2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第六节指数与指数函数 Word版含解析

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【苏教版】2019版高考文数一轮优化探究练习第六章第二节等差数列及其前n项和含解析

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13.答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310. 答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否成等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第二节函数的定义域和值域

一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2x ＋c 在[－2,2]上的最大值是________．解析：因为二次函数f (x )的对称轴为x ＝1并且开口向上，所以在区间[－2,2]上的最大值为f (－2)＝8＋c .答案：8＋c2．若f (x )的定义域为[－2,3]，则f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为________．解析：∵f (x )的定义域为－2≤x ≤3，由log 2(x 2－3)≥0，则x 2－3≥1，x ≥2或x ≤－2.即f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为2≤x ≤3或x ＝－2.答案：{－2}∪{x |2≤x ≤3}3．y ＝133x －9－|x |－2的定义域为________．解析：依题意⎩⎨⎧|x |－2≥03x －9≠0，由此解得 x ≤－2或x ≥2，且x ≠3，即函数的定义域是{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}．答案：{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}4．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则Δ＝16m 2－12m <0，得0<m <34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为[0，34)．答案：[0，34)5．函数y ＝|x ＋2|＋(x －3)2的值域为________．解析：y ＝|x ＋2|＋(x －3)2＝|x ＋2|＋|x －3| ＝⎩⎨⎧ －2x ＋1 (x ≤－2)，5 (－2<x <3)，2x －1 (x ≥3).当x ≤－2时，－2x ＋1≥－2×(－2)＋1＝5；当x ≥3时， 2x －1≥2×3－1＝5，∴y ≥5.答案：[5，＋∞)6．函数y ＝log 2 (4－x )的定义域是________．解析：由⎩⎨⎧ 4－x >0log 2 (4－x )≥0，即⎩⎨⎧4－x >04－x ≥1，得x ≤3. 答案：(－∞，3]7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时，取等号，则2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：948．对a ，b ∈R ，记min {a ，b }＝⎩⎨⎧a (a <b )，b (a ≥b )，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R)的最大值为________．解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.答案：19．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案：1二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R ，函数值均为非负数，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－(a ＋32)2＋174(a ∈[－1，32])．∵二次函数g (a )在[－1，32]上单调递减，∴g (32)≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4，∴g (a )的值域为[－194，4]．11．已知函数y ＝log a (ax 2＋2x ＋1)．(1)若此函数的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若此函数的定义域为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)，求a 的值．解析：(1)ax 2＋2x ＋1>0，Δ＝4－4a ，∵定义域为R.∴a >0，Δ<0，∴a >1.(2)由题意，ax 2＋2x ＋1>0的解集为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－4，1a ＝2，∴a ＝12.12．设f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)． (1)求f (x )在x ∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．解析：(1)(导数法) f ′(x )＝4x (x ＋1)－2x 2(x ＋1)2＝2x 2＋4x (x ＋1)2≥0在x ∈[0,1]上恒成立． ∴f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]．(2)f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)在x ∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a ]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a ]，∴⎩⎨⎧ 5－2a ≤05－a ≥1⇒52≤a ≤4.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第十节函数模型及其应用

一、填空题1、一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)、解析：1×(1－50%)3＝0.125.答案：0.1252、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)、若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元、解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)、∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)、答案：45.63、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________、解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1－13)3＝8 100×827＝2400(元)、答案：2 400元4、某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元、解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元、答案：2 5005、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元、现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋1， 0<x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1， x >8，可得x ＝9.答案：96、中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降、若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为________、解析：每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5. 答案：y ＝30(1－x %)57、某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠、某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元、解析：由题意付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)、答案：582.68、在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元，如果购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元、解析：设y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 800a ＋b ＝1 000700a ＋b ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10b ＝9 000， ∴y ＝－10x ＋9 000，由400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元)、答案：8609、一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________、解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π二、解答题10、某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米、已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元、(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以y＝f(x)＝800x＋x(x－1)2×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)、(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)＝f(x)2 000x×10 000＝5(10x2＋790x＋9 000)x＝50(x＋900x＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950，当且仅当x＝900x，即x＝30时，等号成立、所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层、11、某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x(x∈N*)之间的关系为P＝4 200－x24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元、(1)将日利润y(元)表示成产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值、解析：(1)∵y＝4 000×4 200－x24 500·x－2 000(1－4 200－x24 500)·x＝3 600x－43x3，∴所求的函数关系式是y＝－43x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40)、(2)易得y′＝3 600－4x2，令y′＝0，解得x＝30.∴当1≤x<30时，y′>0；当30<x≤40时，y′<0.∴ 函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数、当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)、∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元、12、将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗，假定A ，B 两组同时开始种植、(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25 h ，种植一捆沙棘树苗用时12 h 、应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23 h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间、解析：(1)设A 组人数为x ，且0<x <52，x ∈N *，则A 组植树活动所需时间为f (x )＝150×25x ＝60x ，B 组植树活动所需时间为g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.所以A ，B 两组同时开始的植树活动所需时间为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x， x ≤19，x ∈N *，10052－x， x ≥20，x ∈N *.而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)、所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短、(2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367， B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323，所以植树活动所持续的时间为367 h.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第六章第二节等差数列及其

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则等于________．ab 解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴Error!即Error!∴＝.a b 13答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lgb 的等差中项是0，则＋的最小值是1a 1b ________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝，1b ∴＋＝b ＋≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．1a 1b 1b 答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝＝＝＝72.8(a 1＋a 8)28(a 4＋a 5)28×182答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且＝，则等SnTn 2n ＋13n ＋2a 9b 9于________．解析：∵＝＝＝＝.a 9b 917a 917b 9S 17T 172×17＋13×17＋23553答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝Error!可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得Error!解得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则＝________.S 3S 613S 6S 12解析：＝＝⇒a 1＝2d .S 3S 63(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )213＝＝＝.S 6S 126(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )29d30d 310答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得Error!，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝×n ＝－(n －)4＋5－n212922＋，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．818答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n 二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝＋.n (n ＋1)2q (1－qn )1－q 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝＝.n ·(b 1＋bn )2n (n ＋3)211．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{}是否成等差数列；1an (2)设{b n }满足b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .1an 解析：(1)由已知可得－＝3(n ≥2)，1an 1an －1故数列{}是以1为首项、公差为3的等差数列．1an (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝＝.n (1＋3n －2)2n (3n －1)212．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{}的前n 项和为T n ，问满足T n >的最小正整数n 是多少？1anan ＋1100209解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝＋＋…＋＋1a 1a 21a 2a 31an －1an 1anan ＋1＝＋＋＋…＋11×313×515×71(2n －1)(2n ＋1)＝[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]1211131315151712n －112n ＋1＝(1－)＝.1212n ＋1n2n ＋1由T n ＝> ，得n >，满足T n >的最小正整数为12.n2n ＋11002091009100209。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第八节幂函数与

一、填空题1．设α∈{－1,1，}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值12为________．解析：在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝中，只有y ＝x 符合题意．答案：12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：借助图象可知当x ＝1时f (x )min ＝－1，当x ＝－1或x ＝3时f (x )max ＝3，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3，当b ＝3时，－1≤a ≤1，故2≤b －a ≤4.答案：[2,4]3．若函数f (x )是幂函数，且满足＝3，则f ()的值等于________．f (4)f (2)12解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R)，则有＝3，即2α＝3，4α2α得α＝log 23，则f (x )＝x log 23，答案：134．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝Error!设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析：由已知得f (x )＝Error!如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－或c ≤－2.34答案：(－∞，－2]∪(－1，－34)5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：∵x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4，∴m <－(x ＋)对x ∈(1,2)恒成立．4x 又∵4<x ＋<5，4x ∴－5<－(x ＋)<－4，4x ∴m ≤－5.答案：(－∞，－5]6．已知函数f (x )＝x ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________．12解析：<得：2x －13x Error!∴x ≥.12答案：[，＋∞)127．已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )>0的解集是(0,4)，且f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )>0的解集是(0,4)可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1,5]上的最大值是12可知f (2)＝12.即Error!解得Error!∴f (x )＝－3x 2＋12x .答案：f (x )＝－3x 2＋12x8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．解析：∵Error!∴m ＝β＋.1β∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋在(1,2)上是增函数，1β∴1＋1<m <2＋，即m ∈(2，)．1252答案：(2，)529．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则＋的最小1a 9c 值是________．解析：由题意知Error!化简得＝且a >0，于是＋＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即1c a 41a 9c 1a 9a 41a ×9a 41a 9a 4a ＝时取等号．23答案：3二、解答题10．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q ；若不存在，178请说明理由．解析：(1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(，)处取得．2q －12q 4q 2＋14q①当q >0时，而－g (－1)＝－(2－3q )＝≥0，4q 2＋14q 4q 2＋14q (4q －1)24q ∴g (x )max ＝＝，4q 2＋14q 178g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝，178g (x )min ＝＝－4，4q 2＋14q q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．11．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)，f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－.c ＋12又c <b <1，故c <－<1⇒－3<c <－.c ＋1213方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c 0，∴f (m －4)的符号为正．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解析：(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根，∴Error!，解得a ＝1，b ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴Error!，即Error!.∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝＝1－，2a －12a 12a 又a ≥1，故1－∈[，1)，12a 12∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f ()＝1－.2a －12a 14a g (a )＝M ＋m ＝9a －－1.14a 又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝.314。

江苏专版2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测九指数与指数函数文52

课时跟踪检测（九）指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数f (x )＝ax －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝______.解析：由图象平移知识及函数f (x )＝a x过定点(0,1)知，m ＝9. 答案：92．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象关于________对称．解析：因为g (x )＝21－x＝f (－x )，所以f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称．答案：y 轴3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c . 答案：a >b >c4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故f (x )的值域为[1,9]．答案：[1,9]5．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．解析：不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4. 答案：{x |－1<x <4}6．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝± 3.又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：由题意知a >1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由y ＝a t (a >1)的单调性知a 3>a 2，所以f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)2．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝ax ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是________．解析：法一：因为函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象，所以y ＝ax ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2018·启东中学检测)已知实数a ，b 满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①01，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a 1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，2－3a ×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 5．函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是________．解析：因为x ≥0，所以3－x ≤3，所以0＜23－x ≤23＝8，所以0≤8－23－x<8，所以函数y ＝8－23－x的值域为[0,8)．答案：[0,8)6．(2018·淮阴中学调研)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e ，故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e7．已知函数f (x )＝a －x(a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1. 答案：(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2) 9．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027-23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427-23－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a -23÷3a-23·a1-2＝3a 72÷3a1-2＝a 76÷a -16＝a 86＝a 43.10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，b ∈R)．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________．解析：当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a <1.综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． (1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)函数f (x )＝3x＋λ·3－x的定义域为R. 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x－3－x>1，得(3x )2－3x－1>0，解得3x >1＋52或3x <1－52(舍去)，所以不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >log 31＋52. (2)由f (x )≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3x ≤6.令t ＝3x∈[1,9]，则问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，因为g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第九节函数与方程

一、填空题1、设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是 (n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.解析：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1. 答案：12、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y ＝f (解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个、答案：33、设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，有下列命题：①在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点； ②在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点；③在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点、正确命题的序号是________、解析：f ′(x )＝13－1x ，易知f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1e ，e)上单调递减，又f (1e )＝13e ＋1>0，f (1)＝13－0>0，f (e)＝e3－1<0， ∴f (1)·f (e)<0，f (1e )·f (1)>0.∴f (x )在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点、答案：④4、若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________、解析：由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a ， ∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)，由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1. 答案：0或－15、若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是________、解析：设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52. 答案：m >526、若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间(203，＋∞)上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________、解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0，则x >2a3或x <0.由f (x )在区间(203，＋∞)上是单调增函数知(203，＋∞)⊆(2a3，＋∞)，从而a ∈(0,10]、由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图象 (如图所示)、当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图象可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解、答案：47、函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝________. 解析：设x 0是函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点，而f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)，∴n ＝1. 答案：18、已知f (x )＝2x ，g (x )＝3－x 2，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是________、解析：在同一坐标系内作出函数f (x )＝2x 与g (x )＝3－x 2的图象，两图象有两个交点，故函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点、答案：29、若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________、解析：由题意可知，f (1)f (2)<0，即(2lg a －1)lg a <0，解得1<a <10. 答案：(1，10) 二、解答题10、若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围、解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)、 ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a >0，a <0，3－5＋a <0，3×9－5×3＋a >0，解得－12<a <0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)、11、已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围、解析：二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3，∴二次函数在区间[－1, 1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是(－3，32)、12、已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)、设函数f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R)如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点、解析：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则g ′(x )＝2ax ＋b .∵g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1取极小值，b2＝1，b ＝2. ∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ， ∴f (x )＝g (x )x ＝x ＋mx ＋2. 设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 0＋m x 0)2＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，m ＝－1±2； (2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0 得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有1个零点x ＝－m2；当k ≠1时，方程(*)有两解⇒Δ＝4－4m (1－k )>0.若m >0，则k >1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m <0，则k <1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有1 k－1.1个零点x＝。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第三节函数的单调性与最值 Word版含解析

一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋4(1－a )x ＋1在[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________．解析：对称轴方程为x ＝2(a －1),f (x )在[1,＋∞)上是增函数,所以2(a －1)≤1,解得a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 2．函数y ＝－x 2－2x ＋3的单调递减区间是________．解析：由－x 2－2x ＋3≥0,得函数定义域为{x |－3≤x ≤1}．令t ＝－x 2－2x ＋3,则它的单调递减区间为[－1,1],而y ＝t 为增函数,所以所求单调递减区间是[－1,1]．答案：[－1,1]3．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2,＋∞)上是增函数,在区间(－∞,－ 2]上是减函数,则f (1)＝________.解析：由题意得,对称轴为x ＝－2,所以m 8＝－2,即m ＝－16,所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5,f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：254．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间是________．解析：当x ∈(0,12)时,2x 2＋x ∈(0,1),由f (x )在(0,12)内恒有f (x )>0知：0<a <1,2x 2＋x ＝2(x ＋14)2－18,f (x )的定义域为(0,＋∞)∪(－∞,－12),所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－12)．答案：(－∞,－12)5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0). 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,32]．答案：[0,32]6．若f (x )＝(2k －1)x ＋3在(－∞,＋∞)上是减函数,则k 的范围是________．解析：由2k －1<0,得k <12.答案：(－∞,12)7．若f (x )在(0,＋∞)上是减函数,则f (x －2)>f (2x )的解集为________．解析：由题意知⎩⎨⎧ x －2>0，2x >0，x －2<2x ，∴x >2.答案：(2,＋∞) 8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ≥1)，x ＋c (x <1)，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的________条件．解析：若函数f (x )在R 上递增,则需log 2 1≥c ＋1,即c ≤－1,由于c ＝－1⇒c ≤－1,但c ≤－1⇒/ c ＝－1,所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2),当x ∈[3,5]时,f (x )＝2－|x －4|.下列不等关系：①f (sin π6)<f (cos π6)；②f (sin 1)>f (cos 1)；③f (cos 2π3)<f (sin 2π3)；④f (cos 2)>f (sin 2)．其中正确的是________(填序号)．解析：当x ∈[－1,1]时,x ＋4∈[3,5],从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |,因为sin π6<cos π6,所以f (sin π6)>f (cos π6)；因为sin 1>cos 1,所以f (sin 1)<f (cos 1)；因为|cos 2π3|<|sin 2π3|,所以f (cos 2π3)>f (sin 2π3)；因为|cos 2|<|sin 2|,所以f (cos 2)>f (sin 2)．综上所述,正确的是④.答案：④二、解答题10．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0,x >0)．(1)求证：f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在[12, 2]上的值域是[12,2],求a 的值．解析：(1)证明：设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0, ∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在[12,2]上的值域是[12,2],又f (x )在[12,2]上单调递增,∴f (12)＝12,f (2)＝2,解得a ＝25.11．已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f (4)＝5,解不等式f(3m2－m－2)<3.解析：(1)证明：任取x1<x2,∴x2－x1>0.∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1),∴f(x)是R上的增函数．(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5,∴f(2)＝3.∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．又由(1)的结论知,f(x)是R上的增函数,∴3m2－m－2<2,∴－1<m<4 3.12．已知函数y＝x＋ax有如下性质,如果常数a>0,那么该函数在(0,a]上是减函数,在[a,＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋2bx在(0,4]上是减函数,在[4,＋∞)上是增函数,求实常数b的值；(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)＝x＋cx(1≤x≤2)的最大值和最小值；(3)当n是正整数时,研究函数g(x)＝x n＋cx n(c>0)的单调性,并说明理由．解析：(1)由已知,2b＝4⇔2b＝16⇔b＝4.(2)f(x)＝x＋cx在(0, c]上是减函数,在[c,＋∞)上是增函数．∵c∈[1,4],∴c∈[1,2],∴f(x)的最小值为c＋cc＝2c.当1≤c<2时,f(x)的最大值为2＋c 2；当2≤c≤4时,f(x)的最大值为1＋c.(3)g (x )＝x n＋c x n (c >0),令t ＝x n ,g (x )＝t ＋c t . ∵n ∈N *,当x >0时,t ＝x n 是增函数,t >0,函数y ＝t ＋c t 在(0,c ]上是减函数,在[c ,＋∞)上是增函数, ∴g (x )在(0,1c 2n ]上为减函数,在[1c 2n ,＋∞)上是增函数．当n 为奇数时,g (x )在[－1c 2n ,0],(0,1c 2n ]上是减函数,在(－∞,－1c 2n ],[1c 2n ,＋∞)上是增函数．当n 为偶数时,g (x )在(－∞,－1c 2n ),(0,1c 2n )上是减函数,在[－1c 2n ,0),[ 1c 2n ,＋∞)上是增函数．。

2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第六章第四节数列求和含解析

一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522. 答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________. 解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072. 答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________. 解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3， ∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)， ∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n6．设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有________个．解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107， ∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个．答案：117．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n n ＋1.答案：n n ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2 ＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值； (2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1， ∴a n <0即2n －3n －1<0.当n ＝3时，23－9－1＝－2<0，当n ＝4时，24－12－1＝3>0， ∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3. (2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和．解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7， ∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8， ∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. (2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列，故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16×[1－(12)n]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n.12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。

(江苏专版)2019年高考数学一轮复习专题2.6 指数与指数函数(练)

专题2.6 指数与指数函数一、填空题1．函数f (x )＝ax －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝______. 【答案】9【解析】由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9.2．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求． 3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .【答案】a >b >c4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．【答案】[1,9]5．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________．【答案】{x |－1<x <4}【解析】不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4.6．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 37．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．8．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【答案】(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．【答案】④【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.【答案】－2x(x <0)【解析】依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x . 14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第六节指数与指数函数含解析

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章第一节函数及其表示

一、填空题1、已知f (x )＝⎩⎨⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于________、解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (23)＋2 ＝52，f (43)＋f (－43)＝3. 答案：32、已知f (1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为________、解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t)21＋(1－t 1＋t )2＝2t1＋t 2，从而f (x )的解析式可取为2x1＋x2. 答案：2x1＋x 23、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝________. 解析：f [f (12)]＝f (－32)＝413. 答案：4134、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________、解析：令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65、已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg 2)＝0，则f(lg12)＝________.解析：由题意得f(lg 2)＝a lg 2＋blg 2－4＝0，有a lg 2＋blg 2＝4，则f(lg 12)＝a lg12＋b lg 12－4＝－a lg 2－blg 2－4＝－8.答案：－86、定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f (1)≠0，所以f(1)＝12；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×(12)2，即f(x＋1)＝f(x)＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007. 答案：1 0077、已知f (2x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. 解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1(t >1)，f (x )＝lg2x －1(x >1)、答案：lg2x －1(x >1)8、函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________、答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤29、已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知ba ＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1. 答案：1 二、解答题10、已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式、解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11、如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动、设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象、解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ， ∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ， ∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x ) ＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3)32(x >3).函数图象如图所示、12、已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式、解析：(1)因为对任意x ∈R 有 f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a . (2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0. 在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0. 又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝0，故x 0＝0或x 0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件、综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第六章第四节

一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522.答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072. 答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________. 解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3， ∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)， ∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n6．设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有________个．解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个．答案：117．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n n ＋1.答案：nn ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎨⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2 ＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值； (2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1， ∴a n <0即2n －3n －1<0. 当n ＝3时，23－9－1＝－2<0，当n ＝4时，24－12－1＝3>0， ∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3. (2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和．解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7， ∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8， ∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. (2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列，故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3， ∴T n ＝16×[1－(12)n ]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n.12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。

新高考苏教版数学理大一轮复习训练2.6指数与指数函数(含答案解析)

2.6 指数与指数函数一、填空题．函数 y ＝ 8－4 x的定义域是 ________．1x2x 33分析由 8－4 ≥0，得 2≤2，因此 2x ≤3， x ≤2.3答案－∞， 22．函数 y ＝ 4－2－x 的值域是 ________．－ x－ xx分析由 4－2 ≥0，且 2 ＞0，得 0≤4－ 2 ＜4，因此 y ∈[0,2) ．3．已知 p ：对于 x 的不等式 | x －1| ＋| x －3| ＜m 有解， q ：f ( x) ＝(7 － 3m) x 为减函数，则 p 建立是 q 建立的条件．________7 分析 p 建立，得 m ＞ | x －1＋3－x| ＝2；q 建立，得 0＜7－3m ＜1，即 2＜m ＜3.设 A ＝ m m ＞ 2}，B ＝ m|2 ＜m ＜ 7 ，则 B A ，因此 p 是 q 的必需不充足的条件． { | 3答案必需不充足4. 与函数f (x) 3x的图象对于直线 y=x 对称的曲线 C 对应的函数为 g( x), 则 g (13)的值为 ______.分析依题意得 g( x)=log3 x因此 g(1)log 3 11 .33答案 -1x ≤ ，x － 1，．定义在 R 上的函数 f ( x )知足 f ( x 3＝则5 )f x －－f x －， x ＞ 0，f (2 010) ＝ ________.分析当 x ＞0 时， f (2 010) ＝f (2 009) －f (2 008) ＝f (2 008) －f (2 007) － f (28) ＝－ f (2 007) ＝f (2 005) －f (2 006) ＝ f (2 005) －f (2 005) ＋f (2 004) ＝ f (24)，因此 f ( x) 是以 T ＝ 6 的周期函数，－11因此 f (2 010) ＝ f (335 ×6) ＝ f (0) ＝3 ＝3.1答案36．已知函数 f ( x) ，g( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且知足 f ( x) －g( x) ＝e x ，则 g(0) ，g(2) ， g(3) 的大小关系是 ________．分析由于 f ( － x ＝－ f ( x ，g － x ＝g x ，因此由 f ( － x －g －x ＝－ x ，得) ) ( ) ( ) ) ( ) e － f(x －g x ＝－ x ，与 f ( x － g x ＝ x联立，求得 fx ＝1x－－x)，g x ＝－)( )e) ( ) e ( )2(ee( )1x－xgg(2)＜g(0) ．2(e＋e ) ，因此 (3) ＜答案g(3) ＜g＜g(2)(0)．已知1＋2 xx· a ＞0 对全部x ∈－∞，1]上恒建立，则实数 a 的取值范围7＋ 4(是 ________．分析由题意，得 a ＞－ 1 x － 1 x 对 x ≤1恒建立，由于 f ( x) ＝－ 1 x － 1 x4 24 23 3 是 ( －∞， 1] 上的增函数，因此当 x ＝ 1 时， f ( x) max ＝f (1) ＝－ 4，因此 a ＞－ 4.答案 3－，＋∞4x，x ＜0．设函数 f (x2，若 f x 是奇函数，则 g(2) 的值是 ________．＝8)g x，x ＞ 0( )分析由于 f x 是奇函数，因此 g＝f＝－ f －－21( )(2)(2)(2) ＝－ 2 ＝－ 4.1答案－4log 3x ，x ＞，．已知函数 f x ＝1 xx ≤ ，那么不等式 f ( x)≥1的解集为 ________．9()3 ， 01 x分析若 x ＞0，则由 log 3x ≥1，得 x ≥3. 若 x ≤0，则由3≥1，得 x ≤0.综上，得 x ≤0或 x ≥3.答案 ( －∞， 0] ∪[3 ，＋∞)．若 | x ＋ 1| － | x －1| ≥2 ，则 x 取值范围是 ________．10 2 2| x ＋ 1| － | x －1|33分析由2≥2 2＝22，得 | x ＋ 1| －| x －1| ≥2，x ＜－ 1，－1≤ x ＜1，于是由－ x －＋x － ≥ 3或 x ＋＋x － ≥ 31 1 211 2x ≥ ，13或3解得x ≥ .x ＋－ x ＋ ≥ ，41 123答案 4，＋∞．已知函数 fx＝ x－ x对 x ∈，＋∞ 的图象恒在 x 轴上方，则() 9m ·3＋m ＋1(011)m 的取值范围是．________分析设 t x＞1问题转变为 m ＜ t 2＋1t 2＋1 ＝3 t －1 ，t ∈(1 ，＋∞ ) ，即 m 比函数 y＝t －1 ，t 2＋ 122t ∈(1 ，＋∞ ) 的最小值还小，又 y ＝ t － 1＝ t － 1＋ t － 1＋2≥2 t －t －1＋ 2＝ 2＋2 2，因此 m ＜2＋2 2.答案( －∞， 2＋2 2)12．对于函数 f ( x) ＝e x－ e －x ( x ∈R) ，有以下结论：① f ( x) 的值域是 R ；② f ( x) 是 R 上的增函数；③对随意 x ∈R ，有 f ( －x) ＋f ( x)＝ 0 建立；④若方程 | f ( x)| ＝a 有两个相异实根，则 a ≥0，此中全部正确的命题序号是 ________．分析由于 e ＞1，x ∈R ，因此 f ( x) 是奇函数且在 ( －∞，＋∞ ) 上单一递加，因此①②③均正确．设 y ＝| f ( x)| ＝|e x－e －x | ，y ＝ a ，画出其图象可知，当 a ＞0 时，它们有两个相异交点，因此④不正确．答案 ①②③．设函数 f x 在其定义域 (－∞，＋∞ ) 上的取值恒不为，且对随意实数 x ， 13 ( ) 0y1y 知足 f ( xy ) ＝ [ f ( x )] ，f 2 ＞1. 若 a ＞b ＞c 且 a ，b ，c 成等差数列，则 f ( a) ＋ f ( c) 与 2f ( b) 的大小关系是 ________．分析由于 f x ＝f 1 x 1 2xf 1 2 x是增函数 f 1 ＞，于是由 f a·2＝ f＝1( ) 2222 ( )f ( c ≥2[f a · f ( c 1＝ 2[f a 1 f (c 1＝ f 1a ·f 1c ＝ 2f 1 a · f 1 c ＋ ) ( ))] 2()]2[ )] 2 22222＝ 2 f12a ＋ c＝2 f12 2b ＝2f ( b) ，及 a ＞b ＞c 得 f ( a) ＋f ( c) ＞ 2f( b) ．答案 f ( a) ＋f ( c) ＞2f ( b)二、解答题14. 已知函数 f (x) a 2xb 3x , 此中常数 a,b 知足 ab0 .(1) 若 ab>0, 判断函数 f ( x) 的单一性 ;(2) 若 ab<0, 求 f ( x+1)>f ( x) 时的 x 的取值范围 .分析(1) 当a 时由于 a 2x 、b 3 x都随 x 的增大而增大 , 因此函数 f ( x) 单>0,b>0 , 调递加 ; a 时由于 a 2x 、 b 3 x都随 x 的增大而减小 , 因此函数 f ( x) 单一递减 .当 <0,b<0 , (2) f ( x x x .1) ( ) a 2 2 3 0 f x b(ⅰ)当 a 时 3 x a<0,b>0 ( 2 ) 2b解得 x>log 3( a ) ;22b( ⅱ) 当 a>0,b<0 时3 x a( 2 )2b解得 x<log 3 ( a) .22b a x－a ＝ a ，且 a ≠ 有两解，求 a 的取值范围． 15. 若方程 | 1|( 1) 2 >0分析原方程有两解，即直线 y ＝2a 与函数 y ＝| a x －1|( a>0，且 a ≠1) 的图象有两个公共点，数形联合．当 a>1 时，如图①，只有一个公共点，不切合题意．当 0<a<1 时，如图②，由图象可知 0<2a<1，1∴ 0<a<2.x－2 ＋b16．定义域为 R 的函数 f ( x) ＝ 2x ＋1＋a 是奇函数．(1) 求 a ，b 的值；(2) 若对随意的 t ∈R ，不等式 f ( t 2－2t ) ＋ f (2 t 2－k)<0 恒建立，求 k 的取值范围．－ 1＋ b分析(1) 由于 f ( x) 是奇函数，因此 f (0) ＝0，即 2＋a ＝ 0，解得 b ＝1. 进而有x－2 ＋11－2＋1－2＋1又由 f (1) ＝－ f ( －1) 知4＋ a ＝－＋a ，解得 a ＝2. 因此 a ＝ 2， b ＝ 1.1(2) 法一由(1) 知－2x ＋ 11 1， f ( x) ＝x ＋ 1＝－＋ x＋12 ＋222由上式易知 f ( x) 在( －∞，＋∞ ) 上为减函数．又因 f ( x 是奇函数，进而不等式 f ( t 2－ t ) ＋f (2 t 2－ k )<0 等价于 f ( t 2－ t )< －)2 2 f(2 t 2－ k ＝f( － t 2＋ k ．) 2 )因 f ( x) 是减函数，由上式推得 t 2－ 2t >－2t 2 ＋k ，即对全部 t ∈R 有 3t 2－2t －k>0，1进而鉴别式＝ 4＋ 12k<0，解得 k<－3.x－2 ＋12 ＋2t 2－ t ＋1 － t 2－k ＋ 1 －2 2 22又由题设条件得 2t 2－2t ＋1＋2＋22t 2－ k ＋1＋2<0，即 (22 t 2 －k ＋1＋2) ·( － 2t 2－2t ＋1) ＋ (2 t 2 －2t ＋ 1＋2) ·( － 22t 2－k ＋1)<0，整理得 23t 2－2t － k>1.因底数，故 t 2－ t －k ，即上式对全部 t ∈ R 均建立，进而鉴别式＝42>1 3 2 >01 ＋ 12k<0，解得 k<－ 3.a x－ x17．已知 f ( x) ＝a2－1( a－ a )( a>0 且 a≠1)．(1)判断 f ( x) 的奇偶性；(2)议论 f ( x) 的单一性；(3)当 x∈[ －1,1] 时， f ( x) ≥ b 恒建立，求 b 的取值范围．分析 (1)函数的定义域为 R，对于原点对称．a－ x x又由于 f ( －x) ＝a2－1( a－a ) ＝－ f ( x) ，因此 f ( x) 为奇函数．(2)a时， a2－，当 >11>0y＝a x为增函数， y＝a－x为减函数，进而y＝a x－a－x为增函数，因此 f ( x) 为增函数．当 0<a<1 时， a2－1<0，y＝a x为减函数， y＝a－x为增函数，进而y＝a x－a－x为减函数，因此 f ( x) 为增函数．故当 a>0，且 a≠1时， f ( x) 在定义域内单一递加．(3)由 (2) 知 f ( x) 在 R 上是增函数，因此在区间 [ － 1,1] 上为增函数．因此 f ( －1) ≤f ( x) ≤ f (1) ，a－1因此 f ( x) min＝f ( － 1) ＝2( a－a)a1－a2＝a2 －1·a ＝－1，因此要使 f ( x) ≥ b 在[ －1,1] 上恒建立，则只需 b≤－ 1，故 b 的取值范围是 ( －∞，－ 1] ．18．假如函数 f ( x) ＝a x( a x－3a2－1)( a＞0，a≠1) 在区间 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，务实数 a 的取值范围．分析法一a x＝t ，g t＝t2－a2＋t ，对称轴 t ＝a2＋1设)(31)(2当a＞1时，t ＝a x是增函数，且当 x≥0时，t ≥，要使原函数在[0，＋∞上递1)2223a ＋1增，只需 g( t ) ＝ t －(3 a ＋ 1) t 在[1 ，＋∞ ) 上递加，因此t ＝ ≤1，23解得 0≤ a ≤ 3 ( 舍去 ) ．当 0＜a ＜1 时，t ＝a x 是减函数，且 x ≥0时， 0＜t ≤1，要使原函数在 [0 ，＋∞)22a 2＋ 13上递加，只需 g x＋t 在上递减，因此 t ＝3＝t －(3a 1)(0,1]≥ ，解得( )2133≤ a ＜ 1. 综上，得 3 ≤a ＜1.法二设 x 1，x 2∈ [0 ，＋∞ ，且 x 1＜x 2，则由 f x ＝a x a x － a 2－ 1) 在 [0 ，＋∞)) ( ) ( 3 上递加，得 a2x 1－ (3 a 2 ＋1) ax 1＜a2x 2 －(3 a 2＋ 1) ax 2 ，即( ax 1－ ax 2)[ ax 1＋ax 2－(3 a 2＋ 1)] ＜0.若 0＜a ＜1，则由 0＜ax 2 ＜ax 1＜1，得 ax 1＋ ax 2－ (3 a 2＋1) ＜0,3 a 2 ＋1＞ax 1＋ax 2恒建立，因此 3a 2＋1≥2，解得 33≤a ＜1.若 a ＞1，则由 ax 2＞ ax 1＞ 1，得 3a 2＋1＜ax 1 ＋ax 2 恒建立．23因此 3a ＋1≤2，解得 a ＜ 3 ( 不合，舍去 ) ．3综上，得 3 ≤ a ＜ 1.。

一轮优化探究理数(苏教版)课件：第二章第六节指数与指数函数

－
e x＋ex ex＋e x 解析：∵f(－x)＝－x x＝－ x －x＝－f(x)， e －e e －e
－－
∴f(x)为奇函数，排除④. ex＋e－x e2x＋1 e2x－1＋2 2 又∵y＝ x －x ＝ 2x ＝ 2x ＝1＋ 2x 在(－∞，0)、 e －e e －1 e －1 e －1 (0，＋基本初等函数第六节指数与指数函数
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一、根式 1．根式的概念根式的概念符号表示 n x ＝a ，那么 x 叫做 a 的如果 n 次实数方根当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数的 n 次实数方根是一个负数当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们互为相反数 n 备注 n>1 且 n∈N* 零的 n 次实数方 a 根是零负数没有偶次方根
答案：(1,2)
5．若f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则可写出满足条件的一个函数解析式f(x)＝2x.类比可以得到：若定义在R上的函数g(x)，满足(1)g(x1＋x2)＝g(x1)· g(x2)；(2)g(1)＝3；(3)∀x1<x2， g(x1)<g(x2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为 x g ( x ) ＝ 3 ________．
2
________． ②若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
1 |x＋1| 解析：(1)①由已知可得y＝( ) 3 1 x＋1 x≥－1，＝ 3 x＋ 1 3 x<－1. 其图象由两部分组成： 1x 1x 向左平移一部分是：y＝( ) (x≥0) 1――→ 个单位 y＝(3) 3

2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第二章第五节函数的图象含解析

一、填空题1．函数y ＝5x 与函数y ＝－的图象关于________对称．15x 解析：因y ＝－＝－5－x ，所以关于原点对称．15x 答案：原点2．为了得到函数y ＝3×()x 的图象，可以把函数y ＝()x 的图象向________平移________个1313单位长度．解析：函数y ＝3×()x ＝()x －1，1313∴把函数y ＝()x 的图象向右平移一个单位便得到y ＝()x －1，即y ＝3×()x .131313答案：右　13.函数y ＝1－的图象是________．1x －1解析：将函数y ＝的图形变形到y ＝，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－，即将1x 1x －11x －1前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－＋1，从而得到答案②.1x －1答案：②4．设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．(请将你认为正确的命题序号都填上)①当b >0时，函数f (x )在R 上是单调增函数；②当b <0时，函数f (x )在R 上有最小值；③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0可能有三个实数根．解析：f (x )＝Error!结合图象可知①正确，②不正确，对于③，因为|x |x ＋bx 是奇函数，其图象关于原点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，c )对称，③正确；当c ＝0，b <0时f (x )＝0有三个实数根，故④正确．答案：①③④5．已知函数f (x )＝|x －a |x ＋b (a ，b ∈R)，给出下列命题：(1)当a ＝0时，f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称；(2)当x >a 时，f (x )是递增函数；(3)当0≤x ≤a 时，f (x )的最大值为＋b .a 24其中正确的序号是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋b ，因为函数y ＝x |x |是奇函数，所以y ＝x |x |的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称，故(1)正确；当x >a 时，f (x )＝x 2－ax ＋b ，其单调性不确定，故(2)错误；当0≤x ≤a 时，f (x )＝－(x －)2＋＋b ，所以当x ＝时，f (x )的最大a 2a 24a 2值为＋b ，故(3)正确．a 24答案：(1)(3)6．函数f (x )＝Error!的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋)的19图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋＝.1313133答案：1337．关于x 的方程e x ln x ＝1的实根个数是________．解析：由e x ln x ＝1(x >0)得ln x ＝(x >0)，即ln x ＝()x (x >0)．令1e x 1e y 1＝lnx (x >0)，y 2＝()x (x >0)，在同一直角坐标系内绘出函数y 1，y 2的图象，图象如图所示．根据图象可知两1e 函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.答案：18．为了得到函数f (x )＝log 2 x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2 的图象________．x 8解析：g (x )＝log 2 ＝log 2 x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得x 8到函数f (x )＝log 2 x 的图象．答案：向上平移3个单位9．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c 则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．解析：因为函数f (x )＝2x ＋x 的零点在(－1,0)上，函数g (x )＝log 2x ＋x 的零点在(0,1)上，函数h (x )＝x 3＋x 的零点为0，所以a <c <b .答案：a <c <b二、解答题10．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋＋2的图象关于点A (0,1)对称．1x (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．a x 解析：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －＋2，1x ∴y ＝f (x )＝x ＋(x ≠0)．1x(2)g (x )＝f (x )＋＝x ＋，a x a ＋1x g ′(x )＝1－.∵g (x )在(0,2]上为减函数，a ＋1x 2∴1－≤0在(0,2]上恒成立，a ＋1x 2即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，a 的取值范围是[3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝Error!.(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12．设函数f (x )＝x ＋的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为1x g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m的值和交点坐标．解析：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋，可得2－y ＝4－x ＋，1x 14－x 即y ＝x －2＋，∴g (x )＝x －2＋.1x －41x －4(2)由Error!消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0.Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第二章第四节函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

一、填空题1、已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋xx 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.答案：432、若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f (x )＝________.解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数，可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞，4]，∴b <0，且2a 2＝4，从而b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋43、若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则12－x －1＋a ＝－(12x －1＋a )，∴a ＝12. 答案：124、定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则f (3)，f (－2)与f (1)的大小关系是________、解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)、答案：f (3)<f (－2)<f (1)5、已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (32)＝________.解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，令x ＝－12，得－12f (12)＝12f (－12)、又f (x )为偶函数，∴f (12)＝0.又令x ＝12，得12f (32)＝32f (12)，∴f (32)＝0.答案：06、设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________、解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17、偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________、解析：∵T ＝4，且f (x )在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减，又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增、答案：单调递增8、定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________、解析：∵f (x )是奇函数，∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )、当x >0时，f (x )<－1，即log 2 x <－1，得0<x <12；当x <0时，f (x )<－1，即－log 2 (－x )<－1，得x <－2.故解集为(－∞，－2)∪(0，12)、答案：(－∞，－2)∪(0，12)9、定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )；进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13.答案：13二、解答题10、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x <0是奇函数、(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围、解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]、11、已知f (x )＝x －a x 2＋bx ＋1是奇函数、 (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间，并加以证明；(3)求f (x )的值域、解析：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，即x －a x 2＋bx ＋1－x ＋a x 2－bx ＋1＝0恒成立，则2(a ＋b )x 2＋2a ＝0对任意的实数x 恒成立、∴a ＝b ＝0.(2)∵f (x )＝xx 2＋1(x ∈R)是奇函数，∴只需研究f (x )在区间[0，＋∞)上的单调区间即可、任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 22＋1). ∵x 21＋1>0，x 22＋1>0，x 2－x 1>0，而x 1，x 2∈[0,1]时，x 1x 2－1<0，x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，∴当x 1，x 2∈[0,1]时，f (x 1)－f (x 2)<0，函数y ＝f (x )是增函数；当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)>0，函数y ＝f (x )是减函数、又f (x )是奇函数，∴f (x )在[－1,0]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数、又x ∈[0,1]，u ∈[－1,0]时，恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]，[1，＋∞)上是减函数、(3)当x ＝0时，f (x )＝x x 2＋1＝0；当x >0时，f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12，即0<f (x )≤12；当x <0时，f (x )＝1x ＋1x＝－1(－x )＋(1－x )≥－12，即－12≤f (x )<0，综上可知：函数f (x )的值域为[－12，12]、12、已知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，对定义域内的任意x 1、x 2，都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数、证明：(1)因对定义域内的任意x 1、x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，令x ＝x 1，x 2＝－1，则有f (－x )＝f (x )＋f (－1)、又令x 1＝x 2＝－1，得2f (－1)＝f (1)、再令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝0，从而f (－1)＝0，于是有f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数、(2)设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1·x 2x 1)＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2x 1)]＝－f (x 2x 1)，由于0<x 1<x 2，所以x 2x 1>1，从而f (x 2x 1)>0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数、。

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一、填空题
1．不等式(13)x 2－8>3－2x 的解集是________．
解析：原不等式为(13)x 2－8>(13)2x ，
∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4.
答案：{x |－2<x <4}
答案：64715
3．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝(12)－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为________．
解析：∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝(12)－1.5＝21.5，
∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .
答案：a >c >b
4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．
解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，
∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9.
所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7.
答案：7
5．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．
解析：∵a >1，b <0，
∴0<a b <1，a －b >1.
又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，
∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.
答案：－2
6．若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.
解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.
答案：2
7．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过
同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________．
解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b
＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：(22－2)x ＋1＋1
8．给出下列结论：
①当a <0时，＝a 3；
②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；
③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；
④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.
其中正确结论的序号有________．
解析：∵a <0时，
>0，a 3<0，∴①错； ②显然正确；
解⎩⎨⎧
x －2≥03x －7≠0
，得x ≥2且x ≠73，∴③正确； ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，
∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．
答案：②③
9．已知函数f (x )＝2x (x ∈R)，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函
数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意得
⎩
⎨⎧ f (x )＝g (x )＋h (x )＝2x ，f (－x )＝g (－x )＋h (－x )＝2－x ，所以⎩⎨⎧
g (x )＋h (x )＝2x ，－g (x )＋h (x )＝2－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )＝2x －2－x 2，
h (x )＝2x ＋2－x 2，
所以2a ·g (x )＋h (2x )≥0，
即(2x －2－x )a ＋22x ＋2－2x 2
≥0对任意x ∈[1,2]恒成立．又x ∈[1,2]时，令t ＝2x －2－x ，则t 在x ∈[1,2]上单调递增，
所以t ＝2x －2－x ∈[32，154]，
所以a ≥－22x ＋2－2x 2(2x －2－x )＝－(2x －2－
x )2＋22(2x －2－x ) ＝－12(t ＋2t )，
t ＋2t 在t ∈[32，＋∞)上单调递增，
所以当t ＝32时，－12(t ＋2t )有最大值－1712，所以a ≥－1712.
答案：[－1712，＋∞)
二、解答题
10．函数f (x )＝ 2－x x －1
的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R)的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．
解析：由2－x x －1
≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，
∴由22ax<2a＋x，得2ax<a＋x，∴(2a－1)x<a.
(1)当2a－1>0，即a>1
2时，x<
a
2a－1
.
又A⊆B，∴
a
2a－1
>2，得
1
2<a<
2
3.
(2)当2a－1＝0，即a＝1
2时，x∈R，满足A∩B＝A.
(3)当2a－1<0，则a<1
2时，x>
a
2a－1
.
∵A⊆B，
∴a
2a－1≤1，得a<
1
2或a≥1，故a<
1
2.
由(1)，(2)，(3)得a∈(－∞，2 3)．
11．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
解析：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.
(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，
设0≤x1<x2≤1，
因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，
所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0 恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
12．已知函数f(x)＝(1
3)
x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵x∈[－1,1]，
∴(13)x ∈[13，3]．
设t ＝(13)x ，t ∈[13，3]，
则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .
∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 (a <13)，
3－a 2 (13≤a ≤3)，
12－6a (a >3).
(2)假设满足题意的m 、n 存在， ∵m >n >3，
∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数． ∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，
∴⎩⎨⎧ 12－6m ＝n 2
， ①12－6n ＝m 2， ②
②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， ∵m >n >3，
∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， ∴满足题意的m 、n 不存在．。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章 第六节 指数与指数函数 Word版含解析

【苏教版】2019版高考文数一轮优化探究练习 第六章 第二节 等差数列及其前n项和 含解析

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