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平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

向量 $vec{a}$ 与单位向量 $hat{u}$ 的数量积等于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝（ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D，所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D，所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

平面向量的数量积.PPT

0a（b•
c）
（8）a与b 是两个单位向量，则
2
2
a b

（9）若 a • c b • c,, c 0 ，则 a b
例3：若 | a | 3，| b | 4，a与b的夹角是600时，求a • b
1、已知 | a | 4，| b | 5，当(1)a || b, (2)a b (3)a与b的夹角为300时，分别求 a与b的数量积.
(- )
(+)
(+ )
(- )
sin a cos a tan a
公式
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin(π α) cosα
公式
2
cos(π α) sinα
诱的导三公角式函可数统与α一2 的为三角函数k2π之间α(的k 关Z)
平面向量的数量积
知识回顾：
一、向量的数乘运算的定义：
r
一般地，我们规定实数与向量a的积是一个确定
ur
的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下：
rr
（1） a a ; rr
（2）当 0, a与a的方向相同；当 0,
r
r
rr
a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
6、反馈练习：
判断下列命题是否正确：
（1）a • 0 0 （2）0 a 0
（3）0 AB BA （4）| a • b || a || b |
（5）若 a 0，则对于任一非零b有 a • b 0
（6）若 a • b 0
（7）对于任意向量
，a、则b、ca都、b有至（少a有• b一）个c为

平面向量的数量积_教学PPT课件

a
与
b
的夹角的余弦值为－
2 10 .
(2)设 a 与 c 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|aa|··c|c|＝－25·－229＝－75858，
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos θ＝－72 2.
(3)因为 c＝λ1a＋λ2b，所以5－＝2＝－λλ11＋＋43λλ22，，
解得 λ1＝－273，λ2＝37.
【解析】 (1)证明：由已知得，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，A→B·A→D＝－3 ＋3＝0，所以A→B⊥A→D.
(2)设 C(x，y)，则由A→D＝B→C得，(－3,3)＝(x－3，y－2)，所以xy－－32＝＝－3. 3，解得xy＝＝05.，所以 C(0,5)．
(3)易求得 OD 的方程为 4x＋y＝0.设 M(a，b)，因为点 M 为直线 OD 上的一个动点，所以 4a＋b＝0，即 b＝－4a.于是M→A·M→B＝ (2－a,1－b)·(3－a,2－b)＝(2－a)(3－a)＋(1－b)(2－b)＝6－5a＋a2 ＋(1＋4a)·(2＋4a)＝17a2＋7a＋8.
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
典例剖析
知识点 1 平面向量数量积的坐标运算【例 1】已知向量 a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求(b·c)a. 思路点拨： (1)设出向量 a 的坐标，由已知列出方程，即可解得 a 的坐标． (2)用向量的坐标直接计算即可．
解：由向量的数量积的坐标表示可知，a·b＝3k＋0×5，又 a·b＝3 k2＋25cos 135°， ∴3k＝3 k2＋25cos 135°，得 k＝－5.

平面向量的数量积-PPT资料64页

【解析】 ①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝12，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|··b|b|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
【解析】解法一因为|a|＝6，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°.
所以，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝6×4×12＝12， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76， (a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108. 所以，|a＋b|＝2 19，|a－3b|＝6 3.
B．－685
16 C.65
D．－1665
【解析】由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8
＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝
(－5,12)，由
a，b ＝|aa|·|bb|＝1665，故选 C.
【答案】 C
(2)已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求： ①a 与 b 的夹角； ②a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．【思路分析】解决本题的关键是求|b|，|a－b|和|a ＋b|的值，然后运用夹角公式求出．
思考题 2 (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)·(a

高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)

时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求在方向上的数量及；（1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8，为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1

O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影

O 当
A

B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直，记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向与s的方向的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾

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.
16
学生练习
1((、 12))若若判 aa断 00，，下a 则列 b对各 a任命 c一 ,题则正非 b是确零否 c， b向，并量有a说 b明0理由
或 2 、 a b 已 0 A 时 B 知中， C A， B 试 a A ,A B 的判 C C b ,当形断 a b 状 0 。
( (1 已) 知a 2 a 向 b 量 b ) b a a ,a 和b 实b , c 数 λ，a 则：b
(3 a b ) c a c b c
3、运算律的证明
.
15
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4，(1) a与b的夹角θ=120o，求a·b. (2)a∥b求a·b. (3)a⊥b求a·b
a b 的与大a 小，b 你有什么结论？
.
12
2、数量积的性质
设向量
与av
v
都是b 非零向量，则
（1） av⊥bv
v
=0a
·
v
b
（2）当av与
v
同b 向时
v
b
当
与av
v
反向b 时，
=av-|· bv||
|av
v
b
特别地，av
·
v
a
=︱av︱2或︱av︱=
a a
rr
(ka 4 b ),求实数 k 的值 .
5 . 已知 a r 2 r r1 , b r 2 r 2 r, ( a r r b r ) a r r 0 , 求 a r r与 b r 的夹角 .
2.已知 a与 b 的夹角为 120o， |a|4,|b|2,
rr r r
求： |ab|;|3a4b|.
rrr rr r r r r
3.已知 a, b,c满足 a+bc0 ， |a|3,|b|1 ,
r
rr rr rr
|c|4,求： abbcca 的值 .
rr
rr
4 .若 a ,b 是互相垂直的单位向量，且 (2 a 3 b )
（3）︱av
·
v b
︱≤
| av
v
||b
|
3、性质的证明
.
13
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些运算律对向量是否也适用？学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
.
14
2、运算律
例 2、已 a 知 3， b 4， a 与 b 不共k为线何，值时向a 量 kb 与 a kb 互相垂直？
例 3 、 a 6 ， b 已 4 ， a 与 b 的知 6 ，夹 0 a 2 b 求 a 角 3 b .？为
在 A中 B ,a C 5 ,b 8 ,C 6 ,B 0• C C ,B A • A CC
F
F（力）是量，
S（位移）是量
θ是
。
S
.
5
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
.
6
二、平面向量的数量积
数01量、已积其定知（1中义非或8θ零内0是向积ar ）量与，ar 与br 记的b作r 夹，ar角我 br，们，|把b r即数|c规o 量s定|(ar|a ra |r|br|cb |ro cso s|)a r叫叫|做|作b r向ar|与量co brbrs的在
b 在a 方向上的射影是负数
A
.
7
180时b 在a 方向上的射影 | b |
2（、1数）量定积义的：定a 义b a b cos
（2）定义的简单说明：问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
ab的
090
正负
90
90180
.
8
３、研究数量积的几何意义
3 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60
k为何值时 (a b) (a k b) ?
4 :已知 | a | 2,| b | 1, a 与 b 夹角是 60, 求：(a b) • (a 2 b)
.
17
1 、已 :r a |知 | r8 ， | b| 1， |0 a b| 1 r。6 求 a r与 b 的夹
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
.
9
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
理解和平面向量数量积的应用
.
3
一探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
.
4
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是量，
r a
方向上（ r 在 r 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即 r r 。
a00
0时b 在a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
B
r b
θ O
r a
B1
| OB1 || b | •cos, b 在a 方向上的射影是正数
为直角时b 在a 方向上的射影是0.为钝角时
.
10
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
S
WG S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
WGSco1s2 (0 )
G
.
11
探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你
能得到哪些结论？
（2）比较
2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》
.
1
sin 30 1 ,sin 45 2 ,sin 60 3
2
2
2
cos30 3 ,cos45 2 ,cos60 1
2
2
2
tan30 3 , tan 45 1, tan60 3 3
.
2
学习目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.理解投影概念； • 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 4.平面向量的数量积简单应用； • 5.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的