平面向量的数量积完整ppt课件
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2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》
.
1
sin 30 1 ,sin 45 2 ,sin 60 3
2
2
2
cos30 3 ,cos45 2 ,cos60 1
2
2
2
tan30 3 , tan 45 1, tan60 3 3
.
2
学习目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.理解投影概念； • 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 4.平面向量的数量积简单应用； • 5.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的
rr
(ka 4 b ),求 实 数 k 的 值 .
5 . 已 知 a r 2 r r1 , b r 2 r 2 r, ( a r r b r ) a r r 0 , 求 a r r与 b r 的 夹 角 .
.
10
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
S
WG S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
WGSco1s2 (0 )
G
.
11
探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你
能得到哪些结论？
（2）比较
理解和平面向量数量积的应用
.
3
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序Leabharlann Baidu究这种运算的？
.
4
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生 位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
.
16
学生练习
1((、 12))若 若 判 aa断 00， ， 下a 则 列 b对 各 a任 命 c一 ,题 则正 非 b是确 零 否 c， b向 ，并 量 有a说 b明0理由
或 2 、 a b 已 0 A 时 B 知 中 ， C A， B 试 a A ,A B 的 判 C C b ,当 形 断 a b 状 0 。
( (1 已) 知a 2 a 向 b 量 b ) b a a ,a 和b 实b , c 数 λ，a 则：b
(3 a b ) c a c b c
3、运算律的证明
.
15
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4，(1) a与b的夹角θ=120o，求a·b. (2)a∥b求a·b. (3)a⊥b求a·b
2.已 知 a与 b 的 夹 角 为 120o， |a|4,|b|2,
rr r r
求 ： |ab|;|3a4b|.
rrr rr r r r r
3.已 知 a, b,c满 足 a+bc0 ， |a|3,|b|1 ,
r
rr rr rr
|c|4,求 ： abbcca 的 值 .
rr
rr
4 .若 a ,b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 且 (2 a 3 b )
b 在a 方向上的射影是负数
A
.
7
180时b 在a 方向上的射影 | b |
2（、1数）量定积义的：定a 义b a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
ab的
090
正负
90
90180
.
8
３、研究数量积的几何意义
例 2、已 a 知 3， b 4， a 与 b 不共k为 线何 ，值时 向a 量 kb 与 a kb 互相垂直？
例 3 、 a 6 ， b 已 4 ， a 与 b 的 知 6 ， 夹 0 a 2 b 求 a 角 3 b .？ 为
在 A中 B ,a C 5 ,b 8 ,C 6 ,B 0• C C ,B A • A CC
3 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60
k为何值时 (a b) (a k b) ?
4 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60, 求：(a b) • (a 2 b)
.
17
1 、已 :r a |知 | r8 ， | b| 1， |0 a b| 1 r。6 求 a r与 b 的夹
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
.
5
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
.
6
二、平面向量的数量积
数01量 、已积其定知（1中义非或8θ零内0是向积ar ）量与，ar 与br 记的b作r 夹，ar角我 br，们，|把b r即数|c规o 量s定|(ar|a ra |r|br|cb |ro cso s|)a r叫叫|做|作b r向ar|与量co brbrs的在
（3）︱av
·
v b
︱≤
| av
v
||b
|
3、性质的证明
.
13
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
.
14
2、运算律
r a
方向上（ r 在 r 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即 r r 。
a00
0时b 在a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
B
r b
θ O
r a
B1
| OB1 || b | •cos, b 在a 方向上的射影是正数
为直角时b 在a 方向上的射影是0.为钝角时
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
.
9
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
a b 的与 大a 小，b 你有什么结论？
.
12
2、数量积的性质
设向量
与av
v
都是b 非零向量，则
（1） av⊥bv
v
=0a
·
v
b
（2）当av与
v
同b 向时，
v a
=·| bv||
| av
v
b
当
与av
v
反向b 时，
=av-|· bv||
|av
v
b
特别地，av
·
v
a
=︱av︱2或︱av︱=
a a
.
1
sin 30 1 ,sin 45 2 ,sin 60 3
2
2
2
cos30 3 ,cos45 2 ,cos60 1
2
2
2
tan30 3 , tan 45 1, tan60 3 3
.
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学习目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.理解投影概念； • 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 4.平面向量的数量积简单应用； • 5.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的
rr
(ka 4 b ),求 实 数 k 的 值 .
5 . 已 知 a r 2 r r1 , b r 2 r 2 r, ( a r r b r ) a r r 0 , 求 a r r与 b r 的 夹 角 .
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S
①、在水平面上位移为10米；
G
W0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
S
WG S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
WGSco1s2 (0 )
G
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探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你
能得到哪些结论？
（2）比较
理解和平面向量数量积的应用
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3
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序Leabharlann Baidu究这种运算的？
.
4
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生 位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
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学生练习
1((、 12))若 若 判 aa断 00， ， 下a 则 列 b对 各 a任 命 c一 ,题 则正 非 b是确 零 否 c， b向 ，并 量 有a说 b明0理由
或 2 、 a b 已 0 A 时 B 知 中 ， C A， B 试 a A ,A B 的 判 C C b ,当 形 断 a b 状 0 。
( (1 已) 知a 2 a 向 b 量 b ) b a a ,a 和b 实b , c 数 λ，a 则：b
(3 a b ) c a c b c
3、运算律的证明
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应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4，(1) a与b的夹角θ=120o，求a·b. (2)a∥b求a·b. (3)a⊥b求a·b
2.已 知 a与 b 的 夹 角 为 120o， |a|4,|b|2,
rr r r
求 ： |ab|;|3a4b|.
rrr rr r r r r
3.已 知 a, b,c满 足 a+bc0 ， |a|3,|b|1 ,
r
rr rr rr
|c|4,求 ： abbcca 的 值 .
rr
rr
4 .若 a ,b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 且 (2 a 3 b )
b 在a 方向上的射影是负数
A
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180时b 在a 方向上的射影 | b |
2（、1数）量定积义的：定a 义b a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
ab的
090
正负
90
90180
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３、研究数量积的几何意义
例 2、已 a 知 3， b 4， a 与 b 不共k为 线何 ，值时 向a 量 kb 与 a kb 互相垂直？
例 3 、 a 6 ， b 已 4 ， a 与 b 的 知 6 ， 夹 0 a 2 b 求 a 角 3 b .？ 为
在 A中 B ,a C 5 ,b 8 ,C 6 ,B 0• C C ,B A • A CC
3 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60
k为何值时 (a b) (a k b) ?
4 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60, 求：(a b) • (a 2 b)
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1 、已 :r a |知 | r8 ， | b| 1， |0 a b| 1 r。6 求 a r与 b 的夹
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
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探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
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二、平面向量的数量积
数01量 、已积其定知（1中义非或8θ零内0是向积ar ）量与，ar 与br 记的b作r 夹，ar角我 br，们，|把b r即数|c规o 量s定|(ar|a ra |r|br|cb |ro cso s|)a r叫叫|做|作b r向ar|与量co brbrs的在
（3）︱av
·
v b
︱≤
| av
v
||b
|
3、性质的证明
.
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探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
.
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2、运算律
r a
方向上（ r 在 r 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即 r r 。
a00
0时b 在a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
B
r b
θ O
r a
B1
| OB1 || b | •cos, b 在a 方向上的射影是正数
为直角时b 在a 方向上的射影是0.为钝角时
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
.
9
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
a b 的与 大a 小，b 你有什么结论？
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2、数量积的性质
设向量
与av
v
都是b 非零向量，则
（1） av⊥bv
v
=0a
·
v
b
（2）当av与
v
同b 向时，
v a
=·| bv||
| av
v
b
当
与av
v
反向b 时，
=av-|· bv||
|av
v
b
特别地，av
·
v
a
=︱av︱2或︱av︱=
a a