反函数与函数的图像变换
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
互为反函数的函数图像之间的关系及应用
解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 y ax b 的图象上。因此，得
2 a b 1 2a b
解得，a=－3，b=7
例4、求证：函数 y 象关于直线y=x对称.
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
∴a+b=3 ① 由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2）
∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
f (x) 2x 1
练习5：已知函数 f (x) x 5 2x m
的图象关于直线y=x对称，求m的值.
练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于 直线y=x对称，求a,b的值
解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数，
y=3x-b的反函数为：y x b (x R), 3
ax 2 x b , 3
比较系数得：
a
1 3
,
b
6
练习4：已知函数 f (x) ax b 的图像经过点 （1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解：由函数 y x3 (x R)，
y x3 y x
得 x3 y
y
所以函数 y x3
(x R)的反函数是：
y 3 x(x R)
y3 x
注：当已知函数y=f（x）
x
的图象时，利用所学定理，
作出它关于直线y=x对称的
图象，就是反函数y=f－1（x） 的图象。
互为反函数的函数图象间的关系
yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
y
x2 3
2 A ( , 0) 1 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的
定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示出来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成
y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义
3x+2 例 y= 的值域. cx+d
ax+b a 重要结论 : y= 的值域为 y . cx+d c
互为反函数的
函数图象间的关系
例2. 求函数y=3x-2的反函数,并画 出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
高中数学函数与反函数图像解析
高中数学函数与反函数图像解析函数与反函数是高中数学中的重要概念，对于学生来说，理解函数与反函数的关系以及它们的图像特点是非常关键的。
本文将通过具体的例题，分析函数与反函数的图像特点，并给出解题技巧和使用指导。
一、函数与反函数的定义与关系在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用一个公式、一段描述或者一个图像来表示。
反函数则是函数的逆运算，即将函数的输出作为输入，将函数的输入作为输出。
对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，且g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
函数与反函数之间存在一种互逆的关系，它们的图像关于直线y=x对称。
二、函数与反函数的图像特点1. 函数的图像特点函数的图像是一条曲线，它可以是直线、抛物线、指数曲线等。
对于不同的函数，它们的图像特点也不同。
例如，考虑函数f(x)=x^2，它的图像是一个开口向上的抛物线。
根据函数的定义域和值域，我们可以确定这个抛物线的形状和位置。
对于这个函数，它的定义域是全体实数集，值域是大于等于0的实数集。
因此，这个抛物线在y轴右侧的部分是上升的，而在y轴左侧的部分是下降的。
2. 反函数的图像特点反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。
这意味着，如果我们将原函数的图像沿着直线y=x折叠，那么就可以得到反函数的图像。
以前面提到的函数f(x)=x^2为例，它的反函数是g(x)=√x。
我们可以通过绘制函数f(x)和反函数g(x)的图像来观察它们的关系。
首先，我们绘制函数f(x)的图像，得到一个开口向上的抛物线。
然后，我们将这个图像沿着直线y=x折叠，得到反函数g(x)的图像，也就是一条开口向右上方的抛物线。
三、函数与反函数的考点与解题技巧1. 考点：函数的定义域和值域在解题过程中，我们常常需要确定函数的定义域和值域。
定义域是指函数的输入值的集合，值域是指函数的输出值的集合。
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。
特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
互为反函数的 两个函数图像间的关系
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数，它们的函数图像有什么关系？
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点（1，2），它的反函数的a 图象也过此
点， 求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
log
x 2
的图
像上吗？为什么？
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论？
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内，画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点，并 写出它们的坐标。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y （x>-3）及其反函数的图象。
互为反函数的两个函数图像间的关系
二、探究过程
• 取y=2ˣ的图象上的几个点，如
P1
(1,
1 2
)
P2 (0,1) P3 (1,2) 关于直线y=x的对称点坐标
是什么？它们在y=log ₂x的图象上吗？为什
么？
• 如果点 p0 (x0, y0 ) 在函数y=2ˣ的图象上，那 么 P0关于直线y=x的对称点在函数y=log ₂x 的图象上吗？为什么？
一、复习提问
1
由y=f(x)出发用y表示x解出x=f ˉ¹(y)
2.求反函数 的基本步骤
2
将x,y互换得到y=f ˉ¹(x)
3
指出反函数的定义域 （即原函数的值域）
一、复习提问
反解
互换
写出定义域
一、复习提问
➢3.点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点坐标是 ➢4.函数y=2x²-3(x ∈ R)有没有反函数？为什么？
二、探究过程 上述结论对于指数函数y=aˣ(a>0,且a≠1)及其反函数 y=log x (a>0,且a≠1)也成立吗？为什么？
a
结论：y=f(x)与y=f ˉ¹(x)互为反函数
两函数图象关于y=x对称
三、实例演练
1
• 例1.画出 y x 3的函数图象
三、实例演练
• 例2.若点P（1,2）在 y ax b 的图象上，又在 它的反函数图象上，求a,b的值
称
x x1
(
x
1)的图象关于直线y=x对
四、新知反馈
1.如果y=f(x)的图象过点(1,2)那么y=f ˉ¹(x)-1 的图象过点＿
2.y=f(x)与y=eˣ互为反函数,y=g(x)与y=f(x)关于x 轴对称，若g(a)=1,则a=＿
大一高数反函数知识点
大一高数反函数知识点反函数是高等数学中的一个重要概念，它与函数密切相关。
正如其名，反函数是对原函数的逆运算，可以将函数的输出值映射回原输入值。
在本文中，我们将介绍大一高数中关于反函数的一些基本知识点。
一、反函数的定义对于一个函数f(x)，其定义域为X，值域为Y。
如果存在另一个函数g(y)，其定义域为Y，值域为X，并且满足以下条件：1. 对于任意x∈X，有g(f(x)) = x；2. 对于任意y∈Y，有f(g(y)) = y。
那么，我们称g(y)为函数f(x)的反函数，记作g(y) = f^(-1)(y)。
需要注意的是，反函数存在的前提是原函数f(x)必须是一个双射函数，也就是说，对于不同的x值，f(x)必须有唯一的对应值。
只有满足这个条件的函数才能有反函数。
二、反函数的图像与性质1. 反函数的图像：函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称。
也就是说，如果我们已知函数f(x)的图像，可以通过对称变换得到反函数f^(-1)(x)的图像。
2. 反函数的定义域与值域：如果函数f(x)的定义域为X，值域为Y，那么其反函数f^(-1)(x)的定义域为Y，值域为X。
3. 反函数的求解：为了求解一个函数的反函数，我们可以通过以下步骤进行推导：a. 将函数f(x)表示为y的形式，即y=f(x)；b. 交换x和y，并解方程得到y=f^(-1)(x)；c. 验证反函数的定义域和值域是否满足要求。
三、反函数的求导公式如果函数f(x)在区间上连续可导，并且其反函数f^(-1)(x)也在其对应区间上连续可导，那么有以下关系式成立：(f^(-1)(x))' = 1 / (f'(f^(-1)(x)))其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
需要注意的是，该求导公式只适用于满足条件的函数和其反函数，不适用于所有函数。
四、反函数的应用反函数在数学中有广泛的应用，尤其在解方程和函数图像的研究中起到重要的作用。
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
反三角函数及其图像变换
汇报人：XX
目录
反三角函数的定义和性 质
反三角函数的图像变换
反三角函数的应用
反三角函数与三角函数 图像变换的比较
反三角函数的定义 和性质
反三角函数是三角函数的反函数， 即如果y=sinx，那么x=arcsiny。
反三角函数包括反正弦函数、反余 弦函数、反正切函数等。
添加标题
图像平移：上下左右移动图像 图像伸缩：改变图像的大小 图像对称：左右对称、上下对称和中心对称 图像旋转：顺时针和逆时针旋转图像
反三角函数的应用
确定三角形角度：通过反三角函数，可以求解三角形中未知角度的大小。
计算距离和长度：在几何学中，反三角函数可以用于计算两点之间的距离和线段的长度。
绘制图形：反三角函数可以用于绘制各种复杂的几何图形，例如心形曲线、摆线等。
应用：反三角函 数图像变换在信 号处理、图像处 理等领域有广泛 应用
反三角函数与三角函数图像 变换的相似性和差异性
反三角函数与三角函数图像 变换的定义和性质
反三角函数与三角函数图像 变换的应用场景和实例
反三角函数与三角函数图像 变换的优缺点和适用范围
反三角函数与三角函数图像变换在数学领域的应用比较 反三角函数与三角函数图像变换在物理领域的应用比较 反三角函数与三角函数图像变换在工程领域的应用比较 反三角函数与三角函数图像变换在计算机科学领域的应用比较
感谢您的观看
汇报人：XX
土木工程：用于计算建筑物 的角度和位移
电子工程：用于信号处理和 控制系统设计
反三角函数与三角 函数图像变换的比 较
反三角函数图像 变换：通过平移、 伸缩、对称等变 换实现图像的变 换
三角函数图像变 换：通过振幅、 频率、相位等变 换实现图像的变 换
函数的复合与反函数的图像关系
函数的复合与反函数的图像关系函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
而函数的复合和反函数是函数学中的两个重要概念，它们在函数的运算和性质研究中起到了重要的作用。
本文将从函数的复合和反函数的图像关系展开讨论。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，以此来构成一个新的函数。
具体来说，设有函数f(x)和g(x)，则函数g(x)的定义域必须包含函数f(x)的值域，才能进行复合运算。
函数的复合可以用符号“∘”来表示，即(g∘f)(x)。
函数的复合运算可以理解为将两个函数进行“叠加”，先进行函数f(x)的计算，再将其结果作为函数g(x)的输入进行计算。
这样的复合运算可以形成一个新的函数，其定义域是函数f(x)的定义域，值域是函数g(x)的值域。
函数的复合运算有以下几个特点：1. 结合律：对于三个函数f(x)、g(x)和h(x)，有((f∘g)∘h)(x) = (f∘(g∘h))(x)。
即函数的复合运算满足结合律。
2. 不满足交换律：一般情况下，函数的复合运算不满足交换律，即(f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x)。
3. 可逆性：如果函数f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = x，(g∘f)(x) = x。
即函数的复合运算与反函数之间存在一种特殊的关系。
二、反函数的图像关系反函数是指一个函数与其复合函数互为逆运算的关系。
具体来说，设有函数f(x)，如果存在函数g(x)，使得(g∘f)(x) = x，且(f∘g)(x) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数，记作f^(-1)(x)。
反函数与原函数的图像关系有以下几个特点：1. 对称关系：函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)关于直线y=x对称，即它们的图像在直线y=x上对称。
2. 值域与定义域的互换：函数f(x)的值域等于其反函数f^(-1)(x)的定义域，而函数f(x)的定义域等于其反函数f^(-1)(x)的值域。
高等数学教材求反函数
高等数学教材求反函数在高等数学中，求反函数是一个重要而常见的问题。
反函数是指当一个函数与其逆函数互为输入输出关系时，它们互为反函数。
求反函数通常涉及到函数的定义域、值域、映射关系和性质等方面的内容。
1. 定义和性质反函数是指，对于给定的函数f(x)，若存在一个函数g(x)，满足f(g(x)) = x，且g(f(x)) = x，则g(x)就是f(x)的反函数。
反函数可以看作是正向函数的逆操作。
反函数的存在性有一定的限制。
一般情况下，函数f(x)的定义域、值域以及函数值的单调性是求反函数存在的基本条件。
例如，对于一个定义域为实数集的单调递增函数，它的反函数是存在的。
反之，如果函数在定义域内不是单调的，那么它的反函数可能不存在。
反函数和原函数之间有一些重要的性质。
首先，反函数和原函数的定义域和值域是相互交换的。
其次，反函数的图像与原函数的图像关于y=x对称。
此外，反函数和原函数的复合函数为自身。
2. 求解步骤和方法为了求解一个函数的反函数，我们有以下一般的步骤和方法：（1）确定函数的定义域和值域，确保函数的反函数存在。
（2）将原函数表示为y=f(x)的形式。
（3）将f(x)中的x和y互换位置，得到x=f(y)。
（4）解方程x=f(y)，得到y=g(x)，即反函数的表达式。
（5）确定反函数的定义域和值域，以及其它性质。
需要注意的是，在求解反函数的过程中，有时可能需要借助代数运算、函数性质、图像变换等方法来简化计算，并确保计算的准确性和合理性。
3. 反函数的应用反函数在数学中有广泛的应用。
它可以用于解决一些实际问题，如函数拟合、方程求解、概率统计等。
在函数拟合中，通过求解原函数的反函数，我们可以得到逆向的输入输出关系。
这对于一些经验模型的分析和验证非常有用。
在方程求解中，反函数可以用于解决一些难以直接求解的方程。
通过对原函数进行变形，将方程转化为求解反函数的问题，从而简化解题步骤。
在概率统计中，反函数可以用于求解累积分布函数的反函数，从而得到概率密度函数。
反函数平移规律
反函数的平移规律主要包括以下几个方面：沿x轴平移：如果函数图像向右平移a个单位，对应的反函数图像就会向左平移a个单位；如果函数图像向左平移a个单位，对应的反函数图像就会向右平移a个单位。
这是因为反函数的x和
y互换，所以y轴方向的平移会变成x轴方向的平移。
沿y
轴平移：如果函数图像向上平移b个单位，对应的反函数图像就会向下平移b个单位；如果函数图像向下平移b个单位，对应的反函数图像就会向上平移b平移个单位。
这是因为反函数的x和y互换，所以x轴方向的平移会变成y轴方向的平移。
沿x轴和y轴平移：如果函数图像同时沿x轴和y轴平移，对应的反函数图像会以相反的方向平移。
例如，如果函数图像向右平移a个单位，再向上平移b个单位，对应的反函数图像就会向左平移a个单位，再向下平移b个单位。
综上所述，反函数的平移规律与原函数的平移规律是相反的。
这是因为反函数的x和y互换，所以原函数中的x和y的平移方向也会互换。
函数与方程反函数与复合函数的像变化与计算方法
函数与方程反函数与复合函数的像变化与计算方法函数与方程：反函数与复合函数的像变化与计算方法一、引言函数与方程是数学中重要的概念，它们描述了数学中常见的关系与变化。
其中，反函数和复合函数是函数与方程中的两个重要概念，本文将探讨反函数与复合函数的像变化与计算方法。
二、反函数的概念与特性1. 反函数的定义反函数是函数与方程中的一个概念，它指的是与原函数互为输入与输出的函数。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在函数g(y)，使得f(g(y)) = y，且g(f(x)) = x成立，那么g(y)就是f(x)的反函数。
2. 反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于直线y=x对称。
（2）反函数的定义域与值域与原函数相反，即反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域。
（3）反函数的性质可以简化计算，通过反函数可以求解原函数中的未知量。
三、计算反函数的方法1. 使用表达式求解如果函数f(x)的表达式已知，则可以通过求解反函数的表达式来计算反函数。
具体的方法是，将f(x)的表达式中的x替换为y，y替换为x，然后解方程得到反函数的表达式。
2. 图示法求解如果函数f(x)的图像已知，可以通过观察图像来确定反函数的图像，再推导出反函数的表达式。
四、复合函数的概念与计算方法1. 复合函数的定义复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，那么g(x)与f(x)的复合函数可以表示为(g ∘f)(x)，读作g(f(x))。
2. 复合函数的计算计算复合函数的方法，即将内层函数的输出作为外层函数的输入，然后进行计算。
具体而言，对于函数f(x)和g(x)，要计算复合函数(g ∘f)(x)，首先计算f(x)，然后将f(x)的输出作为g(x)的输入进行计算。
五、像的变化与计算方法1. 反函数的像变化反函数的像变化与原函数的值域相反。
举例而言，如果函数f(x)的值域为Y，那么反函数的值域为X。
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
函数转换公式范文
函数转换公式范文一、函数的平移：1.左右平移：y=f(x±a)表示将原函数图像沿x轴左右平移a个单位。
2.上下平移：y=f(x)±a表示将原函数图像沿y轴上下平移a个单位。
二、函数的伸缩：1. 横向伸缩：y = f(bx) 表示将原函数图像沿y轴压缩为原来的1/b倍，b为正数，b>1时为压缩，b<1时为拉伸。
2. 纵向伸缩：y = af(x) 表示将原函数图像沿x轴压缩为原来的1/a倍，a为正数，a>1时为压缩，a<1时为拉伸。
三、函数的翻转：1.关于x轴翻转：y=-f(x)表示将原函数图像相对于x轴翻转，即纵坐标取相反数。
2.关于y轴翻转：y=f(-x)表示将原函数图像相对于y轴翻转，即横坐标取相反数。
四、函数的复合：1.f(g(x))表示将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入，得到f(g(x))函数。
2.g(f(x))表示将函数f(x)的输出作为函数g(x)的输入，得到g(f(x))函数。
五、函数的反函数：1. y = f(x) 的反函数记为 y = f^(-1)(x) （读作f inverse of x），表示由y = f(x)确定的输出反过来确定x。
六、函数的换元：1.变量替换：通过将函数中的变量替换为其他变量，得到新的函数。
2.坐标变换：通过对坐标轴进行线性变换来转换函数，如以点A(a,b)为中心旋转角度θ后的新坐标。
这些函数转换公式可以在解决数学问题中起到重要的作用。
例如，通过平移可以改变函数图像的位置，通过伸缩可以调整函数图像的大小，通过翻转可以倒置函数图像，通过复合可以得到多个函数的运算结果等。
函数的反函数和换元在求解方程和积分等数学问题中也有广泛的应用。
需要注意的是，在进行函数转换时，应该先对函数进行相应的变换，再进行替换等操作，以保证得到正确的结果。
此外，还需要注意函数转换后的定义域、值域等性质的变化，以便在应用中正确地使用转换后的函数。
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反函数与函数的图像变换
一、反函数
当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()
f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。
特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，
一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数：
（1）21x
y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质：
指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。
例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。
思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？
奇函数一定有反函数吗？
偶函数呢？
三、函数的图像变换
1、平移变换
（1）左右平移：()y f x a =±(0)a >的图像，可由()y f x =的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位得到。
口诀：左加右减。
（2）上下平移：()y f x a =±(0)a >的图像，可由()y f x =的图像向上（+）或向下（—）平移a 个单位得到。
口诀：上加下减。
例3 画出函数23()2
x f x x -=
-的图像，并指出其对称中心。
例4 已知函数()()()1(0,)f x a x m x n a m n =--+><，方程()0f x =有两个实数根,p q ，则必有（ ）。
A ．p m n q <<<
B ．m p q n <<<
C ．m p n q <<<
D ．p m q n <<<
2、对称变换
（1）()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称；
（2）()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于x 轴对称；
（3）()y f x =--的图像与()y f x =的图像关于原点对称；
（4）()y f x =的图像可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分，以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变，这是局部的变换；
（5）()y f x =的图像可将()y f x =()0x ≥的图像做出来，再利用偶函数的图像关于y 轴对称，做出0x <的部分，这也是局部变换。
例5 画出函数2()23f x x x =--的图像，并写出单调区间。
3、自对称函数
（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
（2）如果()()f x a f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线2a b x +=
对称。
特例：若0a b ==，则()y f x =是偶函数。
另外，这里()()x a b x a b ++-=+是常数，但是若()()f x a f b x +=+，这时()()x a b x a b +-+=-是常数，这说明()y f x =是周期函数，不压迫混淆。
（3）如果(2)2()f m x n f x -=-，则()y f x =关于点(),m n 对称。
特例：若0m n ==，则()y f x =是奇函数，对称中心是原点。
例 6 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()f x m =()0m >在区间上[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= 。
综合例题：
1、（全国Ⅱ－文）函数)5(51-≠+=
x x y 的反函数是（ ）。
A ．)0(51≠-=x x
y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51≠+=x x
y D ．)(5R x x y ∈-= 2、（2008高考四川延考卷）设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =
对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3
()2
f -=（ ）。
A ．12 B ．14 C ．34 D ．94
3、（福建－理、文）已知函数2log y x =的反函数是1()y f x -=，则函数1(1)y f x -=- 的图象是（ ）。
4、（湖南－理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，
则)(b a f + 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3log 2 5、（全国Ⅳ－文）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x
y )31(=的图象
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度 6、设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则 ( )
（A ）021<x x （B ）121=x x （C ）1021<<x x （D ）121>x x
练习：
1、（全国Ⅲ－文）记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ）
A ． 2
B ． 2-
C ． 3
D ． 1-
2、（上海－文）若函数()y f x =的图象与函数()lg 1y x =+的图象关于直0x y -=对称,
则()f x = ( )。
A ．10x -1.
B ． 1-10x
C ． 1-10-x
D ． 10-x -1.
3、（2009北京文理）为了得到函数3lg 10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ）
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4、（2009全国卷Ⅱ文）函数y=22log 2x y x
-=+的图像 A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称
C ． 关于y 轴对称
D ．关于直线y x =对称
5.（2009福建省）函数||log 2x y =的图象大致是
( )
6、 (银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数21)(-+-=x x x f 。
（1）画出函数()y f x =的图像；
（2）若不等式)(x f a b a b a ≥-++，()0,,a a b R ≠∈恒成立，求实数x 的范围。