第一章 二次函数专题复习一(含答案)

专题一 求二次函数的解析式

[见A 本P6]

一 利用一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式

(教材P33目标与测定题第2题)

已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝7；当x ＝3时，y ＝－3，求a ，b ，c 的值，并写出该二次函数的表达式． 解：依题意，得⎩⎪⎨⎪

⎧3＝a ＋b ＋c ，7＝4a －2b ＋c ，－3＝9a ＋3b ＋c ，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－1

3

，

b ＝－53

，c ＝5

所求的函数解析式为y ＝－13x 2－5

3

x ＋

5

[2013·徐州]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表∶

x

…

－

3 －

2 －

1 0

1

…

y

…

－

3

－

2

－

3

－

6

－

11

…

则该函数图象的顶点坐标为( B )

A ．(－3，－3)

B ．(－2，－2)

C ．(－1，－3)

D ．(0，－6) 【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B.

如图1，抛物线的函数表达式是( D )

图1

A ．y ＝x 2－x ＋2

B ．y ＝x 2＋x ＋2

C ．y ＝－x 2－x ＋2

D ．y ＝－x 2＋x ＋2 【解析】 根据题意，设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪

⎧a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的表

达式为y ＝－x 2＋x ＋2.

[2012·绥化]如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于

点A (－4，0)．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．

图2

解：(1)由已知条件得∶⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，

a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，

a ＝－1，

∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x .

(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4. 设点P 的坐标为(x ，h )，

则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12

×4×|h |＝8，解得|h |＝4.

①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2， ∴点P 的坐标为(－2，4)；

②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，

解得x 1＝－2

＋22，x 2＝－2－

22，

∴点P 的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，

综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．

[2013·临沂]如图3，抛物线经过A (－1，0)，B (5，0)，C (0，－5

2)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

图3

解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，

根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0

25a ＋5b ＋c ＝0

c ＝－5

2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1

2

b ＝－2

c ＝－52

，

∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －5

2；

(2)存在．

(Ⅰ)当存在的点N 在x 轴的下方，如图所示，

∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴， ∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称， ∵C 点的坐标为(0，－5

2

)，

∴点N 的坐标为(4，－5

2

)．

(Ⅱ)当存在的点N ′在x 轴上方时，如图所示，作N ′H ⊥x 轴于点H ， ∵四边形ACM ′N ′是平行四边形， ∴AC ＝M ′N ′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ， ∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H ，∴N ′H ＝OC ， ∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N ′H ＝5

2，

即N 点的纵坐标为5

2，

∴12x 2－2x －52＝52

， 解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.

∴点N ′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)．

综上所述，满足题目条件的点N 共有三个， 分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，5

2)．

二 利用顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a≠0)求二次函数的解析式

(教材P23作业题第5题)

根据下列条件，分别求二次函数的解析式∶

(1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)； (2)已知图象经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线x ＝0为对称轴．

解：(1)设y ＝a (x ＋1)2－8，把点(0，－6)代入，得－6＝a －8，解得a ＝2， ∴y ＝2x 2＋4x －6.

(2)设y ＝ax 2

＋c ，则⎩

⎪⎨⎪⎧9a ＋c ＝0，

4a ＋c ＝－3， 解得⎩⎨⎧a ＝3

5，c ＝－275，

∴y ＝35x 2－275

.

【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y ＝a (x ＋m )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可．

已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为( D )