第8章动力学普遍定理

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在运动过程中,系统所受外力对z轴之矩为零,故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B

J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3:均质细杆AB的质量是M,长2L,放在铅直平面内,两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式,而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5:均质半圆盘的质量是m,半径是r,在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放,求 当直径水平时半圆盘的角速度,以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A

0

mg
解:绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下,AB杆的角
加速度为。
以C为基点,研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC

动量定理和动量矩定理

动量定理和动量矩定理
2) 如果作用于质点系的所有外力在某轴 上的投影的代数和恒等于零,则质心速度在 该轴上的投影保持不变;若开始时速度投影 等于零,则质心沿该轴的坐标保持不变。
应用质心运动定理解题步骤
1)取质点和质点系为研究对象; 2)分析质点系所受的全部外力,包括主动力和约束反力; 3)根据外力情况确定质心运动是否守恒; 4)如果外力主矢等于零,且在初始时质点系为静止,则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标(用各质心 坐标表示),令其相等,即可求得所要求的质点的位移; 4)如果外力主矢不等于零,计算质心坐标,求质心的加速 度,然后应用质心运动定理求未知力。 5)在外力已知的条件下,欲求质心的运动规律,与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量(动量、动量 矩、动能)和表现力作用效果的量 (冲量、冲量矩、功)之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1)质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量, 记为mv。
动量是矢量,方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i,Fr作i(e,) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)

r F (e)
i

r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加,即得

d
r (mv
)

解得
y
v FOy
O
v FOx

x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)

动力学普遍定理

动力学普遍定理
t C n C
由质心运动定理
maCx = ∑ Fx , maCy = ∑ Fy
得:
3mg − sin ϕ cos ϕ = FOx 4 − 3mg (1 − 3sin 2 ϕ ) = FOy − mg 4
FOy aCy FOx
O C mg
y x
解得:
aCx
3mg FOx = − sin 2ϕ 8 mg FOy = (1 + 9sin 2 ϕ ) 4
ωB ωA
Fk
P2
vA , s
m2 g
ωD
P1
m1 g
m3g ,vE,aE
vA = ω Ar = ωB r
v A = 3vD
J P2 3 = m1 r 2 2 JB
3 vE = ω D r 4 s = 3h
1 = m1 r 2 2
3 ⎞ ⎛3 vA = ωD ⎜ r + r ⎟ 4 ⎠ ⎝2
J P1
g a = OC ⋅ α = cos ϕ 4
t C n = OC ⋅ ω 2 = aC
y x O
g sin ϕ 2
aCy
ϕ
C
将其向直角坐标轴上投影得:
3g aCx = − a sin ϕ − aC cos ϕ = − sin ϕ cos ϕ 4
t C
an
C
aCx
ω α
t aC
n
3g aCy = − a cos ϕ + a sin ϕ = − (1 − 3sin 2 ϕ ) 4
2、基本定理 1) 质点动力学(二维)
⎧ma x = ∑ Fx ⎨ = ∑ ma F y ⎩ y
2、基本定理 2) ***刚体动力学 刚体平动

理论力学 第8章 动力学基础

理论力学 第8章 动力学基础
8 动力学基础
引言
什么是动力学?学习动力学的意义?
力系不平衡
引起运动的原因
力系
运动

几运

何动

性本

质身
质运 量动 关力 系、
静力 学
运动 学
动力学
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
如果说,力的作用是改变物体机械运动的原因,机械 运动变化是力对物体作用的结果,则动力学就是从因果 关系上论述物体的机械运动。
7
8.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度之间的关系的定律)
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大小, 加速度的方向与力的方向相同上。
即 说明:
F=ma
•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。
•质量是质点惯性的度量。 •在地球表面,物体受重力作用,有
G = mg
式中,g — 重力加速度,一般取 g = 9.80 m/s2。
MX
oi x
x
17
8.4 质点系的惯性特征
两个概念:质点系的质心,刚体的转动惯量。
1. 质点系的质心
任一质点系的质心: rC
Σmi ri
M
xC
Σmi M
xi
,yC
Σmi M
yi
,zC
Σmi zi M
18
8.4 质点系的惯性特征
2. 刚体的转动惯量 我们知道,质量是质点惯性的度量。 问题 ①: 对质点系,质量是什么的度量?
1 mR2 2
Jz 1l2, m3
Jz R2 m
Jz 1 R2 m2
25
惯性半径(回转半径)
转动惯量与质量的比值的平方根,常用表示。

理论力学 第8章 动力学普遍定理

理论力学 第8章 动力学普遍定理

xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
10
在均匀重力场中,质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是,质 心与重心是两个不同的概念,质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力:所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力:所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类:已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题) 2.第二类:已知作用在质点上的力,求质点的运动(积分问题) 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量,内力不能改变整个质点系 的动量,但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解:选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析, Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心,内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置: (M mi )
rC

mi
M
ri
或 MrC mi ri

第8章动力学普遍定理

第8章动力学普遍定理
1
动力学普遍定理概述
质点运动微分方程是解决质点动力学问题的普遍方法,但 用他解决质点系动力学问题则很麻烦,因为 要解3n个联立的 二阶微分方程。 在很多问题中,并不需要了解每一个质点的运 动,只需 要知道代表整个质点系运 动的某些特征量,因而需要讨论动 力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导 出来的其它一些定理) 。 他的优点是:①不仅能解质点的动力学问题,也能解质点 系的动力学问题;②他的物理意义鲜明,形式简单。各定理从 不同侧面建立了运动特征量(动量、动量矩、动能等)与机械作 用量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系,从总体上揭示了质点 系机械运动的一般规律。
M vC
两边对时间t求导:
mv
i
i
K
mv
i
i
M vC
24
二.质心运动定理 将 K M v C 代入到质点系动量定理:
d dt
e
( M vC )

e
Fi
若质点系质量不变,则 M aC

Fi
M 或 rC

Fi
e
上式称为质心运动定理(或质心运动微分方程)。质点系 的质量与质心加速度的乘积,等于作用于质点系上所有外力的 矢量和(外力系的主矢)。 1. 投影形式: ①直角坐标轴: C Mx ②自然轴:
dK dt
x


X
e i
dK 由微分形式有:

F i dt
e

dS i
e
在t1→ t2时间内积分:
K 2 K1 Si
e
即:在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于作用在质 点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。

理论力学动力学普遍定理

理论力学动力学普遍定理

1、积分法(具有规则几何形状的均匀刚体可采用)
[例]均质细直杆长为l ,质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz
及对z1 轴的转动惯量Jz1 。
z
O
解:
l
Jz 0
x2mdx1ml2 l3
x
x
dx
l
Jz1
l
2 l
2
x2 mdx1ml2 l 12
z1
x
C x dx
l
l
2
2
理论力学
中南大学土木工程学院
4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
drvCdt0
r r rr d W F S d r F S v C d t 0
wR O
圆轮沿固定面作纯滚动时, 摩擦力是静摩擦力,不作功!
P
FS C FN
理论力学
中南大学土木工程学院
13
5、质d 点W 系 内F r r力d 的r r rA 功 F rrd r r rB F rdrA rF rdrB F rd(rrArB) FdrBA
理论力学
中南大学土木工程学院
21
[例]已知均质圆盘质量为m,半径为R,摩擦因数为 f ,斜面倾角为j 。求
纯滚动时盘心的加速度。
解:取系统为研究对象,假设圆盘中心向下
产生位移 s 时速度达到vC。
T1 0
T2
3 4
m
v
2 C
力的功: W 12mgssinj
由动能定理得:
w
s
vC
C
FS
mg
j
FN
34mvC 2 0mgssinj
理论力学
1
§10-1 质点系的质心 内力与外力
一、质点系的质心

动力学普遍方程

动力学普遍方程

ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的,可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地:有势力的广义力
Qk=-
V qk
在势力场中,对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk=
d dt
T ( qk
)-
T qk
对于主动力为有势力的情况,拉格朗日方程可改写为:
d ( L )- L =0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到:
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S

动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理的综合应用
理论力学
动力学普遍定理在求解具体问题时,同一个问题,有时可以分别用几个定理求解, 有时需要几个定理联合求解。在应用时主要有两个问题应当深入讨论:
(1)如何根据问题的条件恰当地选用定理; (2)如何应用若干个定理联合求解。
每个动力学普遍定理都只建立了某种运动特征量和某种力的作用量之间的关系。例 如,动量定理(质心运动定理)建立了动量和外力之间的关系,动量矩定理建立了动 量矩和外力矩之间的关系,动能定理建立了动能与力的功之间的关系等。
例11-12 质量为 m1和 m2 的两重物 M1 和 M2 ,分别挂在两根绳子上,绳子又分别绕在半径为
r1 和 r2 的两个固连在一起的同轴鼓轮上,如图 11-29(a)所示。已知鼓轮的总转动 惯量为 J,求鼓轮的角加速度。
解 (1)选鼓轮、绳子、两个重物组成的系统为研究对象。
(2)画出外力的受力图,如图11-29(b)所示。
T2 V2 T1 V1 0
设在终了位置时滑块A的速度为vA ,小球B的速度为 vB ,方向如图1130(b)所示,于是有
T2
1 2
P1 g
vA2
1 2
P2 g
vB2
V2 P2l
代入机械能守恒定理得
1 2g
(P1vA2
P2vB2
)
P2l
0
(a)
式(a)中有两个未知量 vA 和 vB ,不可能解出。这表明本题仅用一个定理不能求 解,应当再应用其他定理写出其他方程。从系统外力的受力图可看出一个特点,即 外力在水平轴 Ox 上的投影恒等于零,因此有沿轴 Ox 方向的动量守恒。考虑到初 始时系统处于静止,因此有
对于复杂的动力学问题,或要求未知量个数较多时,只用一个定理不能求得全部结 果,这时必需适当地选用若干个定理,联合求外力在某轴上的投影恒为零 时,可选用动量守恒定理求解;外力对某点或某轴之矩恒等于零时,适合应用动量矩 守恒定理求解;系统上做功的力皆为有势力时,适合用机械能守恒定理求解。下面举 例说明。

x动力学普遍定理定理

x动力学普遍定理定理

1 2 1 2 T mvC J C 2 2
r C
1
v0
C2
πr
正确计算刚体平面运动的动能!
y A
墙面

vA l,m B x O
长度为l ,质量为m的均质杆件AB, 杆件两端A和B分别沿光滑的墙面和 地面滑动,A端的速度为vA。
地面
系统动能?
TAB
1 1 2 mvA J A 2 2
ac
J A A FR

研究对象的选择?
A
aA
F N
FOy
F
B
Ox
? ma A FT W sin F J A A FR ?

ac
aA
例题
已知:如图所示质量为m, 杆长为2l的均质细杆、静止 直立于光滑水平面上。当 杆受微小干扰而倒下; 求:当杆运动到与地面夹角 为θ 时的角速度、角加速度 和地面对杆的约束力。
动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机 械运动范围内的运动变化问题。
dp dt
F
i
e
i
d LO M O ( Fi e ) dt
动能定理可以用于研究机械运动与其他运动 形式之间的运动转化问题。
T2 T1 W12
动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式, 描述质点系整体运动时,不仅涉及有关运动量的 大小,而且涉及运动量的方向。
(3)均质圆柱体A与地面的摩擦力。
解:(1)重物C从静止开始下降h时的速度和加速度; 研究对象?受力分析? 运动分析? 动力分析?
FOy FOx F
T2 T1 W12
mgh mghcos60
N

T1 0

动力学普遍方程

动力学普遍方程

2
6

(1)
m1 x
x

1 2
m1Rx
x R

m2 x
x

m21
L 2
cos
x

m2
2
L 2
sin
x

0
(
3 2
m1

m2 )x
m2
L 2
cos
m2
L 2
sin
2

0
(2)
9
x
A
FIA m1g
FICy
x
A x
FICx
m2 g
B M IC
分析力作用点的虚位移
xC

x

L 2
sin
yC

L 2
cos

xC

x
L 2
cos

yC


L 2
sin
C
代入动力学普遍方程
FIA
x

M IA
x R

FICx
xC

(m2 g

FICy )
FAIx M BI FCIrC MCI mgrC 0
[ [
5
2 5
2
aA aA

RC RC

g]mx
g] 0

[aA [aA

3
2 3
2
RC RC

g]mR 0
aA 2g
g] 0 C 6g
/11 / 11R

L 2

m 2 x cos

力学竞赛辅导三-动力学普遍定理.

力学竞赛辅导三-动力学普遍定理.

1ωOO 1vωCAθ力学竞赛辅导三 动力学普遍定理一、基本力学量的计算: 1、质点系及刚体动量的计算质点系质心的位置矢量及坐标:例1:求图示系统的总动量。

(1)传动皮带的质量为m ,主动轮的角速度为ω,主动轮与从动轮的质量分别为12m ,m ,半径分别为12r ,r ,设传动皮带和传动轮的质量都是均匀的。

(0)(2)长均为l ,质量均为m 的均质杆OA ,OB 在O 处以光滑铰链连接。

(2mv ,mv ) (3)质量为m 1,半径为R 的均质圆盘与质量为m 2,长度为l 的 均质杆铰接于A 点。

图示瞬时圆盘速度为v ,杆的角速度为ω。

解: 圆盘与杆均为平面运动,以A 为基点,则杆:2.转动惯量:定义: 2z i i J m r =∑ 质量连续分布: 2d zmJ r m =⎰ 计算:(1)利用回转半径:其中m 为整个刚体的质量,由2zzJm ρ= 得z z J mρ=zρ为刚体对z 轴的回转半径,具有长度的量纲。

(2)积分法(3)平行轴定理: 2czz J J m d=+(4)组合法求转动惯量:若机构由几个简单形状的刚体组成,则分别求每个刚体对轴的转动惯量,然后再叠加。

(5)实验法C i i m m v v p ==∑mz m z my m y mx m x m m m m ii C ii C ii C ii i i i C ∑=∑=∑=∑=∑∑=,,r r r ABO v vAB Ovi i C m =∑p v (c o s )s in ,2C A C A A C A C A A C A l v v v v v v ωθθ=+=+==v v v i +j,121221222[(c o s )]s in 22[()c o s ]s in 22A C C l l m m m v m v m l l m m v m m ωωθθωωθθ=+=+++⇒=+++p v v i jp i j2m ir i ′ O y x z r i y ′ x ′ z ′ C v ir C AOω常用: 均质圆盘对盘心轴的转动惯量:212mR圆环:2mR均质细直杆对一端的转动惯量: 213ml均质细直杆对中心轴的转动惯量:2112ml3、质点系动量矩的计算下面证C L 即质点系对质心C 的动量矩:由质心坐标公式:——即质点系对任意定点O 的动量矩,等于集中于质心的系统动量对点O 的动量矩与质点系对质心C 的动量矩的矢量和。

理论力学第8章动力学普遍定理3

理论力学第8章动力学普遍定理3


W 得
i
2Q 9 P 2 2 l 0 M 12 g
——(*)

2 l
3 gM 2Q 9 P
将(*)式对t 求导数,得
2Q 9 P 12 g l 2
2
d dt
M
d dt


d dt
T 1 2 mv
2

1 2
J A
2

1 2
mv
2
JA
1 2
mr , v r
2
T
5 4
mv
2
当圆盘A质心沿斜面向下运动dS时:
δW
5 4
i
2 mg d S sin f mg d S cos mg d S ( 2 sin f cos )
由动能定理的微分形式dT=∑Wi得:
δ W F d s F r d m z ( F ) d
2
W
1

m z ( F )d
若 m z ( F ) 常量,则
W m z ( F )( 2 1 )
7
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴,则
W md
1 2
W 若m = 常量, 则 注意:功的符号的确定。
注意:圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
( d r 0 )
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则 6.约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
W m m s R
即:理想约束的约束反力做功为零。
9
(1)光滑支承面
N dr δW N dr 0
2
——质点动能定理的微分形式

动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理的综合应用

A
v
B
C
f
m2 g T m2 a T f m1a

A
T
a
T
C
f
2m 2 g 2m 2 g 2m1 m 2 g T m 2 g, f m2 g 2m 2 3m1 2m 2 3m1
2 2
B
例2.图示机构中,已知:斜面光滑,滑块A和纯滚动 圆盘B质量均为m、圆盘半径为R,弹簧弹性系数为k, 滑块A沿斜面下滑,初始时弹簧为原长, 求滑块A下滑 s长时:(1)滑块A的加速度;(2)绳子的拉力;(3)地 面作用于圆盘B的摩擦力。 B C
1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 T2 ml 2 mv ml 2 mvr 6 2 3 2
Lz1 = Lz2
T1 = T2
由此即可解出
1 2 4 2 ml 1 ml 2 3 3 1 2 2 2 2 2 1 2 ml 1 ml 2 mvr 6 3 2
vr = 2lω2
ve ω2

ω1 = 4 ω2
ve 1 tan vr 2
θ = 26.565°
O

v
θ A
vr
ve = lω2

T2 T1 W
1 1 2 5 2 2 2mgl (sin 60 sin ) k[ l l (1 cos ) ] m 2 l 2 2 4 6
0
2mgl (sin 60 0 sin )
1 1 2 5 k[ l l 2 (1 cos ) 2 ] m 2 l 2 2 4 6
T1 0
1 v B l cos , v A l sin , v c l 2

理论力学教学材料-8动力学普遍定理2

理论力学教学材料-8动力学普遍定理2

1 2
(J x J y J z )
8
即:刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴
的转动惯量之和的一半。 对于平面薄板:zi=0,∴
J x mi yi
J y m i xi
2
2
J z m i ri m i ( x i y i ) J x J y J O
右手螺旋法则。 大小:hO=2△OAM。单位: kg· 2/s=N· s m m· ②质点对轴 z 的动量矩:对固定轴z
h z m z ( m v ) m O ( m v ' ) mv ' d 2 OA ' M '
2
代数量,由右手螺旋法则确定正负。 同力矩关系式一样:动量对一点的矩在过该点的任一轴上的
一点Mi:mi,(xi,yi,zi),则
由定义:
J x mi ( yi zi )
2 2
J y m i ( zi xi )
2 2
J z m i ( xi yi )
2 2
J O m i ri m i ( x i y i z i )
2 2 2 2
2 2 2
xi ' xi , yi ' yi d J z'

m i[ xi ( yi d ) ]
2
2
m i ( xi yi ) ( m i )d
2
2
2
m i M , m i y i My
C
0 J z ' J z Md
当量长度:假象地将刚体的质量集中在一个点上,如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量,则这个点

理论力学动力学普遍定理

理论力学动力学普遍定理
瞬心P
J P JC md 2 1 1 1 2 1 2 2 2 J Cw m(d w ) mvC J Cw 2 2 2 2 2
只能对瞬心和质心用,对其它点不存在类似的公式。
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17
均质圆盘在地面上 作纯滚动时的动能
均质圆盘在平板上 作纯滚动时的动能
w
C
理论力学 中南大学土木工程学院 14
四、理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1、光滑固定面约束
dr
dW FN dr 0
(FN dr )
2、联接刚体的光滑铰链(中间铰)
dr FR dr FR dr 0 dW FR dr FR
理论力学中南大学土木工程学院在曲线路程中作功为设质点m在变力f的作用下沿曲线运动力f在微小弧段上所作的功称为力的元功记为dw于是有自然法表示的功的计算公式上两式可写成矢量点乘积形式矢径法表示的功的计算公式fxfyfz直角坐标法表示的功的计算公式也称为功的解析表达式
理论力学
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1
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
z C
质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 质心C点的位置:rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
O yC x
rC
ri
zC xC
i y
A
vA
j
vCA v C vA
B
C
w
2 1 J w2 则杆的动能 T 1 mvC 2 2 C 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 ( 1 ml 2 )w 2 1 m ( v A A 2 4 2 12 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 m ( v A A 2 3

动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)

动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时,往往不可能仅用 一个定理解决全部问题,需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用,并不存在一个固定的模式,必须具体问 题具体分析,综合考虑,灵活应用。但是一般说来,下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。 (2)应用动能定理的积分形式,如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数,则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
根据质心运动定理
n C
n N D G m aC
64 N D m a G [1 ]m g 3π(9π 16)
综合6:半径为R的滚轮A,质量为mA ,对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2 。轴半径为r=0.5R,滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动,细绳绕过无重量的定滑轮B后,挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求:(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC;(2) 当mA=4.5mC时候,斜面给A轮的摩擦力。
O
aO
n aCy aCO 2 e
2 ge2
2 C
n a CO C mg
轮O受力如图
N x
N mg maCy mg(1
2e 2

2 C
)
综合5:均质半圆盘的质量是m,半径是r,在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放,求 当直径水平时半圆盘的角速度,以及这时半圆盘对平面的正压力。
A 4r

由动能定理的积分形式 T2 T1
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由质心公式(后述)可得:
K mi vi MvC
即质点系的动量等于质点系的质量 与其质心速度的乘积。
动量沿直角坐标轴的分解式:
K x mi vix MvCx , K y mi viy MvCy , K z mi viz MvCz K K xi K y j K z k
由微分形式: d(mv ) Fdt
在t1→ t2积分:
mv 2 mv1
t2
F dt S
t1
即:在某一时间间隔内,质点动量的改变量等于作用在质点 上的力在同一段时间内的冲量。
7
③投影式: 对固定轴:
d ( mv x ) X dt
mv 2 x mv 1 x Xdt S x
t1
5
其中 Fdt 称为力 F 在dt时间内的元冲量。
①矢量,累积量。 ②单位: 投影:
Ns kgm/s2 s kgm/s
t1 t1
与动量单位同。
t1
S x Fx dt , S y Fy dt , S z Fz dt
t2 t2 t2
3.合力的冲量:
S
t2
14
(附加)动反力:
N Q( v2 v1 )
投影形式
N x Q(v2 x v1x )
N y Q(v2 y v1 y )
与R ' ' 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力. N
15
[例2] 小车重G1=2kN,车上的箱中装砂,箱、砂共重G2=1kN; 车与箱以3.5km/h的速度在光滑直线道路上前进。现有一重 G3=0.5k N的重物铅直落入箱中。①求此后小车的速度;②若 设重物落入箱中后箱在小车上滑动0.2s才与车面相对静止,求 车面与箱底间的平均摩擦力。 解: ①求重物落入后车的速度 以重物、车、箱、砂为研究对象
1
第八章
§ 8–1 § 8–2 § 8–3 § 8–4 § 8–5 § 8–6 § 8–7 § 8–8
动力学普遍定理
动量定理 质心运动定理 动量矩和转动惯量 动量矩定理 刚体平面运动微分方程 动能定理 机械能守恒定律 动力学普遍定理的综合应用
2
§8-1动量定理 一、动量
1.质点的动量:质点的质量与速度的乘积: k ①矢量,瞬时量,方向与v 相同。 ②单位:kgm/s。
21
(2)内力虽不能改变质心的运动,但可以改变质点系中质点 的运动。
(3)应用质心运动定理不需考虑内力,使问题简便。
4.质心运动定理解决的问题
(1)已知质点系心的运动,求作用在质点系上的外力;
(2)已知作用在质点系上的外力,求质点系质心的运动 (运动方程、速度、加速度) 意义:质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对 质心的转动,应用质心运动定理求解质心的运动。
10
向固定轴投影:
K 2 x K1x Sie
对y、z轴同样有。
由定理知: ①内力不能改变整个质点系的动量,只有外力才能改变质点 系的动量。 例如:力大无穷的大力士不能举起自己,在车箱内无论用多 大的力推车箱,车箱的运动都不会改变。 ②内力可以改变质点系中质点的动量。 例如炮弹爆炸后弹片的运动。
mv
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
运动强,则要改变其运动就困难;运动弱,则要改变其运动就 容易。如枪弹:虽质量小但速度很大,轮船:虽速度小但质量 很大。故其动量很大。轮船靠码头时会对码头产生很
大的冲击力。
3
2.质点系的动量:
K ki mi vi
即质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和。
M M M
18
①质点系运动时,xi、yi、zi是变量,因而xC、yC、zC一般也 是变量; ②在重力场中,质心与重心是重合的(将mi=Wi /g代入上式 即得重心坐标公式),但质心的概念比重心更广泛,在非
重力场,重心无意义,但质心存在。
由 rC
mr M
i i
有:
MrC mi ri
两边对时间t求导: MvC
P1 , P2——其他部分的流体对该段
流体的压力
W ——该段流体的自重
R ——管壁的约束反力
13
④计算 dK 在dt时间内,流体从AB位置运动到ab位置,则
d K K ab K AB [(K aB ) 2 K Bb ] [ K Aa ( K aB )1 ]
( K aB ) 2 ( K aB )1
上走,船会向相反的方向运动。
23
[例3] 图示压实机:机壳、机座共重P;始终处于对称位置的两
偏心锤均重G,偏心距e,以匀ω相向转动。求压实机给地面的压 力。
解: (1)研究对象:压实机(质
点系) (2)受力图 (3)建立图示坐标系, 并设h、H,则
y
P h 2G( H e cos t ) yc P 2G
11
④ 质点系的动量守恒 若
常矢量。 (e e) 0, 则 K m v 常量。 若 F X ix x i ix i
i
Fi F
(e ) e
0, 则 K
m v
i i
在自然界中,大到天体,小到分子、原子等基本微粒间
的相互作用,都遵守动量守恒定理,它是自然界中最重要最
普遍的客观规律之一。 例如:枪、炮的“后坐”,火箭、喷气飞机的反推,螺 旋桨的反推等。
dK K Bb K Aa Qdt v2 Qdt v1 Qdt (v2 v1 )
⑤代入动量定理方程
Q(v2 v1 ) W P 1 P 2 R
即 R (W P P ) Q(v v ) 1 2 2 1
静反力 (附加)动反力
8
内力
外力
d ( mi vi ) Fi i Fi e dt
对整个质点系,有:
d (m v ) F i F e dt i i i i
i 内力成对出现,等值反 向,即: F i 0
于是:
e dK Fi dt
即:质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的 矢量和(外力系的主矢)。
Rdt F
t1 t1
t2
i
dt Fi dt S i
t1
t2
即在任一段时间内,合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。
6
三.动量定理
1.质点的动量定理 ①微分形式:由牛顿第二定律:
ma m dv F dt d ( mv ) F dt
即 :质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力。 ②积分形式:
4
二.冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量是力在一段时 间内对物体作用的累积效应的量度,是一种机械作用量。 例如,用力推动两辆相同的车子,作用时间长的速度大, 作用时间短的速度小。 1.力 F 是常矢量: S F t 2.力 F 是变矢量:(包括大小和方向的变化)
t2
S
F dt
t1
t2
对y、z轴同样有。 ④质点的动量守恒 若 F 0 ,则 m v 常量,质点作惯性运动
若 X=0,则mvx=常量,或mv2x= mv1x ,质点沿 x 轴的运动作 惯性运动。
2.质点系的动量定理
①微分形式:
研究质点系内任一质点 Mi:质量mi,速度vi,其受外力合 力 Fi e,内力合力 Fi i ,由质点动量定理的微分形式:
②求箱底与车面间的摩擦力 以小车为研究对象: 小车在0.2s内速度由v0→ v,由
e K 2 x K1x Six , 有
G1 g
v
G1 g
v0 Ft
G1 (v0 v) F ... 0.14kN gt
17
注意:速度单位应用m/s
§8-2
质心运动定理
一.质点系的质量中心(简称质心)
质点运动微分方程是解决质点动力学问题的普遍方法,但 用它解决质点系动力学问题则很麻烦,因为 要解3n个联立的 二阶微分方程。 在很多问题中,并不需要了解每一个质点的运 动,只需 要知道代表整个质点系运 动的某些特征量,因而需要讨论动 力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导 出来的其它一些定理) 。 他的优点是:①不仅能解质点的动力学问题,也能解质点 系的动力学问题;②他的物理意义鲜明,形式简单。各定理从 不同侧面建立了运动特征量(动量、动量矩、动能等)与机械作 用量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系,从总体上揭示了质点 系机械运动的一般规律。
9
向固定轴投影: 对y、z轴同样有。 ②积分形式:
dK x X ie dt
由微分形式有: dK 在t1→ t2时间内积分:
e e F d t d S i i
K 2 K1 S i
e
即:在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于作用在质 点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。
22
5. 质心运动守恒定理 Fi e 0 (1)若 ,则 ac

0,vc 常量
即:如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零,则质心 作惯性运动。 (2)若∑Xie≡0,则acx=0, vcx=常量 即:如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零,则质心速度在该轴上的投影保持不变(质心沿 该轴作惯性运动) 又若vcx=常量=0,则xc=常量,即质心在该轴的坐标保持不 变。 例如:人和船静止于水面上,若不计水的阻力,则人在船
mi vi
19
K mi vi MvC
二.质心运动定理
将 K MvC 代入到质点系动量定理: 若质点系质量不变,则
( e) d ( MvC ) Fi dt
MaC Fi
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