运筹学模型与软件实践(第三章)

消耗的资源（吨）
b1 b2 x nm b m 0
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元） 资源限量（吨）
min y b1 w 1 b 2 w 2 b m w m s.t.
现在提一个新的问题： 如果工厂不再打算生产汽车，而是把钢材和座椅以 比买价高的价格卖出，把工厂的生产能力以更高的工时 费来接受外协加工，那么材料和工时的定价应该是多少 才划算？
在考虑定价时，肯定要和生产汽车时 的情况进行比较，起码应当使两种情况 下的总利润相等。
设y1表示出售单位钢材的利润，y2表示外协加工 的工时利润，y3表示出售每套大轿车座椅的利润，那 么，用于生产一辆载重汽车的材料销售利润和工时利 润之和不应该低于出售一辆载重汽车所得的利润，即 2y1+2.5y2 >=3 用于生产一辆大轿车的材料销售利润、工时利润 和座椅利润之和不低于出售一辆大轿车所得的利润 W>=1600y1+2500y2+400y3
引入对偶问题
设： x1 为生产大轿车的数量(辆)
x2 为生产载重汽车的数量(辆)
全年的利润值 z 4 x1 3x2 (千元) 原材料限制： 2 x1 2 x2 1600 工时的限制： 5x1 2.5x2 2500 大轿车座椅限制： x1 400 非负约束： x1 0 ； x2 0
运筹学模型与软件实践
Models and Software Practice of the Operations Research
中国科学院研究生院
第三章

对偶规划、灵敏度分析与实验
对偶理论简介 对偶线性规划应用 单纯形方法的灵敏度分析 LINDO软件求解与灵敏度 分析 投资的收益和风险组合问 题 WinQSB软件的应用
对偶的定义
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C W ≥0
三、原始对偶关系
1、可行解的目标函数值之间的关系
设XF、WF分别是原始问题和对偶问题的可行解
z=CTXF ≥WTAXF ≥WTb=y
2、最优解的目标函数值之间的关系
设Xo、Wo分别是原始问题和对偶问题的最优解
z=CTXo=WoTAXo=WoTb=y
W，Ws
XTWS=0 WTXS=0
互补松弛关系
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS ≥0 max y=bTW s.t. ATW+WS=C W, WS ≥0
n m XS
X
m W
A
WS
-I
= b
n
AT
I
= C
XTWS=0 WTXS=0
m
n
原始问题的变量
ATW+WS=C W, WS ≥0 (3)互补松弛条件（CSC） XTWS=0 WTXS=0 Kuhn-Tucher 条 件
(2)对偶可行条件（DFC）
任何线性规划问题都有其对偶问题 对偶问题有其明显的经济含义
max f ( x) x1 2 x2 3x3 4 x4 x1 2 x2 2 x3 3x4 25 s.t. 2 x1 x2 3x3 2 x4 15 x1 , x2 , x3 , x4 0 A资源 B资源
A1 B1
B2
1 2 3 2.4
A2
1 3 2 1.8
原料月供应量(t) 150 240 300
B3
单位产品价格(万元 /t)
设计划生产产品 Ai 的数量为 xi (t/月)， 1,2 则所讨论的原问 i 题的数学模型为：
max Z 2.4 x1 1.8 x2 x1 x2 150 2 x 3 x 240 1 2 3 x1 2 x2 300 x1 0, x2 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
理论部分介绍到这里
五、对偶线性规划的应用
研究互为对偶的线性规划问题， 不仅在理论上有重要 意义 ，而且具有深刻的经济意义；也进一步反映影 子价格的意义及其在经济管理中的应用
五、对偶线性规划的应用
例 2.1 某企业利用 3 种原料 B1 ， B2 ， B3 生产 2 种产品 A1 ， A2 。3 种原料的月供应量 和生产 1 吨产品 A1 ， A2 所消耗的各种原料数量及单位产品价格如下表所示。设生产的 产品 A1 ， A2 均可以在市场销售，企业应如何安排月生产计划，使总收益最大？
w m j ( w1a 1 j w 2 a 2 j w m a mj ) c j W T a j c j
差额成本=机会成本 - 利润
5、互补松弛关系的经济解释
w i 0 x n i 0 w i x n i 0 x n i 0 w i 0 x j 0 w m j 0 x j w m j 0 w m j 0 x j 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料 价格的模型是怎样的？
max f ( x) x1 2 x2 3x3 4 x4
设A、B资源的出售价格分别为 y1 252 x 2 x 2 x 3x 和 y
显然商人希望总的收购价越小越好
1
2
3
4
A资源 B资源
如果另一个公司想从该企业购买这 3 种原料， 那么这 3 种原 料的价格应是多少才是双方都合理的呢？
建立对偶模型：设原料 B1 ， B2 ， B3 的价格为 y1 ， y2 ， y3 (万元/t)， 显然，应有 yi 0 ， i 1,2,3 。由原问题的条件，生产 1t 产品 A1 需 消耗 1t 原料 B1 ，2t 原料 B2 ，3t 原料 B3 ，可获得收益 2.4 万元。因 此，若将生产 1t 产品 A1 的这些原料卖出所得的收益为
x1 xj xn
原始问题的松弛变量
xn+1 xn+i xn+m
w1
wi
wm wm+1
wm+j
wn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjwm+j=0 wixn+i=0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
3、原始问题和对偶问题最优解的充分必要条件 (1)原始可行条件（PFC） AX-XS=b X, XS ≥0
z z b1 w1 b 2 w 2 (b i b i )w i b m w m z b i w i
z o 最大利润的增量 wio 第i种资源的边际利润 bi 第i种资源的增量
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
DUAL
引入对偶问题
(1)说法： 一般,我们把下面的两个现象称为对偶现象,例如 “在周长一定的四边形中,以正方形的面积为最大”, 或者 “在面积为一定的四边形中,以正方形的周长为最小”, 这实际上是一个现象的两种提法。
引入对偶问题
(2)实际的例子（汽车生产）：
某汽车工厂生产大轿车和载重汽车两种型号的汽车 ，已知生产每辆汽车所用的钢材都是2吨／辆，该工厂每 年供应的钢材是1600吨；工厂的生产能力是每2.5小时可 生产一辆载重汽车，每5小时可生产一辆大轿车，工厂全 年的有效工时为2500小时；已知供应给该厂大轿车用的 座椅每年可装配400辆。出售一辆大轿车可获利4千元， 出售一辆载重汽车可获利3千元。问工厂如何安排生产才 能获利最大
减少一件产品可以节省的资源
机会成本
a1 j w1 a2 j w2 aij wi amj wm
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
5、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本 差额成本 利润
min y b1 w 1 b 2 w 2 b m w m s.t. a 11 w 1 a 21 w 2 a m1 w m w m 1 a 12 w 1 a 22 w 2 a m 2 w m w m2 w1 w2 wm w m 1 w m2 a 1n w 1 a 2 n w 2 a mn w m c1 c2 w mn c n w mn 0
为了使材料的价格和工时费在市场上有竞争力， 对工厂来说最佳的决策是，在满足上述的约束条件的 基础上，售价越低越好，这就是总利润最小值。
显然工厂决策者认为当minW=maxZ时，这两种方案 具有相同的结果，都是最优解
一、对偶的定义
原始问题 min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0 min m CT A ≥ b n AT 对偶问题（旋转90°） max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0 max bT
≤ C
n
m
对偶规划的要点
从min变成max 价值系数与右端向量互换 系数矩阵转置 按规则添上不等式
二、对偶问题的性质
对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0
maБайду номын сангаас z’=-CTX
s.t. -AX≤-b X ≥0
c1 c2 w mn c n w mn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
3、资源影子价格的性质
z y b1 w1 b 2 w 2 b i w i b m w m
3、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系 min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
引进松弛变量
对偶
max y=bTW s.t. ATW≤C W≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS≥0
X，Xs
max y=bTW s.t. ATW+WS=C W, WS≥0
资源价格（元/吨）
a 11 w 1 a 21 w 2 a m1 w m w m 1 a 12 w 1 a 22 w 2 a m 2 w m w m2 w1 w2 wm w m 1 w m2 a 1n w 1 a 2 n w 2 a mn w m
3 产品 3 的所得 4 产品 4 的所得 0
四、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元） 单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1 x 1 c 2 x 2 c 2 x 2 s.t. a 11x 1 a 12 x 2 a 1n x n x n 1 a 21x 1 a 22 x 2 a 2 n x n x n2 x1 x2 xn x n 1 x n2 x nm a m1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c 2 x 2 c j x j c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 a1jx j a1n x n b1 w1 a 21x1 a 22 x 2 a 2jx j a 2n x n b 2 w2 a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n b m wm x1 x2 xj xn 0
1 2 3 4 工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少
s.t. 2 x x 3x 2 x 15 x1 , x2 , x3 , x4 0
目标函数 min g(y)=25y1+15y2
y1 2 y2 2 y1 y2 s.t. 2 y1 3 y2 3 y 2 y 1 2 y1 , y2 1 2 产品 1 的所得 产品 2 的所得