高数大一下学期试卷

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高数大一下期末试卷

一、选择题（每小题4分，共16分）1、设22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，则σ=⎰⎰（）(A)43π (B) 23π (C) 13π (D) 16π 2、若级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都发散，则下列级数中必发散的是（）(A) 1()nn n uv ∞=+∑ (B)221()nnn uv ∞=+∑ (C)1n nn u v∞=∑ (D)1()nn n uv ∞=+∑3、若1(1)nnn a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则此级数在3x =处（）(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定4、计算d I z V Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+及平面1z =所围成的立体，则正确的解法为（）(A) 2110d d d I r r z z πθ=⎰⎰⎰ (B) 2211d d d rI r r z z πθ=⎰⎰⎰(C) 2110d d d rI r r z z πθ=⎰⎰⎰ (D) 120d d d zI z zr r πθ=⎰⎰⎰二、填空题（每小题4分，共24分）1、设Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域，则=V ⎰⎰⎰。

2、设曲线Γ：22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则2()d x y s Γ+=⎰ 。

3、设L 为上半圆周y (0)a >及x 轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向，则2d Lyx =⎰ 。

4、设∑是平面1234x y z++=在第一卦限的部分，则4(2)d 3x y z S ∑++=⎰⎰ 。

5、函数()arctan f x x =在0x =处的幂级数展开式为，其收敛域为。

6、设1()sin n n S x b nx ∞==∑，x -∞<<+∞，其中02sin d nbx nx x ππ=⎰，则在[,]ππ-上()S x = 。

a班大一下学期高数试题及答案

a班大一下学期高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限的概念是微积分的基础，以下哪个选项正确描述了极限的定义？A. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限存在。

B. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值小于任意正数时，函数在该点的极限不存在。

C. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限存在。

D. 当函数值与给定点的函数值之差的绝对值大于任意正数时，函数在该点的极限不存在。

答案：A2. 以下哪个选项正确表示了函数的连续性？A. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值。

B. 函数在某点的左极限与右极限都存在且相等，且等于该点的函数值。

C. 函数在某点的左极限与右极限都不存在。

D. 函数在某点的左极限与右极限存在但不相等。

答案：B3. 以下哪个选项是正确的导数定义？A. 函数在某点的导数是函数值的变化率。

B. 函数在某点的导数是函数值的变化量。

C. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的比值。

D. 函数在某点的导数是函数值与自变量值的乘积。

答案：A4. 以下哪个选项正确描述了不定积分的概念？A. 不定积分是求原函数的过程。

B. 不定积分是求导数的过程。

C. 不定积分是求函数的极值的过程。

D. 不定积分是求函数的定积分的过程。

答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2，其在x=2处的导数为______。

答案：42. 若函数f(x) = sin(x)，则其不定积分为______。

答案：-cos(x) + C3. 设函数f(x) = e^x，其在x=0处的极限为______。

答案：14. 若函数f(x) = ln(x)，则其在x=1处的导数为______。

答案：1三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的导数。

答案：122. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的不定积分。

大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。

A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。

A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。

A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。

12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。

13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。

14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。

15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。

16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。

17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。

大一高数下考试题及答案

大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。

这个定义描述的是（）。

A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。

答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。

答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。

答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。

答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试、单项选择题设 f (x) f (0)1.(A ) 2.设(X )(本大题有4小题，每小题4分，共16分) cos X ( X2(B ) —,(x) 3 33 X ,则当 x 1 时1 Xsin x ),则在x 0处有( f (0)1 (C ) f (0) 0(D )).f(X )不可导.(A ) 穷小；(C )(X )与(X )是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(X )是比(X )高阶的无穷小;(D) (B ) (X )与(x)是等价无(x)是比(x)高阶的无穷小.3.若则((A ) (B )(C ) (D ) F(x))函数函数函数函数 X(2tF (x)必在 F (x)必在F (x)在 x F(x)在 x 4.5. 6. 7. 8. 9.X)f⑴dt ，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f (X ),X 0处取得极大值；x 0处取得极小值； 0处没有极值，但点(°, F(0))为曲线y 0处没有极值，点(0,F (0))设f (x)是连续函数，且2 2— —2 (A ) 2 (B ) 2(C ) X 1填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共2lim (1 3x)k x 0f(x) x 2也不是曲线 1f (t )dt(D)16分)已知cosx是f (X)的一个原函数 X f (x) cosxdxXli m n— (cos 2—n n 2cos2 .x arcs in x 1 1 x 22解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)1确定，求1dx设函数y y(x)由方程e y1 X 77 10.x(1设 f (X)11.12.设函数f— dx. )g(x)连续，sin (xy)1f(xt )dt，且 F (X )的拐点； y F(x )的拐点。

y (x)以及 y (°)13f (x)dx •lim f(X )A ()x 0X, A 为常数.求g (x)13.求微分方程xy2y xln x 满足y(1)y(x)x 0, y7 10.解：U x e x y ycos(xy) e x y xcos(xy) 0 , y (0)1 7x6dx du并讨论g(x)在x 0处的连续性四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X o，y o)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程•五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A ；(2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(X)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，q 1f(x)d x q f(x)dx0 0f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在°,上连续，且0 , 0 证明：在°,内至少存在两个不同的点 1 '2,使f( 1)f( 2)0•(提示：设xF (x) f(x)dx0 )解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX2 6 -( ) c -5. e.6. 2 x .7. 2 .8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40 分)9.解：方程两边求导x ye (1 y) cos(xy)( xy y) 0原式(1u(1吐duU)1(-u1-(ln |u| 21 n |u 1|) c1 72 7In | x | In |1 x | C 7 711.解:3f(x)dx0 3X d(12.解：由g(x )g(x )g(0) xxexe xdx2x~x 23 0 _1 (x 1)2dx2人cos d (令 x2dx1 sin )-2e 3 4f(0) 0，知 g （o ） o o1f (xt)dtxf (u)duxt u(x 0)xf (u)du~2xxf(u)duI & 0xf(x) (x 0)li m x If(x) x 2xf (x)x m 0g(x)limx 0lim x 02xxf(u)du0 ~2x13.dy 解: dx2 -y x 2 dx xI n四、 14.g （x ）在x 0处连续。

大一下学期高等数学考试题

一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、 6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

大一下高数练习题

大一下高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是：A. 6x - 2B. 6x^2 - 2xC. 6x^2 - 2D. 3x^2 - 2x + 12. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x在点(1,2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数f(x) = ln(x)的原函数是：A. x^2B. x^3C. e^xD. xln(x) - x4. 若f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值：A. -2B. 0C. 2D. 45. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的二阶导数是：A. -sin(x) - cos(x)B. -sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. sin(x) + cos(x)二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 8，则f'(x) =____________。

7. 曲线y = 2x^2 + 3x - 1在x = -1处的切线斜率是___________。

8. 若f(x) = √x，则f'(x) = ____________。

9. 曲线y = x^3 - 4x + 5在x = 1处的切线方程是___________。

10. 函数f(x) = e^x的原函数F(x) = ____________。

三、计算题（每题10分，共20分）11. 求函数f(x) = x^3 - 4x + 2的一阶导数和二阶导数，并求在x = 2时的导数值。

12. 求曲线y = x^2 - 3x + 4在x = 1处的切线方程，并求该点的曲率。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)上连续且可导，且f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)上是严格递增的。

大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。

答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。

答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。

答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。

答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。

答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。

答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。

四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）。

A. 1B. 3C. -1D. 2答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 若函数f(x)在点x=a处可导，则（）。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A4. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，n∈N*，则a_3的值为（）。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。

答案：1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\]，则A 的行列式det(A)为______。

答案：-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，f'(x)=3x^2-12x+11，则f'(1)的值为______。

答案：24. 函数y=ln(x)的反函数为______。

答案：e^y三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。

答案：首先计算f'(x)=3x^2-6x+4，代入x=2得到f'(2)=6，然后计算f(2)=0，所以切线方程为y-0=6(x-2)，即y=6x-12。

2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。

答案：该级数为π^2/6。

3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=0和x=2，得到f''(0)<0，f''(2)>0，所以x=0是极大值点，x=2是极小值点。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B，求交点的横坐标。

A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案：C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。

答案：-16. 求不定积分∫(1/x) dx。

答案：ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。

答案：e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

当x<1或x>11/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<11/3时，f'(x)<0，函数单调递减。

因此，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

解：首先求导数y'=3x^2-6x，代入x=1得y'|_(x=1)=-3。

切线方程为y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3。

11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。

解：将二重积分转换为极坐标系下的形式，即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。

大一下学期高数试题及答案

高等数学（下）试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为（2）已知函数arctanyz x =，则z x ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交（2）设是由方程xyz (1,0,1)-处的dz =（）A.dx dy +B.dxD.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数12nnn nx ∞=∑，则其收敛半径（）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（）A.B.()xax b xe + C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知22(,)z f xy x y =，求 zx ∂∂， z y ∂∂3、设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ ，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()xax b e + B.2()xax b xe + C.2()xax b ce ++ D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.2 B.1 C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点（A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末测验一.单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无限小,但不是等价无限小; （B ）()()x x αβ与是等价无限小;（C ）()x α是比()x β高阶的无限小; （D ）()x β是比()x α高阶的无限小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,个中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值; （B ）函数()F x 必在0x =处取得微小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;（D ）函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不曲直线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二.填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(lim .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则. 6.lim(coscos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三.解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=肯定,求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 持续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()lim x f x A x ,A 为常数.求'()g x 并评论辩论'()g x 在=0x 处的持续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=知足=-1(1)9y 的解. 四. 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴.y 轴.直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五.解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积V .六.证实题（本大题有2小题,每小题4分,共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上持续且单调递减,证实对随意率性的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上持续,且)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证实：在()π,0内至少消失两个不合的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f （提醒：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一.单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.D 2.A 3.C 4.C二.填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三.解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）9. 解：方程双方求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =,知(0)0g =.02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰,'()g x 在=0x 处持续.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=,11ln 39y x x x=- 四. 解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰,将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特点方程：022=--r r 解出特点根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始前提y y ()()001='=,得 31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五.解答题（本大题10分）15.解：（1）依据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-因为切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得扭转体体积为V 2D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六.证实题（本大题有2小题,每小题4分,共12分）16.证实：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：结构帮助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其知足在],0[π上持续,在),0(π上可导.)()(x f x F =',且0)()0(==πF F由题设,有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ,有⎰=πsin )(xdx x F ,由积分中值定理,消失),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分离运用罗尔定理,知消失),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .。

大一第二学期高等数学期末考试试卷

高等数学（工科·本）试卷（2）一、填空题（每空3分，共15分）1. 设(,)y f x y x =，则(2,1)x f = .2. 由向量(2,2,1)(4,5,3)a b ==为构成的平行四边形面积为 .3. 曲线积分_______d d 21L =-⎰x y y x ，其中L 是422=+y x 沿顺时针方向一周.4. 设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间是(1,1]-，则幂级数∑∞=-0)1(n n n x a 的收敛区间是 .5. 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解为 .二. 单项选择题（把正确的答案填在括号内，每小题3分，共15分）1. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）(A)必要而非充分条件. (B)充分而非必要条件.(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.2. 下列微分方程中，通解为：312()xy c c x e -=+的二阶常系数齐次线性方程是（）(A) 690y y y '''-+= (B) 690y y y '''++=(C) 691y y y '''++= (D) 60y y '''+=3. 二次积分⎰⎰10d ),(d xx y y x f x 改变积分次序后得到（）.（A ）⎰⎰1 0 d ),(d y y x y x f y . （B ）⎰⎰1 0 2d ),(d y y x y x f y .（C ）⎰⎰10 2d ),(d y y x y x f y . （D ） ⎰⎰1 0 d ),(d y y x y x f y 4. 级数πn n n cos 211∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（）（A ）发散. （B ）条件收敛.（C ）收敛，和为1-. （D ）为正项级数，和为1.5. 设幂级数∑∞=1n n n x a在2=x 处收敛，则它在1-=x 处（）（A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）不一定收敛.三、计算题（每小题6分，共18分）1. 求⎰⎰D y x yx d d 2，其中D 为1=xy ，x y =及2=x 所围成的区域. (sin )0 .y x x dx xdy -+=2.求微分方程的通解. ),(),( .33dz y x f y x xf y z 为可微函数，求，其中设+=四、计算题(每小题7分,共28分)1. 求曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程 2.求幂级数1n n ∞=∑（）.3. 将函数1()3f x x=-展开为1x -的幂级数并写出其收敛域. 4. 求微分方程02=+'-''y y y 的一条积分曲线，使其过点)2,0(且在该点有水平切线五、解答题（每小题8分，共24分）1. 设曲线积分222()[()]L xyf x dx x y f x dy ++-⎰与路径无关,其中()f x 有连续导数,且(0)0,f = 求：（1）()f x ;(2) 计算(1,1)22(0,0)2()[()]xyf x dx x y f x dy ++-⎰2. 求向量() () A y z x i x y k =-+- 穿过曲面∑流向指定侧的通量, 其中∑为柱面122=+y x 及平面 3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界的外侧.3．计算∑⎰⎰，其中∑是由曲线20z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面被夹在xoy 面与平面4z =之间的部分.。

大一高数下期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. f(x) = √(x - 2)B. f(x) = |x|C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 12. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. -1D. -33. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，若f(x)在x=1处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 5D. 74. 下列级数中，收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞) 1/n^2B. ∑(n=1 to ∞) nC. ∑(n=1 to ∞) (-1)^nD. ∑(n=1 to ∞) e^n5. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，则向量a与向量b的点积为：A. 11B. 13C. 15D. 17二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为k，则k=______。

2. 若数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列{an}的前n项和Sn =______。

3. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的叉积为______。

4. 若级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n n^2是收敛的，则其收敛半径R = ______。

5. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式|A| = ______。

三、解答题（每题20分，共80分）1. （20分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

2. （20分）证明：若数列{an}满足an = (1/a_{n-1}) + (1/a_{n-2})，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}是收敛的。

3. （20分）设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的夹角θ。

高数大一下学期试卷

复习题一、填空题1. 极限02sin()limx y xy x ______．2. 二元函数222(,)f x y x yx y 的极限00lim (,)x y f x y ______．3. 已知324zx x y y ，则(1,1)dz_______________________.4. 已知//a b且(2,1,2)a，18a b，则b．5. 曲线c 是抛物线2y x 介于点(0,0)O 、(1,1)A 之间的一段弧，则________________．6.曲线c 是抛物线2y x 上从点(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则22cxydx x dy ________________．7.曲线c 是212(1)y x 上从点(1,1)A 到(2,3)B 的一段弧，则()c xydx y x dy ________________．8. 交换积分100(,)yIdy f x y dx 的次序，则I _________________________.9. 已知向量(2,3,1)a，(1,1,3)b，(1,2,0)c，则()()a b b c． 10. 函数22ln(1)x y z ，则全微分dz ． 11. 函数yxy xz，则全微分dz ． 12. 曲线c 是圆周222(0)x y a a 按正向绕行一周的曲线，则c ydx xdy ．二、单项选择题1. 向量(1,1,2)a与(2,0,1)b的夹角(,)a b（）．A、0B、6C、4D、22. 使22z x y x y成立的函数是（）．A、2212x y z x y xy eB、2212x z x y xy e C、221sin()2z x y xy xy D、22132xy z x y xy e3.c 是以cos ,sin (02)x a t y a t t ，，则22()cds x y （）．A、3a B、32aC、312a D、332a 4. 设积分区域221:D x y ，22()f x y 在D 上连续，则22()Df x y dxdy （）.A、1202()rf r dr B、104()rf r drC、1204()rf r dr D、102()rf r dr5.c 是以(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B 为顶点的三角形，则()c ds x y （）．A、11C、11 6.如果lim 0n n a，则级数1n n a （）．A、一定收敛，且和为零B、一定收敛且和不为零C、一定发散D、可能收敛，也可能发散 7.等比级数11n n aq在（）时收敛．A、1qB、1qC、1qD、1q三、计算题1．已知函数y x y z x，求zx2．求极限22(,)(2,0)sin()lim 2x y xy y． 3．求函数ln y y z x 的全微分dz .4．求函数(),f x xy z 的偏导数,z zx y．5．已知,sin y yxz，求dxdz．6．已知3,()ln y x y x e e z ，求dxdz7.已知yzu x ，求du 8.已知y xz e ，求dz9.求由方程sin()x y z xyz x 所确定的隐函数(,)z f x y 的偏导数z x10.求由方程()x y z x y z e 所确定的隐函数(,)z f x y 的偏导数zx11．计算22()DI x y x dxdy，其中D 是由直线2,,2y y x y x 所围成的闭区域 12．计算Dxy ye dxdy ，其中D 是由直线1,2,2x x y 及曲线1xy 所围成的闭区域.13．计算cyds ，其中积分曲线C 是2225x y 的上半圆周.14．计算2222(1)()yy cI xedx x e y dy，其中c 是222(0)R x y R 上从点(,0)A R 到(,0)B R 的上半圆周14．判断正项级数1!n n n n 的敛散性.15.讨论正项级数1()01n n a a n的敛散性．四、应用题1．讨论正项级数1()0 1nnaa n的敛散性．2．做一个无盖长方体水箱，已知它的底面造价为每平方米18元，侧面造价为每平方米6元，设计的总造价为150元。

大一下学期高数试卷

一、填空题（共15分，每小题3分）1. 设函数xy x y y x f arcsin )1()(2-+=，，则=')11(，y f .2. 设函数)23e (y x f z xy -=，，其中)(v u f ，有连续偏导数，则=∂∂x z.3. 设有界闭区域19422≤+y x D ：，则二重积分⎰⎰=Dy x d d . 4. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则极限=∞→n n u lim .5. 幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛区间是 .二、选择题（共15分，每小题3分）1. 函数),(y x f z =在),(000y x P 点可微是),(y x f z =在点),(000y x P 处两个偏导数),(00y x f x '及),(00y x f y '存在的（）条件.（A ）充分；（B ）必要；（C ）充分且必要；（D ）即非充分又非必要. 2. 点)0,0(O 是函数22y x z +=的（）.（A ）可微点；（B ）驻点；（C ）极大值点；（D ）极小值点.3．由旋转抛物面22y x z +=及平面2=z 围成的立体体积=V （）．（A ）y x y x y x d d )222222--⎰⎰≤+（；（B ）y x y x y x d d )222222--⎰⎰≤+（；（C ）y x y x y x d d )222222-+⎰⎰≤+（；（D ）y x y x y x d d )222222-+⎰⎰≤+（． 4．若级数n n na ∑∞=-1)1(条件收敛，则级数（）．得分得分（A ）∑∞=1n na收敛；（B ）∑∞=1n na发散；（C ）)(11+∞=-∑n n na a收敛；（D ）∑∞=12n n a 与∑∞=-112n n a 都发散．5．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=++011n n n n x a 的收敛半径（）．（A ）等于R ；（B ）大于R ；（C ）小于R ；（D ）无法确定．三、计算下列各题（每小题7分，共21分）1. 设函数yx z =，计算yzx x z y x ∂∂+∂∂ln 1．2. 若函数),(y x z z =由方程yzz x ln =确定，求z d .3. 设)(u xF xy z +=，而x y u =，其中)(u F 可导，求x z ∂∂及yz ∂∂.得分四、计算下列各积分（每小题6分，共18分）1. 计算二重积分⎰⎰Dy x x d d ，其中区域D 由曲线2x y =及x y -=2围成．2. 计算二重积分y x x y Dd d arctan ⎰⎰，其中D 是由圆422=+y x ，122=+y x 及直线x y =，0=y 围成的位于第一象限部分的闭区域．3. 计算二次积分⎰⎰-++1022221d d x xyx y x ．得分五、解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 证明无穷级数∑∞=+-1)1(n nnn 条件收敛．2. 求幂级数nn n x n )1(21-∑∞=的收敛半径及收敛区间．3. 将函数x x f arctan )(=展开为x 的幂级数，并指出收敛区间．得分六、在第一卦限的平面1832=++z y x 上求一点)(c b a P ，，，使得由三个坐标面及平面c z b y a x ===、、围成的长方体体积最大. （本题7分）七、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，证明：（1）级数∑∞=12n nu 收敛；（2）级数∑∞=1n nnu 绝对收敛．（本题6分）参考答案2 ,213e f f y xy'+' ,π6, 1 ,)(∞+-∞，, A ,D ,B, C, A1.z x x yzx x z y x y y 2ln 1=+=∂∂+∂∂.7分得分得分2.)d d ()(d )(d d 2y z x y z x y zy z x y z x z x z z ++=+++=.7分3.)(1)(xyF x x x y F x x y z '+=⋅'+=∂∂.7分四、计算下列各积分（每小题6分，共18分）1.原式⎰⎰--=1222d d x x y x x 4分⎰---=1232)d 2(x x x x 5分49]43[12432-=--=-x x x .6分 2.原式⎰⎰=421d d πρρθθ3分2124/0241ρθπ⋅=5分2643π=.6分 3. 原式⎰⎰+=242021d d ππρρρθ4分20214ρπ+=5分)13(4-=π.6分五、解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 证明无穷级数∑∞=+-1)1(n nnn 条件收敛．证明：由n n n n n n211)1(≥+=+- ，有∑∞=+-1)1(n n nn 发散．2分又设nn u n +=1，则n n u nn n n u =+<+++=+111113分，且01limlim =+=∞→∞→nn u n n n 4分，由莱布尼茨审敛法，得∑∞=+-1)1(n n nn 收敛．5分综上，级数∑∞=+-1)1(n nnn 条件收敛.6分2. 求幂级数nn nx n )1(21-∑∞=的收敛半径及收敛区间．解：由22)1(2lim lim 11=⋅+⋅=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 2分，得nn n x n )1(21-∑∞=的收敛半径21=R 4分．由211<-x 5分，得2321<<x ，收敛区间为)2321(，.6分 3. 将函数x x f arctan )(=展开为x 的幂级数，并指出收敛范围．解：由211)(x x f +='1分∑∞=-=02)1(n nn x 3分，0)0(=f ，得⎰'=-=xt t f f x f x 0d )()0()(arctan ∑⎰∞=-=02d )1(n xn n t t 4分∑∞=++-=01212)1(n n n n x 5分，（11≤≤-x ）（不含端点，不扣分）.6分六、在第一卦限的平面1832=++z y x 上求一点)(c b a P ，，，使得由三个坐标面及平面c z b y a x ===、、围成的长方体体积最大. （本题7分）解：设所求点为)(z y x ，，，则长方体体积xyz V =，满足条件1832=++z y x ，2分设)1832(-+++=z y x xyz L λ（000>>>z y x ，，）3分，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+='=+='=+='，，，，183203020z y x xy L xz L yz L z y xλλλ 5分得唯一可能极值点236===z y x ，，，6分由实际意义，该长方体有最大值（最小值趋向于零），于是所求点为)236(，，P . 7分七、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，证明：（1）级数∑∞=12n n u 收敛；（2）级数∑∞=1n nn u 绝对收敛. （本题6分）证明：(1)由∑∞=1n nu绝对收敛，有正项级数∑∞=1n nu收敛，且0lim =∞→n n u ，1分又0lim lim 2==∞→∞→n n nn n u u u 2分，得级数∑∞=12n nu 收敛；3分（2）由)1(212222n u n u nun n n +≤=4分，及∑∞=12n n u 与∑∞=121n n都收敛，得∑∞=1n n n u 收敛5分，从而∑∞=1n n nu绝对收敛. 6分。

大一第二学期高数期末考试题含答案

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一第二学期高数期末考试题（含答案）

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )(　处有则在设x x x x x f .（A ）(0)2f （B ）(0)1f （C ）(0)f （D ）()f x 不可导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3x x x xxx .（A ）()()x x 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x 与是等价无穷小；（C ）()x 是比()x 高阶的无穷小；（D ）()x 是比()x 高阶的无穷小.3.若()()()02x F x tx f t dt，其中()f x 在区间上(1,1)二阶可导且()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x 处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x 处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x 的拐点；（D ）函数()F x 在0x处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()yF x 的拐点。

4.)()(,)(2)()(1x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x（C ）1x （D ）2x .二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.xxx sin2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x xxxx f d cos )(则.7.lim (coscoscos)22221nn nnnn.8.21212211arcsin －dxxxx .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数()y y x 由方程sin()1x yexy 确定，求()y x 以及(0)y .10..d )1(177x x x x求11.．　求，，设132)(120)(dx x f xx xx xex f x12.设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt，且0()lim x f x Ax，A 为常数. 求()g x并讨论()g x 在0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy yx x满足1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(xx y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线xx 0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线xy ln 的切线，该切线与曲线xy ln 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(x f 在0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]01q ，1()()qf x d xqf x dx.17.设函数)(x f 在,0上连续，且)(0xd x f ，cos )(0dx x x f .证明：在,0内至少存在两个不同的点21,，使.0)()(21f f （提示：设xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x 2)cos (21　.7.2. 8.3.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)c o s ()()x yey xy xy ycos()()cos()x y x yey xy y x e x xy 0,0xy ，(0)1y 10.解：767ux x dxdu 1(1)112()7(1)71u duduu u uu 原式1(ln ||2ln |1|)7u u c 7712ln ||ln |1|77x x C0123()1(1)xxd e x dx 00232cos(1sin )xxxeed x　令3214e12.解：由(0)0f ，知(0)0g 。