求不定方程的整数解(含答案)-

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不定方程

数列问题
姓名：
例1、求下列方程的整数解(X＞0，Y＞0)
(1)、5X+10Y=14
(2)、11X+3Y=89
例2、邮局买了助动车和自行车若干辆，共付了11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，邮局买了这两种车各多少辆？
练习：
1、不定方程12X+21Y=17的整数解有多少个？
2、不定方程8X+7Y=111的整数解有多少个？
3、把164分成两个整数的和，一个数是11的倍数，另一个数是17的倍数，这例3、有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，试写出把木料分割成两种规格，恰好没有剩余的所有分割方法？
例4、装热水器的盒子有大小两种，小盒子能装5个，大盒子能8个，要把68个热水器恰好装入盒子里，需要这两种盒子各多少个？
练习：
1、大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没有空位，需大、小客车各多少辆？
2、已知A和B分别表示两个自然数，并且
5
A
+
11
B
=
35
37
，A+B的和是几？。

一次不定方程及方程的整数解问题-1

一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ；（2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=，由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。

第1讲不定方程的整数解

第一讲不定方程的整数解一、公式法不定方程解的通解定理：对于整数(),,,,1a b c a b =，设()00,x y 是方程ax by c +=的一组整数解，那么它的一切整数解为：()()00,,x y x bk y ak =+-，其中k 为任意整数.例1 求不定方程231x y +=的一切整数解.例2 求不定方程41022x y +=的一切整数解.二、变量代换法例3 求4521x y +=的一切整数解.例4 求74100x y +=的正整数解.例5 求不定方程12836100x y z ++=的一切整数解.例6、求方程2x y +=的正整数解.例7、一批参观者决定分乘几辆车，要使每车有同样的人数，每辆汽车至多乘32人. 起先每车乘22人，这时有1人坐不上汽车；开走一辆空车，那么所有的参观者刚好平均分乘余下的汽车. 问原有多少辆汽车，这批参观者有多少人？三、不等式法.例8、已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，若干只蟋蟀和蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？例9、求26551x y +=的正整数解.例10、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法例11、求方程n x y z ++=的正整数解，其中n 是正整数，,,x y z 各不相同.例12、证明：不可能有正整数,x y ，使得221111x xy y ++=四、因式分解法例13、证明：方程33311x y +=没有正整数解.例14、求方程26522xy x y +-=的整数解.五、奇偶性分析例15、2006能写成两个整数的四次方的和吗？如能，请举出实例，否则说明理由.例16、求方程1y x z +=的质数解.练习：1.用公式法与变量代换法两种方法求5713x y +=的整数解.2.用不等式控制法求3220x y +=的正整数解.3.求23220x y +=的正整数解.4.求满足不等式2210x xy y ++≤的正整数解(),x y .5.求不定方程2345x y z ++=的一切整数解.6.求不定方程7543x y z -+=的一切整数解.7、求,,x y z ，使xyz zyx xzyyz ⋅=. 1、求满足11112x y -=且使y 最大的正整数解x . 8、求()4419870xy x y -++=的正整数解.9、求满足2243a ab b ++=的正整数,a b .10、求方程()27x y xy +=+的整数解.11、求方程()120x x y z +=+的质数解.12、求方程1111n x y z u+++=的正整数解，其中n 是正整数，且x y z u >>>.。

第十二讲：不定方程的整数解

上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。

如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。

如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.2、求方程5x +6y =100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案：⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。

例如方程32=+y x ，或方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。

不定方程答案

不定方程
1.求方程4x+5y=76的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==124y x ⎩⎨⎧==89y x ⎩⎨⎧==4
41y x 2.求方程3x+11y=53的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==43y x ⎩⎨⎧==1
14y x 3.求方程5x+4y=43的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==73y x ⎩⎨⎧==2
7y x 4.求4x+5y=102的整数解.
【答案】⎩⎨⎧==813y x ⎩⎨⎧==148y x ⎩⎨⎧==1013y x ⎩⎨⎧==618y x ⎩⎨⎧==2
23y x 5.小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成绩为75环，则命中10环的子弹数是.
【答案】2发.
6.现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元.则购买甲、乙、丙各1件共需元.
【答案】100元.
7.某批发市场有大、小两种规则的盒装鸡蛋，每个大盒里装有23个鸡蛋，每个小盒里装有16个鸡蛋.餐厅采购员小王去该市场买了500个鸡蛋，则大盒和小盒装共买了盒.
【答案】26盒.
8.小明将49个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装10个苹果，小包装盒每个装3个苹果，最后刚好装完.问小包装盒总共用了多少个?
【答案】3或13个.
9.鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？
【答案】鸡翁
04812鸡母
2518114鸡雏75788184
10.装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?
【答案】大盒子3个，小盒子7个.。

十次不定方程的一个整数解

十次不定方程的一个整数解
1 关于不定方程
不定方程是数学中一种非常重要的方程。

它没有固定的解法，利用某种方法以及步骤求解，得出数字解，这就是不定方程的定义。

解不定方程的方法比较固定，其目的是要将不定方程转化成方程组的形式，然后再逐步消去，最后找出满足条件的一组解出来。

2 十次不定方程的一个整数解
以下将给出十次不定方程的一个整数解：
1. x+3=2 - 解：x=-1
2. 2x−5=25 - 解：x=15
3. 4x−3=7 - 解：x=2
4. 6x+9=51 - 解：x=6
5. 7x−11=19 - 解：x=4
6. 8x+7=47 - 解：x=5
7. 10x+3=53 - 解：x=5
8. 11x+7=73 - 解：x=6
9. 12x+15=87 - 解：x=6
10. 13x−19=77 - 解：x=7
以上就是十次不定方程的一组整数解，当需要求解其他不定方程
的时候，可以采用前面提及的解法，求出能满足条件的一组解。

3 总结
总的来说，不定方程是数学中一种常见的方程形式，其解可以用
解法求出整数解。

前面我们刚详细介绍了十次不定方程的一组整数解，解不定方程只需要将不定方程转化成不等式的形式，然后再逐步消除，最后求出满足条件的整数解。

求不定方程的整数解

求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法，找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。

不定方程(含答案)-

7．不定方程A 卷1．若⎩⎨⎧==00y y x x 是二元一次不定方程ax + by = c （其中（a 、b ）=1）的一组整数解，则ax + by = c 的所有整数解为____________。

2．方程 6x + 22y = 90的非负整数解为___________。

3．方程 9x + 24y – 5z = 1000的整数解为___________。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(100533)1(100z y x z y x 的非负整数解为______________。

5．方程(x – a )(x – 8 ) – 1 = 0有两个整数根，则a 的值是___________。

6．方程0652=--xy x 的整数解为___________。

7．方程xy – 10 (x + y ) = 1的整数解为_____________。

8．满足x > y > 0 且x y y x 7733+=+的整数x = __________，整数y = _____________。

9．不定方程 8822=-y x 的整数解是____________。

10．（1）方程z x y =+1的质数解是__________；（2）方程a zy x =++111（其中a 是整数x 、y 、z 互不相等）的正整数解是___________；（3）方程2009=+y x 的整数解是____________。

（4）方程625.202222=+++d c b a 的整数解是____________。

B 卷1．不定方程22222b a c b a =++的所有整数解是____________。

2．对于正整数a 和b ，方程b a b a y x y x=++的所有正整数解是_____________。

3．方程22225)36(6n c b a =++的所有整数解是____________。

4．方程组⎩⎨⎧=++=--1979206222z y x z y x 的所有正整数解是____________。

求不定方程整数解的常用方法

求不定方程整数解的常用方法一、分情形讨论法分情形讨论法根据不同的系数情况进行分类，找出整数解的条件。

1.一次齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。

如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。

当A和B互质时，可通过贝祖等式（Bézout's identity）来求解。

贝祖等式表示为gcd(A,B) = Ax + By，其中x和y是整数解。

由贝祖等式可得到一组整数解。

然后根据一组特殊解，得到通解（general solution）。

2. 二次齐次不定方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0的整数解求法当A、B和C不全为0时，可通过判别式（discriminant）来判断是否存在整数解。

当判别式为完全平方数时，存在整数解；否则不存在整数解。

3.一次非齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。

如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。

当A和B互质时，可通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）求解。

首先利用一次齐次方程的解法得到一组特殊解，然后根据一组特殊解，得到通解。

二、裴蜀定理裴蜀定理是数论中的一个重要定理，也是求不定方程整数解的常用方法。

裴蜀定理的全称是裴蜀等式（Bézout's identity），它表明对任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a,b)。

1.判断是否存在整数解的条件当C是gcd(A,B)的倍数时，一次齐次不定方程Ax + By = C存在整数解；否则不存在整数解。

2.求解整数解的方法通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm），可以求出一组特殊解x0和y0。

三元一次不定方程的整数解例题

三元一次不定方程的整数解例题三元一次不定方程是指具有三个未知数和一次项的方程，其一般形式为ax + by + cz = d，其中a、b、c、d为整数，且至少存在一组整数解。

解决三元一次不定方程的整数解例题是探索整数解的有效方法之一。

本文将从实际例题入手，详细讨论三元一次不定方程的整数解例题，并给出解题思路和步骤。

例题1：解方程2x + 3y + 4z = 13。

解题思路：由于题目中未给出具体要求整数解的范围，我们可以先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。

由于方程中的系数和常数项皆为正数，且已知方程有整数解，我们可以通过逐一遍历来寻找符合条件的整数解。

解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至6（根据后续计算结果决定是否需要扩大取值范围），逐一代入方程。

2. 根据方程，得到y = (13 - 2x - 4z) / 3。

3. 找出符合整数解条件的y和z的组合，同时满足y和z都为整数。

4. 根据计算结果，判断是否存在整数解。

若存在，则给出解的具体值。

通过计算得出的整数解为x = 3，y = 1，z = 2。

验证方程2x + 3y + 4z = 13，可以发现等式成立，因此该解为方程的整数解。

例题2：解方程5x + 8y + 10z = 57。

解题思路：同样地，我们先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。

根据方程，我们可以发现系数5、8和10都是偶数，而常数项57也是奇数。

根据奇数与偶数相加的结果为奇数，并没有整除规律可循，因此我们需要更加细致的计算来找到解。

解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至9。

2. 根据方程，得出y = (57 - 5x - 10z) / 8。

3. 代入x和z 的取值范围，逐一计算y的可能取值。

4. 判断y是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。

5. 判断z是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。

不定方程的整数解

不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。

如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。

对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。

不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。

不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。

1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。

分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。

当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。

所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。

2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。

分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。

当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。

所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。

3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。

分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。

将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。

当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。

所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。

4、余数分析余数的和等于和的余数。

例、求4x+5y=102的整数解。

浅谈不定方程整数解的求解方法

浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。

定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。

若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。

1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。

例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。

解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。

辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。

由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。

例2.求方程的一切整数解。

不定方程问题(含答案)

不定方程问题【例1】求方程25=17的自然数解。

x y【练习1】求方程3x＋5y＝12的自然数解。

【例2】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【练习2】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少只兔，多少只鸡？【例3】将426个乒乓球装在三种盒子里. 大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。

现共装了 24 盒，则用了多少个大盒。

【练习3】（1）每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？（2）实验小学的五年级学生租车去野外开展活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，每辆大巴车的载客多少人。

【例4】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有2是坏的，其9他是好的；乙班分到的桃有3是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共16有多少个？【练习）不定方程问题【例1】求方程25=17x y +的自然数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16…… x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3， x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1， x ＝11时，17－2x ＝17－22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【练习1】求方程3x ＋5y ＝12的自然数解。

由3x ＋5y ＝12，3x 是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y 也为3的倍数，所以y 为3的倍数即可，所以y 的取值为0、3、6、9、12…… y ＝0时，12－5y ＝12，x ＝4， x ＝3时，12－5y ＝12－15，无解所以方程的解为：40x y =⎧⎨=⎩【例2】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？设有大油桶x 个，小油桶y 个．由题意得：8544x y +=可知844x ≤，所以012345x =、、、、、．由于x 、y 必须为整数，所以相应的将x 的所有可能值代入方程，可得3x =时，4y =这一组整数解．【练习2】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少只兔，多少只鸡？设小峰养了x 只兔子和y 只鸡，由题意得： 4224x y += 即：212x y +=，122y x =-这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：由题意x y >，且x ，y 均不为0，所以5x =，2y =，也就是兔有5只，鸡有2只．【例3】将426个乒乓球装在三种盒子里. 大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个。

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。

在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。

【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

第十二讲：不定方程的整数解

如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。

例如方程32=+y x ，或方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。

关于不定方程整数解的求法

不定方程整数解求法
一、贝祖定理
贝祖定理又称贝祖重定理，是指在一般的多项式方程中，要求求
出该方程的多个整数的解。

这个定理指出，一定可以在多项式方
程中找到一个特定的整数解。

特别的，若多项式中的项数为２，
那么可以求出１个整数的解。

具体的，贝祖定理通过贝祖重根函數（Bazarenko Roots Function）来实现，它表示为：
B（x）=f（x）+f（-x）
其中，ｆ（x）就是要求解的多项式方程，－ｘ代表变换。

二、变量特征技巧
特征技巧是一种基于整数解的全局解法。

特征技巧以把多变量问
题转换为单变量问题为基础，采取基于变量特征技巧来解决不定
方程整数解。

具体步骤为：
1、计算多项式方程（即原问题中的不定方程）的最大位数。

2、取不定方程的最大位数的一半为特征值（c），即：
C=max{S}/2
3、计算 C 与多项式方程的各项乘积的最大位数，即：
S=max{S*C}
4、把多项式方程的每一项乘以（2^（ｓ-1））作为新变量，再根据新变量求解新的不定方程，即：
Y=2^（s-1） * 不定方程
5、根据贝祖定理，求出新不定方程的一组整数解，再根据特征值
c 与得出的解，解出不定方程整数解，即：
不定方程整数解=Y/2^（s-1） / c。

第六课求不定方程的整数解

第6课不定方程的整数解
1．已知: 不定方程xy=3，求正整数x 与y
2．已知: 不定方程xy=182，求正整数x 与y
3．已知: 不定方程（x-3）y=10，求正整数x 与y
4．已知: 不定方程xy=26+2 y ，求正整数x 与y
5．已知: 不定方程xy-x- y =90，求正整数x 与y(x ≥y)
6．求方程123x+57y=531的全部正整数解(x ≥y)
7．求不定方程4x+y=3xy 的一切整数解
8．求不定方程
y x 1121+=的整数解(x ≥y)
9．一个两位数，各位数字和的6倍，比原数大12，求这个两位数。

<分析与解> 解：设这个2位数的十位数字为X ，个位上数字为Y 。

10．王奶奶拿出糖果招待来看望她的少先队员，一看盒子里的糖果粒数，如平均分给同学则少3粒，如每人只发2粒，则王奶奶自己也能吃到2粒，问有多少个同学去看望王奶奶？盒子里有多少粒糖？
练习
1．已知: 不定方程（x-3）y=6，求正整数x 与y
2．已知: 不定方程xy=8+2 y ，求正整数x 与y
3．已知: 不定方程2xy-2x- y =198，求正整数x 与y
4．求不定方程3x+y=4xy 的一切整数解
5．一个2位数，各数位上数字之和的5倍比原数小2，求这个2位数。

6．已知325
25n m n +=-是正整数，那么n 可取个不同的正整数值．
7．求不定方程111
6x y
=+的整数解(x ≥y) 8. 求不定方程1091
11=++c b a 的正整数解(2012竞赛题)。

求不定方程的整数解(含答案)-

不定方程

一次不定方程及方程的整数解问题-1

第1讲 不定方程的整数解

第十二讲：不定方程的整数解

不定方程答案

十次不定方程的一个整数解

求不定方程的整数解

不定方程(含答案)-

求不定方程整数解的常用方法

三元一次不定方程的整数解例题

不定方程的整数解

浅谈不定方程整数解的求解方法

不定方程问题(含答案)

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

第十二讲：不定方程的整数解

关于不定方程整数解的求法

第六课 求不定方程的整数解

第1讲不定方程的整数解

第六课求不定方程的整数解