高中数学教案向量的概念与运算

向量的概念与运算

一、知识网络

二、高考考点

1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。

2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主

要是：

（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；

（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；

（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。

3、线段的定比分点线或平移问题。

4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。

三、知识要点

（一）向量的概念

1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。

特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.

（3）平行向量（共线向量）：

一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。

2、向量的坐标表示

（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。

（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。

（二）向量的运算

1、向量的加法

2、向量的减法

3、实数与向量的积

（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：

（3）平面向量的基本定理：

如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（4）向量共线的充要条件：

（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使

（ii）设则：

4、向量的数量积（内积）

（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。

（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii）

(3)坐标表示(i)设非零向量，则

(ii)设(4)运算律（自己总结，认知）

四、经典例题

例1．判断下列命题是否正确：

（1）若的方向相同或相反；（2）若

（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；

分析：

（1）不正确∵不能比较方向。

（2）不正确当时，虽然对任意，都有不一定平行。

（3）不正确，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。

点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。

例2．设点O为ΔABC所在平面内一点

（1）若，则O为ΔABC的（）

A、外心

B、内心

C、垂心

D、重心

（2）若，则为ΔABC的（）

A、外心

B、内心

C、垂心

D、重心

（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（）

A、外心

B、内心

C、垂心

D、重心

（4）若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ΔABC的（）

A、外心

B、内心

C、垂心

D、重心

分析：

（1）借助向量加法分析已知条件：

以、为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。

①且②

∴由①、②得

∴A、O、E、D、四点共线③且④

于是由③、④知O为ΔABC的重心，应选D

(2)由

同理可得OA⊥BC,OC⊥AB 于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C

（3）由已知得①令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量。∴由①得：②

令 ,则点Q在角A的平分线上③又由②知的与共线且同向（或）

∴动点P在角A的平分线上∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B。

（4）注意到的几何意义，

=0

又由已知的得：

∴动点P在BC边的高线上∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C。

点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。

例3：

（1）成立的充分必要条件为（）

A、B、C、D、

（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所成的比为（）

A、-

B、2

C、

D、-2

分析：（1）注意到不等式，当且仅当、反向或、中至少有一个为时等号成立，∴由得、反向或由此否定A、B、C，本题应选D

（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标”分析切入，主动去沟通“已知”，

设则 (刻意变形，靠拢已知)

（目标的延伸）①

又由已知得：（已知的变形或延伸）②

∴根据两向量相等的条件由①、②得：于是可知，点A分所成的比，应选 A 点评：

（i）（1）对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个为时，左右两等号同时成立。

（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。

例4：设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点，，求实数m、n的值。

解：由题设知

与共线①

又②

②代入①得：

7（2n-1）=(n+2)(2n+1) (n-3)(2n-3)=0

当时代入②得： m=3 当时代入②得：m=6 ∴ m=6，n=3或m=3，

点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。

例5．设试求满足：

（这里O为原点）

分析：注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由（x,y）切入，去建立关于x，y的方程组。

解：设，则点D坐标为（x,y）则由已知条件得：

x-2y+1=0 ①

由得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0 ②

于是将①、②联立，解得：

点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。

例6．设向量满足

（1）若，求与的夹角；

（2）若的值。

解：（1）设与的夹角为，则①

②

于是由②代入①得：注意到∈ [O, ],可得结果

（2）解法（着眼于对等各个击破）一方面由已知得：③

又④由③、④得⑤

注意到，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立

由⑤得与同向另一方面，又由知，与反向