高中数学教案向量的概念与运算
高中向量的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
高中向量的教案引言：向量是数学中一个重要的概念，在高中数学中起着重要的作用。
通过向量的学习，学生不仅可以更好地理解几何概念，还可以应用向量的知识解决实际问题。
本文档将提供一个针对高中向量教学的教案，帮助教师系统地进行向量教学。
一、教学目标1. 理解向量的定义和基本概念；2. 掌握向量的表示方法和运算法则；3. 能够应用向量解决几何和物理问题。
二、教学内容1. 向量的定义和基本概念a. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量；b. 向量的表示方法：用箭头表示，箭头长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向；c. 零向量的概念：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身；d. 向量的相等性和相反性：向量的大小和方向相同则相等，大小相等但方向相反则相反；e. 向量的标志符号：用小写字母加箭头表示，如a→。
2. 向量的运算法则a. 向量的加法：按照平行四边形法则进行，即将两个向量的始点相连，得到新的向量；b. 向量的减法：将减去的向量转换为其相反向量，然后按照向量加法进行运算；c. 向量的数乘：将向量的大小与一个实数相乘，得到新的向量；d. 向量的数量积：向量的数量积定义为两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；e. 向量的向量积：向量的向量积定义为两个向量的乘积与它们所在平面上的法向量的乘积。
3. 向量的应用a. 几何问题：通过向量的运算，可以解决直线垂直、平行、共线、夹角等几何问题；b. 物理问题：通过向量的运用，可以解决速度、位移、力等物理问题；c. 向量的投影和分解：将一个向量分解成两个分量，垂直和平行于另一个向量；d. 向量的线性组合：通过向量的线性组合，可以表示一个平面或空间中的任意向量。
三、教学过程1. 导入：通过引入实际生活中的问题，引发学生对向量的兴趣和思考；2. 知识讲解：结合教材对向量的定义、表示方法和运算法则进行详细讲解；3. 实例演示：通过具体的实例演示向量的运算和应用，帮助学生更好地理解和掌握；4. 练习训练：安排一定数量和难度的练习题，巩固学生对向量知识的掌握；5. 拓展延伸：引导学生应用向量的知识解决更复杂的问题，培养学生的思维能力和创新能力；6. 总结归纳：总结向量的定义、表示方法和运算法则，引导学生自主总结所学知识；7. 小结：对本节课内容进行总结，激发学生对向量学习的兴趣和积极性。
向量的教案5篇
向量的教案5篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中二年级数学教案：引入向量概念及其运算 (2)
高中二年级数学教案：引入向量概念及其运算引入向量概念及其运算一、引言在高中数学课程中，向量是一个重要的概念。
向量不仅在几何学中有重要的应用，也在其他学科中有广泛的应用，如物理学、工程学等。
因此，引入向量概念及其运算是高中数学教学中必不可少的一环。
二、引入向量的概念1. 认识向量在引入向量之前，我们先来认识一下向量的概念。
向量是有大小和方向的量，用有向线段来表示。
在数学中，我们用小写字母加箭头来表示向量，如a。
向量的起点和终点分别称为起点和终点，向量的长度称为向量的模或大小。
2. 向量的表示与性质接下来，我们学习向量的表示与性质。
向量可以用坐标表示，也可以用顶点表示。
如果用顶点表示，我们可以用字母标记顶点，如A、B、C等。
向量的性质包括相等性、相反性和零向量等。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
按照平行四边形法则，我们可以将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头放在一起，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个数相乘得到一个新的向量。
数乘的结果是将向量的长度与方向同时改变。
当数大于0时，向量与数的乘积方向与原向量相同；当数小于0时，向量与数的乘积方向与原向量相反。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法实际上是向量的加法的逆运算。
我们可以将向量的减法看作是将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。
4. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量相乘并加在一起得到一个新的向量。
线性组合的系数可以是任何实数。
向量的线性组合有很多应用，如求解线性方程组等。
四、应用实例最后，我们来看一些向量概念及其运算在实际问题中的应用实例。
1. 平面向量的应用在平面几何中，我们经常会遇到向量的应用。
例如，我们可以通过向量的加法和减法来求解平面上的几何关系，如平行、垂直等。
2. 物理学中的向量在物理学中，向量是不可或缺的工具。
向量的概念与运算
向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。
一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。
二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。
行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。
2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。
3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。
一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。
即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。
2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。
即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。
3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。
即：k * v = (ka, kb, kc)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。
即：v · w = a * x + b * y + c * z。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。
四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。
高中数学教案(11篇)
高中数学教案（11篇）高中数学教案优秀模板篇一一、教学目标：掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。
二、教学重点：向量的性质及相关知识的综合应用。
三、教学过程：(一)主要知识：1、掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。
(二)例题分析：略四、小结：1、进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2、渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力。
五、作业：略高中数学教案优秀模板篇二[学习目标](1)会用坐标法及距离公式证明Cα+β;(2)会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与相互转化；(3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简单的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。
[学习重点]两角和与差的正弦、余弦、正切公式[学习难点]余弦和角公式的推导[知识结构]1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。
其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数(证明过程见课本)2、通过下面各组数的值的比较：①cos(30°—90°)与cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。
我们应该得出如下结论：一般情况下，cos(α±β)≠cosα±cosβ，sin(α±β)≠sinα±sinβ。
但不排除一些特例，如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。
3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。
平面直角坐标系中向量的概念及其运算教案
平面直角坐标系中向量的概念及其运算教案一、教学目标1.理解向量概念，掌握向量的定义。
2.掌握向量的基本运算法则，能准确计算向量的加法、减法、数量乘法、点乘法等核心运算。
3.能够应用向量概念和运算法则，解决实际问题。
二、教学重点难点1.向量概念的理解和向量的定义。
2.向量的基本运算法则和向量的加、减、数量乘的应用。
三、教学过程1.向量的概念及定义（1）引入向量的概念通过生活实例，让学生感受向量的概念：如两个人之间的距离、汽车行驶的方向和速度、风的方向和力量等都是向量。
（2）引入向量的定义为了便于表达和计算，我们通常用加粗的小写字母表示向量，如a、b，向量表示的是由长度和方向组成的一种量。
在平面直角坐标系中，向量 a 的表示方法为 (x1, y1)，其中 x1 和 y1 分别为向量 a 在 x、y 轴上的分量。
向量 b 也有类似的表示方法。
（3）向量的模长和方向向量的模长表示向量的长度，用 |a| 或 ||a|| 表示。
向量的方向表示向量所在直线或者线段的方向，可以用一个角度来表示，也可以用两个点或者一个点和一个角度来表示。
向量 a 的模长可以表示为：|a| = sqrt(x1^2 + y1^2)向量 a 的方向可以表示为：θ = arctan(y1/x1)注：在计算向量方向角时，应注意 x1 的符号。
当 x1 大于 0 时，α = arctan(y1/x1)，当 x1 小于 0 时，α = π +arctan(y1/x1)。
2.向量的基本运算法则（1）向量的加法和减法向量的加法和减法是比较直观的，就是把两个向量首尾相连，形成一个新的向量。
向量 a + b 和向量 a - b 的示意图如下：（2）向量的数量乘法向量的数量乘法是指把一个向量乘以一个实数，即数乘，它改变了向量的长度和方向，但不改变向量的方向。
向量 a 乘以实数 k 的结果为：ka = (kx1, ky1)3.向量的点乘法（1）引入向量的点乘向量的点乘是指两个向量相乘后所得的一个标量。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
向量的基本概念与运算规则
向量的基本概念与运算规则向量是数学中的一个重要概念，常用于表示具有大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
记作➡️AB，A和B分别表示向量的起点和终点。
二、向量的表示方法向量可以用多种表示方法，常见的有坐标表示法和分量表示法。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以由起点和终点的坐标表示。
例如，向量➡️AB可以表示为(2,3)。
2. 分量表示法：向量可以由沿坐标轴的投影表示，称为向量的分量。
例如，向量➡️AB的水平分量和垂直分量分别为2和3。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘和点乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足"三角形法则"，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
例如，对于向量➡️AB和向量➡️BC，它们的和为向量➡️AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
将被减去的向量取反，即将其方向翻转180度，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 向量的数乘：将一个向量与一个标量相乘，即将向量的大小与标量相乘，同时保持向量的方向不变。
例如，向量➡️AB数乘2的结果是向量➡️AC，AC的大小为原向量AB大小的2倍。
4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量进行数量积运算，其结果为一个实数。
点乘的计算公式为AB·AC=|AB||AC|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别为向量AB和AC的大小。
四、向量的性质向量具有一些重要的性质，其中包括：1. 向量的零向量：零向量是指大小为0的向量，它的方向可以是任意方向。
零向量与任何向量的加法结果均为原向量本身。
2. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
向量的加法教案
向量的加法教案
教学目标：
1. 理解向量的概念及向量的加法运算方法；
2. 掌握向量的加法运算法则；
3. 能够灵活运用向量的加法运算方法解决实际问题。
教学重点：
1. 向量的概念及性质；
2. 向量的加法运算法则。
教学难点：
1. 向量的加法运算法则的理解和应用。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：教师黑板、彩色粉笔。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师提问：你们知道什么是向量吗？
学生回答：向量是空间中有大小和方向的量。
二、讲授新知识（10分钟）
1. 教师引入向量的加法运算，解释向量的运算法则。
2. 通过实例说明向量的加法运算方法。
三、练习与讲解（15分钟）
教师出示练习题，让学生进行练习并解答，然后进行讲解。
四、巩固与拓展（15分钟）
1. 教师布置一些拓展练习，要求学生独立完成，并在下节课开始前检查。
2. 分组讨论和比较练习答案。
五、课堂总结（5分钟）
教师对本节课内容进行总结并强调重点和难点。
六、课后作业（5分钟）
1. 完成课堂练习的剩下部分；
2. 完成课后拓展练习。
教学反思：
通过上述教学过程，学生对向量的概念有了初步的了解，并且能够运用向量的加法运算法则来解决一些基本问题。
但是，由于时间的限制，学生对练习题目的解答和讲解并不充分，希望在以后的教学中，能够给予更多的时间和机会让学生进行练习和讲解。
此外，也需要加强学生的课后作业，以便巩固和深化他们对向量加法的理解和运用。
向量的概念教案
向量的概念教案一、教学目标：1. 了解向量的概念和基本性质。
2. 掌握向量的表示方法。
3. 能够用向量表示物理量，并进行向量的四则运算。
4. 能够应用向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学重难点1. 向量的表示方法及其基本性质的理解。
2. 向量的运算和应用。
三、教学准备1. PowerPoint。
2. 教材和教辅资料。
四、教学过程Step 1 引入1. 教师出示一个箭头图形，引导学生发现箭头的两个特点：有方向和有大小。
2. 通过问答的方式，引导学生思考如何用数学语言描述这个箭头的方向和大小。
向量的概念向量可以用来描述一个有方向和大小的量，通常用一个有方向的线段来表示。
在数学中，向量通常用一个有序的数组表示，比如(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
Step 2 向量的表示方法1. 让学生观察和分析一些具体的向量图形，引导学生发现向量的表示方法。
2. 引导学生总结并归纳向量的表示方法：有向线段、有序数组、相等向量。
练习：请写出下列向量的表示方法。
a) 向量AB的起点是A，终点是B，大小为3个单位。
b) 向量CD的起点是C，终点是D，方向是正北，大小为4个单位。
c) 向量EF的起点是E，终点是F，大小为5个单位，方向是水平向右。
Step 3 向量的基本性质1. 通过引导学生观察和分析，学习向量的基本性质：长度、零向量、相等向量、相反向量。
2. 引导学生通过举例和实例，巩固和理解向量的基本性质。
练习：1. 已知向量AB=（2, 3），求向量AB的长度。
2. 若向量CD与向量EF相等，向量CD的长度为4，求向量EF的长度。
3. 若向量GH与向量IJ相反，向量GH的长度为5，求向量IJ的长度。
Step 4 向量的运算1. 向量的加法：引导学生通过观察和分析，掌握向量的加法的定义和性质。
2. 向量的减法：引导学生通过观察和分析，掌握向量的减法的定义和性质。
练习：1. 向量A=（2, 3），向量B=（4, 1），求向量A+B和向量A-B。
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
高中数学向量问题解决教案
高中数学向量问题解决教案
教学目标：学生能够熟练运用向量的概念解决各类数学问题，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：向量的概念、向量的运算、向量的线性组合、向量的模、向量的方向角、向量的数量积、向量的夹角等内容。
教学步骤：
一、复习向量的基本概念，包括向量的定义、向量的相等、对于两个向量a和b，若
a+b=0，则称a与b互逆等内容。
二、介绍向量的运算法则，包括向量的加法、减法、数乘等运算，引导学生理解向量运算的性质。
三、讲解向量的线性组合，引导学生运用向量的线性组合求解实际问题。
四、讲解向量的模和方向角的概念，引导学生学会计算向量的模和方向角。
五、介绍向量的数量积，讲解数量积的定义、性质和计算方法，引导学生掌握数量积的应用技巧。
六、讲解向量的夹角及夹角的性质，引导学生了解夹角的概念及计算方法。
七、组织学生进行实例训练，引导学生独立解决向量问题，培养学生的分析和解决问题的能力。
八、总结本节课内容，强调向量的重要性及实际应用价值，鼓励学生加强练习，提升解决问题的能力。
教学资源：教材、教案、黑板、投影仪等。
评价方法：课堂练习、小组合作练习、个人作业等。
通过学生的表现和练习情况评价学生的掌握程度。
拓展延伸：学生可通过拓展实际问题应用向量的解法，提高学生的实际应用能力。
教学反思：教师需要根据学生的不同水平和理解能力，灵活调整教学方法，引导学生有效掌握向量的相关知识。
同时，需要根据学生的实际情况及时调整教学进度，确保学生学习效果。
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。
向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。
向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。
二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案
课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。
数学教案向量的基本运算
数学教案向量的基本运算数学教案：向量的基本运算一、引言在数学中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述物理空间中的位移、速度和力等物理量。
向量的基本运算包括加法、减法和数乘运算，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本教案将从理论和实践两个方面，详细介绍向量的基本运算。
二、向量的表示与性质向量通常用有序数组表示，如(A1, A2, A3)。
向量的性质包括大小、方向和共线性。
大小由向量的模表示，方向由箭头指向确定，共线性由向量的比例关系决定。
三、向量的加法运算1. 向量的三要素及图解法：两个向量相加所得的和向量，大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相同。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相加。
3. 示例题：根据图示求两个向量的和向量。
四、向量的减法运算1. 向量的定义及图解法：两个向量相减所得的差向量，大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相反。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相减。
3. 示例题：根据图示求两个向量的差向量。
五、向量的数乘运算1. 向量的定义及图解法：一个向量乘以一个实数所得的向量，向量的大小等于实数与向量大小的乘积，方向与原向量相同(正数)或相反(负数)。
2. 分量法：将向量的分量分别乘以实数。
3. 示例题：根据图示求向量的数乘。
六、向量的基本运算的性质1. 加法和减法的性质：交换律、结合律、零向量和负向量。
2. 数乘的性质：分配律、加法的结合律、单位向量。
七、实际应用1. 位移向量：描述物体在空间中的位置变化。
2. 速度向量：描述物体在空间中的运动状态。
3. 力向量：描述物体受力及其方向。
八、小结通过本教案的学习，我们了解了向量的基本运算，包括加法、减法和数乘运算。
向量运算不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学等领域也具有重要的意义。
在实际问题中，我们可以通过运用向量的基本运算来描述物体的位置、运动和受力等情况，提高问题解决的效率。
高等数学教案：向量及其线性运算
高等数学教案：向量及其线性运算第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算本授课单元教学目标或要求：理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质重点：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质难点：向量线性运算基本性质的证明和理解对学生的引导及重点难点的解决方法：从中学平面解析几何中代数与几何的关系入手，指出可以用代数方法帮助研究几何问题，从而提出建立空间坐标系的重要性；引入向量的相关概念，定义向量的线性运算并给出其几何解释。
本节的难点为向量运算基本性质的证明与理解问题，首先应该通过力学实例给出向量加法的物理学实例，从而引入向量加法的定义，完成从实例到抽象定义的转化；然后在几何上给出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，说明其等价性，完成从抽象到具体几何解释的转化，为后续证明打好基础；接着定义向量与数的乘法，并给出几何解释；最后利用向量运算的几何解释证明向量线性运算的结合律与分配律。
例题：例1 化简例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.其他例题见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）P301 5.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P289---P294注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
高中数学教案：向量的运算
高中数学教案：向量的运算向量的运算一、引言向量是高中数学中的重要内容之一，它具有方向和大小，并且可以进行各种运算。
向量的运算包括向量的加法、向量的减法、数量与向量的乘法等。
本教案将详细介绍向量的运算方法和相关性质。
二、向量的加法1. 定义向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的和记作A＋B，可以通过以下方法进行计算：A＋B＝(Ax＋Bx, Ay＋By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx 表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的加法具有以下性质：(1) 交换律：A＋B＝B＋A(2) 结合律：(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，其中C为另一个向量三、向量的减法1. 定义向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的差记作A－B，可以通过以下方法进行计算：A－B＝(Ax－Bx, Ay－By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的减法具有以下性质：(1) 减法的定义：A－B＝A＋(－B)(2) 减法的运算规则：A－B＝A＋（－B）＝A＋（－1）B＝A－B四、数量与向量的乘法1. 向量的数量乘法给定一个向量A和一个实数k，向量A与实数k的乘积记作kA，它是一个新的向量，计算方法为：kA＝(kAx, kAy)其中，kAx表示向量A在x轴上的分量乘以实数k，kAy表示向量A在y轴上的分量乘以实数k。
2. 向量的点乘向量的点乘又称为数量积，给定两个向量A和B，它们的点乘记作A·B或者AB，计算方法为：A·B＝|A||B|cosθ其中，|A|表示向量A的模长，|B|表示向量B的模长，θ表示A和B的夹角。
3. 向量的叉乘向量的叉乘又称为向量积，给定两个向量A和B，它们的叉乘记作A×B或者AXB，计算方法为：A×B＝|(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBx－AyBx)k|其中，i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。
高中二年级数学教案：引入向量概念及其运算
高中二年级数学教案：引入向量概念及其运算引入向量概念及其运算概述：在高中数学中，向量概念及其运算是重要的内容之一。
通过引入向量概念，学生可以更好地理解几何图形和物理现象，同时为日后的高阶数学建立坚实的基础。
本教案将介绍如何引入向量概念及其运算，帮助学生掌握相关知识和技巧。
一、引入向量概念1. 导入问题：引起学生思考的问题在引入向量概念之前，可以通过提出一些问题引起学生的思考，如下所示：- 如何表示某一条线段的长度和方向？- 如何表示一个力的大小和方向？- 如何表示平面上两点之间的位移？2. 引入向量的概念之定义对于上述问题，我们可以引入向量的概念来解决。
向量可以看作是有大小和方向的量，常用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量可以用一个有序的数对表示，也可以用大写字母表示，如A、B等。
3. 向量的性质与示例向量具有一些基本的性质，如大小、方向、平行、共线等。
在引入向量概念时，可以通过示例来帮助学生理解。
示例1：向量的模假设有两点A(1,2)和B(4,3)，求向量AB→的模。
解析：向量AB→的模表示了从A到B的长度，可以通过计算欧几里得距离得出。
示例2：向量的方向假设有两点C(2,1)和D(2,5)，求向量CD→的方向角。
解析：向量CD→的方向角可以通过计算斜率来得到。
二、向量的运算1. 向量的加法引入向量的运算是为了处理更加复杂的数学问题。
向量的加法定义如下：已知向量AB→和向量BC→，则向量AB→+向量BC→ = 向量AC→。
示例3：向量的加法已知向量AB→ = (2,1)和向量BC→ = (3,4)，求向量AC→。
解析：将向量AB→两个坐标相加即可得到向量AC→的坐标。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法将一个向量乘以一个实数，定义如下：已知向量AB→和实数k，k * 向量AB→ = 向量BA' →(方向相反，大小为|k * AB→|)。
示例4：向量的数量乘法已知向量AB→ = (2,3)和k = 2，求向量k * AB→。
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向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。
2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。
3、线段的定比分点线或平移问题。
4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。
三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。
特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
零向量与零向量相等。
认知：向量的平移具有“保值性”。
2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。
（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。
（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使（ii）设则：4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。
（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii）(3)坐标表示(i)设非零向量，则(ii)设(4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例1．判断下列命题是否正确：（1）若的方向相同或相反；（2）若（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；分析：（1）不正确∵不能比较方向。
（2）不正确当时，虽然对任意，都有不一定平行。
（3）不正确，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。
点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。
例2．设点O为ΔABC所在平面内一点（1）若，则O为ΔABC的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心（2）若，则为ΔABC的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心（4）若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ΔABC的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心分析：（1）借助向量加法分析已知条件：以、为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。
①且②∴由①、②得∴A、O、E、D、四点共线③且④于是由③、④知O为ΔABC的重心，应选D(2)由同理可得OA⊥BC,OC⊥AB 于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C（3）由已知得①令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量。
∴由①得：②令 ,则点Q在角A的平分线上③又由②知的与共线且同向（或）∴动点P在角A的平分线上∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B。
（4）注意到的几何意义，=0又由已知的得：∴动点P在BC边的高线上∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C。
点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。
例3：（1）成立的充分必要条件为（）A、B、C、D、（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所成的比为（）A、-B、2C、D、-2分析：（1）注意到不等式，当且仅当、反向或、中至少有一个为时等号成立，∴由得、反向或由此否定A、B、C，本题应选D（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标”分析切入，主动去沟通“已知”，设则 (刻意变形，靠拢已知)（目标的延伸）①又由已知得：（已知的变形或延伸）②∴根据两向量相等的条件由①、②得：于是可知，点A分所成的比，应选 A 点评：（i）（1）对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个为时，左右两等号同时成立。
（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。
例4：设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点，，求实数m、n的值。
解：由题设知与共线①又②②代入①得：7（2n-1）=(n+2)(2n+1) (n-3)(2n-3)=0当时代入②得： m=3 当时代入②得：m=6 ∴ m=6，n=3或m=3，点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。
例5．设试求满足：（这里O为原点）分析：注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由（x,y）切入，去建立关于x，y的方程组。
解：设，则点D坐标为（x,y）则由已知条件得：x-2y+1=0 ①由得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0 ②于是将①、②联立，解得：点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。
例6．设向量满足（1）若，求与的夹角；（2）若的值。
解：（1）设与的夹角为，则①②于是由②代入①得：注意到∈ [O, ],可得结果（2）解法（着眼于对等各个击破）一方面由已知得：③又④由③、④得⑤注意到，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立由⑤得与同向另一方面，又由知，与反向与的夹角为0°，与的夹角为180°，与的夹角为180°∴原式=3×1-1×4-3×4=-13解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）：∴由已知条件得解法三（从寻求目标局部的值切入）：原式同理，点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。
但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：（1）利用数值本身（代入）；（2）分别利用数值的绝对值和符号；（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）。
例7．已知的夹角为120°，且 ,试求m，n及与的夹角。
解法一：（利用内积的定义），设与的夹角为，由再①②再由：由①，②得③将③代入②得：④于是由①，③，④得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150°点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。
注意到所求m、n 含在中，故在求出、的值之后，以的变形为主线展开求索：变形1.变形2.变形3.于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。
解法二（利用向量的坐标）：设，与的夹角为，由已知得①由②又x12+y12=8 ③x22+y22=4 ④由①，③解得或由②，④解得或将上述，坐标分四次代入便解得n=-4，, =30°或150°点评2：本解法致力于求与的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。
例8．设的夹角为，分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简，的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。
解：①②③注意到这里由②、③得到④⑤于是由①、④得由①、⑤得解得⑥因此由⑥得点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将表为,从而为简化及的表达式以及简化的表达式奠定良好的基础。
五、高考填题（一）选择题、1、P是ΔABC所在平面上一点，且，则P是ΔABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心分析：由同理，AB⊥PC,BC⊥PA 点P为ΔABC的垂心，应选D2、已知向量， ,且 ,则一定共线的三点是（）A．A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入由题意得A、B、D三点共线，应选A3、已知点A（ ,1），B（0，0），C（，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 ,其中等于（）A、 2B、C、-3D、-分析：从认知目标切入，由题设易知与反向，故 <0 ①又由三角形内角平分线定理得即 =3 ②于是由①、②得 =-3，应选C4、若 , , ，则向量与的夹角为（）A、30°B、60°C、120°D、150°分析：令向量与的夹角为，则①又由得②于是将已知与②代入①得所得，应选C5、在ΔABC中，，，，则k的值是（）。
A、5B、-5C、D、分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k 的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入：由题设知，由此得（2，3）·（2-k,2）=0 2（2-k）+6=0解得k=5,故应选A。
6、设向量等于（）。
A、（1，1）B、（-4，-4）C、-4D、（-2,-2）分析：循着向量的坐标表示与有关公式得：∴原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B7、已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（）A、分析1：（特征分析法）：画出ΔABC及其中线AD，又将向量平移到 ,则可见与成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。
分析2：（直接法）：由题设D（5，2）所求两向量夹角应为）,应选C8、已知向量，满足对任意t∈R， ,则（）A、分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量，的关系由已知得整理得①注意到①对任意都成立。
即②根据②式检验选项，故选C点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节。
（二）填空题1、已知向量分析：注意到两向量平行的充要条件，由已知条件得2×6-3x=0，由此解得 x=42、已知向量 ,且A、B、C三点共线，则k= 。