高数第三章第三次泰勒公式
高等数学期末复习：3-3n 泰勒公式
Pn和 Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
lim
x x0
Rn (x) n( x x0 )n1
lim
x x0
n(n
Rn( x ) 1)( x
x0
)n2
lim
xx0
R( n1) n
(
x
)
n!(x x0 )
Rn(n) ( x0 )
0
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
定理1 （泰勒(Taylor)公式）
如果函数 f ( x)在 x0处具有 n 阶导数,则当 x
在 x0的邻域内时, f ( x)可以表示为:
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x 2!
0
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
(1 x)100 1 100x 100 99 x2 o( x2 ) 2
(1
1 2 x )40
1 40 (2x)
泰勒公式与三阶
泰勒公式与三阶泰勒公式（TaylorFormula）是数学中一种使用级数计算函数值的方法，由英国数学家蒂姆泰勒于1715年发现。
泰勒公式的形式为由n项的级数展开构成的公式，它可用于计算函数在某一点的值，以及函数在某一点的极限。
泰勒公式有无限项，但实际应用中只需要计算有限多个项即可。
具体取几项，取决于计算的精度要求。
当取到第三项时，可以构成三阶（third order）的泰勒公式。
三阶泰勒公式的标准形式是：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+frac{1}{2!}f(x_0)(x-x_0)^2+frac{1 }{3!}f(x_0)(x-x_0)^3+…其中x_0是函数f(x)的一点，f(x_0)表示f(x)的导数在点x_0的值，f’(x_0)表示f(x)的二阶导数在点x_0的值，f’’’(x_0)表示f(x)的三阶导数在点x_0的值。
三阶泰勒公式在实际应用中可以用来计算复杂函数的极限和值。
它是数值分析中一种常用的有限差分（finite difference）方法，广泛应用于工程中。
在数学研究中，三阶泰勒公式用来计算函数的变化趋势，主要有两种用法：一是用来估计函数的局部极大值、极小值；二是用来估计函数的极限值。
首先，可以判断f(x_0)的正负，从而进一步确定函数在点x_0附近是极大值还是极小值。
首先，如果f(x_0)>0，则说明函数在x_0附近是增加的，即f(x)是极小值；反之，如果f(x_0)＜0，则说明函数在x_0附近是减少的，即f(x)是极大值。
再以f(x_0)判断，如果f(x_0)>0，则f(x_0)>0；如果f(x_0)＜0，则f(x_0)＜0。
其次，可以用三阶泰勒公式估计函数的极限值。
如果函数f(x)在点x_0附近是可导的，并且f(x_0)和f(x_0)的绝对值越来越小，那么函数在点x_0附近的极限值就可以用三阶泰勒公式估计出来，因此可以用三阶泰勒公式估计函数在某一点的极限值。
2021考研高数0基础-C3-3泰勒公式
2) 适用范围小.
若
在区间 中可微，
定理2(Taylor定理) 设 则
在区间 中
阶可导，
（ 在 与 之间），使
上式称为带Lagrange余项的Taylor公式；
称为
的Lagrange余项
若Hale Waihona Puke 则若，则上式称为
的Maclaurin公式
几个初等函数的Maclaurin公式
1）
2） 3）
4）
5)
内容小结
1）Peano余项 2）Lagrange余项
小结：1．本质：用多项式逼近
用已知点的信息表示未知点 2．Peano： 定性; 局部
3．Lagrange：定量；整体
4．Lagrange定理是Taylor定理的特例.
四大中 前三个建立 值定理 Tayloy 建立
与一阶导数的关系； 与高阶导数之间的关系。
例1 求极限
第三章 微分中值定理与导数应用
第三节 泰勒公式
主讲 武忠祥 教授
若
在 处可微，则
问题：若
在 处 阶可导,是否存在 次多项式
使 结论：
定理1(Taylor定理) 设
在 处 阶可微，则
上式称为带Peano余项的Taylor公式；
在 处的 次Taylor多项式
的Peano余项
缺点：1）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析;
例2 设 证明：当
当
时，
时，
与 是等价无穷小.
作业 P143：4; 5; 10(1)(3);
《高等数学》第三章第三节
(设 x 0)
x ex e Rn ( x ) x n 1 x n1 (0 1). ( n 1)! ( n 1)!
1 1 取x 1, e 1 1 2! n!
其误差
e 3 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
思考：e –x=?
误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x )
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二、 Pn 和 Rn 的确定
分析:
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
（如下图）
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例如 取 x0=0, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x ) x
ye
y ex
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o
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o
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不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x )
( n 1 )
( x)
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 ) k k 0 k! 称为 按 的幂展开的 n 次近似多项式
n
f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k! 称为 按 的幂展开的 n 阶泰勒公式
高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学
代入⑹式, 得
ex 1 x 1 x2 2!
1 n!
xn
e x
n 1!
xn1
0 1.
因而相应的近似表达式为
ex 1 x 1 x2 2!
1 xn. n!
当 x 0 时, 相应的误差估计式为
Rn x
e x xn1
n 1!
ex xn1,
n 1!
如果取 x 1, 即得到 e的近似表达式:
2!
f n 0 xn.
⑺
n!
上式称为函数 f x的n阶麦克劳林多项式. 而相应的误
差估计式为
Rn x
M
n 1!
x
n1 .
⑻
例2 求出函数 f x ex 的n 阶麦克劳林展开式.
解 因 f x f x f x f n x ex ,
所以: f 0 f 0 f 0 f n 0 1,
来近似表示 f x 并给出误差的具体表达式.
为了使所求出的多项式与函数 f x在数值与性质方 面吻合得更好, 进一步要求 Pn x 在点 x0处的函数值以 及它的n 阶导数值与 f x在 x0处的函数值以及它的n
阶导数值分别相等. 即
Pnk x0 f k x0 k 0,1, ,n.
e 11 1 1 . 2! n!
例3
求
y
x
x
1
在
x0
2 处的三阶泰勒展开式.
解因
y x 1 1 , y2 2,
x 1 x 1
y
x
1
12
,
y2 1, y2 2,
y
2
6,
y4
x
x
4!
15
,
y4 2 24 4!
高等数学-第三章 第3节 泰勒公式
7
余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) , 则有 Rn (x0) Rn (x0) Rn(n) (x0) 0
Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1 x0 )n
( 1在 x0与 x 之间)
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
Rn (1) Rn (x0) (n 1)(1 x0 )n
0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
( 2在 x0与 1之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) Rn(n1) ( )
(n 1) 2(n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0与xn
之间) 8
Rn (x) f (x) pn (x)
(x 0).
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1
(1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
(1
x) 1 x1(2x1)xx822116(1(
1(x 11) (x2! xn2) (1(x x)0)n1 x
x)1)52 x(3(0n1)
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
同济第3版-高数-(3.3) 第三节 泰勒公式
(1) 泰勒中值定理及其意义
泰勒中值定理
如果函数 f( x )在含有 x 0 的某个开区间( a ,b )内具 有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x ( a ,b )，有
f x
f x0
f x0 x x0
1 2!
f x0 x x0 2 L
究竟有多小，即 R n( x )具体是( x - x 0 )的几阶无穷小。 由高阶无穷小阶的定义，就是要由极限
lim
xx0
Rn x x x0k
A0
去推断 k 的值有多大。
因此余项 R n( x )定量估计的问题最终归结为确定 k
的值。从计算精度考虑，自然希望 k 的值越大越好。
从形式上看
lim
于 x 和 0 之间，故可表为 = x ，0 < < 1 . 通常称此
时的泰勒公式为马克劳林公式，即
f x
f 0
f 0 x
1 2!
f 0 x 2 L
1 n!
f n 0 x n
f n1 x
n 1 !
x n1.
马克劳林公式形式简单，应用方便，且以马克劳
林公式对函数进行讨论并不会损失讨论的一般性。
(2) 多项式系数的选择及相应条件的设置 考虑在点 x = x0 的邻域内用多项式 P n( x )表示函数
f( x )，就是选择合当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n，使多项式 曲线 y = Pn( x )与函数曲线 y = f( x )尽可能“吻合”。
从理论和实际两个方面考虑，选择多项式 P n( x ) 的适当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n 在点 x 0 的邻域内表示函数 f( x )应满足两个基本要求： • 有较好的精度，使得 f( x ) P n( x )； • 能够估计误差，即能对误差 R n( x )= f( x )- P n( x )作
《高等数学教学资料》03第三节泰勒公式.docx
笫三节泰勒公式对于一些比较复杂的两数，为了便于研究,往往希望用一些简单的函数來近似表达.多项 式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能 求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒(Taylor. Brook, 1685-1731)在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明: 具有直到n + 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数 值组成的n 次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.分布图示★引言 ★多项式逼近 ★泰勒中值定理★例1★常用函数的麦克劳林公式★例5 ★内容小结 ★习题3・3 ★返回 内容要点问题：设函数/(X )在含有勺的开区间(Q,历内具有直到八+ 1阶导数，问是否存在一个77 次多项式函数/2/J (X )= 6f 0+a 1(X-X O ) + «2(X-X O )2 ++ (3.1)使得 且误差R n M = fM-PnM 是比勺)”高阶的无穷小，并给出误差估计的具体表达式.泰勒中值公式fM = /(勺)+ /©0)(兀一勺)+ / 即)(X-勺尸 + …+ —―(X-x ())" + R n (x) (3.3) 2! tv.拉格朗日型余项 心(兀)=广刊忆)(兀一兀()严 (3.4) (/? + 1)!皮亚诺形式余项R n (x) = o[(x -x ()r 1. (3.6) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式/(X) = /(0) + /z (0)x + /+... + 2^21 疋 + 0(0) (3.9)2! iv. ★例2★例6★课堂练习 (3.2)例题选讲直接展开法例1写出函数/(x) = x 3lnx 在斗)=1处的四阶泰勒公式.解 /(x) = x 3lnx, /(I) = 0,0 = 1 + 1 + 丄+ ••• + 丄, 2! nl其误差从公式(3.11)或(3.⑵可得近似公式心"0) +门0)’+警宀…+畔疋 2!m 误差估计式(3.8)相应变成 I^WI< M S + 1)! I 兀I" (3.13)(3.⑷间.f\x)3x 2 lnx + ^2,/*(x)6xlnx + 5x,/"(x)61nx +11,/%)」，X/⑸(兀)=—2, 兀一 r (i )=u 厂⑴=5, r (i )=n, /⑷(1) = 6, 严)©=-于是小心(-1) +詁-1)2 +牛-1)3 +扣"-召(兀-1P,其中§在1与兀之 例2 (E01)求f(x) = e v 的n 阶麦克劳林公式.解•・• fXx)=f \x)=^=f (n \x)=e x ,••・ /(0)=/z (0)=r (0)=... =/°°(0) =1,注意到/(”"(％) =严代入泰勒公式，得 //+! =l + x + —+ ••• + —+ ——厂 (0<6><1), 2! nl (川+1)!由公式可知e v ~ 1 + X + — + • •・ + 2!其误差=x z,+1 < -------- X(n + 1)! (斤 + 1)!取兀=1,得 /?! 曲(0<6><1)例3 (E02)求/(x) = sinx的//阶麦克劳林公式.解f\x) = cosx,= -sinx, /^(x) = -cosx, /(4>(x) = sinx,P(n\z、• |n 兀'...... , f (x) = sin x + —,\ /丿由此得厂(0) = 1,厂(0) = 0, r(0) = -l,严(0) = 0,……,sinx的各阶导数依序循环地取四个数0,1,0,-1,令n = 2m,则+尺2加⑴,其中sin 6r + (2/72 + 1)—(兀)=― ----------- 兀加+】(ov&vi).取加= 1,2,3的近似函数与原函数图像比较.(2加 + 1)!常用初等函数的麦克劳林公式:e x =1 + 兀 + — + ・・・ + — + x2! nl (n + 1)!ln(l + x) = x ——+ -------- + (—1)〃——+。
3-3 泰勒公式(高等数学)
§3.3 泰勒公式教学内容：一．泰勒中值定理1.定理：(泰勒中值定理) 如果()f x 在含有0x 的某(,)a b 内具有直到1n +阶导数，则对任意(,)x a b ∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+，(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，其中ξ介于0x 与x 之间．2. 泰勒多项式：n 次多项式()20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数()f x 在0x 处的n 阶泰勒多项式，其系数()0()(0,1,2,)!k k f x a k n n ==称为()f x 在0x 处泰勒系数.3.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.4.称()200000000()()()()()()()()[()]2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-为n 阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式．二．麦克劳林公式1.定理：如果函数()f x 在含有0=x 的某个开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则对任意(,)x a b ∈，称()(1)21(0)(0)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+为函数()f x 的n 阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 .2.带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++．三．几个重要初等函数的麦克劳林公式例1.求函数()e xf x =的n 阶麦克劳林公式．例2.求函数()sin f x x =的n 阶麦克劳林公式．另外几个常用函数的麦克劳林公式:（1）242121cos 1(1)()2!4!(2)!mm m x x x x R x m -+=-+-+-+，其中 []2212221cos (1)πcos ()(1)(01)(22)!(22)!m m m m x m x R x x x m m θθθ++++++==-<<++．（2）231ln(1)(1)()23nn n x x x x x R x n-+=-+-+-+，其中11(1)()(01)(1)(1)n n n n R x x n x θθ++-=<<++． （3）2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x R x n ααααααα---++=+++++，其中11(1)(1)()()(1)(01)(1)!n n n n n R x x x n αααααθθ--+--+-=+<<+；（4）2311(1)()1nnn x x x x R x x=-+-++-++，其中，1x ≠-，112(1)()(01)(1)n n n n R x x x θθ+++-=<<+．四．泰勒公式的应用1.泰勒公式间接展开法：利用已知函数的麦克劳林公式，可以间接的写出某些复杂函数的泰勒公式或麦克劳林公式.2.利用泰勒公式求极限：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式应用于求极限运算中，可以简化运算，它是求某些未定式极限的重要工具.3.求高阶导数值：若函数()f x 在点0x 处的泰勒公式可以使用间接展开法得到，则根据泰勒公式的唯一性，可以确定函数()f x 在点0x 处的各阶导数值.4.近似计算.五．例题讲解例3.求函数()e x f x x -=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．例4.求函数1()3f x x=+在1x =处的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式．例5.求极限240e 2cos 3lim →+-x x x x ．例6.设2()sin =f x x x ，试求(99)(0)f.例7.求无理数e 的近似值，使误差不超过610-．。
高数第三章第三节泰勒
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
e 3 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , f ( x ) cos x ,
2) x 与x0 靠近 .
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f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
例1. 求
取
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x ,
180
则 x x0
29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
n f ( x ) sin( x ) （详见" 高阶导数" P100例5 ） 2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f ( 4) 0,
( n)
它们顺序循环地取四个数0，1，0，-1，…
sin x x x x x
o( x )
x3 3!
y x
x3 3!
x3 y x 3!
x5 5!
x7 7!
4 2
高等数学：（11）泰勒公式求极限（第三章微分中值定理）
高等数学：（11）泰勒公式求极限（第三章微分中值定理）
常用的泰勒展开式
常见的带佩亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）
以上的式子非常重要，尽量记下来吧...
在做题时，我们并不需要把函数展开到n阶，至于函数到底展开到多少阶，这里有相应的套路~
未定式为A/B型，即极限为分式形式时
面对分式形式的未定式，我们要将分子和分子展开至同阶的形式，即：若分母（分子）是n阶，则分子（分母）展开至n阶
如：
A-B型
遇到两个函数相减的未定式，我们需将A,B分别展开至系数不想等的x的最低幂为止
如：
最后我们再看一个例题：
谢谢观看。
高等数学：第三章 第三节 泰勒公式
2! 3!
(n 1)!
xe x x x2 1 x3 1 x4 (1)n1 xn o( xn )
2! 3!
(n 1)!
例4
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3 . x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o( x5 ) 2! 4!
1).
取x 1, e 1 1 1 1
2!
n!
其误差
Rn
e (n 1)!
3. (n 1)!
例 2 求 f ( x) sin x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f (n)( x) sin( x n ),
2
f (0) 0, f '(0) 1, f ''(0) 0,
f '''(0) 1, f (4)(0) 0,
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
, ,
Pn( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
a0 an
f ( x0 ) , a1 f (n) ( x0 ) ,
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
x
x0
|
n1
0
|(Biblioteka Rn( x) x x0 )
n
|
M | x x0 | (n 1)!
lim Rn( x) 0 x x0 ( x x0 ) n
即当 x x0时 Rn( x) 是比 ( x x0 ) n 高阶的无穷小
同济高数（第七版）--第三章
第三章：泰勒公式以及导数运用1.泰勒公式（注意：麦克劳林公式是特殊的泰勒公式，即00=x ）（1）)(!!212x xxe n nx o n x +++= 证：令e x x f =)(，e f x n x x f x f x f ='''=''=')()()()()( ，那么就有1)0()0()0()0()(='''=''='f n f f f ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()(x x fennn xo n x f f +'+==)(!!212x xxn no n x +++ （2）)()!12(!5!3sin 121253)1(x xxxm m mo m x x ++++++-=- 证：令x x f sin )(=，)2sin()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,2,02sin )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n m n n mn f π，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+= ，故)()!12(!5!3)(121253)1(x xxxm m mo m x x f ++++++-=- （3）)()!2(!4!21cos 2242)1(x xx x m mm o m x +++-=- 证：令x x f cos )(=，)2cos()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,02,2cos )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n mn n m n f π,而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)()!2(!4!21)(2242)1(x xxxm mmo m x f +++-=- （4）)(!)1()1(!2)1(12)1(x x x x n n o n n x ++--+-++=+ααααααα 证：令)1()(x x f +=α，)1()1()1()()(x fnn n x +-+--=αααα ，故)1()1()0()(+--=n f n ααα ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(!)1()1(1)(x x n no n n x x f ++--++=αααα（5）)(3!2)1ln()1(132x x x x n nn o nx x ++-=+-- 证：令)1ln()(x x f +=，)1()1()!1()(1)(x f nn n n x +--=-，故)!1()0()1(1)(-⋅=--n n n f，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(3!2)()1(132x x x x n nn o nx x f +++-=-- （6）按（4-x ）的幂展开多项式435)(234+-+-=x x f x x x 由32154)(23-+-='x x f x x ，23012)(2+-=''x x f x ，3024)(-='''x x f ，24)()4(=x f ，)5(0)()(≥=n x f n ，而21)4(='f ，74)4(=''f ，66)4(='''f ，根据泰勒公式得!)4()4)(4()4()()4()(n x f f x f x fnn -+-'+=（未带有余项），故)4()3()4(4321137)4(2156)(---+++-+-=x x x x x f 解：x x f 2121)(-='，x x f 2341)(--=''，x x f 2583)(-='''，x f x 27)4(1615)(--=，故41)4(='f ，321)4(-=''f ，2563)4(='''f ，ξ27)4(1615)(--=f，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式则有)!1()(!)4()4)(4()4()()4()4(1)1()(+++-'+=--++n n x f f x f x fx f n n nn ξ)4()4()4(42732384155121641)4(412)(-----+--+=⇒x x x x x f ξ（ξ在x 与4之间）（8）求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有佩亚诺余项的n 阶泰勒公式解：xf n n n n x 1)!1()()1(1)(-=--2)1(1)!1()2(1)(n n n n f -=⇒--,故根据带有佩亚诺余项的泰勒公式则有][!)2()2)(2()2()()2()2()(--+++-'+=⇒x x fnnn o n x f f x f ][81)2(212ln )()2()2()1()2(12----+⋅+--+=⇒-x x x nnnn o n x x f解：⇒=+-xfn nn n x 1)(1!)()1()1()1(1)(1!)1(--+=-n nn n f)1()1(!)1()(++-=-⇒x x fnnn n ，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式得)!1()(!)1()1)(1()1()()1()1(1)1()(++-+-'+-=++++n n x f f x f x fx fn n n n ξξ2112)1()1()1()1()1(1)(++++-+++--+--=⇒n n n nx x x x x f ξ在1-与x 之间。
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1 f 阶导数； （）求 ( x)的n阶导数； （ ）求 ( x0 )的n阶导数及 ( x0 )； 2 f f 3 写出余项； （ ）写出余项； 4 . （ ）得公式
[ f ( x) = f ( x0 ) +α ]
x → x0
2.设 x 导, 2.设 f (x) 在 0 处可 ,则 导 有
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
1 x
1 x
1 ( 1+ x ) x ln[ ] x e
= lim+ e
x→0
1 ln( 1+ x ) x
−1
x
= lim+ e
x→0 −x x → 0+ ( 1+ x ) 2 x lim
− 1 2
ln( 1+ x ) −1 x x
=e
x → 0+
lim
ln( 1+ x ) − x
x2
=e
x →0
1 −1 1+ x lim 2x x → 0+
试试洛必达法则如何? 试试洛必达法则如何
三、简单的应用
例4 试将多项式
f ( x) = x3 − 2x2 + 3x + 5按x − 2的幂展开成
一阶、二阶、三阶泰勒公式 一阶、二阶、三阶泰勒公式.
解 f ' ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 3 , f ' ' ( x ) = 6 x − 4, f ' ' ' ( x ) = 6, f ( 4 ) ( x ) = 0
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
说明： 说明：
泰勒公式变成拉格朗日 格朗日中值公式 2．当 n = 0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) (ξ在x 0与x之间)
3. Rn ( x ) = f (ξ ) ( x − x0 )n+1 (n + 1 )!
o
x0
x
LL LL
一、问题的提出
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + L+ an( x − x0 )n n
假设
0
P(k ) ( x0 ) = f (k ) ( x0 ) k = 0,1,2,L, n n
0
f ′( x ),
f (n+1) (ξ ) n+1 ( x − x0 ) (ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
--------拉格朗日形式的余项 拉格朗日形式的余项
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
f (k ) ( x0 ) Pn ( x) = ∑ ( x − x0 )k k =0 k! ( 的n 近 多 式 称 f (x)按 x − x0 )的幂 开 n 次 似 项 为 展 的
f ′′′(0) = −1
f ( 0) = 0
L
f
(n)
f ′( 0 ) = 1
nπ ( x) = sin(x + ) 2
f ′′(0) = 0
代入麦克劳林公式中: 代入麦克劳林公式中
x 3 x5 x2m−1 sin x = x − + − L+ (−1)m−1 + R2m 3! 5! (2m − 1)!
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
说明： 说明： 4．若取 0=0,则泰勒公式又称为麦克劳林公式 则泰勒公式又称为麦克劳林公式. ．若取x 则泰勒公式又称为麦克劳林公式
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin)
三、简单的应用
误差分析: 误差分析
sin[θx + (2m + 1) ] ( −1) m cos θx 2 m +1 2 x 2m+1 = x R2m ( x) = (2m + 1)! ( 2m + 1)!
π
当m=1时, 时
− cos θ x 3 | x |3 x |≤ 误差为 | R |= | 3! 6 x3 | x5 | sin 当m = 2时， x ≈ x − 误差|R| ≤ 误差 3! 5!
2
(θx) = e
n
θx
(4)代入公式 得: 代入公式,得 代入公式
x x e e = 1 + x + +L+ + x 2! n! (n + 1)!
x
θx
n+1
(0 < θ < 1).
三、简单的应用
x2 xn x 由公式可知 e ≈ 1 + x + +L+ 2! n! 估计误差 (设 x > 0) x θx n+1 e e n+1 Rn ( x) = x < x (0 < θ < 1). (n + 1)! (n + 1)! 1 1 取x = 1, e ≈ 1 + 1 + +L+ 2! n!
三、简单的应用
例1
阶麦克劳林公式. 求 f ( x) = e 的n阶麦克劳林公式.
x
(1) f ′( x) = f ′′( x) = L= f (n) ( x) = e x , 解:
′(0) = f ′′(0) = L= f (n) (0) = 1 (2) f (0) = f
( n+1)
(3)注意到 f
=e
=e
− 1 2
−
1 2
= f ( 0)
lim− f ( x ) = lim− e
x →0
=e
= f ( 0)
∴ f ( x )在x = 0处连续 .
一、问题的提出
1.设 处连续, 1.设 f (x)在x0处连续,则有 lim f ( x ) = f ( x0 )
f ( x) ≈ f ( x0 )
x2 x3 xn ln(1 + x ) = x − + − L + ( −1) n −1 + o( x n ) 2 3 n
1 = 1 + x + x2 + L+ xn + o( xn ) 1− x
m
(1 + x )
m ( m − 1) 2 x +L = 1 + mx + 2! m ( m − 1)L ( m − n + 1) n + x + o( x n ) n!
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L, n!⋅an = f ( n) ( x0 ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
f ′′( x0 ) P ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + L n 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + n!
( n+1)
M x − x0 ≤ (n + 1 )!
n+1
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
n
即Rn( x) = o[( x − x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f (k) ( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] ∴ f ( x) = ∑ k! k=0
第三讲 泰勒公式
一、问题的提出 泰勒(Taylor)中值定理 二、泰勒 中值定理 三、简单的应用
1 1 (1+ x) x x [ ] ,x>0 f x . 讨论函数 ( x) = 在点 = 0处的连续性 e −1 2 x≤0 e , 1
(1 + x ) lim ] = lim+ e 解： + f ( x ) = lim+ [ x →0 x→0 x →0 e
其误差
3 e . < Rn < (n + 1)! (n + 1)!
三、简单的应用
阶麦克劳林公式. 例2 求f (x)=sinx 的n 阶麦克劳林公式 解:
f ′( x ) = cos x
f ′′′( x ) = − cos x
f ′′( x ) = − sin x
f
(4)
( x ) = sin x
n
f (k ) ( x0 ) f ( x) = ∑ ( x − x0 )k + Rn ( x) k =0 k! ( 的n 泰 公 称 f (x)按 x − x0 )的 展 的n 阶 勒 式 为 幂 开
n
说明： 说明： １．泰勒中值定理建立了函数在某个区间上的增量 与这个函数在该区间内某点处的高阶导数间的联系. 与这个函数在该区间内某点处的高阶导数间的联系
于是
f (2) = 11, f ' (2) = 7, f ' ' (2) = 8, f ' ' ' (2) = 6, f ( 4) (2) = 0