奇妙的“杨辉三角”

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奇妙的“杨辉三角”

作者：蓸梭峰

来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2019年第02期

如图1.这是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，人们称之为“杨辉三角”.杨辉还在书中说，这个图出自贾宪的《释锁》算书.但可惜的是，贾宪的书失传了，在西方的数学史著作中，把这个图形称为“帕斯卡三角”，西方人认为这个图形是法国数学家帕斯卡（1623-1662）于1645年首创的，其实，在杨辉之后，中国元代数学家朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）一书中还曾用过这个图形.中亚细亚的阿尔·卡希于1427年、德国数学家阿卜亚鲁斯于1527年也使用过这个图形.但他们都比杨辉或贾宪要晚

很长时间了.

一、“杨辉三角”的性质

这个图形有什么用处呢？“杨辉三角”的原名叫“开方作法本源图”，是用来开方的，其原理至今仍然适用.我们知道，

所以，这个图表示的是（a+b）n当n=l，2，3，4，5，…时展开式的系数.

下面，我们对“杨辉三角”的性质初步归纳一下.

（1）对称性：

每行中与首末两项等距的两个数相等;

（2）递归性：

1以外的任一个数都等于它肩上的两个数之和;

（3）和幂性：

第n+l （n=0，1，2，3，…）行的各数之和等于2n.

借助于这些简单性质，可以解答与（a+b）n有关的问题.

例1 （a+b）20的展开式中第三项的系数为（

）.