新教材高中数学必修第一册第4章 4.2.2指数函数的图象和性质(一)
4.2.2指数函数的图象和性质
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4.2.2指数函数的图象和性质(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1.类比研究幂函数性质的过程和方法,通过指数函数图象得出其性质;2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质,并用所得性质进一步理解指数函数的图象;3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。
二、教学重难点1.教学重点:指数函数的图象和性质2.教学难点:指数函数性质的理解三、教学过程师生活动:从简单的函数2x y =入手,教师引导学生分析函数的性质,包括定义域,值域,奇偶性,单调性.由概念知定义域为R ,根据指数运算,分析值域为(0,)+∞,进而分析出函数的图象应该都在x 轴上方.通过特殊点的分析,得出函数不具有奇偶性.单调性需要借助图象研究.学生在列表时,分析x 的取值,要兼顾正值和负值,在性质指导下画出函数的图象.问题4:请同学们画出指数函数1()2x y =的图象,观察函数的图象.师生活动:教师布置任务,学生自己选择方法作图,观察图象,探究函数的性质.问题5:你是如何画出函数1()2x y =的图象?描点法还是利用对称性?请讲出选择的理由.师生活动:教师询问学生作图的方法,学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性.因为1()22x x y -==,点(x ,y )与点(-x ,y )关于y 轴对称,所以函数2x y =图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴的对称点1(,)P x y -都在函数1()2x y =的图象上,反之亦然.根据这种对称性,可以利用函数2x y =的图象,画出1()2xy =的图象.并将此结论推广:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称,所以利用这种对称性,可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象.设计意图:根据函数的解析式先初步分析函数的性质,再选择合适的点,利用描点法画出函数的图象,然后由图象概括出函数的性质,这是我们研究具体函数的过程.让学生观察两个具体的指数函数的图象,对指数函数的图象和性质有一个初步的认知.学生在作图的过程中得出结论:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.根据这种对称性,我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值,分作1a >和01a <<两种类型进行研究.让学生学会用联系的观点看待问题.问题6:我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值,分作1a >和01a <<两种类型进行研究.为了得到指数函数x y a =的性质,我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察.问题7:画出指数函数3x y =和4x y =的图象,分析它们的性质.画出指数函数1()3x y =和1()4xy =的图象,分析它们的性质.师生活动:学生动手操作,观察分析,师生共同评价.教师指导学生先研究底数1a >的情况,可追问学生在1a >的范围内是否还需要进一步分类,为什么?引导学生还是要从具体的指数函数进行研究.学生画出指数函数3x y =和4x y =的图象,教师借助几何画板呈现多个函数的图象.观察图象,师生共同总结出图象的直观性质;当1a >时,底数越大越靠近y 轴,而当01a <<,底数越小越靠近y 轴,故底数互为倒数的两个指数函数图象关于y 轴对称。
4.2.2指数函数的图象和性质(1)(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
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确.故选 CD.
【答案】 CD
12345
内容索引
4. (2023·淄博第六中学高一期末)若函数 g(x)=13x+m-3 的图象不经 过第一象限,则实数 m 的取值范围为________.
【解析】 易知函数 g(x)单调递减,其图象不经过第一象限,必有图 象与 y 轴交点不在 y 轴正半轴上,只需 g(0)≤0 即可,即13m-3≤0,解得 m≥-1.
内容索引
通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的 又一常用方法.
内容索引
不等式2x2-x<4的解集为________. 【解析】 由题意得x2-x<2,解得-1<x<2,故不等式的解集为(-1,2). 【答案】 (-1,2)
内容索引
活动三 与指数函数有关的定义域和值域问题
例 4 求下列函数的定义域和值域:
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质(1)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
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1. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探 索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2. 会利用指数函数的性质比较两个幂值的大小.
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活动一 指数函数的图象和性质
内容索引
【解析】 (1) 观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过 40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年, 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
(2) 因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从 80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.
内容索引
(3) y=12
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1:4.2.2 指数函数的图象和性质(一)
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1
所以函数 y=10x-1 的定义域为{x|x≠1}.
因为
x≠1,即x-1 1≠0,所以
1
10x-1
≠1.
1
1
又 10x-1 >0,所以函数 y=10x-1 的值域为{y|y>0,且 y≠1}.
[方法总结] 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法:函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法: ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
[跟踪训练3] 已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%,设质量为20 g的镭 经过x百年后的质量为yg(其中x∈N*),求y与x之间的函数关系式,并求出经过 1000年后镭的质量(精确到0.001 g). 解 把1百年看成一个基数,然后看每经过1百年镭的质量的变化. 因为镭原来的质量为20 g; 1百年后镭的质量为20×95.76%g; 2百年后镭的质量为20×(95.76%)2g; 3百年后镭的质量为20×(95.76%)3g; …
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质(一)
课程标准Biblioteka 核心素养能用描点法或借助计算工具画出 通过对指数函数图象和性质的学 具体指数函数的图象,探索并理 习,提升“数学抽象”、“逻辑推 解指数函数的单调性与特殊点. 理”、“数学运算”的核心素养.
栏目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
[方法总结] 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定 点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
湘教版高中数学必修第一册-4.2.2.1指数函数的图象和性质(1)【课件】
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易错辨析 换元法求函数的值域时,忽略新元的取值范围致误
1
1
例6 求函数f(x)=( ) +( ) +1的值域.
4
2
1
解析:令( ) =t>0,
2
则原函数可化为f(t)=t2+t+1=(
+
1 2 3
) + ,
2
4
1 2 3
+ ) + 在(0,+∞)上是增函数,
按逆时针方向变大,或者说在第一象限内,
指数函数的图象,底数大的在上边,也可以
说底数越大越靠近y轴.
角度3 有关指数函数图象的识别
2
例4 二次函数y=ax +bx与指数函数y=( ) 的图象可以是(
答案:D
)
方法归纳
识别与指数函数图象有关问题应把握三点:
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1;
(3)若指数函数y=mx是减函数,则0<m<1.( √ )
(4)函数y=3x的图象在函数y=2x图象的上方.( × )
2.函数y=2-x的图象是(
)
答案:B
1 x
-x
解析:y=2 =
是(-∞,+∞)上的单调递减函数.
2
3.函数f(x)= 2 − 1的定义域是(
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想,对于不易
求解的方程解的个数问题,常构造函数,转化为函数图象的交点问题
来解决.
跟踪训练3 若曲线|y|=2x+1 与直线y=b没有公共点,则b的取值范
[-1,1]
围是___________.
人教版高中数学新教材必修第一册课件:4.2.2指数函数的图象和性质1 (共25张PPT)
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Y=1
O
X
答:当底数_a _1时图象上升;当底数_0 _a__1 时图象下降.
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按__顺__
时针方向旋转.
问题三:图象中有哪些特殊的点?
讲 课 人 :
答:四个图象都经过点_(_0_,1_) .
邢
启 强
5
a>1
0<a<1
图
大1增,小1减, 左右无限上冲天,
横轴接近不相连,
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.
讲
课
人
:
邢
启 强
2
学习新知 用描点法作函数 y 2x 和y 3x的图象.
函
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数
y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
图
象
yy 3x y 2x
f (x1 x2 )
因为当 x<0 时,有 0<f(x)<1,所以 f (x1 x2 ) <1
所以
f (x1) f (x2 )
1,又因为
f (x) 0 ,所以
f (x1)
f (x2 ),
所以 f (x) 是增函数.
(3)证明:因为 f (0) 1由 f(2x-x2+2)f(x2)>1
得 f(2x+2)> f(0),所以 2x+2>0 所以 x>-1,所以不等式的解集是{ x|x>-1}.
巩固练习
解不等式:
2 3
3x1
2 3
2 x
解:因为
高中数学新教材必须第一册第四章《指数函数的图象和性质》教学设计
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4.2.2 指数函数的图像和性质一、教材学情分析:本节内容是高中数学新教材人教A版普通必修第一册第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。
由于学生已经学习了正反比例函数、一次函数、二次函数,以及函数性质,所以学习这部分内容与先前的函数学习类似。
先画函数图像,然后借助函数图像讨论函数的性质,最后应用的指数函数图象和性质解决问题,体现了研究函数的一般方法,让学生掌握由特殊到一般的思想方法。
培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养。
二、教学目标:1、能画出具体指数函数的图象;2、通过类比,利用具体指数函数图像,归纳出指数函数的一般性质,3、能利用指数函数的图象和性质解决一些简单的应用问题;三、核心素养:1. 运用描点法画指数函数的图象,用图象来研究指数函数的性质,培养学生直观想象和数学抽象的核心素养;2. 从一般到特殊研究问题的方法,培养学生逻辑推理的核心素养;3. 运用指数函数性质解决问题,培养学生数学运算和数学建模核心素养。
四、教学重难点教学重点:指数函数的图象和性质。
教学难点:指数函数的性质的归纳及其应用。
五、教学准备:多媒体课件六、教学过程:(一)创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗?设计意图:通过回顾研究函数的一般方法,提提供研究思路,进入学习和研究,培养学生的逻辑推理和数学建模的核心素养。
(二)、探索新知1.用描点法作函数y=2x、y=3x、1y()2x=和1y()3x=的图象(如图所示)2.观察这四个图像有何特点?并思考一下几个问题 问题1:图象分别在哪几个象限?问题2:图象的上升、下降与底数a 有联系吗? 问题3:图象有哪些特殊的点? 问题4:图象定义域和值域范围?设计意图:通过对特殊的指数函数图像观察,归纳出指数函数的性质;发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养; 3.指数函数的图像与性质图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数例1.说出下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5__ 1.73;(2)0.8—1__0.8—2;(3)1.70.5__ 0.82.5解:① ∵函数y=1.7x在R 上是增函数,x a y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O 1y =又∵ 2.5 < 3 ,∴1.72.5 < 1.73② ∵函数y=0.8x在R 上是减函数,又∵ -1 > -2 ,∴ 0.8—1< 0.8— 2③ ∵ 1.7 0.5> 1.70= 1= 0.80>0.8 2.5, ∴1.70.5> 0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小3.底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较4.当底数含参数时,要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论设计意图:通过典例问题的分析,让学生运用指数函数的性质解决问题。
湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件
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[解] (1)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到. (2)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到. (3)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到. (4)∵y=2-x与y=2x的图象关于y轴对称,∴作y=2x的图象关于y轴的 对称图形便可得到y=2-x的图象. (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,故先作出当x≥0时,y =2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y=2|x|的图象.
3.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,
则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a<b<1<c<d √B.b<a<1<d<c
题号
1
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
2
B [作直线x=1,与四个图象分别交于A,
3
4
B , C , D 四 点 , 则 A(1 , a) , B(1 , b) ,
2.能画出具体指数函数的图象,并 值域的求法,培养逻辑推理
能根据指数函数的图象说明指数函数 素养.
的性质.(重点)
必备知识·情境导学探新知
知识点1 指数函数的概念 如果让底数为常数而取指数为自变量x,则得到一类新的函数 __y_=__a_x__(x∈R),叫作指数函数,其中a>0,且a≠1. 思考1.为什么指数函数的底数a>0,且a≠1. [提示] ①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任何实数; ③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a>0,且 a≠1.
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点. (2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调 性决定函数图象的走势.
人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时4 指数函数的图象和性质(1)【课件】
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学习目标
课程目标
学科核心素养
能借助计算器或计算机画出指数 通过具体实例,体会数学中从特
函数的图象,掌握指数函数的图 殊到一般、数形结合等重要思想
象特征
方法,培养数学抽象素养
能根据指数函数的图象探究指数 在借助指数函数的图象探究指数
函数的定义域、值域和单调性等 函数简单性质的过程中,培养数学
简单性质
4.2 指数函数
课时4 指数函数的图象和性质(1)
教学目标
1. 通过具体实例,作出指数函数的图象,由特殊到一般, 掌握指数函数的图象特征. 2. 结合指数函数的定义和图象,探索指数函数的简单性 质,体会数形结合思想的应用. 3. 能正确作出指数函数图象并应用指数函数图象和性 质解决与指数函数有关的问题.
【变式训练1】已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的 图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( A )
变式训练1图
【例2】求下列函数的定义域和值域:
思路点拨:求与指数函数有关的函数的定义域时,只需使函 数式有意义即可,求值域时可以从相应函数的定义域入手或 依据单调性求解.
1 2
x的图象,函数y=10x与y=
1 10
x的图象,
如图2,你有什么发现?你能推广到更一般的情形吗?
【问题6】你能总结出指数函数的性质吗?
典例精析
【例1】函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列 结论中正确的是( ) A. a>1,b<0 B. a>1,b>0 C. 0<a<1,b>0 D. 0<a<1,b<0
初探新知
【活动1】作出指数函数的图象并探索其变化规律
【课件】高中数学新教材人教A版必修第一册课件:第4章 4.2 第1课时 指数函数的概念、图象和性质
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D [由指数函数的定义可知 D 正确.]
3.函数 y=3-x 的图象是( )
A
B
C
D
B [∵y=3-x=13x,∴B 选项正确.]
4.若指数函数 f(x)的图象过点(3,8),则 f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=2x
C.f(x)=12x
1
D.f(x)=x3
B [设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则由 f(3)=8 得 a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x,故选 B.]
[解] (1)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得 到.
(2)y=2x-1 的图象是由 y=2x 的图象向右平移 1 个单位得到. (3)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向上平移 1 个单位得到. (4)∵y=2-x 与 y=2x 的图象关于 y 轴对称,∴作 y=2x 的图象关 于 y 轴的对称图形便可得到 y=2-x 的图象. (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于 y 轴对称,故先作出当 x≥0 时,y=2x 的图象,再作关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=2|x|的图 象.]
指数函数图象问题的处理技巧 1抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点. 2利用图象变换,如函数图象的平移变换左右平移、上下平移. 3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调 性决定函数图象的走势.
[跟进训练] 2.已知 f(x)=2x,指出下列函数的图象是由 y=f(x)的图象通过怎 样的变化得到: (1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1; (4)y=2-x;(5)y=2|x|.
……
……
由上面的对应关系,我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y=2x(x∈N*),对折后的面积 S=12x (x∈N*).
第四章 4.2 4.2.1 4.2.2 第一课时 指数函数及其图象和性质2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)

20
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只 要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
25
课前预习
课堂互动
核心素养
过滤 2 次后的杂质含量为1200×23×1-13=1200×232;
过滤 3 次后的杂质含量为1200×232×1-13=1200×233; … 过滤 n 次后的杂质含量为1200×23n(n∈N*). 故 y 与 n 的函数关系式为 y=510×23n(n∈N*).
象,发展直观想象素养. 3.初步学会运用指数函数来解决问题.
3.通过指数函数的实际应用,发展数学建模
素养.
1
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
教材知识探究
将一张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系?对折后的面积 S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系?
2
课前预习
课堂互动
核心素养
19
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
(3)解 y=13x+1+2=3-(x+1)+2. 作函数 y=3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y=3-x 的图象,再向左平移 1 个单 位长度就得到函数 y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y =3-(x+1)+2=13x+1+2 的图象,如图所示.
核心素养
@《创新设计》
规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模型转化 为数学问题. (2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则对于 经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示,这是非常有用的函数模型.
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像和性质(第一课时)课件
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)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D. 0<a<1,b<0
解析:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f(x)为减函数,从而有 0
<a<1;从曲线位置看,是由函数 y=ax(0<a<1)的图象向左平移
|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即 b<0.
答案:D
课堂小结
本节课你有哪些收获?
3.数学运算:求函数的定义域与值域;
4.数据分析:利用指数函数的性质比较两个函数值
的大小:
5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的
数形结合思想总结指数函数性质.
复习回顾
1.指数函数的概念:
一般地,函数
(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 是自变量,
函数的定义域是__.
2. 我们可以类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步
y=1+3=4,即函数 y=ax -3+3 的图象过定点(3,4).
答案:(3,4)
练习:
已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是
答案:(-1,4)
.
题点二:指数型函数图象中数据判断
例 2.函数 f(x)=ax -b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,
则下列结论正确的是(
“降”.当 a>1 时,指数函数的图象是“上升”的;当 0<a<1 时,
x
1
y
=
4
指数函数的图象是“下降”的.
y
y= x
y=
【1】指数函数在y轴右侧的图像,底数越大
1
4
3x
y = 3x
8
7
图像越高.(底大图高)
【2】指数函数图像下端与
【新教材】人教A版高中数学必修第一册4.2.2指数函数的图象与性质课件
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【解】(1)函数
是增函数,且2.5<3,则1.72.5<1.73
(2)函数
是减函数,且
,则
(3) 1.70.3 1.70 1;
又 0.93.1 0.90 1;
0.93.1 1.70.3
变式:若 a 0.60.6 , b 0.61.5, c 1.50.6 ,则a, b, c的大小关系 ?
解: y 0.6x 是减函数;又0.6 1.5 0.6 0.6 0.61.5
y x0.6是增函数,又 0.6 1.50.60.6 1.50.6
0.61.5 0.60.6 1.50.6即b a c
例4:如图,某城市人口呈指数增长 (1)根据图象,估计城市人口每翻一番 所需的时间(倍增期) (2)该城市人口从80万人开始,经过20 年会增长到多少万人
-1.5 0.35
-1
0.5
-0.5 0.71
0
1
0.5 1.41
1
2
1.5 2.83
2
4
函数y 2x图象上
任意一点P(x, y)
关于y轴的对称点
P(1 x, y)都在函数
y
1
x
的图象上
2
因为y ( 1 )x ax ,所以底数互为倒数的两 个指数函数 y a x与y ( 1 )x的图象
R (0,+∞) (0,1)
1
o
x
(4)单调性:增函数
质 (5)奇偶性:非奇非偶
(6)当x>0时,y>1.
当x<0时,0<y<1.
(4)单调性: 减函数 (5)奇偶性:非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时,y>1.
高中数学必修一课件:第四章指数函数的图象和性质(第1课时)
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(3)∵0.6-2>0.60=1,43-23<430=1,∴0.6-2>43-23. (4)∵130.3=3-0.3,又∵-0.3<-0.2,∴3-0.3<3-0.2,∴130.3<3-0.2. (5)因为0<0.2<0.3<1, 所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞) 上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方, 所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数, 可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
(2)已知实数a,b满足等式2a=5b,给出下列五个关系式:①0<b<a;
②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中,可能成立的关系式有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 在同一个坐标系中画出函数y=2x与y=5x的图象如图所示,结合 图象可知:
若2a=5b>1,如图1,则0<b<a,①可能成立; 若2a=5b=1,则0=b=a,⑤可能成立; 若2a=5b<1,如图2,则a<b<0,②可能成立. 综上,可能成立的关系式有3个.
4.2.2 指数函数的图象和性质(第1课时) 指数函数的图象和性质
要点 指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域 值域
过定点 单调性 函数值 的变化
对称性
__R____
__(_0_,__+__∞_)___
过定点__(0_,__1_)__,即x=_0___时,y=__1__
新教材人教版高中数学必修第一册 4-2-2 指数函数的图象和性质 教学课件
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[提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关 系解集的交集.
(2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类 讨论.
第十二页,共三十九页。
[ 变式训练] 求下列函数的定义域、值域: (1)y=1+3x3x;(2)y=2 2x-x2 ;(3)y=4x-2x+1. 解:(1)函数的定义域为 R.∵y=1+3x3x=1+1+3x3-x 1=1-1+1 3x, 又∵3x >0,∴1+3x>1,∴0<1+1 3x <1,∴-1<-1+1 3x <0, ∴0<1-1+1 3x<1,∴函数的值域为(0,1).
1 ∵x≥0,∴ 2 x≤1.
1
1
1
又∵ 2 x>0,∴0< 2 x≤1.∴0≤1- 2 x<1,
∴0≤y<1,∴此函数的值域为[0,1).
第十页,共三十九页。
[方法技巧] 求指数型函数的定义域和值域的一般方法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是 y=ax 型 还是 y=af(x)型,前者的定义域是 R ,后者的定义域与 f(x)的定义域一致,
第十三页,共三十九页。
(2)函数的定义域为 R.∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴2 2x-x2 ≤2,即 y≤2.又 2 2x-x2 >0,∴函数的值域为(0,2].
(3)函数的定义域为 R.
y=(2x)2-2x+1=
2x-1 2
2+3,
4
∵2x>0,∴当 2x=1,即 x=-1 时,y 取最小值3,
第十五页,共三十九页。
2.指数函数图象的变换 (1)平移规律:设 b>0, ①y=ax 的图象上――移―b个―单―→位y=ax+b 的图象; ②y=ax 的图象下――移―b个―单―→位y=ax-b 的图象; ③y=ax 的图象左――移―b个―单―→位y=ax+b 的图象; ④y=ax 的图象右――移―b个―单―→位y=ax-b 的图象.
指数函数的图象和性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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探索点二 解简单指数不等式
(2,+∞)
【例 2】 (1)不等式 3x-2>1 的解集为
.
解析:因为原不等式可化为3x-2>30,即x-2>0, 解得x>2,则原不等式的解集为(2,+∞).
(2)已知
解:①当a>1时,由原不等式可得x2-2x>x +4, 即x2-3x-4>0,所以(x-4)(x+1)>0, 所以x>4或x<-1. ②当0<a<1时,由原不等式可得x2-2x<x +4, 即(x-4)(x+1)<0,所以-1<x<4. 综上所述,当a>1时,x的取值范围为{x|x >4,或x <-1}; 当0<a<1时,x的取值范围为{x|-1<x<4} .
A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0
解析:y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象可看成是由 y=ax的图象向 上或向 下平移 得到的. 因其图 象不经 过第一 象限, 所以a∈( 0,1).又 因为y= ax+b-1的图象 经过第 二、三 、四象 限,所以 1+b-1 <0,即b< 0.故选 C.
[知识梳理] 函数 y=ax 与 y=( )x (a>0,且 a≠1)的图象的对称性
y轴
函数 y=ax 与 y=( )x (a>0,且 a≠1)的图象关于 对称.
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4.2.2指数函数的图象和性质(一)学习目标1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域.知识点指数函数的图象和性质指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表:预习小测自我检验1.函数y=(3-1)x在R上是________函数.(填“增”“减”) 答案减2.函数y=2-x的图象是________.(填序号)答案 ②3.函数f (x )=⎝⎛⎭⎫131-x的定义域为________. 答案 R4.函数f (x )=2x +3的值域为________. 答案 (3,+∞)一、指数函数的图象及应用例1 (1)函数y =a x -1a(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )答案 D(2)函数f (x )=1+a x -2(a >0,且a ≠1)恒过定点________. 答案 (2,2)(3)已知函数y =3x 的图象,怎样变换得到y =⎝⎛⎭⎫13x +1+2的图象?并画出相应图象. 解 y =⎝⎛⎭⎫13x +1+2=3-(x +1)+2. 作函数y =3x 关于y 轴的对称图象得函数y =3-x 的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y =3-(x +1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y =3-(x +1)+2=⎝⎛⎭⎫13x +1+2的图象,如图所示.反思感悟 处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.跟踪训练1(1)已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b的图象必定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析函数恒过点(0,1+b),因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限.(2)画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.①y=2x+1;②y=-2x.解如图.①y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.②y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.二、指数型函数的定义域和值域例2求下列函数的定义域和值域:(1)142;xy-=(2)y =⎝⎛⎭⎫23-|x |; (3)y =1-⎝⎛⎭⎫12x.解 (1)x 应满足x -4≠0,∴x ≠4, ∴定义域为{x |x ≠4,x ∈R }. ∵1x -4≠0,∴142x -≠1, ∴y =142x -的值域为{y |y >0,且y ≠1}.(2)定义域为R .∵|x |≥0,∴y =⎝⎛⎭⎫23-|x |=⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320=1, ∴此函数的值域为[1,+∞). (3)由题意知1-⎝⎛⎭⎫12x ≥0, ∴⎝⎛⎭⎫12x≤1=⎝⎛⎭⎫120, ∴x ≥0,∴定义域为{x |x ≥0,x ∈R }. ∵x ≥0,∴⎝⎛⎭⎫12x≤1. 又∵⎝⎛⎭⎫12x>0,∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1. ∴0≤1-⎝⎛⎭⎫12x<1,∴0≤y <1,∴此函数的值域为[0,1).反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y =a x 型还是y =a f (x )型,前者的定义域是R ,后者的定义域与f (x )的定义域一致,而求y =f (a x )型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下,要注意指数函数的值域为(0,+∞),切记准确运用指数函数的单调性. 跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域:①y =②2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭解 ①由5x -1≥0,得x ≥15,∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥15. 由5x -1≥0,得y ≥1,∴所求函数的值域为[1,+∞). ②定义域为R .∵x 2-2x -3=(x -1)2-4≥-4, ∴22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭≤⎝⎛⎭⎫12-4=16.又∵22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭>0,∴函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,16].(2)求函数y =4x -2x +1的定义域、值域. 解 函数的定义域为R , y =(2x )2-2x +1=⎝⎛⎭⎫2x -122+34, ∵2x >0,∴当2x =12,即x =-1时,y 取最小值34,同时y 可以取一切大于34的实数,∴值域为⎣⎡⎭⎫34,+∞.1.函数f (x )=πx 与g (x )=⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A .原点对称 B .x 轴对称 C .y 轴对称 D .直线y =-x 对称答案 C解析 设点(x ,y )为函数f (x )=πx 的图象上任意一点,则点(-x ,y )为g (x )=π-x =⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点.因为点(x ,y )与点(-x ,y )关于y 轴对称,所以函数f (x )=πx 与g (x )=⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称,选C. 2.函数f (x )=a x-b的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A .a >1,b <0B .a >1,b >0C .0<a <1,b >0D .0<a <1,b <0 答案 D解析 从曲线的变化趋势,可以得到函数f (x )为减函数,从而有0<a <1;从曲线位置看,是由函数y =a x (0<a <1)的图象向左平移|-b |个单位长度得到的,所以-b >0,即b <0. 3.函数y =a x -3+3(a >0,且a ≠1)的图象过定点______. 答案 (3,4)解析 因为指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y =a x -3+3中,令x -3=0,得x =3,此时y =1+3=4,即函数y =a x -3+3的图象过定点(3,4). 4.函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为________. 考点 指数函数的定义域 题点 指数型复合函数的定义域 答案 (-3,0]解析 由题意,自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,解得-3<x ≤0.5.已知函数f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x |,则f (x )的值域为________. 答案 (0,1]解析 因为f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x |=⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x ,x ≥0,⎝⎛⎭⎫12-x ,x <0,所以其图象由y =⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)和y =2x(x <0)的图象合并而成,如图.1.知识清单:(1)指数函数的图象.(2)指数函数的性质:定义域、值域、单调性及过定点.2.方法归纳:数形结合法,换元法.3.常见误区:在求值域时易忽视指数函数隐含的条件a x>0.1.函数y=2x-1的定义域是()A.(-∞,0) B.(-∞,0]C.[0,+∞) D.(0,+∞)答案 C解析由2x-1≥0,得2x≥20,∴x≥0.2.已知函数f(x)=4+a x+1的图象经过定点P,则点P的坐标是() A.(-1,5) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,0)答案 A解析当x+1=0,即x=-1时,a x+1=a0=1,为常数,此时f(x)=4+1=5.即点P的坐标为(-1,5).3.函数y=a|x|(a>1)的图象是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案 B解析函数y=a|x|是偶函数,当x>0时,y=a x.由已知a>1,故选B. 4.函数y=16-4x的值域是()A.[0,+∞) B.[0,4]C.[0,4) D.(0,4)答案 C解析要使函数式有意义,则16-4x≥0.又因为4x>0,∴0≤16-4x<16,即函数y=16-4x的值域为[0,4).5.函数f(x)=a x与g(x)=-x+a的图象大致是()答案 A6.已知f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的图象如图,则f (3)=________.答案 33-3解析 由题意知,f (x )的图象过点(0,-2)和(2,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0+b =-2,a 2+b =0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a =3(a =-3舍),b =-3.所以f (x )=(3)x -3,所以f (3)=(3)3-3=33-3.7.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <0,-2-x ,x >0,则函数f (x )的值域是________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由x <0,得0<2x <1;由x >0,∴-x <0,0<2-x <1,∴-1<-2-x <0,∴函数f (x )的值域为(-1,0)∪(0,1).8.已知f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,则a =________. 答案 2解析 ∵f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,∴a +a 2=6,即a 2+a -6=0,∴a =2或a =-3(舍).9.求函数f (x )=113⎛ ⎪⎝⎭的定义域、值域.解 要使函数有意义,则x 应满足x 2-2x ≥0,即x ≥2或x ≤0, 所以所求函数的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞),令t =x 2-2x -1,所以t ≥-1,又y =⎝⎛⎭⎫13t 为减函数,所以0<⎝⎛⎭⎫13t ≤⎝⎛⎭⎫13-1,即0<⎝⎛⎭⎫13t ≤3,所以f (x )的值域为(0,3].10.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2,12,其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值;(2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2,12,所以a 2-1=12,则a =12.(2)由(1)知函数为f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -1(x ≥0),由x ≥0,得x -1≥-1.于是0<⎝⎛⎭⎫12x -1≤⎝⎛⎭⎫12-1=2,所以函数的值域为(0,2].11.函数y =12x x --1的定义域、值域分别是() A .R ,(0,+∞)B .{x |x ≠0},{y |y >-1}C .{x |x ≠0},{y |y >-1,且y ≠1}D .{x |x ≠0},{y |y >-1,且y ≠0}答案 C解析 要使y =12x x --1有意义,只需x -1x 有意义,即x ≠0.若令u =x -1x =1-1x ,则可知u≠1,∴y≠21-1=1.又∵y=12xx--1>0-1=-1,∴函数y=12xx--1的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y>-1,且y≠1}.12.若函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有() A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0答案 C解析函数y=a x+b-1(a>0,且a≠1)的图象是由函数y=a x的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y =a x(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度,即b-1<-1,所以b<0.13.函数y=4x+2x+1+1的值域是________.答案(1,+∞)解析令2x=t(t>0),则函数y=4x+2x+1+1可化为y=t2+2t+1=(t+1)2,该函数在t∈(0,+∞)上递增,所以y>1,即原函数的值域为(1,+∞).14.已知方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是________.答案[1,+∞)∪{0}解析作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y =a 与y =|2x -1|的图象的交点只有一个,∴a ≥1或a =0.15.已知1>n >m >0,则指数函数①y =m x ,②y =n x 的图象为( )答案 C解析 由于0<m <n <1,所以y =m x 与y =n x 都是减函数,故排除A ,B ,作直线x =1与两个曲线相交,交点在下面的是函数y =m x 的图象,故选C.16.已知函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13|x |-1.(1)作出f (x )的简图;(2)求f (x )的单调区间;(3)若关于x 的方程f (x )=3m 有两个解,求m 的取值范围.解 (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x -1,x ≥0,3x -1,x <0,如图所示,(2)由图知,f (x )的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).(3)作出直线y =3m ,当-1<3m <0,即-13<m <0时, 函数y =f (x )与y =3m 有两个交点,即关于x 的方程f (x )=3m 有两个解时,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-13,0.。