高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题

【题型综述】

三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.

【典例指引】

类型一 向量法证三点共线

例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C :2

2

(5)(2)8m x m y -+-=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；

(Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.

MB方程为：

6

2

M

M

kx

y x

x

+

=-，则

3

1

6

M

M

x

G

kx

⎛⎫

⎪

+

⎝⎭

，，

∴

3

1

6

M

M

x

AG

x k

⎛⎫

=-

⎪

+

⎝⎭

，，()2

N N

AN x x k

=+

，，

欲证A G N

，，三点共线，只需证AG，AN共线

即

3

(2)

6

M

N N

M

x

x k x

x k

+=-

+

成立，化简得：(3)6()

M N M N

k k x x x x

+=-+

将①②代入易知等式成立，则A G N

，，三点共线得证。

类型二斜率法证三点共线

例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．

（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；

（2）求证：点B、O、C三点共线．

∵k OB==，y1y2=﹣4，

∴k OB=k OC，∴点B、O、C三点共线．

类型三直线方程法证三点共线

例3（2017•贵阳二模）已知椭圆C：=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

==，

即直线QN过点（1，0），

又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），

∴三点N，F，Q在同一条直线上．

类型四多种方法证三点共线

例4.（2017•保定一模）设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G．

（1）求椭圆的离心率；

（2）求证：A，G，N三点共线．

【扩展链接】

1.给出()

BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

2. 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数

,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线；

3.

【同步训练】

1．已知椭圆E ：

+

=1（a ＞

）的离心率e=

，右焦点F （c ，0），过点A （

，0）

的直线交椭圆E 于P ，Q 两点． （1）求椭圆E 的方程；

（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：M ，F ，Q 三点共线； （3）当△FPQ 面积最大时，求直线PQ 的方程．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a 与c 的值，由椭圆的几何性质可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程计算可得答案；

（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；

（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P （x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．

（3）设直线PQ的方程为x=my+3．

由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，

2.已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．

（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；

（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．

【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．

（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k OE，k OD．只要证明k OE=k OD．即可得出E，O，D三点共线．

【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．

∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．