排列组合问题教师版

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排列组合例题精选教师（1）

排列组合例题精选教师（1）10.1排列与组合考点⼀:排列问题例1,六⼈按下列要求站⼀横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、⼄必须相邻；（3）甲、⼄不相邻；（4）甲、⼄之间间隔两⼈；（5）甲、⼄站在两端；（6）甲不站左端，⼄不站右端.例1,解（1）⽅法⼀要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A1 4种站法，然后其余5⼈在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A14·A55=480（种）.⽅法⼆由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个⼈中选2个⼈站，有A25种站法，然后中间4⼈有A4 4种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A25·A44=480（种）.⽅法三若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A6=480（种）.（2）⽅法⼀先把甲、⼄作为⼀个“整体”，看作⼀个⼈，和其余4⼈进⾏全排列有A55种站法，再把甲、⼄进⾏全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.⽅法⼆先把甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出⼀个供甲、⼄放⼊，有A1 5种⽅法，最后让甲、⼄全排列，有A22种⽅法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、⼄不相邻，中间有隔档，可⽤“插空法”，第⼀步先让甲、⼄以外的4个⼈站队，有A4 4种站法；第⼆步再将甲、⼄排在4⼈形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可⽤“间接法”，6个⼈全排列有A6=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）⽅法⼀先将甲、⼄以外的4个⼈作全排列，有A44种，然后将甲、⼄按条件插⼊站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.⽅法⼆先从甲、⼄以外的4个⼈中任选2⼈排在甲、⼄之间的两个位置上，有A2 4种，然后把甲、⼄及中间2⼈看作⼀个“⼤”元素与余下2⼈作全排列有A33种⽅法，最后对甲、⼄进⾏排列，有A22种⽅法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）⽅法⼀⾸先考虑特殊元素，甲、⼄先站两端，有A22种，再让其他4⼈在中间位置作全排列，有=48（种）站法.⽅法⼆⾸先考虑两端两个特殊位置，甲、⼄去站有A2 2种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4⼈去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）⽅法⼀甲在左端的站法有A55种，⼄在右端的站法有A55种，且甲在左端⽽⼄在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.⽅法⼆以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之⼀，⽽⼄不在右端有A14·A14·A44种，故共有A5·A44=504（种）站法.考点⼆:组合问题例2, 男运动员6名，⼥运动员4名，其中男⼥队长各1⼈.选派5⼈外出⽐赛.在下列情形中各有多少种选派⽅法？（1）男运动员3名，⼥运动员2名；（2）⾄少有1名⼥运动员；（3）队长中⾄少有1⼈参加；（4）既要有队长，⼜要有⼥运动员.例2, 解（1）第⼀步：选3名男运动员，有C36种选法.第⼆步：选2名⼥运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）⽅法⼀⾄少1名⼥运动员包括以下⼏种情况：1⼥4男，2⼥3男，3⼥2男，4⼥1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C1 4C46+C24C36+C34C2=246种. 6分⽅法⼆“⾄少1名⼥运动员”的反⾯为“全是男运动员”可⽤间接法求解.从10⼈中任选5⼈有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“⾄少有1名⼥运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）⽅法⼀可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有⼥队长”的选法为C48；“男、⼥队长都⼊选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分⽅法⼆间接法：从10⼈中任选5⼈有C 510种选法.其中不选队长的⽅法有C 58种.所以“⾄少1名队长”的选法为C 510-C 58=196种. 9分（4）当有⼥队长时，其他⼈任意选，共有C 49种选法.不选⼥队长时，必选男队长，共有C 48种选法.其中不含⼥运动员的选法有C 45种，所以不选⼥队长时的选法共有C 48-C 45种选法.所以既有队长⼜有⼥运动员的选法共有例3, 4个不同的球，4个不同的盒⼦，把球全部放⼊盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有⼏种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有⼏种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有⼏种放法？例3,解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒⼦中任意取出去⼀个，问题转化为“4个球，3个盒⼦，每个盒⼦都要放⼊球，共有⼏种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒⼦中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒⼦内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒⼦放2个球，每个盒⼦⾄多放1个球，也即另外3个盒⼦中恰有⼀个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同⼀件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C 24种⽅法.4个球放进2个盒⼦可分成（3，1）、（2，2）两类，第⼀类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种⽅法；第⼆类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种⽅法.故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.当堂检测答案1，从5名男医⽣、4名⼥医⽣中选3名医⽣组成⼀个医疗⼩分队，要求其中男、⼥医⽣都有，则不同的组队⽅案共有（）A ，70 种B ，80种C ，100 种D ，140 种解析：分为2男1⼥，和1男2⼥两⼤类，共有21125454C C C C ?+?=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。

四年级第二十一讲排列组合教师版

第 21 讲摆列组合内容归纳认识摆列、组合公式的出处及含义，掌握详尽的计算方法；辨析摆列、组合之间酌差异与联系，并能够合理应用．典型问题兴趣篇1. 计算：(1)A42(2) A104(3)3 A33A63【答案】 (1)12(2)5040(3)138【剖析】依照摆列公式A n m( m1)(m n1) 计算m(1)A42 4 312(2) A104109875040(3)3A33A631382．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 24【剖析】这种摆列是有序的A44 4 3 2 1 243．体育课上，老师从10 名男生中挑出 4 人站成一排，—共有多少种不相同的摆列方法?【答案】 5040【剖析】先从 10 人中选出 4 人，再让 4 人全摆列C104A4424 210 50404．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8 个空座位，他们一共有多少种不相同的坐法?【答案】 1680【剖析】先让 4 人选座位，再让 4 人全摆列C84A4470 24 16805．用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?若是把这些三位数从小到大排起来， 312 是其中第几个 ?【答案】（ 1） 210；（ 2）第 61 人【剖析】第一个地址有7 中选择第二个地址有6个选择第三个位置有5 个选择(1) A17A61A51210(2)百位是 1开头的有 30个，百位是 2开头的有 30个，312是第 61个6.计算：(1)C52(2) C74(2) A63C63【答案】（ 1） 10 （2） 35（ 3） 2400【剖析】依照组合公式n A m n2 5 44 765433120 20 2400C m n(1)C52 110(2)C7432135(3)A6C6A n7．图 21-1 中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：(1)以这些点为端点，一共能够连出多少条线段?(2)以这些点为极点，一共能够连出多少个三角形?【答案】（ 1） 15 条；（ 2） 20 个【剖析】（ 1）不在同素来线两点确定一条直线C6215 （2)不在同素来线三点确定一个三角形 C6320 个8．费叔叔把 10 张不相同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，而且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张．一共有多少种不相同的分法 ?【答案】 45【剖析】先选出8 张冬冬，剩下 2 张就是阿奇的C108209．小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法 ?若是数学课与钢琴课时间矛盾，不能够同时学，她一共有多少种选法 ?【答案】 50【剖析】用消除法八门中任选三门，有56 种，数学课与钢琴课同时上有 6 种，减去不吻合题意的 6 种，C83C1656 650 种10．象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问：(1)若是从中选 3名同学在第二天的清早、中午、夜晚分别做值日，共有多少种选法?(2)若是从中选 3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法?【答案】（ 1） 504 种；（ 2） 84 种【剖析】（ 1）先选出 3 人再全摆列，A39 8 7504 种（2）这种选人是无序的C38499种拓展篇1. 计算：(1)A52(2) A73(3) A64A62【答案】（ 1） 20；（ 2） 210；（ 3） 330【剖析】(1)A52 5 4 20 (2) A737 6 5 210 (3) A64A62 6 5 4 3 6 53302．如图 21-2 所示，有 5 面不相同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共能够表示出多少种不相同的信号?【答案】 60【剖析】先从 5 面旗选出 3 面旗，再让三面旗全摆列A5360 种3． 3 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9 本，且各不相同．若是每人只借 1 本，那么共有多少种不相同的借法?【答案】 504【剖析】先从 9 本书选出 3 本书，再让 3 本书全摆列A93504 种4．用 1、2、3、4、5 这五个数码能够组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大摆列起来，4125 是第几个 ?【答案】（ 1） 120；（2） 74 个【剖析】（ 1）第一个地址有 5 种选法，第二个地址有 4 种选法，第三个地址有三种选法，第四个地址有 2 种选法，A54120 （2）千位以1开头的有 A41A31A2124 个千位以2开头的有 A41A31A2124 个千位以 3 开头的有A41A31A2124 个千位以 4 开头第一个4123，第二个就是4125 所以24 3 2 74个5. 计算：(1)C93(2) C1032C102(3)C4， C1(4) C107， C35510【答案】（ 1） 84；（ 2） 30；（ 3） 5,5 ；（ 4）120,120【剖析】 (1)C9384 ； (2) C1032C102120 9030；(3)C545， C515(4)C107120 ， C1031206．如图 21-3 所示，从端点O 出发的射线共有7 条，图中一共有多少个锐角?【答案】 21【剖析】夹角最大两条直线间夹角小于90 度，所以这两条直线间的任两条直线组成的角小于90度，C727 6 2 21个7．如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为极点或端点，一共能够画出多少条线段 ?多少个三角形 ?多少个四边形 ?【答案】（ 1） 28 条；（ 2） 56 个；（ 3） 70 个；【剖析】（1）不在同素来线两点确定 1 条直线，C8228 条（2）不在同素来线三点确定1个三角形， C8356 个（3）不在同素来线四点确定 1 个四边形，C8470 个8．9 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场．每场比赛后胜方得3分，平局双方各得 1 分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛?9 支队伍的得分总和最多为多少 ?【答案】（ 1） 36 场（ 2） 108 分【剖析】（ 1）9 个队中每 2 个队比一场C9236 场（2）分总和最多，那就是全赢363108分9．学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片 ? 【答案】 120 张【剖析】没有排序问题所以C8312010．在新学期的班会上，大家要从11 名候选人中选出班干部．请问：(1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担当语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法 ?【答案】（ 1） 165 种（ 2） 336 种【剖析】（ 1）从 11 人中选出 3 人C113165 种（2）从剩下 3 人选出 3 人全摆列C83A3356 6 336种11．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从12 个颜色不相同的彩球中领取一个．请问：(1)小悦是第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法 ?(2)小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?【答案】（ 1） 495 种；（ 2）24 种；（ 3） 11880 种【剖析】（ 1）从 12 个球中选出 4 个没有排序问题C124495 种（2）把四个不相同色的球分给4个人A4424 种（3）先从12 个不相同色的球选出4 个不相同色的球，再分给 4 个人，C124A44495 24 11880 种12．周末大打扫，老师要从第一组的10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生．请问：(1)若是老师任意选择，一共有多少种选择方法?(2)若是老师决定选出 2 名男生和 3名女生，一共有多少种选择方法?【答案】（ 1） 15504 种；（ 2） 5400 种【剖析】（ 1）从 20 人中选出 5 人C20315504 种（2)从10名男生选 2 人，从 10 名女生选 3人C102C1035400 种超越篇1．有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，所有这样的四位数从小到大依次摆列，第20 个是多少 ?【答案】 5132【剖析】因为由 4 个互不相同且不为零的数字组成，而且这而且这 4 个数字的和等于11．将4 个数字的和等于11，只有数字1,2,3,5满足千位 1 开头有A31A21 6 个，千位 2 开头有A31A21 6 个，千位 3 开头有A31A21 6 个，千位 5 开头有第一个5123 第二个51326+6+6+2=202．在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，别的 3 个人站成第二排．请问：(1)若是能够任意站，那么一共有多少种排法?(2)若是要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不相同的排法?【答案】（ 1） 720 种；（ 2）36 种【剖析】（ 1）先从 6 人中选出 3 个人为第一排，再全摆列，剩下 3 人为一排再全摆列C63A33A33720种（ 2）最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排列， A33A3336 种3．小口袋中有 4 个球，大口袋中有 6 个球，这些球颜色各不相同．请问：(1)任意取 4 个球出来，那么共有多少种不相同的结果?(2)取出 4 个球，而且恰好从每个口袋中各取 2 个球，共有多少种不相同结果【答案】（ 1） 210 种；（ 2）90 种【剖析】（ 1）从小口袋取出 4 个大口袋取0 个，从小口袋取出 3 个大口袋取袋取出 2 个大口袋取 2 个，从小口袋取出 1 个大口袋取 3 个，从小口袋取出?1 个，从小口0 个大口袋取4个 C44C41C63C42C62 C 43 C 16C64 1 80902415210 种(2)每个袋子取两个，是无序的C42C62 6 1590 种4.在 1 至 30 30 个自然数中任意挑出两个不相同的数，使得它的和是偶数，一共有多少种不相同的挑方法 ?【答案】 210 种【剖析】和偶数，共 2 种情况：奇＋奇偶＋偶。

排列与组合.版块八.排列组合问题的常用方法总结2.教师版

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种．【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15，故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种．当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种．于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=．【答案】816；【例4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=．【答案】120；【例5】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种．【答案】120；【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法．【答案】C ；【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种．【答案】24；【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种．因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=．【答案】90；【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果．【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法．换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种【答案】15；【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =．【答案】360【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种．【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种．【答案】66【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个．【答案】1365；。

排列组合公式(教师版)

一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、熟练掌握排列的定义和公式．二、熟练掌握组合的定义和公式．三、能够用排列组合解决简单的问题．四、初步区分排列和组合．一、排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．【答案】（1）20（2）210（3）330【解析】（1）255420A =⨯=（2）37765210A =⨯⨯=（3）4266654365330A A -=⨯⨯⨯-⨯=．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．【答案】12；5040；270【解析】（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=；（3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=．3、0121112C +C __________.=【答案】2【解析】全选和一个都不选都是有一种方法，112+=．课堂例题方法精讲4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．【答案】10；30；5，5；120，120【解析】（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=；（3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，；（4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯=．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；（4）0121010101010C C C C ++++ ；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．【答案】8；16；32；1024；1024【解析】（1）012333332228C C C C +++=⨯⨯=；（2）0123444444=2222=16C C C C C ++++⨯⨯⨯；（3）0123455555552222232C C C C C C +++++=⨯⨯⨯⨯=；（4）012101010101010=2=1024C C C C ++++ ；（5）01234511111111111111221024C C C C C C +++++=÷=．二、排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？【答案】24【解析】从4个人中选3人出来排列，3443224A =⨯⨯=．7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．【答案】24【解析】另外四个人任意占无要求，所以总的方法数是44432124A =⨯⨯⨯=．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．【答案】336【解析】有一定的顺序，所以答案是38876336A =⨯⨯=．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？【答案】120；24；48【解析】（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=；（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．。

小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)

第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

排列组合练习题教师版

排列组合练习题40题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有0112233 6656463141C C C C C C C+++=种考点：排列组合问题2．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A、24个B、36个C、48个D、54个【答案】C【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个共计12＋36＝48个考点：排列组合3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。

技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】C【解析】试题分析：前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有211 22832A C C=种方法．考点：排列与组合公式．4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】试题分析：随机变量X的可能取值为6,5,4,3取值个数为4.1 / 10考点：离散型随机变量的取值.5．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】A【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有33A 种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有23C 13C 33A 种方法，故共有33A ＋23C 13C 33A ＝60种方法，故选A ．6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A，B ，C”或“C，B ，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C【解析】五个元素没有限制全排列数为55A ，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A)故除以这三个元素的全排列33A ，可得5533A A ×2＝40． 7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A ．56种B ．84种C ．112种D ．28种【答案】C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有27C 种分组方法；若一组3支，另一组4支，有37C 种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(27C ＋37C )22A ＝112种放法．8．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】C【解析】爸爸排法为22A 种，两个小孩排在一起故看成一体有22A 种排法．妈妈和孩子共有33A 种排法，∴排法种数共有22A 22A 33A ＝24种．故选C ． 9．2013年8月31日，第十二届全民运动会在辽宁省举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A ．128种B ．196种C ．246种D ．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有510C3 / 10种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种．所以“至少有1名女运动员”的选法有510C －56C ＝246种． 10．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，∴一共有6×4×2＝48(种)．11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B【解析】从A 到B 若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a 和两个b的不同排法，第一步：先排a 有35C 种排法，第二步：再排b 有1种排法，共有10种排法，选B 项．12．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25考点：排列组合公式13．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．648C ．328D ．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识14．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A.36种B.30种C.24种D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识15．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有246C =种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共4632=144⨯⨯⨯种.考点：排列组合.16．用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（） A ．610 B ．630 C ．950 D ．1280【答案】B【解析】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有11111111114554555544605A A A A A A A A A A 种；第二类：涂三个红色圆，共有115525A A 种；故共有630种.17．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E ，有4种涂法，再涂点B ，有两种可能：5 / 10(1)B 与E 相同时，依次涂点F ，C ，D ，A ，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B 与E 不相同时有3种涂法，再依次涂F 、C 、D 、A 点，涂F 有2种涂法，涂C 点时又有两种可能：（2.1）C 与E 相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．（2.2）C 与E 不相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．18．将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A ．240种B ．120种C ．60种D ．180种【答案】B【解析】试题分析：从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则3264120C C =.19．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A ．240B ．126C ．78D ．72【答案】C试题分析：根据题意，分情况讨论，①甲、乙、丙三人中有两人在一起参加除了开车的三项工作之一，有2112332236C C C A ⨯=种；②甲、乙、丙三人各自1人参加除了开车的三项工作之一即丁、戌两人一起参加开车工作时，有336A =种；③甲、乙、丙三人中有一1人与丁、戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一，有11123232136C C C A ⨯=种，由分类计数原理，可得共有3663678++=种，故选C.20．六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为( )A ．24B ．36C ．16D ．18【答案】D【解析】女生的安排方法有22A ＝2种．若男生甲到B 学校，则只需再选一名男生到A 学校，方法数是13C ＝3；若男生甲到C 学校，则剩余男生在三个学校进行全排列，方法数是33A ＝6.根据两个基本原理，总的安排方法数是2×(3＋6)＝18.21．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )．A ．720种B ．520种C ．600种D ．360种【答案】C【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有134254C C A 种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有22222523C C A A 种．共有：134254C C A ＋22222523C C A A ＝600(种)．二、填空题（题型注释）22．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。

教师排列组合典型例题

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。

1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

3.排列数公式：4.组合数公式：5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。

例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。

即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。

解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。

结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。

即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。

(教师版)排列组合问题经典题型与通用方法

排列组合问题经典题型与通用方法(教师版)1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)

2021届浙江高三2-3月卷排列组合小题汇编(教师版)

2021届浙江高三2-3月卷排列组合小题汇编（教师版）一、选择题1：（2021年2月杭二中高三开学考解析第6题）1：美国对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲、乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲、乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）中A ．96B ．120C ．180D ．216方法提供与解析：（浙江宁波虞哲骏）解析：由题：先选两个人一组：2213329C C C +=种，再分配到4个部门：44A ．所以共有449216A =种，故选D ．2：（2021年2月高三之江教育开学考解析第7题）2：5名同学排成一组照相，若甲、乙相邻且乙、丙不相邻，则不同的排法有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种方法提供与解析：（浙江嘉兴王帅峰）解析1：（间接法）此题直接做需要分类讨论，适合用间接法：只考虑甲乙相邻时，共有424248A A ⨯=种，甲乙相邻且乙丙也相邻时，则甲乙丙三人的顺序只能是甲乙丙或者丙乙甲，此时共有33212A =种，所以甲、乙相邻且乙、丙不相邻的种类共有36种，故选B3：（2021年2月瑞安中学高三返校考解析第7题）3：从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（）A.720B.1120C.1200D.1680 方法提供与解析：（杭州唐慧维）解析：分两类：①有0：1121311214513122400C C C A A A A A②无0：22134523720C C A A综上，4007201120N ，故选B.4：（2021年3月宁波十校高三联考解析第8题）4：现有个9相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同方法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．16方法提供与解析：（浙江宁波周西奥）解析：（经典的方程解的问题）首先，由于各个盒子中球数互不相同，此时共有(3,3,3),(4,4,1),(2,2,5),(1,1,7)，排列得1+3+3+3=10组解，这是我们要舍去的；其次，设三个盒子中的球数为123,,x x x ，原题即1239x x x ++=的解的个数，相当于9个球，8个空中插2块隔板，也就是2828C =种，故所有的种数为28-10=18种5：（2020年12月宁波市高中数学竞赛解析第7题）5：某次考试共有3道题，每题的得分均可能为0分、1分、2分、或3分，若共有15名学生参加考试，则存在两名学生甲、乙（）A ．前两题的得分均相同B ．三道题的得分之和相同C ．三道题的得分之积相同D ．对每道题，甲的得分均不低于乙的得分方法提供与解析：（浙江绍兴孔祥新）解析：A ．前两题的得分的不同情况有44=16⨯种，所以A 不正确； B ．三道题的得分之和可能的值有0，1，2，…，9，共10种，所以B 正确；C ．三道题的得分之积可能的值有0，1，2，3，4，6，8，9，12，18，27，共11种，所以C 正确；D ．先考虑两名学生前2题的得分情况，若前2题得分相同，则这2名学生即符合条件，故不妨设没有2名学生前2题得分相同，将其16种不同的得分情况分成三类．第一类（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）至多4名学生，第二类（0，1），（1，1），（2，1），（2，2），（2，3）至多5名，第三类（0，2），（0，3），（1，2），（1，3）至多4人，至多13种，所以D 正确；故选B,C ，D ．6：（2021年2月数海漫游“迎辛丑年”线上测试卷解析第17题）6：将1,2,3,4,5五个数字排成一行，满足相邻两数差的绝对值不大于2的排列有种（）．A ．4916-B ．3-C ．116-D ．20方法提供与解析：（浙江新昌+赵洋）解析1：（间接法、排除法）五个数字的全排列数为55120A =．相邻两数差的绝对值大于2的组合有1，4；1，5；2，5三种组合，仅有一个组合中的两数相邻时，其不同排法种数为424248A A ⋅=；当1，4与1，5同时相邻时，1必定在中间，4，5分居两侧，其不同排法种数为323212A A ⋅=；当1，5与2，5同时相邻时，5必定在中间，1，2分居两侧，其不同排法种数为323212A A ⋅=；当1，4与2，5同时相邻时，其不同排法种数为32232224A A A ⋅⋅=；当三个组合同时相邻时，有5在1，2中间，1在4，5，则有2,5,1,4，或者4,1,5,2，其不同排法种数为22224A A ⋅=；所以满足题意的不同排法种数为120483*********N =-⨯+++-=，故填20解析2：（直接法、树状图）当1的左右两侧都有数字时，必为2,3，其排法有两种，排好后将其作为一个整体；当4，5位于整体的两侧时，5只能在3的边上，4在2的边上，仅有一种排法；当4，5位于整体的同侧时，4，5同在3的边上有两种排法，4，5同在2的边上有一种排法，此时共有不同排法种数1248N =⨯=．当1在左侧时，有树图如下共有不同排法种数为26N =；当1在右侧时，同理可得36N =；，所以满足题意的不同排法种数为12320N N N N =++=，故填20二、填空题1：（2021年3月温州二模解析第15题）1：有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法．（用数字作答）A B C DEF方法提供与解析：解析：由题：先排第一行有：11222324C C A =种排法，则第2行用列举法可知有3种排法，所以总共有：72种．答案：722：（2021年2月新昌高三期末卷解析第16题）2：小张的公司年会有一个小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x ，第二个球的号码是y ，记2x y ξ=+，则()7P ξ==；若公司规定9,8,7ξ=时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为元．方法提供与解析：（浙江温州+倪阿亮）解析：由题意可知7123322ξ==+⨯=+⨯，所以()311257666636P ξ==⨯+⨯=；()21286636P ξ==⨯=()11196636P ξ==⨯=，所以玩一次获得奖金的期望为25125050020010003636363⨯+⨯+⨯=3：（2021年2月浙江省水球高考命题研究组方向性测试解析第15题）3：从1，2，3，4，5，6中选出五个数字组成五位数，要求有且仅有两个奇数相邻，则所有满足条件的五位数的个数是．（用数字作答）方法提供与解析：（浙江温州郑寿好）解析：若选出2奇3偶，则有13123342144=C A A A 种；若选出3奇2偶，则有1222232332216=C A C A A 种；；故填360．4：（2021年2月温州中学高三返校考解析第16题）4：“e 游小镇”某公司有E D C B A ,,,,五幢独立的大楼，每两幢大楼的顶楼之间没有连接的天桥，现在公司打算在这五幢楼的顶楼之间共建造3座天桥（每两幢楼的顶楼之间至多建造一座天桥），要使A 楼的人员能够通过天桥走到B 楼，则3座天桥的建造方法共有种．方法提供与解析：（杭州沙志广）解析1（分类）：（1）A 直接连接B ，还剩两座大桥未连接，有362)2)(1(2525=--C C 种（2）A 通过一幢楼作为中介连接至B ，可选E D C ,,其一维中介，故共有21)232(3=++⨯种建造方法（3）A 通过两座楼为中介再连至B ，可选DE CE CD ,,三种情况，若选CD ，有B D C A ---，B C D A ---两种，故共有623=⨯种综上所述，共有6362136=++种5：（2021年2月高三名校协作体联考解析第15题）5：有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法．方法提供与解析：（浙江杭州罗彪）解析：捆绑法+插空法第一步，考虑甲乙丙的位置关系，丙只能在最前或后，甲乙顺序随意，有1222C A 4=种情况；第二步，考虑将丁放入甲乙丙产生的4个空位中，有14C 4=种情况；第三步，4个空位插入甲乙丙丁产生的5个空位中，4个空位由题意是2个1空位，1个2连空位，先选一个位置放2连空位有15C 种情况，再选2个空位放1空位有24C 种情况，故有1254C C 30=种情况；因此，总计有4430480⨯⨯=种情况，故答案为480．6：（2021年3月高三“超级全能生”联考解析第16题）6：某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题，并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有种不同的答题顺序方法提供与解析：（杭州沙志广）解法1：参与者一共需要6次完成答题任务，其中1次答第一串灯笼中的题共有16C 种不同的顺序，另有2次答第二串灯笼中的题共有25C 种不同顺序，剩余三次答第三串灯笼中的题有33C 种不同顺序，所以一共有60332516=C C C （种）解法2：该题目也可以理解成将“A ，21,B B ，321,,C C C 一共6个姊妹排成一排，21,B B 按既定顺序排列，321,,C C C 也按既定顺序排列的方法数”，所以一共有60332516=C C C （种）或者60332266=A A A 种。

高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。

排列组合中的染色问题(教师用)

排列组合中的染色问题(教师用)111如果方格数有变化，应该怎样解？2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120 ）562341解：先安排1、2、3有2434=A种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。

所以共计有24*5=120种。

3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260）解：①.如果用4种颜色，有12045=A种21432②.如果用3种颜色，选色的1035=C，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，BBB CCC AAABC A③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。

4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180）解：1432①.如果用3种颜色，603335=⨯A C；②. .如果用4种颜色，有12045=A种。

所以共计3180种。

5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。

（480）1432解：4804456=⨯⨯⨯6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。

1432解：4nA =120，即)123)(103(22+---n n n n=0，解得n=5。

7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？（420）4SCDBA解：先染S 、A 、B ，（6035=A）然后涂C ，⎪⎩⎪⎨⎧---)5/3(4)5/4/3(2)4/3(5D C D C D C 共七种，所以不同选法种数为60*7=420种。

8. 如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120 ）解：同第2题。

完整版排列组合题型分类解析教师版

排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、两个计数原理： ____________________________ （分类）___________________________ （分步）2、排列：（1）排列的定义： _________________________（2）排列数公式：____________________________3、组合：（1）组合的定义： _________________________（2）组合数公式：____________________________（3 ）组合数性质：①_______________ ②________________二. 排列组合题常见解法.1. 分类法•例1 : 50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种.解析：分两类，有4件次品抽法C4 c：6 ；有三件次品的抽法c： c46,所以共有c：c；6 + C4 c46 = 4186种不同的抽法.练习1.假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件•①至少有两件是次品的抽法共多少种？②至多有两件是次品的抽法共有多少种？2. 捆绑法例2: 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有—种（c）（A）720 种（B）360 种（C）240 种（D）120 种5 2 5解析将甲、乙两人视为一人，则有A种，再将甲、Z两人互换位置，则共有A A5=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相，甲乙两人要站在一起的排法共有多少种？练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_______________ 种3. 对称法例3. A、B、c D、E五人并排站在一排，若B必须站在A的右边（A、B可以不相邻）.则不同排法共有（）A. 24 种B. 60 种c. 90 种D. 120 种解析：考虑对称性，1B在A右和A在B右机会均等.应得排法-A；=60种.2说明本题还可以推广到更为一般的情况，m个人并排站成一排，其中n（m>n）个人的相对顺序一定，共有A m匹种.如例3中，若A、B C顺序一定，共有A；=20 种。

高中数学23排列组合典型例题教师用

1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。

它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3.⑴排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑶排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈-L ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯L 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑴组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示. ⑶组合数公式: (1)(1)!!!()!m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===-L . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑷组合数的两个性质: ①;m n m n n CC -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. ②11m mm nn n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。

排列组合与概率统计(教师版详)-新高考卷概率与统计热门考题汇编

2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．四、二项式定理(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+⋯+C r n a n-r b r+⋯+C n n b n(n∈N∗)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的C r n a n-r b r做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T r+1=C r n a n-r b r，其中的系数C rn (r =0，1，2，⋯，n )叫做二项式系数，2.(2)两个常用的二项展开式：①(a -b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +L +-1 r C r n a n -r b r +L +-1 n C n n b n (n ∈N ∗)，②1+x n =1+C 1n x +C 2n x 2+L +C r n x r +L +x n(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)①每一行两端都是1，即C 0n =C n n ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n +1=C m -1n +C m n ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n =C n -m n ．③二项式系数和令a =b =1，则二项式系数的和为C 0n +C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n ，变形式C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n -1．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a =1，b =-1，则C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +⋯+(-1)n C n n =(1-1)n =0，从而得到：C 0n +C 2n +C 4n ⋅⋅⋅+C 2r n +⋅⋅⋅=C 1n +C 3n +⋯+C 2r +1n +⋅⋅⋅=12⋅2n =2n -1．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项T n 2+1的二项式系数C n 2n 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项T n +12，T n +12+1的二项式系数C n -12n ，C n +12n相等且最大．⑥求(a +bx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，⋅⋅⋅，A n +1，设第r +1项系数最大，应有A r +1≥A rA r +1≥A r +2 ，从而解出r 来．(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布1.n 重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．2.n 重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n 次；(2)各次试验的结果相互独立．3.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )4.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).六、超几何分布1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN，k =m ，m +1，m +2，⋯，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m =max {0，n -N +M }，r =min {n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布的期望E (X )==np (p 为N 件产品的次品率)．七、二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A 或A ，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )8.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).八、二项分布的两类最值(1)当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k (1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p kp k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −k k (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.(2)当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k(1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C k n kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.九、复杂概率计算(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：A i 表示“第i 局比赛胜利”，则A i表示“第i 局比赛失败”.(2)理解事件中常见词语的含义：A ,B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 都发生的事件为AB ；A ,B 都不发生的事件为；A ,B 恰有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 至多一个发生的事件为A ∪B ∪.(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P A =1-P A解出所求事件概率.十、条件概率1.条件概率定义一般地，设A ,B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )=P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．可以看到，P (B |A )的计算，亦可理解为在样本空间A 中，计算AB 的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即P (B |A )=n (AB )n (A )=n AB n Ω n A n Ω=P ABP A.特别地，当P (B |A )=P (B )时，即A ,B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B ).2.条件概率的性质设P (A )>0，全样本空间定义为Ω，则(1)P Ω|A =1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )=P B |A +P C |A ；(3)设事件A 和B 互为对立事件，则P (B∣A )=1-P (B ∣A )．十一、全概率公式与贝叶斯公式1.在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )=ni =1P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2.贝叶斯公式设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P B >0，有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k，i =1,2,⋯,n .在贝叶斯公式中，P A i 和P A i |B 分别称为先验概率和后验概率．十二、一维随机游走与马尔科夫链1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：P i ⋅j =P X n +1=j X n =i 为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若P X n +1=i X n =i ,X n -1=i n -1,⋅⋅⋅,X 0=i 0=P X n +1=j X n =i =P ij ，即未来状态X n +1只受当前状态X n 的影响，与之前的X n -1，X n -2，⋅⋅⋅，X 0无关.3.一维随机游走模型.设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t =0时，位于点x =i i ∈N + ，下一个时刻，它将以概率α或者βα∈0,1 ,α+β=1 向左或者向右平移一个单位. 若记状态X t =i 表示：在时刻t 该点位于位置x =i i ∈N + ，那么由全概率公式可得：P X t +1=i =P X t =i -1 ⋅P X t +1=i X t =i -1 +P X t =i +1 ⋅P X t +1=i X t =i +1 另一方面，由于P X t +1=i X t =i -1 =β，P X t +1=i X t =i +1 =α，代入上式可得：P i =α⋅P i +1+β⋅P i -1进一步，我们假设在x =0与x =m m >0,m ∈N + 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P 0=0，P m =1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：P i =a ⋅P i +1+b ⋅P i +c ⋅P i -1有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.十三、统计1.线性回归方程与最小二乘法(1)回归直线方程过样本点的中心(x ,y )，是回归直线方程最常用的一个特征(2)我们将y =b x +a称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ,a叫做b ，a 的最小二乘估计(leastsquaresestimate )，其中b =ni =1x i -xy i -y n i =1x i -x 2 =ni =1x i y i -nx ⋅y ni =1x 2i -nx2a =y -b x .(3)残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．(4)刻画回归效果的方式(i )残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(ii )残差平方和法：残差平方和ni =1y i -y i 2 ，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(iii )利用R 2刻画回归效果：决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．R 2=1ni =1y i -yi 2ni =1y i -y2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．第二部分.试题汇编一、单选题2.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))若二项式3x 2+1x2n展开式中存在常数项，则正整数n 可以是()A.3B.5C.6D.7【详解】二项式3x 2+1x2n展开式的通项为T r +1=C r n(3x 2)n -r1x 2r =3n -r C r n x 2n -4r，令2n -4r =0，解得：r =n2，又因为0≤r ≤n 且r 为整数，所以n 为2的倍数，所以n =6，故选：C .3.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13B.12C.23D.34【详解】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为a ,b ,c ，则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有a ,a ,a ,b ,a ,c ,b ,a ,b ,b ,b ,c ,c ,a ,c ,b ,c ,c 共9种，而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有a ,a ,b ,b ,c ,c 共3种，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率P =39=13.故选：A 4.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)ax +y 5的展开式中x 2y 3项的系数等于80，则实数a =()A.2B.±2C.22D.±22【详解】展开式的通项公式是T r +1=C r 5⋅ax 5-r ⋅y r ，当r =3时，x 2y 3项的系数为C 35⋅a 2=80，解得：a =±2 2.故选：D5.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.109165【详解】11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率P =49，则11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率P =1-49=59.故选：C 6.(广东省2023届高考一模)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()A.96种B.64种C.32种D.16种【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有2A 22=4种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有A 14A 12=8种排法；第三步，排数字5和6，共有A 22=2种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×2=64.故选：B .7.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P A =P B的充要条件是()A.P A ∪B =P A +P BB.P A ∪C =P B ∪CC.P AB =P ABD.P AC =P BC【详解】解：对于A ：因为P A ∪B =P A +P B -P A ∩B ，由P A ∪B =P A +P B ，只能得到P A ∩B =0，并不能得到P A =P B ，故A 错误；对于B ：因为P A ∪C =P A +P C -P A ∩C ，P B ∪C =P B +P C -P B ∩C ，由P A ∪C =P B ∪C ，只能得到P A -P A ∩C =P B -P B ∩C ，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，故无法确定P A =P B ，故B 错误；对于C ：因为P AB =P A -P AB ，P AB =P B -P AB ，又P AB =P AB ，所以P A =P B ，故C 正确；对于D ：由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，若A ，B ，C 相互独立，则P AC =P A P C ，P BC =P B P C ，则由P AC =P BC 可得P A =P B ，故由P AC =P BC 无法确定P A =P B ，故D 错误；故选：C8.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A.100个B.125个C.225个D.250个【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有A15种，取能重复的偶数字有A14种，它们排入数位有A22种，取偶数字占百位有A15种，不同“回文数”的个数是A15A14A22A15=200个，最少2个0，取奇数字有A15种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A15种，不同“回文数”的个数是A15A15=25个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有200+25=225个.故选：C9.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为()A.15B.310C.325D.625【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有C35A33=60种实习方案，当分为2,2,1人时，有C25C23A22⋅A33=90种实习方案，即共有60+90=150种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C13A33+C23A33=36种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36150=625，故选：D.10.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2x-1xn展开式的常数项为()A.-160B.60C.120D.240【详解】因为6×75%=4.5，所以n=6，所以2x-1 x6展开式的通项为：T r+1=C r62x6-r-1 xr=C r6⋅26-r⋅-1 r⋅x6-32r，令6-32r=0得：r=4，所以展开式的常数项为C46×22×-14=60，故选：B．11.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知x3+2x2n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为()A.60B.80C.100D.120【详解】当x=1时，3n=243，解得n=5，则x3+2 x2n的展开式第r+1项T r+1=C r5(x3)5-r2x2 r=C r5 x15-3r2r x-2r=C r52r x15-5r，令15-5r=0，解得r=3，所以C3523=10×8=80，故选：B12.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N 4,σ2 σ>0 ，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【详解】由题得：P x ≥2 =0.9，故P x <2 =0.1，因为6+22=4，所以根据对称性得：P x ≥6 =P x <2 =0.1.故选：D .13.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则P B A =()A.79B.89C.911D.1011【详解】由题可得P A =6×6-5×56×6=1136，P AB =2×56×6=518,所以P B A =P ABP A=5181136=1011.故选：D .14.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A ,B ,C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为()A.193243B.100243C.23D.59【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为C 35×A 33=60;当5人被分为2,2,1时，情况数为C 15×C 24A 22×A 33=90；所以共有60+90=150.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则C 34×A 22=8，甲若为3，则C 24×A 22=12，共计8+12=20种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则C 24A 22×A 22=6，甲若为2，则C 14×C 13×A 22=24，共计6+24=30种，所以甲不在A 小区的概率为150-20+30 243=100243，故选：B .15.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.310B.12C.35D.910【详解】以点A为例，以点A为其中一个顶点的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ABF,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF，共10个，其中直角三角形为△ABD,△ABE,△ACD,△ACF,△ADE,△ADF，共6个，故所得三角形是直角三角形的概率为610=35.故选：C16.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则P1=C23C24×0.82=0.32,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则P2=C11C13C24×0.8×0.25=0.1，故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42,故选：C17.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(X>3)=16，则P(X<1)=()A.13B.23C.16D.56【详解】随机变量X服从正态分布N2,σ2，显然对称轴X=2，所以由对称性知P(x<1)=P(x>3)=16，故选：C．18.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)(1+x)n展开式中二项式系数最大的是C5n，则n不可能是()A.8B.9C.10D.11【详解】当n=9时，C59是最大的二项式系数，符合要求，当n=10时，C510是最大的二项式系数，符合要求，当n =11时，C 511=C 611是最大的二项式系数，符合要求，当n =8时，显然C 58<C 48，不满足，故选：A ．19.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为X 1,X 2．设Y 1=X 1,X 1≥X 2X 2,X 1<X 2 ，设Y 2=X 1,X 1≤X 2X 2,X 1>X 2 ，记事件A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”，则P B ∣A =()A.19B.29C.15D.211【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为36种，显然Y 1是取大函数，所以A =“Y 1=5”，则X 1,X 2中有一个数字是5，另一个数字小于等于5，有5×2-1=9种；显然Y 2是取小函数，所以A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”同时发生，则有3,5 和5,3 ；所以P A =936=14，P BA =236，所以P B ∣A =P BA P A=29.故选：B ．二、多选题20.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则()A.P (X >32)>P (Y >32)B.P (X ≤36)=P (Y ≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【详解】A .由条件可知X ∼N 30,62 ，Y ∼N 34,22 ，根据对称性可知P Y >32 >0.5>P X >32 ，故A 错误；B .P X ≤36 =P X ≤μ+σ , P Y ≤36 =P Y ≤μ+σ ，所以P X ≤36 =P Y ≤36 ，故B 正确；C . P X ≤34 >0.5=P Y ≤34 ，所以P X ≤34 >P Y ≤34 ，故C 正确；D . P X ≤40 <P X <42 =P X <μ+2σ ，P Y ≤40 =P Y ≤μ+3σ ，所以P X ≤40 <P Y ≤40 ，故D 正确.故选：BCD21.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数【详解】对于A：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A正确；对于B：农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%∼32%之间，其余年份均大于32%，且2012、2013这两年大于(等于)34%，故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B错误；对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列(所对应的年份)前5位分别为2019、2018、2017、2021、2020，因为10×45%=4.5，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C正确；对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D错误；故选：AC22.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中a 的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg 的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5【详解】对于A 项，因为5×(0.01+a +0.06+0.04+0.02)=1，解得：a =0.07，故A 项正确；对于B 项，(0.01+0.07+0.06)×5×100=70人，故B 项错误；对于C 项，因为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7，0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9，0.7<0.78<0.9，所以第78百分位数位于[60,65)之间，设第78百分位数为x ，则0.01×5+0.07×5+0.06×5+(x -60)×0.04=0.78，解得：x =62，故C 项正确；对于D 项，因为0.01×5×47.5+0.07×5×52.5+0.06×5×57.5+0.04×5×62.5+0.02×5×67.5=57.25，即：估计该校学生体重的平均数约为57.25，故D 项错误.故选：AC .23.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()A.若样本数据x 1，x 2，⋯，x 20的样本方差为3，则数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为7B.经验回归方程为y=0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关C.对于随机事件A 与B ，P A >0，P B >0，若P A B =P A ，则事件A 与B 相互独立D.若X ∼B 7,12，则P X =k 取最大值时k =4【详解】对于A ，数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为22×3=12，所以A 错误；对于B ，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x 与y 呈负的线性相关关系，所以B 正确；对于C ，由P A B =P ABP B=P A ，得P AB =P A ⋅P B ，所以事件A 与事件B 独立，所以C正确；对于D ，由P X =k ≥P X =k +1P X =k ≥PX =k -1，即C k 712 7≥C k +17127C k 712 7≥Ck -17127，解得k =3或k =4，所以D 错误．故选：BC ．24.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%，乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB 正确；设甲校理科生有x 人，文科生有y 人，若0.6x =0.7y ，即6x =7y ，则甲校总达标率为0.6x +0.7yx +y=4265，选项C 错误；由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D 正确；故选：ABD25.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)已知离散型随机变量X 服从二项分布B n ,p ，其中n ∈N ∗,0<p <1，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有()A.a +b =1 B.p =12时，a =b C.0<p <12时，a 随着n 的增大而增大 D.12<p <1时，a 随着n 的增大而减小【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，a +b =1，故A 正确，对于B 选项，由p =12时，离散型随机变量X 服从二项分布B n ,12 ，则P =X =k =C kn12k1-12n -kk =0,1,2,3,⋯,n ，所以a =12nC 1n +C 3n +C 5n +⋯⋯ =12n×2n -1=12，b =12nC 0n+C 2n+C 4n+⋯⋯ =12n×2n -1=12，所以a =b ，故B 正确，。

第七讲：排列组合教师版

排列组合（一）知识点概述排列：从n 个不同元素中取出m 个元素，（m ≤n ）排成有序的一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个有序元素的排列数，记为m n A 。

根据乘法原理。

()()()121+---=m n n n n A m n ΛΛ ()n m ≤ （排列数公式）特殊地，当m=n 时，()()12321⨯⨯⨯-⨯-⨯=Λn n n A n n ，表示从n 个不同元素中取出n 个元素排成一列所构成的排列数，这种n 个元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的完全排列。

我们将()()12321⨯⨯⨯-⨯-⨯Λn n n 记为n!，读作“n ”的阶乘，则!n A nn=，例如，从5名同学中选出3名同学站成一排，共有6034535=⨯⨯=A 种站法。

组合：从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）组成一组不计较组内各元素次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，记为m n C 。

()()()()!!!!121m n m n m m n n n n A A C m m mn mn-=+---==K （m ≤n ）（组合数公式），规定：10=n C 。

例如，从5名同学中选出3名同学去参加夏令营，共有10123345333535=⨯⨯⨯⨯==P P C 种不同的选法。

（二）典型例题与课堂练习排列组合【例1】（组合排列）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数。

（1）可组成个不同的四位数；（2）可以组成个四位偶数；（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是。

解析：（1）300 （2）156 （3）2301【例2】（组合排列）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复的四位数，其中能被5整除的四位数共有个。

解决排列组合的21种策略(教师版)

高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一、相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例题1.已知A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有(D)A.60种B.48种C.36种D.24种解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44= 24种，答案：D.二、相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例题2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是(B)A.1440种B.3600种C.4820种D.4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A26种，不同的排法种数是A55A26= 3600种，选B.例题3.把6个字符2,2,B,B,α,β排成一排，要求两个“2”两两不相邻，两个“B”也不相邻，则这样的排法共有84种.解析：方法一：可以先考虑排B,B,α,β四个字符，再将2,2插入其中.①两个“B”不相邻先将B,B,α,β的排列有A22C23=6种，再将2,2插入5个空中有C25=10种.则这种情况的排列有A22C23C25=6×10=60种.②两个“B”相邻先将B,B,α,β的排列有A33=6种，再将2,2插入其中，要保证B,B中间必须有一个“2”，则有C14=4种.则这种情况的排列有A33C14=6×4=24种.两种情况总的排列数为A22C23C25+A33C14=60+24=84种.方法二：运用集合的思想，用总的排列数减去不符合情况的排列数，要注意如果多减了重合的部分是需要再加回来的.总排列有A66A22A22=180种；两个“2”相邻的排列有A55A22=60种；两个“B”相邻的排列有A55A22=60种；两个“2”相邻且两个“B”相邻的排列有A44=24种.总的排列数为A66A22A22-A55A22-A55A22+A44=180-60-60+24=84种.答案：84.例题4.把7个字符2,2,2,B,B,α,β排成一排，要求三个“2”两两不相邻，两个“B”也不相邻，则这样的排法共有96种.解析：可以先考虑排B,B,α,β四个字符，再将2,2,2插入其中.①两个“B”不相邻先将B,B,α,β的排列有A22C23=6种，再将2,2,2插入5个空中有C35=10种.则这种情况的排列有A22C23C35=6×10=60种.②两个“B”相邻先将B,B,α,β的排列有A33=6种，再将2,2,2插入其中，要保证B,B中间必须有一个“2”，则有C24=6种.则这种情况的排列有A33C24=6×6=36种.综上所述，两种情况总的排列数为A22C23C35+A33C24=60+36=96种.答案：96.三、定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例题5.已知A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是(B)A.24种B.60种C.90种D.120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即12A55=60 种，选B.四、标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例题6.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有(B)A.6种B.9种C.11种D.23种解析：第一步先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.五、有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例题7.(1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(C)A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有(A)A.C412C48C44种B.3C412C48C44种C.C412C48A33种D.C412C48C44A33种解析：(1)第一步先从10人中选出2人承担甲项任务，第二步再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C210C18C17= 2520种.答案：选C.(2)先把12名同学平均分成三组，每组4人，有C 412C 48C 44A 33种方法，再分配到3个路口乘以A 33,故共有C 412C 48C 44A 33A 33=C 412C 48C 44种方法.答案：选A .六、全员分配问题分组法:解决分组问题的关键是如何删去重复排列的种数.一般来讲，若平均分组，则应用n 个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列;若为不平均分组，则应按照实际情况分析重复排列的种数,然后再进行相应计算.例题8.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(B )A.480种B.240种C.120种D.96种(1)解析：把四名学生分成3组有C 24C 12C 11A 22种方法，再把三组学生分配到三所学校有A 33种，故共有C 24C 12C 11A 22A 33 36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)解析：先把书分成四组有C 25C 13C 12C 11A 33种方法，再分配给学生有A 44种，共有C 25C 13C 12C 11A 33A 44=240种.答案：B .例题9.6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另外两个组各1人，分别赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有__________种.解析：将6名志愿者按要求分成4组共有C 26C 24C 12C 11A 22A 22种，再将4组分配到四个场馆.故不同的分配方案有C 26C 24C 12C 11A 22A 22A 44=1080种.答案：1080.例题10.某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班.选课结束后，有四位选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排这四名同学的方案有(B )A.72种B.54种C.36种D.18种解析：将四名同学分成三组：1，1，2，安排在三个数学班中：有C 24C 12C 11A 22A 33=36种；分成两组：2，2，安排在两个班里，有C 24C 22A 22A 33=18种.故一共有36+18=54种安排方案.答案：B例题11.将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种类数是(C )A.C 28C 26C 24A 44A 44种 B.A 28A 26A 24A 44种C.C 28C 26C 24A 44种D.C 28C 26C 24种解析：将8名售票员平均分为4组，分配到四辆公共汽车上，共有C 28C 26C 24A 44A 44种，再分配司机有A 44种，故选C .答案：C例题12.将6名司机和6名售票员分配到3辆公共汽车上，每辆车上分别有2名司机和2名售票员，则可能的分配方案种类数是8100.解析：将6名售票员平均分为3组，分配到3辆公共汽车上，共有C26C24C22A33A33=90种，再分配司机同样有90种，故选90×90=8100种.答案：8100种例题13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培训的专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，共有90种不同的分派方法.解析：先把6个毕业生平均分成3组，共有C26C24C22A33种方法，故有6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A33种分派方法.答案：90例题14.将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有360种不同的分法.解析：有序不均匀分组.将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33=60种取法，再将这3组教师分配到3所中学，有A33种分法.故共有60×6=360种不同的分法.答案：360例题15.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得1本.解析：(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下得5本中选2本有C25种选法，最后再从余下3本全选有C33种选法.故共有C16C25C33=60种.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33=360种.(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB,CD,EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB,CD,EF)，(AB,EF,CD)，(CD,EF,AB)，(EF,CD,AB)，(EF,AB,CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33种.(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33A33=C26C24C22=90种.(5)无序部分均匀分组问题.共有C 46C 12C 11A 22种.(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分给3个人，共有分配方式C 46C 12C 11A 22A 22种.(7)直接分配问题.甲选1本有C 16，乙从余下5本中选1本有C 15种方法，余下4本留给丙有C 44种方法.共有C 16C 15C 44=30种.例题16.将9个人(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在一组，则不同的分法的种数为(A )A.70B.140C.280D.840解析：本题中，9个人平均分成三组，甲乙比较特殊，甲乙所在的组与另外两组不一样，则组与组之间均匀无差异的实质是两组，而不是三组.所以组合方式为C 17C 36C 33A 22=70种.答案：A例题17.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(B )A.A 26C 24B.12A 26C 24C.A 26A 24D.2A 26解析：根据题意，本题属于有序均匀分组(完全均匀分组),但这两个组也要从六组中选出来，安排方案为C 24C 22A 22A 26=90种.答案:B例题18.甲、乙、丙、丁、戊5个人分到A 、B 、C 三个班，要求每班至少一人，则甲不在A 班的分法有100种.方法一：总情况减去甲去A 班的情况：总分法有311和221两种情况：C 35C 12C 11A 22A 33+C 25C 23C 11A 22A 33=160种甲去A 班的情况：还要考虑A 班去的人数有1、2、3种情况A 班去1人：C 24C 22A 22A 22+C 14C 33A 22七、名额分配问题隔板法:必须是形同元素之间的分配问题才能用隔板法解决，不同元素之间的分配问题用分组法解决.对于元素相同的“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n 个隔板插在相应元素的空隙(不包括首尾)中，将元素分为(n +1)份求解.例题19.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C 6984种.例题20.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级的10个班的同学组成，每个班级至少1人，问名额分配方案共有多少种？解析：构造一个隔板模型，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分割成10份，第i(1≤i≤10)份的棋子数对应第i个班级学生的名额数，因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等.因隔板插入方法数为C917，故名额分配方案有C917=24310种.八、限制条件的分配问题分类法:例题21.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：方法一：(进行分类)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生A38有方法，所以共有3A38；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A28种，共有7A28方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48+3A38+3A38+7A28= 4088种.方法二：(集合法)A410-A39-A39+A28=4088种.九、多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例题22.(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(B)A.210种B.300种C.464种D.600种(2)从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？(3)从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？解析：(1)按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有A55、A14A13A33、A13A13A33、A12A13A33和A13A33个，合并总计300个,选B.(2)被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A= {7,14,21, 98} 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做∁I A= {1,2,3,4, ,100} 共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C214，从A中任取一个，又从ðIA中任取一个共有C114C186，两种情形共符合要求的取法有C214+C114C186=1295种.(3)将I= {1,2,3 ,100} 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A= {4,8,12, 100} ；能被4除余1的数集B= {1,5,9, 97} ，能被4除余2的数集C= {2,6, ,98}，能被4除余3的数集D= {3,7,11, 99} ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C225+C125C125+C225=1225种.十、交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，有用集合中求元素个数公式：n A⋃B=n A +n B -n A⋂B例题23.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)- n(A)- n(B)+ n(A⋂ B)=A46-A35-A35+A24= 252种.十一、定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

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二十种排列组合问题的解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法；然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种排法；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法；∴由分步计数原理得113434288C C A =443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A 不同种法，再其它葵花有55A 不同种法，所以共有不同种法2545121201440A A =⨯=种不同的种法．二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法．练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有2520A =种不的情形．三.不相邻问题插空策略例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有3474C A 方法．（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有37C 种选法，余下四个空位排其它四人共有44A 种排法，所以共有3474C A 种方法．）练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=七.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种八.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种九.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．练习题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C一班二班三班四班七班2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +- 练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十一.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544138422C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =）十二. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。