信号与线性系统考卷

∫
∞
2、计算卷积和 ε ( k ) * ε ( k
解： ε ( k ) * ε ( k
− 5) 。
− 5) = (k − 4)ε (k − 5)
π⎞ ⎛ 3、判断序列 f (k ) = cos⎜ 1.5πk + ⎟ 是否为周期序列?若是求周期 N=? 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 解： f (k ) = cos⎜ 1.5πk + ⎟ 是周期序列，周期为 4。 4⎠ ⎝
y( t ) = 1 + 3 cos(πt ) + 4 cos( 2πt ) + 3 cos( 3πt )
H ( jω )
4
ϕ (ω ) = 0
4π
− 4π
0
ω
3
六、 （本题 8 分）已知某线性时不变因果系统的信号流图如下图所示： （1）试求系统函数 H（S） 。 (2) 欲使系统稳定，试确定 K 的取值范围。
i i =0
∞
换 F (z ) 。 解：
f (k )
"
−1 0 1 2
3 4
5 6 7 8 9 10 11
⎛ z z −3 ⎞ 1 z 1 − z −4 z ⎜ ⎟ F (z ) = ⎜ = − = −8 −8 ⎟ (z − 1) 1 − z (z − 1)(1 + z − 4 ) ⎝ z −1 z − 1⎠ 1− z
(
(
1 − e − ( s +1) ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ −1 − s =⎜ − ⎟e e ⎟−⎜ − s ( s + 1) ⎝ s s + 1⎠ ⎝ s s + 1⎠
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
1
8、概画出离散时间序列 f (k ) = ∑ (− 1) ε (k − 4i ) 的序列图形，并求它的 Z 变
f (t )
2 1 2 3 t
0 1
2
t
1 1 3 0 2 2.5 −2
2
t
三、 （ 本 题 8 分 ） 如 图 所 示 为 f 1 (t ), f 2 (t ) 的 波 形 ， 设 y (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ， 求
y(0), y(5), y(6), y(7 ) 的值。
y = x1 + x 2
九、 （本题 12 分）线性时不变系统在下述 f 1 (t ) , f 2 (t ) 和 f 3 (t ) 三种输入情况下， 初始状态都相同，已知当激励 f 1 (t ) = δ (t ) 时，系统的全响应 y1 (t ) = 3e −2 t ε (t ) ；当 激励 f 2 (t ) = ε (t ) 时，系统的全响应 y 2 (t ) = 2e − t ε (t ) ；试求
∴ f (t ) ↔
Sa (ω ) + 3πδ (ω ) jω
五、 （本题 8 分）一理想滤波器的频率响应如图所示，若输入信号为 出信号 y(t ) 。其中
f (t ) ，求输
f (t ) =
解:
1 + cos(πt ) + 2 cos( 2πt ) + 3 cos( 3πt ) + 4 cos( 4πt ) + 5 cos( 5πt ) 4
求该系统的单位序列响应 h(k ) ，并画出实现该系统的直接形式模拟框图。 解：
z−4 z−4 z −1 − 4 z −2 = = H (z ) = (z + 2)(z − 1) z2 + z − 2 1 + z −1 − 2 z − 2 2 −1 −1 H (z ) z−4 = = + + z z (z + 2 )(z − 1) z z + 2 z − 1
Ａ卷
2008—2009 学年第一学期 《信号与系统》试卷
专业班级 姓 学 名 号 电子信息工程 2009 年 1 月 6 日
开课系室 考试日期
题
号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
ห้องสมุดไป่ตู้
总分
得
分
阅卷人
一、
试求解下列小题（共 10 小题，每小题 4 分，合计 40 分）
1、 计算 解：
⎛ π⎞ 4 sin tδ ⎜ t − ⎟dt 的值。 −∞ 6⎠ ⎝ ∞ π⎞ ⎛ t − ⎟dt = 2 ∫−∞ 4 sin tδ ⎜ 6⎠ ⎝
h(k ) = 2δ (k ) − ( −2) k ε (k ) − ε (k )
图略。
4
八、 （本题 5 分）描述连续系统的微分方程如下，试写出系统的状态方程和输出 方程。
y '' (t ) + 4 y (t ) = f ' (t ) + f (t )
解：
⎧⋅ ⎪ x1 = x2 ⎨⋅ ⎪ x 2 = −4 x + f 1 ⎩
(
(
)
)
9、有限频带信号 f (t ) 的最高频率为 200Hz，若对 f (t ) ∗ f (2t ) 及 f (t ) + f 2 (t ) 进行时域取样，分别求其最小取样频率 f s 。 解：400Hz；800Hz 10 、 已 知 系 统 的 频 率 响 应 函 数 H ( jω ) = g 4 (ω )e − j 2ω , 问 该 系 统 能 否 对
⎧ 0, ⎪ （2）当激励 f 3 (t ) = ⎨ t , ⎪1, ⎩
t≤0 0 < t ≤ 1 时，系统的全响应。 t >1
（3）求系统的初始状态 y (0 − ), y ' (0 − ) ，使系统的零输入响应等于冲激响应？
解： （1） ⎧
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = Y s Y s H s F s Y s H s 1 zi 1 zi ⎪ ⎪ s+2 ⎨ ⎪Y (s ) = Y (s ) + H ( s )F (s ) = Y (s ) + H (s ) 1 = 2 2 zi 2 zi ⎪ s s+1 ⎩
f (t ) = Sa(3t ) 实现无失真传输？为什么？
解：不能；因为信号的带宽大于系统的带宽。 二、 （本题 8 分） 已知信号 f (t ) 的波形如图所示， 试画出 解：
f (6 − 2t ) 2 1 0
d [ f (6 − 2t )] dt
d [ f (6 − 2t )] 的波形图。 dt
y (0 − ) = 1, y ' (0 − ) = −3
6
（1）该系统的单位冲激响应 h(t ) ，写出描述该系统的微分方程。
⎡⋅ ⎤ ⎢ x 1 ⎥ = ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ + ⎡ 0⎤ [ f ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋅ ⎥ ⎢ - 4 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1 ⎦ x ⎣ 2⎦ x1 ⎤ [ y ] = [1 1]⎡ ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦
1
s −1
F (s )
1
s −1
2
1
Y (s )
−2
3 − 2k
解： （1）
s+2 s −1 + 2 s − 2 = 2 H (s ) = −1 −2 s + 2 s − ( 3 − 2k ) 1 + 2 s − ( 3 − 2k ) s
∴k >
3 2
七、（本题 5 分）描述某离散系统的差分方程为
y(k ) + y(k − 1) − 2 y(k − 2) = f (k − 1) − 4 f (k − 2)
解：F ( jω ) = [ε (ω + 4π ) − ε (ω − 4π )]e − j 3ω = g 8π (ω )e − j 3ω f (t ) = 4 Sa[4π (t − 3)]
6、求信号 e
− (t + 2 )
ε (t + 2) 的单边拉氏变换。
解：
e −2 s+1
7、稳定的连续时间 LTI 系统的频率响应为 H ( jω ) = 阶跃响应。 解： H (s ) = 1 − e − ( s +1) s+1
(
)
1 ⎛1 3 ⎞ ⎡1 ⎤ y 3 (t ) = ⎜ + e − 2 t ⎟ε (t ) − ⎢ − e − ( t −1 ) + e − 2(t −1) ⎥ε (t − 1) 2 ⎠ ⎣2 ⎦ ⎝2 2
（3）
H (s ) =
sy (0 − ) + y ' (0 − ) + 3 y (0 − ) = (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) s
(
)
1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ y 3 zs (t ) = ⎢ − e − t + e − 2 t ⎥ε (t ) − ⎢ − e − (t −1 ) + e − 2 (t −1 ) ⎥ε (t − 1) 2 2 ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦
Yzi (s ) =
1 1 + s+ 2 s+1
y zi (t ) = e −2 t + e − t ε (t )
4、设激励为 f (t ) ，系统的零状态响应为 y zs (t ) ，试判断系统 y zs (t ) = f (− t ) 是 否为线性的、时不变。 解：线性、时变。
5 、 已知某信号的傅立叶变换为： F ( jω ) = [ε (ω + 4π ) − ε (ω − 4π )]e
− j 3ω
，求
f (t ) 。
解：
f 1 (t )
f 2 (t )
y (0) = 0, y(5) = 4, y(6) = 6, y (7 ) = 8
2 1
0
2
2
4
6
t
0 1
3
t
四、 （本题 6 分）求图示信号 f (t ) 的傅里叶变换。 f (t ) 解：
2 1 −1
0
1
t
f ' (t ) =
1 g 2 (t ) ↔ Sa (ω ) 2
1 − e − ( jω + 1 ) ，试求其单位 jω + 1
G (s ) = H (s ) ⋅
1 1 − e − (s +1) = s s ( s + 1)
G (s ) =
g (t ) = 1 − e − t ε (t ) − e −1 1 − e − t + 1 ε (t − 1) g (t ) = 1 − e − t ε (t ) − e −1 1 − e − t + 1 ε (t − 1) = 1 − e − t ε (t ) − e −1 − e − t ε (t − 1)
(
)
5
（2）
f 3 (t ) = t [ε (t ) − ε (t − 1)] + ε (t − 1) = tε (t ) − (t − 1)ε (t − 1) F3 (s ) =
1 − e−s s2
1
1 − e − s ⎛ 0.5 1 0.5 ⎞ −s Y3 zs (s ) = H (s )F3 (s ) = =⎜ − + ⎟ 1− e (s + 1)(s + 2) s ⎝ s s + 1 s + 2 ⎠
Yzi (s ) = 1 1 + s+ 2 s+1
H (s ) =
(s + 1)(s + 2)
s
=
s −1 2 = + s 2 + 3s + 2 s + 1 s + 2
h(t ) = 2e −2 t − e − t ε (t ) y " (t ) + 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = f ' (t )