反函数与函数的图像变换

反函数与函数的图像变换

一、反函数

当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。

1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()

f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。

特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，

一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。

例1 求下列函数的反函数：

（1）21x

y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。

二、互为反函数的两个函数的性质：

指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。

根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。

例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。

思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？

奇函数一定有反函数吗？

偶函数呢？

三、函数的图像变换

1、平移变换

（1）左右平移：()y f x a =±(0)a >的图像，可由()y f x =的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位得到。口诀：左加右减。

（2）上下平移：()y f x a =±(0)a >的图像，可由()y f x =的图像向上（+）或向下（—）平移a 个单位得到。口诀：上加下减。

例3 画出函数23()2

x f x x -=

-的图像，并指出其对称中心。

例4 已知函数()()()1(0,)f x a x m x n a m n =--+><，方程()0f x =有两个实数根,p q ，则必有（ ）。

A ．p m n q <<<

B ．m p q n <<<

C ．m p n q <<<

D ．p m q n <<<

2、对称变换

（1）()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称；

（2）()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于x 轴对称；

（3）()y f x =--的图像与()y f x =的图像关于原点对称；

（4）()y f x =的图像可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分，以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变，这是局部的变换；

（5）()y f x =的图像可将()y f x =()0x ≥的图像做出来，再利用偶函数的图像关于y 轴对称，做出0x <的部分，这也是局部变换。

例5 画出函数2()23f x x x =--的图像，并写出单调区间。

3、自对称函数

（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

（2）如果()()f x a f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线2a b x +=

对称。 特例：若0a b ==，则()y f x =是偶函数。

另外，这里()()x a b x a b ++-=+是常数，但是若()()f x a f b x +=+，这时()()x a b x a b +-+=-是常数，这说明()y f x =是周期函数，不压迫混淆。

（3）如果(2)2()f m x n f x -=-，则()y f x =关于点(),m n 对称。

特例：若0m n ==，则()y f x =是奇函数，对称中心是原点。

例 6 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()f x m =()0m >在区间上[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= 。

综合例题：

1、（全国Ⅱ－文）函数)5(51-≠+=

x x y 的反函数是（ ）。 A ．)0(51≠-=x x

y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51≠+=x x

y D ．)(5R x x y ∈-= 2、（2008高考四川延考卷）设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =

对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3

()2

f -=（ ）。 A ．12 B ．14 C ．34 D ．94

3、（福建－理、文）已知函数2log y x =的反函数是1()y f x -=，则函数1(1)y f x -=- 的图象是（ ）。

4、（湖南－理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，

则)(b a f + 的值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．3log 2 5、（全国Ⅳ－文）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x

y )31(=的图象

A ．向左平移3个单位长度

B ．向右平移3个单位长度

C ．向左平移1个单位长度

D ．向右平移1个单位长度 6、设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则 ( )