共有３种，根据乘法原理知从Ｅ处到Ｇ处的走法共有１８种，选（Ｂ）．·０２·中学生数学·２０１８年１月上·第５７７期（高中）趣味数学图５２．杨辉三角与莱布尼茨三角形西方著名的莱布尼茨三角形要比中国的杨辉三角晚４００多年．莱布尼茨三角形（如图６）和杨辉三角也有着极其密切的联系，下面通过两个试题说明．１１１２　１２１３　１６　１３１４　１１２　１１２　１４１５　１２０　１３０　１２０　１５１６　１３０　１６０　１６０　１３０　１６１７　１４２　１１０５　１１４０　１１０５　１４２　１７……………… １１　１１　１２　１１　１３　１３　１１　１４　１６　１４　１……………… 图６图７例３　如图６所示的莱布尼茨三角形中，第ｎ＋１行第ｋ列的数为．解　莱布尼茨三角形，第二行每个数乘以２，第三行每个数乘以３，……，第ｎ行每个数乘以ｎ，得到图７，再把每个数取倒数就得到了杨辉三角．杨辉三角中第ｎ＋１行第ｋ列的数为Ｃｋ－１ｎ，倒数是１Ｃｋ－１ｎ，除以ｎ＋１就是１（ｎ＋１）Ｃｋ－１ｎ．例４　（２００６年湖北理科）将杨辉三角中的每一个数Ｃｒｎ都换成１（ｎ＋１）Ｃｒｎ，就得到一个如图６所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出１（ｎ＋１）Ｃｒｎ＋１（ｎ＋１）Ｃｘｎ＝１ｎＣｒｎ－１，其中ｘ＝．令ａｎ＝１３＋１１２＋１３０＋１６０＋…＋１ｎＣ２ｎ－１＋１（ｎ＋１）Ｃ２ｎ，则ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝．解　类比杨辉三角可以发现在莱布尼茨三角形中，每个数都等于它脚下两数字之和，则ｘ＝ｒ＋１（或利用组合数推出）．而对于第二问ａｎ＝１３Ｃ２２＋１４Ｃ２３＋１５Ｃ２４＋…＋１（ｎ＋１）Ｃ２ｎ＝（１１＋１３－２２）＋（１２＋１４－２３）＋（１３＋１５－２４）＋…＋（１ｎ－１＋１ｎ＋１－２ｎ）＝（１＋１３＋１２＋１４＋１３＋１５＋…＋１ｎ－１＋１ｎ＋１）－（２２＋２３＋２４＋…＋２ｎ）＝１－１２－１ｎ＋１ｎ＋１，则ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝１２．事实上，第二问的本质是求莱布尼茨三角形中从第３行第３列到第ｎ＋１行的第３列的所有数之和，结合第一问知每个数都等于其脚下两数的和，添减项就有ａｎ＝１３Ｃ２２＋１４Ｃ２３＋１５Ｃ２４＋…＋１（ｎ＋１）Ｃ２ｎ＋１（ｎ＋１）Ｃ１ｎ－１（ｎ＋１）Ｃ１ｎ＝１２－１（ｎ＋１）Ｃ１ｎ则ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝１２，这个解法应该是命题者的本意．杨辉三角不仅与上述问题有联系，而且和斐波那契数列、谢尔宾斯基三角形、堆垛术和行列式等都有着密切的关系．这些看似独立的数学概念，通过杨辉三角，竟然建立了如此美妙的数学知识网络，这真是一件震撼人心的快事．杨辉三角中究竟还蕴含着怎样优美而神奇的规律？这值得我们进一步深入的探索．参考文献１．教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３．２．张奠宙主编．中学教学全书数学卷．上海：上海教育出版社，１９８３．（责审　周春荔）·１２·。

杨辉三角系数和规律

杨辉三角系数和规律杨辉三角是中国古代著名的数学图形，由数学家杨辉在《详解九章算法》中首次记述。

杨辉三角是一个由数字构成的三角形，其中数字的值是由其上方两个数字相加而来的。

它具有很多奇妙的性质和规律，被广泛应用于数学、物理、统计学等领域。

先来看看杨辉三角的生成过程。

这里以5行为例进行说明：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1第一行只有一个数字1，是该三角形的顶端；第二行有两个数字1，是该三角形的第二层；第三行有三个数字1，中间一个数字2，是由其上方的两个数字1相加得到的；第四行有四个数字1，中间两个数字3，是由其上方两个数字1和2相加得到的；第五行有五个数字1，中间三个数字6，是由其上方两个数字3相加得到的。

这样，整个杨辉三角就被构造出来了。

杨辉三角的规律十分有趣。

首先，杨辉三角的每一行都对应了整数幂的展开式的系数。

例如，三次方展开式(a+b)^3为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，其中1、3、3、1就是杨辉三角的第四行，对应该展开式中的系数。

同理，第五行对应的是(a+b)^4的系数，第六行对应的是(a+b)^5的系数，以此类推。

其次，杨辉三角的每一行都是对称的，即从中心点开始往左和往右的数字是相同的。

例如，第三行和第四行都是对称的，数字排列为1、2、1和1、3、3、1。

这个规律也可以推广到更高的行数。

最后，还有一个有趣的性质是杨辉三角中每一行相邻的两个数之和等于下一行的相应位置上的数。

例如，三角形中第四行3+3=6，3+1=4，1+3=4，都等于第五行相应位置上的数。

这个性质也可以通过数学归纳法证明。

杨辉三角(小学版)

杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所示的三角形数表，这三角形就被称为杨辉三角。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡才发现了同样规律，因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三角”。但是大家从杨辉发现这个规律的年代与帕斯卡发现这个规律年代相比就会知道，我国的杨辉发现此规律比帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，开始称这个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所对应的第n行的数字，
很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它计算最近的路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等许多问题。古老的杨辉三角，即使在我们现代生活中也能得到充分的利用，我们中国人的祖先在几百年前就能最先发现这个有用的规律，是不是令我们由衷地为我们中国灿烂的古代文明心生自豪之情呢？

杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律

杨辉三角的规律以及定理1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1但 4似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)的展开式。

展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11 0)1 1 (11 1)1 2 1 (11 2)1 3 3 1 (11 3)1 4 6 4 1 (11 4)1 5 10 10 5 1 (11 5)1 6 15 20 15 6 1 (11 6)杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。

由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2⋯ n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2⋯ n 次方。

系数是杨辉三角里的系数。

2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )⋯ ⋯相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，⋯ 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，⋯ n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。