第8章动力学普遍定理

mv
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
运动强，则要改变其运动就困难；运动弱，则要改变其运动就 容易。如枪弹：虽质量小但速度很大，轮船：虽速度小但质量 很大。故其动量很大。轮船靠码头时会对码头产生很
大的冲击力。
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2.质点系的动量：
K ki mi vi
即质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和。
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第八章
§ 8–1 § 8–2 § 8–3 § 8–4 § 8–5 § 8–6 § 8–7 § 8–8
动力学普遍定理
动量定理 质心运动定理 动量矩和转动惯量 动量矩定理 刚体平面运动微分方程 动能定理 机械能守恒定律 动力学普遍定理的综合应用
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§8-1动量定理 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积： k ①矢量，瞬时量，方向与v 相同。 ②单位：kgm/s。
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（2）内力虽不能改变质心的运动，但可以改变质点系中质点 的运动。
（3）应用质心运动定理不需考虑内力，使问题简便。
4.质心运动定理解决的问题
（1）已知质点系质心的运动，求作用在质点系上的外力；
（2）已知作用在质点系上的外力，求质点系质心的运动 （运动方程、速度、加速度） 意义：质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对 质心的转动，应用质心运动定理求解质心的运动。
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（附加）动反力：
N Q( v2 v1 )
投影形式
N x Q(v2 x v1x )
N y Q(v2 y v1 y )
与R ' ' 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力． N
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[例2] 小车重G1=2kN，车上的箱中装砂，箱、砂共重G2=1kN； 车与箱以3.5km/h的速度在光滑直线道路上前进。现有一重 G3=0.5k N的重物铅直落入箱中。①求此后小车的速度；②若 设重物落入箱中后箱在小车上滑动0.2s才与车面相对静止，求 车面与箱底间的平均摩擦力。 解： ①求重物落入后车的速度 以重物、车、箱、砂为研究对象
质点系的质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
设有n个质点组成的质点系，取 固定点O，则由矢径 mi ri mi ri rC M mi 确定的点称为质点系的质心。
M=∑mi——质点系的总质量
以O点为原点建立直角坐标 mi xi mi yi mi zi 系，则质心坐标： xC , yC , zC
e e e M x X , M y Y , M z Z ①直角坐标轴： i i i C C C
②自然轴：
2 dvC v e e e M Fi , M C Fin , 0 Fib dt
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acx
dvcx d xc c 2 x dt dt
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内力
外力
d ( mi vi ) Fi i Fi e dt
对整个质点系，有：
d (m v ) F i F e dt i i i i
i 内力成对出现，等值反 向，即： F i 0
于是：
e dK Fi dt
即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的 矢量和（外力系的主矢）。
Rdt源自文库 F
t1 t1
t2
i
dt Fi dt S i
t1
t2
即在任一段时间内，合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。
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三．动量定理
1．质点的动量定理 ①微分形式：由牛顿第二定律：
ma m dv F dt d ( mv ) F dt
即 ：质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力。 ②积分形式：
P1 , P2——其他部分的流体对该段
流体的压力
W ——该段流体的自重
R ——管壁的约束反力
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④计算 dK 在dt时间内，流体从AB位置运动到ab位置，则
d K K ab K AB [(K aB ) 2 K Bb ] [ K Aa ( K aB )1 ]
( K aB ) 2 ( K aB )1
dK K Bb K Aa Qdt v2 Qdt v1 Qdt (v2 v1 )
⑤代入动量定理方程
Q(v2 v1 ) W P 1 P 2 R
即 R (W P P ) Q(v v ) 1 2 2 1
静反力 （附加）动反力
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向固定轴投影：
K 2 x K1x Sie
对y、z轴同样有。
由定理知： ①内力不能改变整个质点系的动量，只有外力才能改变质点 系的动量。 例如：力大无穷的大力士不能举起自己，在车箱内无论用多 大的力推车箱，车箱的运动都不会改变。 ②内力可以改变质点系中质点的动量。 例如炮弹爆炸后弹片的运动。
t1
t2
对y、z轴同样有。 ④质点的动量守恒 若 F 0 ，则 m v 常量，质点作惯性运动
若 X=0，则mvx=常量，或mv2x= mv1x ，质点沿 x 轴的运动作 惯性运动。
2．质点系的动量定理
①微分形式：
研究质点系内任一质点 Mi：质量mi，速度vi，其受外力合 力 Fi e，内力合力 Fi i ，由质点动量定理的微分形式：
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向固定轴投影： 对y、z轴同样有。 ②积分形式：
dK x X ie dt
由微分形式有： dK 在t1→ t2时间内积分：
e e F d t d S i i
K 2 K1 S i
e
即：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质 点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。
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[例1] 已知一弯管，管内流量Q(m3/s)（常量），流体密度为 (kg/m3），在两截面处的平均流速分别为 v1 ,v2 (m/s), 求流体流 动时对弯管产生的总压力。 设流体不可压缩，。
解：①取截面A与B之间的流体为研究对象。 ②受力分析如图示。
③应用动量定理建立方程
dK W P1 P2 R dt
质点运动微分方程是解决质点动力学问题的普遍方法，但 用它解决质点系动力学问题则很麻烦，因为 要解3n个联立的 二阶微分方程。 在很多问题中，并不需要了解每一个质点的运 动，只需 要知道代表整个质点系运 动的某些特征量，因而需要讨论动 力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导 出来的其它一些定理) 。 他的优点是：①不仅能解质点的动力学问题，也能解质点 系的动力学问题；②他的物理意义鲜明，形式简单。各定理从 不同侧面建立了运动特征量(动量、动量矩、动能等)与机械作 用量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从总体上揭示了质点 系机械运动的一般规律。
②求箱底与车面间的摩擦力 以小车为研究对象： 小车在0.2s内速度由v0→ v，由
e K 2 x K1x Six , 有
G1 g
v
G1 g
v0 Ft
G1 (v0 v) F ... 0.14kN gt
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注意：速度单位应用m/s
§8-2
质心运动定理
一.质点系的质量中心（简称质心）
上走，船会向相反的方向运动。
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[例3] 图示压实机：机壳、机座共重P；始终处于对称位置的两
偏心锤均重G，偏心距e，以匀ω相向转动。求压实机给地面的压 力。
解: （1）研究对象：压实机（质
点系） （2）受力图 （3）建立图示坐标系， 并设h、H，则
y
P h 2G( H e cos t ) yc P 2G
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5. 质心运动守恒定理 Fi e 0 （1）若 ，则 ac

0,vc 常量
即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心 作惯性运动。 （2）若∑Xie≡0，则acx=0， vcx=常量 即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿 该轴作惯性运动） 又若vcx=常量=0，则xc=常量，即质心在该轴的坐标保持不 变。 例如：人和船静止于水面上，若不计水的阻力，则人在船
由质心公式（后述）可得：
K mi vi MvC
即质点系的动量等于质点系的质量 与其质心速度的乘积。
动量沿直角坐标轴的分解式：
K x mi vix MvCx , K y mi viy MvCy , K z mi viz MvCz K K xi K y j K z k
t1
5
其中 Fdt 称为力 F 在dt时间内的元冲量。
①矢量，累积量。 ②单位： 投影：
Ns kgm/s2 s kgm/s
t1 t1
与动量单位同。
t1
S x Fx dt , S y Fy dt , S z Fz dt
t2 t2 t2
3．合力的冲量：
S
t2
M M M
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①质点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也 是变量； ②在重力场中，质心与重心是重合的（将mi=Wi /g代入上式 即得重心坐标公式），但质心的概念比重心更广泛，在非
重力场，重心无意义，但质心存在。
由 rC
mr M
i i
有：
MrC mi ri
两边对时间t求导： MvC
（4）建立质心运动微分方程
H h x
P 2G c N P 2G y g
F
N
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P 2G 2Ge 2 即： cost N P 2G g P 2G 2Ge 2 y N P 2G cost g
mi vi
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K mi vi MvC
二.质心运动定理
将 K MvC 代入到质点系动量定理： 若质点系质量不变，则
( e) d ( MvC ) Fi dt
MaC Fi
( e)
或
( e) MrC Fi
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。即：质 点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外 力的矢量和。 1. 投影形式：
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④ 质点系的动量守恒 若
常矢量。 (e e) 0, 则 K m v 常量。 若 F X ix x i ix i
i
Fi F
(e ) e
0, 则 K
m v
i i
在自然界中，大到天体，小到分子、原子等基本微粒间
的相互作用，都遵守动量守恒定理，它是自然界中最重要最
普遍的客观规律之一。 例如：枪、炮的“后坐”，火箭、喷气飞机的反推，螺 旋桨的反推等。
由微分形式： d(mv ) Fdt
在t1→ t2积分：
mv 2 mv1
t2
F dt S
t1
即：在某一时间间隔内，质点动量的改变量等于作用在质点 上的力在同一段时间内的冲量。
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③投影式： 对固定轴：
d ( mv x ) X dt
mv 2 x mv 1 x Xdt S x
X ie 0, K2 x K1x G1 G2 K1x v0 g
设重物落入后车、箱共同速 度为v ，则：
N1
N2
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K2x
G1 G2 G3 g
v
G1 G2 G3 G1 G2 于是： v v0 g g G1 G2 v v0 ... 3km / h 0.83m / s G1 G2 G3
2
dvc ac dt
n ac
2 vc

2. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形 式。任何一个质点系质心的运动与一个质点的 运动相同，这质点的质量等于质点系的总质量， 这质点的受的力等于质点系所受外力。 3.由定理知： （1）质点系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变 质心的运动。如：①汽车在绝对光滑的路面上，运动的汽车 不能停止，静止的汽车不能运动；②炮弹爆炸成若干碎片， 到第一块弹片落地之前，其质心的运动仍作与爆炸前一样的 抛物线运动；③跳水运动员、体操运动员无论在空中如何滚 翻、转体，其质心运动的轨迹总是一条确定的抛物线。
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二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量是力在一段时 间内对物体作用的累积效应的量度，是一种机械作用量。 例如，用力推动两辆相同的车子，作用时间长的速度大， 作用时间短的速度小。 1．力 F 是常矢量： S F t 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
t2
S
F dt