4第四章 生成函数

j0 n
Nj
1 i1 i2

i j n
N (ai1 ai2
ai j )
em (1)
jm
jm
j Nj m
N (ai1 ai2
ai j ) rj (Ci1i2
n
ij
)(n j )!
N j (n j )! rj (C )
E (t ) em t m rj (C )(n j )!(t 1) j
定理 设C1和C 2都是棋盘C的子棋盘，C由C1和C 2 拼成，且C1和C 2彼此分离，即C1中的格子与C 2中的 任一个格子在C 上即不同行也不同列，则 R( t , C ) R( t , C1 ) R( t , C 2 ).
例 求棋盘
的车多项式.
例 求棋盘
的车多项式.
有禁位排列
考虑n个相异元a1 , a2 , , an的全排列，如果规定
n k 1 jk M k
选取的全部次数所成之集为 M k，则作成的排列数

t jk jk !
例 求n元集的每个元素至少出现一次的r 可重复 排列的个数.
例 用数字1, 2, 3,4作6位数，每个数在6位数中出现 的次数不得大于2，问可作出多少个不同的6位数.
例 用红、蓝、绿三种颜色去涂1 n棋盘，每格涂一种 颜色，求使得被涂成红色和蓝色的方格数
x 3 y 12
令 z 12 x 3 y 有 x 3 y z 12
例 求平面直角坐标系Oxy中，以A(5, 0), B(0, 5), C ( 5, 0), D(0, 5)为顶点的正方形内（包括边界) 的整点的个数.
| x | | y | z 5
例 从一个n元排列中选取k 个元作组合，使得组合中 的任何两个元a和b满足条件：在原排列中a和b之间至少 有r ( n r kr r )个元，以f r ( n, k )表示作成的不同组合 的个数，求f r ( n, k ).
例 求棋盘
的车多项式R(t).
表示从 定理 设 是棋盘C 上的任一个格子，以C C中去掉与同行和同列的全部格子后所得的棋盘， 以C 表示从C中去掉格子 后所得的棋盘，则 ) R( t , C ). R( t , c ) tR( t , C
例 求棋盘
的车多项式.
定义 设C是任一个棋盘，从C中删去若干个格子后 所得的棋盘称为棋盘C的一个子棋盘.
符号： 以Rn 表示带有禁格的n n棋盘，以B 表示Rn中全部非禁格所成的棋盘，以C 表示 Rn中全部禁格所成的棋盘（C 称为Rn的禁格 棋盘），满足所给限制条件的n元有禁位排列 的个数位rn ( B ).
命中多项式
问题： 设给出一个n元有禁位的排列问题，对应于带 禁格的n n 棋盘rn .以em 表示恰有m个元排在禁位上的 n元排列的个数，em 等于把n个车放在rn上，使得恰有 m个车放在禁格上的好布局数 .
第四章
§1
生成函数
常生成函数及其应用
例
例1 有红球2只，白球、黄球个一只，试求有多少种 不同的组合方案 (1 r r 2 )(1 w )(1 y )
1 ( r y w ) ( r 2 ry rw yw ) (r 2 y r 2 w ryw ) r 2 yw

n
(4) A( t ) nan t n1 ;
n 1

1 (5) A( t )dt an t n1 C . n 0 n 1

定义 设A( t ) an t n 是形式幂级数，如果存在
n 0

形式幂级数B( t ) bn t n , 使得A( t ) B( t ) 1,
常生成函数的应用
定理 以M k ( k 1, 2, x1 x2 , n)表示不定方程 xn r 满足
xn r中的未知数xk的可取值所成 , n)的解的个数，则ar 是
的集合，以ar 表示方程x1 x2 xk M k ( k 1, 2, A( t )
例 设r 是正实数，计算 r t t n ! n 0 n 0 n !
n n n 2 3
指数生成函数的应用
定理 设A {a1 , a2 ,
, an }是n元集，从A中可重复 , n)可重复
地选取r 个元作排列，如果ak ( k 1, 2, er 是 E(t ) tr 展开式中的 . r!
定义 设Rn 是任一个带有禁格的n n棋盘，以em (0 m n) 表示把n个车放在Rn 上，使得恰有m个车落在禁格上的好 布局数，令 E ( t ) em t m，
m0 n
E ( t )称为Rn的命中多项式.
定理 设Rn 是任一个带有禁格的n n棋盘， C 是 Rn的禁格棋盘，则Rn的命中多项式为 E ( t ) rj (C )( n j )!( t 1) j


两个形式幂级数，则A( t )和B( t )的商为 A( t ) A( t ) B 1 ( t ) B( t )
定义 设 an x n 是幂级数，则称形式幂级数
n 0 n n a t 是 a x n n 相应的形式幂级数 . n 0 n 0

例 对于实函数e x , 写出它对应的形式幂级数.
(1 x x 2 x 3 )(1 x 2 x4 x6 x8 )(1 x4 x8 )
形式幂函数
定义 设t 是一个符号，ai ( i 0,1, 2, A( t ) a0 a1t a2 t
2
)为实数，则
n 0
an t
n
an t n
例2 若有1g，2g，3g，4g的砝码各一枚，问能称出 几种可能的重量？
(1 x )(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) 1 x x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 6 2 x 7 x 8 x 9 x10
例3 若有1g砝码3枚，2g砝码4枚，4g砝码2枚，问能称出 哪些重量？各有种方案？
称为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt为未定元的一个形式幂级数.

注：（）对于 1 A( t ) an t , B( t ) bn t n，
n n 0 n 0
A( t ) B( t ) an = bn
( n 0,1, 2,
);
（）形式幂级数不存在收敛性问题. 2
形式幂级数运算
对于A( t ) an t , B( t ) bn t n , 定义
例 把n( n 1)个彼此相异的球放到4个相异盒 A1 , A2 , A3 , A4中，求使得A1含有奇数个球，A2含有 偶数个球的不同放球方法数gn .
作业
1（2），2，6，9，16，17（3）， 18（1），19，24
定理 设A {a1 , a2 ,
, an }是n元集，从A中可重复地选取 , n)表示ak 被允许重复选取
r 个元作组合，以M k ( k 1, 2, gr 是A( t )
n
的所有次数作成的集合，以gr 表示作成的组合的个数，则
k 1 jk M k

t jk 展开式中t r的系数 .
例 从n元集中可重复地选取r ( r n)个元作组合， 每个元至少取1次，求作成的可重复组合的个数.
例 求多重集S {4a,4b, 3c, 3d }的7组合的个数.
§2
车问题
问题描述：设n是任一个正整数，从一个n×n棋盘 中删去若干个格子后所得的图形称为一个棋盘，设 C是任一个棋盘，把k个车放在棋盘C上，使得任何 两个车既不同行也不同列，k个车在棋盘C上这样 这样的放置方法称为k个车在棋盘C上的一种好布局. 以rk(c)表示k个车在棋盘C上的好布局数，约定r0(c)＝1.
(1 t )
k
n k 1 n t n n 0

常生成函数
定义 设{an }n 0 是任一数列，则形式幂级数 A( t ) an t n
n 0
叫做数列{an }n 0 的常生成函数 .
例 求数列{n2 }n 0 的常生成函数.
例 设a0 3, a1 9, an 4an1 3an 2 4n 2, 求数列{an }n 0 的通项公式.
例 对于棋盘C：
， 求 rk (c )
n 例 证明：对于n n棋盘C , 有rk (c ) ( n)k k
车多项式
定义 设C 是任一个棋盘，令 R( t , C ) rk (C )t k ,
k 0
则R( t , C )称为棋盘C的车多项式.
例 求n n棋盘的车多项式R(t ).
n 0

则称 B( t )是A( t )的一个逆元.
定理 形式幂级数A( t ) an t n 有逆元的充分必要
n 0

条件是a0 0, 且若A( t )有逆元，则逆元唯一.
定义 设A( t ) an t n 和B( t ) bn t n (b0 0)是
n 0 n 0
n n 0 n 0
(1) A( t ) B( t ) (an bn )t n ;
n 0

(2) A( t ) B( t ) (an bn )t n ;
n 0
(3) A( t ) B( t ) ( ak bn k )t n ;
n 0 k 0
1 n 例 设有形式幂级数A( t ) t , 求Ak ( t ). n 0 n ! 1 n 例 求形式幂级数A( t ) t 的逆元. n 0 n !

定理 设m是任一个有理数，则对形式幂级数 A( t ) 1 t ( 0), 有