新教材高中数学必修第一册第4章 4.2.2指数函数的图象和性质(一)

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4.2.2指数函数的图象和性质

4.2.2指数函数的图象和性质

4.2.2指数函数的图象和性质(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1.类比研究幂函数性质的过程和方法,通过指数函数图象得出其性质;2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质,并用所得性质进一步理解指数函数的图象;3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。

二、教学重难点1.教学重点:指数函数的图象和性质2.教学难点:指数函数性质的理解三、教学过程师生活动:从简单的函数2x y =入手,教师引导学生分析函数的性质,包括定义域,值域,奇偶性,单调性.由概念知定义域为R ,根据指数运算,分析值域为(0,)+∞,进而分析出函数的图象应该都在x 轴上方.通过特殊点的分析,得出函数不具有奇偶性.单调性需要借助图象研究.学生在列表时,分析x 的取值,要兼顾正值和负值,在性质指导下画出函数的图象.问题4:请同学们画出指数函数1()2x y =的图象,观察函数的图象.师生活动:教师布置任务,学生自己选择方法作图,观察图象,探究函数的性质.问题5:你是如何画出函数1()2x y =的图象?描点法还是利用对称性?请讲出选择的理由.师生活动:教师询问学生作图的方法,学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性.因为1()22x x y -==,点(x ,y )与点(-x ,y )关于y 轴对称,所以函数2x y =图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴的对称点1(,)P x y -都在函数1()2x y =的图象上,反之亦然.根据这种对称性,可以利用函数2x y =的图象,画出1()2xy =的图象.并将此结论推广:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称,所以利用这种对称性,可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象.设计意图:根据函数的解析式先初步分析函数的性质,再选择合适的点,利用描点法画出函数的图象,然后由图象概括出函数的性质,这是我们研究具体函数的过程.让学生观察两个具体的指数函数的图象,对指数函数的图象和性质有一个初步的认知.学生在作图的过程中得出结论:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.根据这种对称性,我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值,分作1a >和01a <<两种类型进行研究.让学生学会用联系的观点看待问题.问题6:我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值,分作1a >和01a <<两种类型进行研究.为了得到指数函数x y a =的性质,我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察.问题7:画出指数函数3x y =和4x y =的图象,分析它们的性质.画出指数函数1()3x y =和1()4xy =的图象,分析它们的性质.师生活动:学生动手操作,观察分析,师生共同评价.教师指导学生先研究底数1a >的情况,可追问学生在1a >的范围内是否还需要进一步分类,为什么?引导学生还是要从具体的指数函数进行研究.学生画出指数函数3x y =和4x y =的图象,教师借助几何画板呈现多个函数的图象.观察图象,师生共同总结出图象的直观性质;当1a >时,底数越大越靠近y 轴,而当01a <<,底数越小越靠近y 轴,故底数互为倒数的两个指数函数图象关于y 轴对称。

4.2.2指数函数的图象和性质(1)(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

4.2.2指数函数的图象和性质(1)(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

确.故选 CD.
【答案】 CD
12345
内容索引
4. (2023·淄博第六中学高一期末)若函数 g(x)=13x+m-3 的图象不经 过第一象限,则实数 m 的取值范围为________.
【解析】 易知函数 g(x)单调递减,其图象不经过第一象限,必有图 象与 y 轴交点不在 y 轴正半轴上,只需 g(0)≤0 即可,即13m-3≤0,解得 m≥-1.
内容索引
通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的 又一常用方法.
内容索引
不等式2x2-x<4的解集为________. 【解析】 由题意得x2-x<2,解得-1<x<2,故不等式的解集为(-1,2). 【答案】 (-1,2)
内容索引
活动三 与指数函数有关的定义域和值域问题
例 4 求下列函数的定义域和值域:
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质(1)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探 索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2. 会利用指数函数的性质比较两个幂值的大小.
内容索引
活动一 指数函数的图象和性质
内容索引
【解析】 (1) 观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过 40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年, 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
(2) 因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从 80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.
内容索引
(3) y=12

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1:4.2.2 指数函数的图象和性质(一)

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1:4.2.2  指数函数的图象和性质(一)

1
所以函数 y=10x-1 的定义域为{x|x≠1}.
因为
x≠1,即x-1 1≠0,所以
1
10x-1
≠1.
1
1
又 10x-1 >0,所以函数 y=10x-1 的值域为{y|y>0,且 y≠1}.
[方法总结] 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法:函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法: ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
[跟踪训练3] 已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%,设质量为20 g的镭 经过x百年后的质量为yg(其中x∈N*),求y与x之间的函数关系式,并求出经过 1000年后镭的质量(精确到0.001 g). 解 把1百年看成一个基数,然后看每经过1百年镭的质量的变化. 因为镭原来的质量为20 g; 1百年后镭的质量为20×95.76%g; 2百年后镭的质量为20×(95.76%)2g; 3百年后镭的质量为20×(95.76%)3g; …
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质(一)
课程标准Biblioteka 核心素养能用描点法或借助计算工具画出 通过对指数函数图象和性质的学 具体指数函数的图象,探索并理 习,提升“数学抽象”、“逻辑推 解指数函数的单调性与特殊点. 理”、“数学运算”的核心素养.
栏目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
[方法总结] 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定 点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.

湘教版高中数学必修第一册-4.2.2.1指数函数的图象和性质(1)【课件】

湘教版高中数学必修第一册-4.2.2.1指数函数的图象和性质(1)【课件】
与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
易错辨析 换元法求函数的值域时,忽略新元的取值范围致误
1
1
例6 求函数f(x)=( ) +( ) +1的值域.
4
2
1
解析:令( ) =t>0,
2
则原函数可化为f(t)=t2+t+1=(
+
1 2 3
) + ,
2
4
1 2 3
+ ) + 在(0,+∞)上是增函数,
按逆时针方向变大,或者说在第一象限内,
指数函数的图象,底数大的在上边,也可以
说底数越大越靠近y轴.
角度3 有关指数函数图象的识别

2
例4 二次函数y=ax +bx与指数函数y=( ) 的图象可以是(

答案:D
)
方法归纳
识别与指数函数图象有关问题应把握三点:
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1;
(3)若指数函数y=mx是减函数,则0<m<1.( √ )
(4)函数y=3x的图象在函数y=2x图象的上方.( × )
2.函数y=2-x的图象是(
)
答案:B
1 x
-x
解析:y=2 =
是(-∞,+∞)上的单调递减函数.
2
3.函数f(x)= 2 − 1的定义域是(
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想,对于不易
求解的方程解的个数问题,常构造函数,转化为函数图象的交点问题
来解决.
跟踪训练3 若曲线|y|=2x+1 与直线y=b没有公共点,则b的取值范
[-1,1]
围是___________.

人教版高中数学新教材必修第一册课件:4.2.2指数函数的图象和性质1 (共25张PPT)

人教版高中数学新教材必修第一册课件:4.2.2指数函数的图象和性质1 (共25张PPT)

Y=1
O
X
答:当底数_a _1时图象上升;当底数_0 _a__1 时图象下降.
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按__顺__
时针方向旋转.
问题三:图象中有哪些特殊的点?
讲 课 人 :
答:四个图象都经过点_(_0_,1_) .

启 强
5
a>1
0<a<1

大1增,小1减, 左右无限上冲天,
横轴接近不相连,
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.





启 强
2
学习新知 用描点法作函数 y 2x 和y 3x的图象.

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …


yy 3x y 2x
f (x1 x2 )
因为当 x<0 时,有 0<f(x)<1,所以 f (x1 x2 ) <1
所以
f (x1) f (x2 )
1,又因为
f (x) 0 ,所以
f (x1)
f (x2 ),
所以 f (x) 是增函数.
(3)证明:因为 f (0) 1由 f(2x-x2+2)f(x2)>1
得 f(2x+2)> f(0),所以 2x+2>0 所以 x>-1,所以不等式的解集是{ x|x>-1}.
巩固练习
解不等式:
2 3
3x1
2 3
2 x
解:因为

高中数学新教材必须第一册第四章《指数函数的图象和性质》教学设计

高中数学新教材必须第一册第四章《指数函数的图象和性质》教学设计

4.2.2 指数函数的图像和性质一、教材学情分析:本节内容是高中数学新教材人教A版普通必修第一册第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。

由于学生已经学习了正反比例函数、一次函数、二次函数,以及函数性质,所以学习这部分内容与先前的函数学习类似。

先画函数图像,然后借助函数图像讨论函数的性质,最后应用的指数函数图象和性质解决问题,体现了研究函数的一般方法,让学生掌握由特殊到一般的思想方法。

培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养。

二、教学目标:1、能画出具体指数函数的图象;2、通过类比,利用具体指数函数图像,归纳出指数函数的一般性质,3、能利用指数函数的图象和性质解决一些简单的应用问题;三、核心素养:1. 运用描点法画指数函数的图象,用图象来研究指数函数的性质,培养学生直观想象和数学抽象的核心素养;2. 从一般到特殊研究问题的方法,培养学生逻辑推理的核心素养;3. 运用指数函数性质解决问题,培养学生数学运算和数学建模核心素养。

四、教学重难点教学重点:指数函数的图象和性质。

教学难点:指数函数的性质的归纳及其应用。

五、教学准备:多媒体课件六、教学过程:(一)创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗?设计意图:通过回顾研究函数的一般方法,提提供研究思路,进入学习和研究,培养学生的逻辑推理和数学建模的核心素养。

(二)、探索新知1.用描点法作函数y=2x、y=3x、1y()2x=和1y()3x=的图象(如图所示)2.观察这四个图像有何特点?并思考一下几个问题 问题1:图象分别在哪几个象限?问题2:图象的上升、下降与底数a 有联系吗? 问题3:图象有哪些特殊的点? 问题4:图象定义域和值域范围?设计意图:通过对特殊的指数函数图像观察,归纳出指数函数的性质;发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养; 3.指数函数的图像与性质图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数例1.说出下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5__ 1.73;(2)0.8—1__0.8—2;(3)1.70.5__ 0.82.5解:① ∵函数y=1.7x在R 上是增函数,x a y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O 1y =又∵ 2.5 < 3 ,∴1.72.5 < 1.73② ∵函数y=0.8x在R 上是减函数,又∵ -1 > -2 ,∴ 0.8—1< 0.8— 2③ ∵ 1.7 0.5> 1.70= 1= 0.80>0.8 2.5, ∴1.70.5> 0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小3.底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较4.当底数含参数时,要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论设计意图:通过典例问题的分析,让学生运用指数函数的性质解决问题。

湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件

湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件

[解] (1)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到. (2)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到. (3)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到. (4)∵y=2-x与y=2x的图象关于y轴对称,∴作y=2x的图象关于y轴的 对称图形便可得到y=2-x的图象. (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,故先作出当x≥0时,y =2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y=2|x|的图象.
3.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,
则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a<b<1<c<d √B.b<a<1<d<c
题号
1
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
2
B [作直线x=1,与四个图象分别交于A,
3
4
B , C , D 四 点 , 则 A(1 , a) , B(1 , b) ,
2.能画出具体指数函数的图象,并 值域的求法,培养逻辑推理
能根据指数函数的图象说明指数函数 素养.
的性质.(重点)
必备知识·情境导学探新知
知识点1 指数函数的概念 如果让底数为常数而取指数为自变量x,则得到一类新的函数 __y_=__a_x__(x∈R),叫作指数函数,其中a>0,且a≠1. 思考1.为什么指数函数的底数a>0,且a≠1. [提示] ①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任何实数; ③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a>0,且 a≠1.
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点. (2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调 性决定函数图象的走势.

人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时4 指数函数的图象和性质(1)【课件】

人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时4 指数函数的图象和性质(1)【课件】

学习目标
课程目标
学科核心素养
能借助计算器或计算机画出指数 通过具体实例,体会数学中从特
函数的图象,掌握指数函数的图 殊到一般、数形结合等重要思想
象特征
方法,培养数学抽象素养
能根据指数函数的图象探究指数 在借助指数函数的图象探究指数
函数的定义域、值域和单调性等 函数简单性质的过程中,培养数学
简单性质
4.2 指数函数
课时4 指数函数的图象和性质(1)
教学目标
1. 通过具体实例,作出指数函数的图象,由特殊到一般, 掌握指数函数的图象特征. 2. 结合指数函数的定义和图象,探索指数函数的简单性 质,体会数形结合思想的应用. 3. 能正确作出指数函数图象并应用指数函数图象和性 质解决与指数函数有关的问题.
【变式训练1】已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的 图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( A )
变式训练1图
【例2】求下列函数的定义域和值域:
思路点拨:求与指数函数有关的函数的定义域时,只需使函 数式有意义即可,求值域时可以从相应函数的定义域入手或 依据单调性求解.
1 2
x的图象,函数y=10x与y=
1 10
x的图象,
如图2,你有什么发现?你能推广到更一般的情形吗?
【问题6】你能总结出指数函数的性质吗?
典例精析
【例1】函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列 结论中正确的是( ) A. a>1,b<0 B. a>1,b>0 C. 0<a<1,b>0 D. 0<a<1,b<0
初探新知
【活动1】作出指数函数的图象并探索其变化规律

【课件】高中数学新教材人教A版必修第一册课件:第4章 4.2 第1课时 指数函数的概念、图象和性质

【课件】高中数学新教材人教A版必修第一册课件:第4章 4.2 第1课时 指数函数的概念、图象和性质

D [由指数函数的定义可知 D 正确.]
3.函数 y=3-x 的图象是( )
A
B
C
D
B [∵y=3-x=13x,∴B 选项正确.]
4.若指数函数 f(x)的图象过点(3,8),则 f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=2x
C.f(x)=12x
1
D.f(x)=x3
B [设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则由 f(3)=8 得 a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x,故选 B.]
[解] (1)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得 到.
(2)y=2x-1 的图象是由 y=2x 的图象向右平移 1 个单位得到. (3)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向上平移 1 个单位得到. (4)∵y=2-x 与 y=2x 的图象关于 y 轴对称,∴作 y=2x 的图象关 于 y 轴的对称图形便可得到 y=2-x 的图象. (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于 y 轴对称,故先作出当 x≥0 时,y=2x 的图象,再作关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=2|x|的图 象.]
指数函数图象问题的处理技巧 1抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点. 2利用图象变换,如函数图象的平移变换左右平移、上下平移. 3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调 性决定函数图象的走势.
[跟进训练] 2.已知 f(x)=2x,指出下列函数的图象是由 y=f(x)的图象通过怎 样的变化得到: (1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1; (4)y=2-x;(5)y=2|x|.
……
……
由上面的对应关系,我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y=2x(x∈N*),对折后的面积 S=12x (x∈N*).

第四章 4.2 4.2.1 4.2.2 第一课时 指数函数及其图象和性质2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)

第四章 4.2 4.2.1 4.2.2 第一课时 指数函数及其图象和性质2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)

20
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只 要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
25
课前预习
课堂互动
核心素养
过滤 2 次后的杂质含量为1200×23×1-13=1200×232;
过滤 3 次后的杂质含量为1200×232×1-13=1200×233; … 过滤 n 次后的杂质含量为1200×23n(n∈N*). 故 y 与 n 的函数关系式为 y=510×23n(n∈N*).
象,发展直观想象素养. 3.初步学会运用指数函数来解决问题.
3.通过指数函数的实际应用,发展数学建模
素养.
1
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
教材知识探究
将一张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系?对折后的面积 S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系?
2
课前预习
课堂互动
核心素养
19
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
(3)解 y=13x+1+2=3-(x+1)+2. 作函数 y=3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y=3-x 的图象,再向左平移 1 个单 位长度就得到函数 y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y =3-(x+1)+2=13x+1+2 的图象,如图所示.
核心素养
@《创新设计》
规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模型转化 为数学问题. (2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则对于 经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示,这是非常有用的函数模型.

高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像和性质(第一课时)课件

高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像和性质(第一课时)课件

)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D. 0<a<1,b<0
解析:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f(x)为减函数,从而有 0
<a<1;从曲线位置看,是由函数 y=ax(0<a<1)的图象向左平移
|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即 b<0.
答案:D
课堂小结
本节课你有哪些收获?
3.数学运算:求函数的定义域与值域;
4.数据分析:利用指数函数的性质比较两个函数值
的大小:
5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的
数形结合思想总结指数函数性质.
复习回顾
1.指数函数的概念:
一般地,函数
(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 是自变量,
函数的定义域是__.
2. 我们可以类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步
y=1+3=4,即函数 y=ax -3+3 的图象过定点(3,4).
答案:(3,4)
练习:
已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是
答案:(-1,4)
.
题点二:指数型函数图象中数据判断
例 2.函数 f(x)=ax -b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,
则下列结论正确的是(
“降”.当 a>1 时,指数函数的图象是“上升”的;当 0<a<1 时,
x
1
y
=
4
指数函数的图象是“下降”的.
y
y= x
y=
【1】指数函数在y轴右侧的图像,底数越大
1
4
3x
y = 3x
8
7
图像越高.(底大图高)
【2】指数函数图像下端与

【新教材】人教A版高中数学必修第一册4.2.2指数函数的图象与性质课件

【新教材】人教A版高中数学必修第一册4.2.2指数函数的图象与性质课件

【解】(1)函数
是增函数,且2.5<3,则1.72.5<1.73
(2)函数
是减函数,且
,则
(3) 1.70.3 1.70 1;
又 0.93.1 0.90 1;
0.93.1 1.70.3
变式:若 a 0.60.6 , b 0.61.5, c 1.50.6 ,则a, b, c的大小关系 ?
解: y 0.6x 是减函数;又0.6 1.5 0.6 0.6 0.61.5
y x0.6是增函数,又 0.6 1.50.60.6 1.50.6
0.61.5 0.60.6 1.50.6即b a c
例4:如图,某城市人口呈指数增长 (1)根据图象,估计城市人口每翻一番 所需的时间(倍增期) (2)该城市人口从80万人开始,经过20 年会增长到多少万人
-1.5 0.35
-1
0.5
-0.5 0.71
0
1
0.5 1.41
1
2
1.5 2.83
2
4
函数y 2x图象上
任意一点P(x, y)
关于y轴的对称点
P(1 x, y)都在函数
y
1
x
的图象上
2
因为y ( 1 )x ax ,所以底数互为倒数的两 个指数函数 y a x与y ( 1 )x的图象
R (0,+∞) (0,1)
1
o
x
(4)单调性:增函数
质 (5)奇偶性:非奇非偶
(6)当x>0时,y>1.
当x<0时,0<y<1.
(4)单调性: 减函数 (5)奇偶性:非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时,y>1.

高中数学必修一课件:第四章指数函数的图象和性质(第1课时)

高中数学必修一课件:第四章指数函数的图象和性质(第1课时)

(3)∵0.6-2>0.60=1,43-23<430=1,∴0.6-2>43-23. (4)∵130.3=3-0.3,又∵-0.3<-0.2,∴3-0.3<3-0.2,∴130.3<3-0.2. (5)因为0<0.2<0.3<1, 所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞) 上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方, 所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数, 可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
(2)已知实数a,b满足等式2a=5b,给出下列五个关系式:①0<b<a;
②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中,可能成立的关系式有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 在同一个坐标系中画出函数y=2x与y=5x的图象如图所示,结合 图象可知:
若2a=5b>1,如图1,则0<b<a,①可能成立; 若2a=5b=1,则0=b=a,⑤可能成立; 若2a=5b<1,如图2,则a<b<0,②可能成立. 综上,可能成立的关系式有3个.
4.2.2 指数函数的图象和性质(第1课时) 指数函数的图象和性质
要点 指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域 值域
过定点 单调性 函数值 的变化
对称性
__R____
__(_0_,__+__∞_)___
过定点__(0_,__1_)__,即x=_0___时,y=__1__

新教材人教版高中数学必修第一册 4-2-2 指数函数的图象和性质 教学课件

新教材人教版高中数学必修第一册 4-2-2  指数函数的图象和性质 教学课件
第十一页,共三十九页。
[提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关 系解集的交集.
(2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类 讨论.
第十二页,共三十九页。
[ 变式训练] 求下列函数的定义域、值域: (1)y=1+3x3x;(2)y=2 2x-x2 ;(3)y=4x-2x+1. 解:(1)函数的定义域为 R.∵y=1+3x3x=1+1+3x3-x 1=1-1+1 3x, 又∵3x >0,∴1+3x>1,∴0<1+1 3x <1,∴-1<-1+1 3x <0, ∴0<1-1+1 3x<1,∴函数的值域为(0,1).
1 ∵x≥0,∴ 2 x≤1.
1
1
1
又∵ 2 x>0,∴0< 2 x≤1.∴0≤1- 2 x<1,
∴0≤y<1,∴此函数的值域为[0,1).
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[方法技巧] 求指数型函数的定义域和值域的一般方法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是 y=ax 型 还是 y=af(x)型,前者的定义域是 R ,后者的定义域与 f(x)的定义域一致,
第十三页,共三十九页。
(2)函数的定义域为 R.∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴2 2x-x2 ≤2,即 y≤2.又 2 2x-x2 >0,∴函数的值域为(0,2].
(3)函数的定义域为 R.
y=(2x)2-2x+1=
2x-1 2
2+3,
4
∵2x>0,∴当 2x=1,即 x=-1 时,y 取最小值3,
第十五页,共三十九页。
2.指数函数图象的变换 (1)平移规律:设 b>0, ①y=ax 的图象上――移―b个―单―→位y=ax+b 的图象; ②y=ax 的图象下――移―b个―单―→位y=ax-b 的图象; ③y=ax 的图象左――移―b个―单―→位y=ax+b 的图象; ④y=ax 的图象右――移―b个―单―→位y=ax-b 的图象.

指数函数的图象和性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

指数函数的图象和性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
< ,即 b<a,所以 b<a<c.故选 A. 答案:A
探索点二 解简单指数不等式
(2,+∞)
【例 2】 (1)不等式 3x-2>1 的解集为
.
解析:因为原不等式可化为3x-2>30,即x-2>0, 解得x>2,则原不等式的解集为(2,+∞).
(2)已知
解:①当a>1时,由原不等式可得x2-2x>x +4, 即x2-3x-4>0,所以(x-4)(x+1)>0, 所以x>4或x<-1. ②当0<a<1时,由原不等式可得x2-2x<x +4, 即(x-4)(x+1)<0,所以-1<x<4. 综上所述,当a>1时,x的取值范围为{x|x >4,或x <-1}; 当0<a<1时,x的取值范围为{x|-1<x<4} .
A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0
解析:y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象可看成是由 y=ax的图象向 上或向 下平移 得到的. 因其图 象不经 过第一 象限, 所以a∈( 0,1).又 因为y= ax+b-1的图象 经过第 二、三 、四象 限,所以 1+b-1 <0,即b< 0.故选 C.
[知识梳理] 函数 y=ax 与 y=( )x (a>0,且 a≠1)的图象的对称性
y轴
函数 y=ax 与 y=( )x (a>0,且 a≠1)的图象关于 对称.
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4.2.2指数函数的图象和性质(一)学习目标1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域.知识点指数函数的图象和性质指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表:预习小测自我检验1.函数y=(3-1)x在R上是________函数.(填“增”“减”) 答案减2.函数y=2-x的图象是________.(填序号)答案 ②3.函数f (x )=⎝⎛⎭⎫131-x的定义域为________. 答案 R4.函数f (x )=2x +3的值域为________. 答案 (3,+∞)一、指数函数的图象及应用例1 (1)函数y =a x -1a(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )答案 D(2)函数f (x )=1+a x -2(a >0,且a ≠1)恒过定点________. 答案 (2,2)(3)已知函数y =3x 的图象,怎样变换得到y =⎝⎛⎭⎫13x +1+2的图象?并画出相应图象. 解 y =⎝⎛⎭⎫13x +1+2=3-(x +1)+2. 作函数y =3x 关于y 轴的对称图象得函数y =3-x 的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y =3-(x +1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y =3-(x +1)+2=⎝⎛⎭⎫13x +1+2的图象,如图所示.反思感悟 处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.跟踪训练1(1)已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b的图象必定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析函数恒过点(0,1+b),因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限.(2)画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.①y=2x+1;②y=-2x.解如图.①y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.②y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.二、指数型函数的定义域和值域例2求下列函数的定义域和值域:(1)142;xy-=(2)y =⎝⎛⎭⎫23-|x |; (3)y =1-⎝⎛⎭⎫12x.解 (1)x 应满足x -4≠0,∴x ≠4, ∴定义域为{x |x ≠4,x ∈R }. ∵1x -4≠0,∴142x -≠1, ∴y =142x -的值域为{y |y >0,且y ≠1}.(2)定义域为R .∵|x |≥0,∴y =⎝⎛⎭⎫23-|x |=⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320=1, ∴此函数的值域为[1,+∞). (3)由题意知1-⎝⎛⎭⎫12x ≥0, ∴⎝⎛⎭⎫12x≤1=⎝⎛⎭⎫120, ∴x ≥0,∴定义域为{x |x ≥0,x ∈R }. ∵x ≥0,∴⎝⎛⎭⎫12x≤1. 又∵⎝⎛⎭⎫12x>0,∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1. ∴0≤1-⎝⎛⎭⎫12x<1,∴0≤y <1,∴此函数的值域为[0,1).反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y =a x 型还是y =a f (x )型,前者的定义域是R ,后者的定义域与f (x )的定义域一致,而求y =f (a x )型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下,要注意指数函数的值域为(0,+∞),切记准确运用指数函数的单调性. 跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域:①y =②2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭解 ①由5x -1≥0,得x ≥15,∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥15. 由5x -1≥0,得y ≥1,∴所求函数的值域为[1,+∞). ②定义域为R .∵x 2-2x -3=(x -1)2-4≥-4, ∴22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭≤⎝⎛⎭⎫12-4=16.又∵22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭>0,∴函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,16].(2)求函数y =4x -2x +1的定义域、值域. 解 函数的定义域为R , y =(2x )2-2x +1=⎝⎛⎭⎫2x -122+34, ∵2x >0,∴当2x =12,即x =-1时,y 取最小值34,同时y 可以取一切大于34的实数,∴值域为⎣⎡⎭⎫34,+∞.1.函数f (x )=πx 与g (x )=⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A .原点对称 B .x 轴对称 C .y 轴对称 D .直线y =-x 对称答案 C解析 设点(x ,y )为函数f (x )=πx 的图象上任意一点,则点(-x ,y )为g (x )=π-x =⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点.因为点(x ,y )与点(-x ,y )关于y 轴对称,所以函数f (x )=πx 与g (x )=⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称,选C. 2.函数f (x )=a x-b的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A .a >1,b <0B .a >1,b >0C .0<a <1,b >0D .0<a <1,b <0 答案 D解析 从曲线的变化趋势,可以得到函数f (x )为减函数,从而有0<a <1;从曲线位置看,是由函数y =a x (0<a <1)的图象向左平移|-b |个单位长度得到的,所以-b >0,即b <0. 3.函数y =a x -3+3(a >0,且a ≠1)的图象过定点______. 答案 (3,4)解析 因为指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y =a x -3+3中,令x -3=0,得x =3,此时y =1+3=4,即函数y =a x -3+3的图象过定点(3,4). 4.函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为________. 考点 指数函数的定义域 题点 指数型复合函数的定义域 答案 (-3,0]解析 由题意,自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,解得-3<x ≤0.5.已知函数f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x |,则f (x )的值域为________. 答案 (0,1]解析 因为f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x |=⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x ,x ≥0,⎝⎛⎭⎫12-x ,x <0,所以其图象由y =⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)和y =2x(x <0)的图象合并而成,如图.1.知识清单:(1)指数函数的图象.(2)指数函数的性质:定义域、值域、单调性及过定点.2.方法归纳:数形结合法,换元法.3.常见误区:在求值域时易忽视指数函数隐含的条件a x>0.1.函数y=2x-1的定义域是()A.(-∞,0) B.(-∞,0]C.[0,+∞) D.(0,+∞)答案 C解析由2x-1≥0,得2x≥20,∴x≥0.2.已知函数f(x)=4+a x+1的图象经过定点P,则点P的坐标是() A.(-1,5) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,0)答案 A解析当x+1=0,即x=-1时,a x+1=a0=1,为常数,此时f(x)=4+1=5.即点P的坐标为(-1,5).3.函数y=a|x|(a>1)的图象是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案 B解析函数y=a|x|是偶函数,当x>0时,y=a x.由已知a>1,故选B. 4.函数y=16-4x的值域是()A.[0,+∞) B.[0,4]C.[0,4) D.(0,4)答案 C解析要使函数式有意义,则16-4x≥0.又因为4x>0,∴0≤16-4x<16,即函数y=16-4x的值域为[0,4).5.函数f(x)=a x与g(x)=-x+a的图象大致是()答案 A6.已知f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的图象如图,则f (3)=________.答案 33-3解析 由题意知,f (x )的图象过点(0,-2)和(2,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0+b =-2,a 2+b =0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a =3(a =-3舍),b =-3.所以f (x )=(3)x -3,所以f (3)=(3)3-3=33-3.7.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <0,-2-x ,x >0,则函数f (x )的值域是________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由x <0,得0<2x <1;由x >0,∴-x <0,0<2-x <1,∴-1<-2-x <0,∴函数f (x )的值域为(-1,0)∪(0,1).8.已知f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,则a =________. 答案 2解析 ∵f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,∴a +a 2=6,即a 2+a -6=0,∴a =2或a =-3(舍).9.求函数f (x )=113⎛ ⎪⎝⎭的定义域、值域.解 要使函数有意义,则x 应满足x 2-2x ≥0,即x ≥2或x ≤0, 所以所求函数的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞),令t =x 2-2x -1,所以t ≥-1,又y =⎝⎛⎭⎫13t 为减函数,所以0<⎝⎛⎭⎫13t ≤⎝⎛⎭⎫13-1,即0<⎝⎛⎭⎫13t ≤3,所以f (x )的值域为(0,3].10.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2,12,其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值;(2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2,12,所以a 2-1=12,则a =12.(2)由(1)知函数为f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1(x ≥0),由x ≥0,得x -1≥-1.于是0<⎝⎛⎭⎫12x -1≤⎝⎛⎭⎫12-1=2,所以函数的值域为(0,2].11.函数y =12x x --1的定义域、值域分别是() A .R ,(0,+∞)B .{x |x ≠0},{y |y >-1}C .{x |x ≠0},{y |y >-1,且y ≠1}D .{x |x ≠0},{y |y >-1,且y ≠0}答案 C解析 要使y =12x x --1有意义,只需x -1x 有意义,即x ≠0.若令u =x -1x =1-1x ,则可知u≠1,∴y≠21-1=1.又∵y=12xx--1>0-1=-1,∴函数y=12xx--1的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y>-1,且y≠1}.12.若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有() A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0答案 C解析函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象是由函数y=a x的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y =a x(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度,即b-1<-1,所以b<0.13.函数y=4x+2x+1+1的值域是________.答案(1,+∞)解析令2x=t(t>0),则函数y=4x+2x+1+1可化为y=t2+2t+1=(t+1)2,该函数在t∈(0,+∞)上递增,所以y>1,即原函数的值域为(1,+∞).14.已知方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.答案[1,+∞)∪{0}解析作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y =a 与y =|2x -1|的图象的交点只有一个,∴a ≥1或a =0.15.已知1>n >m >0,则指数函数①y =m x ,②y =n x 的图象为( )答案 C解析 由于0<m <n <1,所以y =m x 与y =n x 都是减函数,故排除A ,B ,作直线x =1与两个曲线相交,交点在下面的是函数y =m x 的图象,故选C.16.已知函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13|x |-1.(1)作出f (x )的简图;(2)求f (x )的单调区间;(3)若关于x 的方程f (x )=3m 有两个解,求m 的取值范围.解 (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x -1,x ≥0,3x -1,x <0,如图所示,(2)由图知,f (x )的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).(3)作出直线y =3m ,当-1<3m <0,即-13<m <0时, 函数y =f (x )与y =3m 有两个交点,即关于x 的方程f (x )=3m 有两个解时,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-13,0.。

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