翻折问题

翻折问题

立体几何在高中数学中是培养学生的空间想象能力的重要载体，其中翻折问题学生学习是一个难点，同时也是近年来高考的热点。翻折问题实质是图形由平面到立体变化中一些线、面之间发生了变化，因此本节内容从正三角形、正方形、矩形、梯形、五边形等图形进行翻折，以便学生能更清楚熟悉模型，同时还列举了翻折模型中的平行、垂直、线线角、线面角、二面角、长度等问题。

一．翻折问题的审题建议

1.过顶点作折线的垂线，如ABE沿着BE折起，作G BE F

⊥并交于点，

A BE

在翻折过程中，点A的轨迹是以AF为直径的圆，ABE旋转一周所得的几何体是两个同底圆锥，母线分别是AB与AE。

2.弄清变与不变的量，如ABE BCDE

与四边形中的角、线段长度是不变的，但在翻折过程中，AFG ABC AED AC AD

∠∠∠

、、、、等量是变化的。

二．平行问题

例1．（2017春•让胡路区校级期中）在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD 沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）．

求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．

【分析】连接E、F，连接E、G，可得EF∥平面PAB．EG∥平面PAB．即可证平面PAB∥平面EFG

【解答】证明：连接E、F，连接E、G，在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，

PD的中点，

∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．

同理EG∥平面PAB．又EF∩EG=E，

∴平面PAB∥平面EFG．又AP⊂平面PAB，

∴AP∥平面EFG．

【点评】本题考查了空间线面平行的判定，属于中档题．

【变式训练1】（2017•闵行区校级模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，EF分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．

（1）证明：AB∥平面DEF；

（2）在线段BC上是否存在点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此证明AB∥平面DEF；

（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法找出在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．【解答】解：（1）证明：如图（2），在△ABC中，

∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，

又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，

∴AB∥平面DEF；

（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如图（3）所示；

则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），

E（0，，1），F（1，，0），

=（2，0，﹣2），=（﹣2，2，0），

=（0，，1），=（1，，0）；

设=λ，则=+=（2﹣2λ，2λ，﹣2），

由AP⊥DE得•=0，

∴×2λ+1×（﹣2）=0，解得λ=，

∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，且=．

【点评】本题考查了直线与平面平行的证明与满足条件的点是否存在的判断问题，阶梯式要注意向量法的合理运用．

二．垂直问题

例2.（2017春•三元区校级月考）如图，在四形边ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是（）

A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD

C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC

【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC ⊥平面ADC．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD

故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB

故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．

故选D．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．

例3．（2016•杨浦区校级模拟）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）

A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直

B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂

直

C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂

直

D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直

【分析】假设各选项成立，根据线面位置关系推导结论，若得出矛盾式子，则假设错误，得出正确选项．

【解答】解：对于A，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，

∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，则E在BC上，

∴当A在平面BCD上的射影在BC上时，AB⊥CD．故A正确；

对于B，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，

作AF⊥BD，则BD⊥平面AFC，∴BD⊥EC，显然这是不可能的，故B错误；对于C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，

则BC⊥平面ACD，BC⊥AC，

∴AB＞BC，即1＞2，显然这是不可能的，故C错误．

故选：A．

【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题．