空间向量的运算及应用
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
空间向量应用知识点总结
空间向量应用知识点总结一、空间向量的定义和性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指具有大小和方向的物理量，可以在空间中表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
2. 空间向量的几何意义：空间向量的几何意义是指用有向线段来表示向量，其方向由箭头表示，长度由线段的长度表示。
3. 空间向量的性质：空间向量与平面向量相似，具有平行、共线、相等、相反等性质，还有长度相等、共线向量的倍数、共面向量的叉乘等性质。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法：空间向量的加法是指两个向量相加后得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
2. 空间向量的减法：空间向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
3. 空间向量的数量积：空间向量的数量积是指两个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积，其方向由两个向量的夹角决定。
4. 空间向量的叉积：空间向量的叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量，其结果向量的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，其方向垂直于两个向量构成的平面。
5. 空间向量的混合积：空间向量的混合积是指三个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于三个向量构成的平行六面体的体积。
三、空间向量在物理学中的应用1. 力的合成：在物体受到多个力的作用时，可以利用空间向量的加法和减法原理，将所有的力向量进行合成或分解，从而求出合力或分力的大小和方向。
2. 力的平衡：当一个物体处于受力平衡状态时，可以利用空间向量的数量积或叉积原理，求出合力或力矩为零的条件，从而判断物体是否处于平衡状态。
3. 力的做功：当一个物体受到外力作用而发生位移时，可以利用空间向量的数量积原理，求出外力做功的大小和方向，从而判断外力对物体的能量变化情况。
4. 力的矢量描述：在分析物体的运动和力的作用时，可以通过空间向量的描述方法，将力的大小和方向用向量来表示，从而对物体的运动和受力情况进行分析。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。
空间向量的变换与应用
空间向量的变换与应用空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的工具。
在数学和物理学中，空间向量广泛应用于解决空间几何、力学、电磁学等问题。
本文将探讨空间向量的变换及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的定义空间向量是指在空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影。
向量的大小可以通过求模运算得到，即向量的大小等于各个坐标分量平方和的平方根。
二、空间向量的变换空间向量的变换包括平移、旋转和缩放。
下面将分别介绍这三种变换的定义和应用。
1. 平移变换平移变换是指将向量在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行平移变换时，只需要通过给向量的各个坐标分量加上对应平移量d(x, y, z)，即得到平移后的向量b(x+d_x, y+d_y,z+d_z)。
平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体在空间中的移动效果。
比如，在游戏中，我们可以通过平移变换来实现角色的行走和物体的位置调整。
2. 旋转变换旋转变换是指通过旋转角度来改变向量的方向。
一般来说，旋转变换可以绕空间中的任意轴进行，包括X轴、Y轴、Z轴，以及不过原点的任意轴。
旋转变换的具体计算涉及到复杂的三角函数运算，这里不做详细介绍。
在实际应用中，旋转变换常用于计算机动画、机器人运动控制和三维建模中。
3. 缩放变换缩放变换是指通过乘以一个比例因子来改变向量的大小。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行缩放变换时，只需要将向量的各个坐标分量分别乘以对应的缩放因子s(x, y, z)，即得到缩放后的向量b(s_x*x, s_y*y,s_z*z)。
缩放变换在计算机图形学和模型设计中非常常见，用于控制物体的大小和比例。
例如，在电影特效中，我们可以通过缩放变换来实现巨大怪兽的呈现效果。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的运算与应用教学设计和教学方法
空间向量的运算与应用教学设计和教学方法在数学与物理学领域中，空间向量的运算与应用是一项重要的课程内容。
本文将介绍一种针对空间向量的教学设计和教学方法，旨在帮助学生更好地理解和应用空间向量的运算。
1. 引言这个部分可以简要介绍空间向量的概念和重要性，为读者提供背景信息。
2. 教学目标在这一节中，可以列举几个学习目标，比如：(1) 理解空间向量的定义和性质；(2) 能够进行空间向量的加法、减法和数乘运算；(3) 掌握空间向量的模、方向和夹角的计算方法；(4) 了解空间向量在物理学等实际问题中的应用。
3. 教学内容本节可以详细介绍空间向量的基本概念和定义，包括向量的表示方法、加法、减法和数乘运算的规则等。
同时，可以举例说明空间向量的性质和具体计算步骤。
4. 教学方法(1) 理论讲解：通过讲解空间向量相关的概念和性质，帮助学生建立起对空间向量的认知框架。
(2) 示范演示：通过示范和解题实例，引导学生掌握具体的运算方法和计算技巧。
(3) 练习巩固：设计一些练习题，使学生能够独立完成空间向量的运算练习，并提供及时的反馈和指导。
(4) 实践应用：通过实际问题、案例分析等方式，让学生将所学的空间向量知识应用到解决实际问题中，培养学生的应用能力。
5. 教学资源这一节可以列举一些教学资源的参考，如教材、课件、练习册、模拟软件等，供学生参考和使用。
6. 教学评估在学习过程中，通过小测验、课堂参与度、作业和考试等方式进行教学评估，以评判学生的理解、应用和分析能力。
7. 教学延伸针对对空间向量感兴趣的学生，可以推荐一些拓展阅读资源，如相关数学和物理学的教材、文献资料等，以帮助他们进一步探索空间向量的运用领域。
结语空间向量的运算与应用是一门理论与实践相结合的学科，通过合适的教学设计和教学方法，可以帮助学生更好地理解和应用空间向量。
同时，教师的角色也十分重要，需要起到引导和激发学生兴趣的作用。
希望本文提供的教学设计和教学方法能够为相关教育工作者提供一些参考，提高空间向量课程的教学质量。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
空间向量的运算及应用
空间向量的运算及应用一、基础知识1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：3．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．4．空间位置关系的向量表示1．空间向量基本定理的3点注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．有关向量的数量积的2点提醒(1)若a ，b ，c (b ≠0)为实数，则ab ＝bc ⇒a ＝c ；但对于向量就不正确，即a ·b ＝b ·ca ＝c .(2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a ·b )c 不一定等于a (b ·c )．这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)P A ―→＝λPB ―→(λ∈R );(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1) MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→；(3) PM ―→∥AB ―→ (或P A ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)． 3．确定平面的法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0，解方程组求得．考点一 空间向量的线性运算[1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ―→； (2) A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ， ∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .考点二 共线、共面向量定理的应用1．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 解析：∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)， 且A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3. 答案：－32．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．(1)判断MA ―→，MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→， 所以OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)， 即MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→， 所以MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)知MA ―→，MB ―→，MC ―→共面且过同一点M .所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． 3.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．解：∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝kB 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－kAB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－kAA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．考点三 空间向量数量积及应用[典例精析]如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1) EF ―→·BA ―→；(2) EG ―→·BD ―→.[解] 设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)因为EF ―→＝12BD ―→＝12(AD －AB )＝12c －a ，BA ―→＝－a ， 所以EF ―→·BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG ―→·BD ―→＝(EA ―→＋AG ―→)·(AD ―→－AB ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AB ―→＋12 AC ―→＋12 AD ―→ ·(AD ―→－AB ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝－14＋12＋14－14＋12－14＝12.[题组训练]如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×c os 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2×(0－1－1)＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则c os θ＝|c os 〈AC 1―→， A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D ―→|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×(－1)＋22＝7.∴c os θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .考点四 利用向量证明平行与垂直问题[典例精析]如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .[证明] 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形， 所以G 为AC 的中点 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，则P A ―→＝2EG ―→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )． 又DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ， 所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[解题技法]利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．[提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[题组训练]如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)． 于是AP ―→＝(0,3,4)，BC ―→＝(－8，0,0)， 所以AP ―→·BC ―→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP ―→⊥BC ―→，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上， 所以AM ―→＝35AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA ―→＝(－4，－5,0)，所以BM ―→＝BA ―→＋AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP ―→·BM ―→＝(0,3,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， 所以AP ―→⊥BM ―→，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BC ∩BM ＝B ， 所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .。
空间向量的应用
空间向量的应用随着科技的发展，空间向量的应用越来越广泛。
从物理学到计算机科学，从工程技术到地理测量，空间向量在各个领域都发挥着重要作用。
本文将讨论空间向量的基本概念和其在不同领域中的应用。
一、空间向量的基本概念在三维几何学中，我们将三维空间中的点表示为向量。
一个空间向量由其起点和终点决定，可以表示为一个有向线段。
空间向量具有长度和方向两个重要属性，可以进行加减法运算，也可以与数乘相乘。
空间向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，设有两个空间向量a和b，a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算为：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
空间向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量与一个常数相乘，得到一个新的向量。
例如，设有一个空间向量a = (a1, a2, a3)和一个常数k，则它们的数乘运算为：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
二、空间向量在物理学中的应用在物理学中，空间向量被广泛应用于描述物体的运动和力学问题。
利用空间向量的概念，我们可以方便地描述物体在三维空间中的位置和速度。
例如，在力学中，我们可以使用位移向量来表示物体从起点到终点的移动情况。
同时，利用速度向量和加速度向量，我们可以描述物体在空间中的运动状态。
另外，在电磁学中，空间向量也有重要应用。
电场和磁场可以用向量来表示，通过分析场向量的大小和方向，我们可以推导出电磁场的性质和相互作用规律。
三、空间向量在计算机科学中的应用在计算机科学中，空间向量被广泛应用于图形学和计算机视觉领域。
通过使用向量表示空间中的点、线和面，我们可以高效地进行图形渲染和图像处理。
例如，在三维图形学中，我们可以使用向量来描述三维物体的形状和位置。
利用空间向量的加法和数乘运算，我们可以实现物体的平移、旋转和缩放等操作。
另外，在计算机视觉中，空间向量的应用也非常广泛。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。
下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。
它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。
四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它起源于物理学中对于物体位移、力和速度等概念的描述。
在数学中，空间向量被广泛应用于代数、几何和向量分析等领域。
本文将介绍空间向量的基本概念、运算法则以及一些实际应用。
一、空间向量的概念空间向量可以用有序三元组表示，即 (x, y, z)。
其中，x、y和z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
空间向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
空间向量的大小也称为向量的模，用 ||V|| 表示，计算公式为：||V|| = √(x^2 + y^2 + z^2)二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数量乘法以及点乘和叉乘。
1. 加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的和。
即V = A + BV 的分量 Vx = Ax + BxV 的分量 Vy = Ay + ByV 的分量 Vz = Az + Bz2. 减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的差。
即V = A - BV 的分量 Vx = Ax - BxV 的分量 Vy = Ay - ByV 的分量 Vz = Az - Bz3. 数量乘法：向量乘以一个常数的结果是一个新的向量，其分量等于原向量分量乘以常数。
即V = kAV 的分量 Vx = kAxV 的分量 Vy = kAyV 的分量 Vz = kAz4. 点乘：两个向量的点乘结果是一个标量（即数量），计算公式为A ·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz5. 叉乘：两个向量的叉乘结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。
计算公式为V = A × BV 的分量 Vx = Ay * Bz - Az * ByV 的分量 Vy = Az * Bx - Ax * BzV 的分量 Vz = Ax * By - Ay * Bx三、空间向量的实际应用空间向量在几何、物理和工程等领域有广泛应用。
解决实际问题的空间向量应用
解决实际问题的空间向量应用空间向量是指在三维空间内用有序三元组表示的矢量，具有方向和大小。
在物理、工程、计算机图形学等领域，空间向量的应用十分广泛。
在解决实际问题时，空间向量的运用可以提供一种简洁、高效的分析和解决方法。
本文将探讨在实际问题中如何应用空间向量来解决问题。
一、三维空间中的几何问题空间向量在几何问题的解决中起到了至关重要的作用。
例如，在计算两点间的距离时，可以利用空间向量的模长计算公式：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为两点的坐标。
通过这个公式，可以方便地计算两点之间的距离。
此外，在求两向量的夹角时，可以利用向量的数量积公式：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a和b分别为两个空间向量，(a·b)表示向量的数量积，|a|和|b|表示向量的模长。
通过这个公式，可以快速求解向量之间的夹角。
二、力学问题中的向量运用力学问题中经常涉及到力、速度与加速度的计算。
空间向量可以提供简洁且有效的计算方法。
例如，在计算合力时，可以将各个力看作空间向量，利用向量的代数运算求出它们的合力向量。
另外，在求解动力学问题时，将速度和加速度表示为空间向量可以简化运算。
例如，求解物体在给定力下的运动轨迹时，可以通过分解速度和加速度为水平方向和垂直方向的分量，然后利用空间向量的叠加原理计算出物体的运动轨迹。
三、电磁学问题中的向量应用电磁学问题中的向量应用也是十分常见的。
例如，在求解电场和磁场强度时，可以利用库仑定律和安培定律来描述电场和磁场的分布情况。
而库仑定律和安培定律都可以用空间向量表示，从而方便了对电磁问题的分析和研究。
此外，在电磁学问题中，还常常需要计算电流线圈和磁场线之间的夹角。
空间向量的运用可以提供一种简洁的计算方法。
例如，在计算电流线圈内某一点的磁场强度方向时，可以利用安培定律和向量叉积的概念，得出磁场线和电流线圈的夹角。
空间向量及其应用
空间向量及其应用一、 空间向量1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。
用带有箭头的线段表示。
以A 为始点，B 为终点的空间向量记作AB ，也可用a 表示，以AB 表示AB 的模。
2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。
3、空间向量的运算：空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。
加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。
例1、在平行六面体1AC 中，设111,,BA a BC b BD c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）AB ； （2）1BB ； （3）BD ； （4）1CB ； （5）1AC 。
解：（1）AB b c =-； （2）1BB a b c =+-； （3）BD 2c a b =--； （4）1CB 22a b c =+-；（5）1AC 2b c =-。
例2、已知平行六面体1AC ，点M 在对角线1A B 上，且112A M MB =，点N 在对角线1A C 上，且113A N NC =，求证：1,,M N D 三点共线。
证：设1,,AB a AD b AA c ===， 则()111133A M AB a c ==-， 所以()1111133D M D A A M a b c =+=--， ()111144A N AC a c b ==-+， 所以()1111134D N D A A N a b c =+=--， 1143D M D N =，所以1,,M N D 三点共线。
例3、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都为60，且1,2,3a b c ===，求A BC1AD1B1C1DNM（1）()()323a b b c -⋅-； （2）2a b c +-； （3）2a b c +-与b 的夹角θ。
解：30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， （1）()()73232a b b c -⋅-=-； （2）211a b c +-=；（3）()25a b c b +-⋅=，所以cos θ，θ=。
空间向量的运算与应用
空间向量的运算与应用在数学和物理学领域中，空间向量的运算和应用起到了重要的作用。
空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的量，可以用来描述物体在空间中的位置、位移和力的作用等。
本文将介绍空间向量的基本运算和一些常见的应用。
一、空间向量的表示和基本运算空间向量通常用有序三元组表示。
设A和B是空间中两个点，它们的坐标分别为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则从A指向B的向量可以用B-A表示。
两个向量相加的结果是一个新的向量，其坐标等于两个向量相应坐标的和，即(Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)。
向量的大小可以通过勾股定理计算得到，即|AB| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
二、向量的点乘和叉乘1. 点乘（内积）：设向量A和向量B的夹角为θ，则A·B = |A| |B| cosθ。
点乘的结果是一个标量（数量），它可以用于计算向量的投影、计算两个向量的夹角以及判断两个向量之间的关系。
当点乘的结果为零时，两个向量垂直；当点乘的结果为正时，两个向量夹角小于90°；当点乘的结果为负时，两个向量夹角大于90°。
2. 叉乘（外积）：设向量A和向量B的夹角为θ，则|A×B| = |A| |B| sinθ。
叉乘的结果是一个新的向量，它垂直于A和B所在的平面，并且大小等于以A和B为边所构成的平行四边形的面积。
叉乘的方向满足右手法则。
三、空间向量的应用1. 位移和速度：空间向量可以用来描述物体在空间中的位移和速度。
通过将物体的初始位置和终点位置对应的向量相减，可以得到物体的位移向量。
而速度则是位移向量对时间的导数，即速度向量是位移向量关于时间的变化率。
通过对速度向量进行积分，可以得到加速度向量，进而推导出物体的运动方程。
2. 力的作用：根据牛顿第二定律，力可以表示为质量乘以加速度，即F = m·a。
空间向量及其应用
第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；Aaaα图 8-154O()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+；112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN=.解析1122OM OA a ==，()()1122ON OB OC b c=+=+，()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 . 变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠，所以n m λ=，即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面，所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据2222111a a x y z ==++求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意，点,EF 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C .变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 . 分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++，故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥，,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故22CD =，则2CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2B C .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.A B C D例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围. 解析 由题设可知，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-，()11,,D P D B λλλλ==-，()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<，等价于0PA PC ⋅<，即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.解析 取AD 的中点O ，以OA 为x 轴，垂直于OA 的OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22234MP x y a =++，MP MC =， 得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭，即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..33A -.33B -.63C .3D 题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=. 例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，1DD c =，则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a b ，,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A a c ，2,,033a b N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为1143A N A E =，故1A ，E ，N 三点共线.变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ∆的重心.求证：,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，1//2BC AD ，1//2BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF 平面ABCD AB =， 得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ， ()0,0,2F c .()0,,CE b c =-，()0,2,2DF b c =-，因为2DF CE =，所以//DF CE ，则 ,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.变式 1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证：,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .设(),,z MN x y =，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--，(),,0AC a a =-，故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-，()1,,BD a a a aMN =--=-，即 1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+，则//l α.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-，11DD AA =，E 是DC 的中点，12DE DC AB ==，所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ，11//D E A B ，所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a ，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ，问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，()1,,0B a a ，0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A D a a =-，11,0,222a a MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1//MN A D ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--，1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以//PN BD ，即//PN BD .因为MN PN N =，1A D BD D =，所以平面//MNP 平面1A BD .解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =，由1MN n ⊥，1PN n ⊥，得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =，由12A D n ⊥，2BD n ⊥，得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩，令21z =，得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ，所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点.求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()2,2,0CE =-，()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅，所以CE AD ⊥。
空间向量的基本运算与性质
空间向量的基本运算与性质空间向量是三维空间中的有向线段，具有方向和大小。
在空间几何中，空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘等，同时它们还具有一些特性和性质。
本文将详细讨论空间向量的基本运算和性质。
一、空间向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的和向量c为c(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们的差向量c为c(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
3. 数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，具体操作如下：设有向量a(x, y, z)和实数k，则它们的数乘结果为 b(kx, ky, kz)。
二、空间向量的性质1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们平行的条件为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。
2. 共线向量如果两个向量共线，则它们在同一直线上。
具体而言，设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，则它们共线的条件为存在一个实数k，使得：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k。
3. 零向量零向量是指起点和终点重合的向量，它的大小为0，没有方向，表示为0或者O。
4. 模长向量的模长是指向量的大小，可以用勾股定理计算得到。
设有向量a(x, y, z)，则它的模长为：|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
5. 单位向量单位向量是指模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
6. 向量的共线性判断设有向量a(x1, y1, z1)和向量b(x2, y2, z2)，要判断它们是否共线，可以通过计算它们的方向比例：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。
空间向量的运算
空间向量的运算空间向量是在三维空间中表示的有大小和方向的量。
在数学和物理学中，进行空间向量的运算是一项重要的任务。
本文将介绍空间向量的加法、减法、数量乘法、向量积和标量积等运算。
一、空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A和向量B对应坐标的和。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的和向量C为(5,7,9)。
二、空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标减去向量B对应坐标。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的差向量C为(-3,-3,-3)。
三、空间向量的数量乘法空间向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有一个空间向量A和一个实数k，它们的数量乘法运算可以表示为：C=kA。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标乘以实数k。
例如，设有向量A(1,2,3)和实数k为2，则它们的乘积向量C为(2,4,6)。
四、空间向量的向量积空间向量的向量积，也称为叉乘或矢积，是运算结果为向量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的向量积可以表示为：C=A×B。
其中，向量C的坐标可通过以下公式求得：Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的向量积为(-3,6,-3)。
五、空间向量的标量积空间向量的标量积，也称为点乘或数量积，是运算结果为标量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的标量积可以表示为：C=AB。
其中，标量C的值可通过以下公式求得：C = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模，θ代表两个向量之间的夹角。
空间向量的线性运算与应用
空间向量的线性运算与应用在线性代数中，空间向量的线性运算是一种常见的运算方式，它涉及向量的加法、减法、数乘、内积和投影等操作。
这些运算不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也发挥着重要作用。
本文将介绍空间向量的线性运算及其应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量进行对应分量的相加。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的和记作a+a，即：a+a=[a₁+a₁, a₂+a₂, a₃+a₃]向量的加法满足交换律和结合律，即a+a=a+a和(a+a)+a=a+(a+a)。
向量的加法应用广泛，例如在力学中，我们可以利用向量的加法来求解多个力的合力，进而研究物体的平衡和运动状态。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量进行对应分量的相减。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的差记作a-a，即：a-a=[a₁-a₁, a₂-a₂, a₃-a₃]向量的减法和向量的加法类似，满足交换律和结合律。
向量的减法可以用于求解两个物体之间的位移或距离等问题。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个标量与一个向量的每个分量分别相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量a=[a₁,a₂,a₃]和一个实数k，它们的数乘记作k a，即：k a=[k a₁, k a₂, k a₃]向量的数乘满足分配律，即k(a+a)=k a+k a。
向量的数乘可以改变向量的大小和方向，在几何上有重要应用。
四、向量的内积向量的内积又称为点积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加所得到的一个标量。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的内积记作a·a，即：a·a=a₁a₁+a₂a₂+a₃a₃向量的内积有一些重要的性质，如a·a=a·a（交换律）和a·(a+a)=a·a+a·a（分配律）等。
向量的内积可以用于计算夹角、判断两个向量的正交性以及求解投影等问题。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的矢量。
它在物理学、数学和工程学等领域中经常被使用，用于描述物体的位移、速度、力和力矩等物理量。
本文将介绍空间向量的概念及其运算法则。
一、空间向量的概念空间向量是三维空间中的矢量，由起点和终点之间的位移所构成。
通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向则表示向量的方向。
空间向量可以用分量表示，也可以通过坐标表示。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则它们的和向量C(x1+x2,y1+y2, z1+z2)。
加法满足交换律和结合律。
2. 空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。
设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则它们的差向量C(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
减法满足交换律和结合律。
3. 空间向量的数乘空间向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y, z)和实数k，它们的数乘结果为向量C(kx, ky, kz)。
数乘满足结合律和分配律。
4. 空间向量的点乘空间向量的点乘（内积）是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个实数。
设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果为实数C=x1x2+y1y2+z1z2。
点乘满足交换律和分配律。
5. 空间向量的叉乘空间向量的叉乘（外积）是指将两个向量按照右手法则进行计算，得到一个新的向量。
设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为向量C(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
叉乘满足反交换律、结合律和分配律。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、力学和几何学等领域中有广泛的应用。
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＝－a＋b＋12c.17Fra bibliotek板块一
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
6＝kλ＋1，
∴ 2μ－1＝0， 2λ＝2k.
λ＝2， 解 得 μ＝21
λ＝－3， 或 μ＝12.
故选
A.
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3．[课本改编]已知 a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若 a⊥
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解 A→C1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c.
A→G＝A→A1＋A→1G
＝A→A1＋13(A→1D＋A→1B)
＝A→A1＋13(A→D－A→A1)＋13(A→B－A→A1)
＝13A→A1＋13A→D＋13A→B
(a－λb)，则实数 λ 的值为( )
A．－2
B．－134
14 C. 5
D．2
解析 由题意知 a·(a－λb)＝0，即 a2－λa·b＝0，又 a2
＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选 D.
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4．[课本改编]若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )
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解 O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→N＝O→A＋23(O→N－O→A)＝ O→A＋2312O→B＋O→C－O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
M→G＝O→G－O→M＝O→G－12O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C－12O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C.
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(2)当 k＝0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在 平面 ABB1A1 内．
kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
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解 (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面．
解析 cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝－2155.
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板块二 典例探究·考向突破
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考向 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)A→P；(2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
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触类旁通 用已知向量表示某一向量的方法
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利 用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表 示出来．
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【变式训练 1】 在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B， O→C表示O→G，M→G.
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考向 空间向量的坐标运算 例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－ 3,0,4)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
＝13a＋13b＋13c.
因为A→C1＝3A→G，所以 A，G，C1 三点共线．
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触类旁通 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
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【变式训练 3】 如图，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1， 点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝
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触类旁通 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量 的模、向量的夹角，在研究几何问题中只要建立适当的坐标 系，把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示，就可以 使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研 究立体几何问题的基本思想．
[必备知识]
考点 1 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存
在实数 λ，使 a＝λb .
2．共面向量定理
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共
面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
p＝xa＋yb
.
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3．空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc .其中，{a，
b，c}叫做空间的一个 基底．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一
点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝
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2．[课本改编]已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若
a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是( )
A．2，12
B．－13，12
C．－3,2 D．2,2
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10 10 .
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(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝ 0.∴k＝2 或 k＝－52. 即当 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直时，k＝2 或 k＝－52.
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D ＋D→A＝0.( √ ) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( × ) (3)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( √ ) (4)对于空间非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0.( √ ) (5)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，得 a＝c.( × )
A→B＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
；
a1b1＋a2b2＋a3b3
(7)cos〈a，b〉＝ a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
.
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[必会结论] 点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共 线问题，如证明 A，B，C 三个点共线，即证明A→B与A→C共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题， 要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C， 或对空间任一点 O，有O→A＝O→P＋xP→B＋yP→C，或O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)即可．
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(2)a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
；
(3)a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
；
(4)λa＝ (λa1，λa2，λa3)