新教材高中数学必修第一册第4章 4.2.2指数函数的图象和性质(一)

4．2.2指数函数的图象和性质(一)

学习目标

1.掌握指数函数的图象和性质.

2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．

知识点指数函数的图象和性质

指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

预习小测自我检验

1．函数y＝(3－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”) 答案减

2．函数y＝2－x的图象是________．(填序号)

答案 ②

3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131－x

的定义域为________． 答案 R

4．函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． 答案 (3，＋∞)

一、指数函数的图象及应用

例1 (1)函数y ＝a x －1

a

(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )

答案 D

(2)函数f (x )＝1＋a x －

2(a >0，且a ≠1)恒过定点________． 答案 (2,2)

(3)已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1

＋2的图象？并画出相应图象． 解 y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1

＋2＝3

－(x ＋1)＋2. 作函数y ＝3x 关于y 轴的对称图象得函数y ＝3－x 的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)＋2＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1

＋2的图象，如图所示．

反思感悟 处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

跟踪训练1(1)已知0

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案 A

解析函数恒过点(0,1＋b)，

因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．

故图象不经过第一象限．

(2)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

①y＝2x＋1；②y＝－2x.

解如图．

①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．

②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

二、指数型函数的定义域和值域

例2求下列函数的定义域和值域：

(1)

1

4

2;

x

y-=

(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |

； (3)y ＝

1－⎝⎛⎭⎫12x

.

解 (1)x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1

x －4≠0，∴1

42x -≠1， ∴y ＝14

2

x -的值域为{y |y >0，且y ≠1}．

(2)定义域为R .

∵|x |≥0，∴y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320

＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0， ∴⎝⎛⎭⎫12x

≤1＝⎝⎛⎭

⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x

≤1. 又∵⎝⎛⎭⎫12x

>0，∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1. ∴0≤1－⎝⎛⎭⎫12x

<1，

∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．

反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法

(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f (a x )型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域：

①y =

②223

1.2x x y --⎛⎫= ⎪

⎝⎭

解 ①由5x －1≥0，得x ≥1

5

，

∴所求函数的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪

x ≥15

. 由5x －1≥0，得y ≥1，

∴所求函数的值域为[1，＋∞)． ②定义域为R .

∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴223

12x x --⎛⎫

⎪

⎝⎭

≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.

又∵223

12x x --⎛⎫

⎪

⎝⎭

>0，

∴函数223

12x x y --⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

的值域为(0,16]．

(2)求函数y ＝4x －2x ＋1的定义域、值域． 解 函数的定义域为R ， y ＝(2x )2－2x ＋1＝⎝

⎛⎭⎫2x －122＋34， ∵2x >0，∴当2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值3

4，

同时y 可以取一切大于3

4的实数，

∴值域为⎣⎡⎭

⎫3

4，＋∞.