动能定理-保守力与非保守力-功能原理-机械能守恒定律
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大学物理第六讲 势能、功能原理、机械能守恒 (1)
弹力的功与路径无关
2
万有引力的功
mM ˆ F G 2 r r dA F ds F cos ds
设M相对 于m静止.
ds dr m
b
a
F
Fds cos Fdr mM G 2 dr r
Aab dA
a b
ra
r
M
rb
一对相互作用力 的功只决定于两 者间的相对位移.
得
s
s+
m2 g
a
v
g 2 [( L l02 ) ( L l0 )2 ] L
18
例：宇宙速度 第一宇宙速度 ●物体绕地球作圆周运动所需的最小速度 此时
GM v mg m 2 m R R
2 1
GM v1 7.9km/s R
M和R分别为地球质量和半径。
19
第二宇宙速度
黑洞是大质量恒星在一定条件下演化的结果。恒星通过其内 部的热核反应不断燃烧演化。若恒星晚期经过质量抛失后所剩 余的质量大于3倍太阳质量，则就具备了坍缩为黑洞可能性。
坍缩核质量小于1.4倍太阳质量—白矮星；2-3倍太阳质量—中子星。
21
太阳属于小质量恒星, 不可能演化为黑洞。根据太阳的质量 条件，推算出太阳晚期演化的结局是白矮星（质量在1至8倍太 阳质量的孤立恒星也是如此）。
mM mM Aab ( G ) ( G ) ra rb
末
3
◎万有引力的功与路径无关。 初
摩擦力的功
A f r dS N dS
L L
mgds mgL
L
与路径相关
结论：
◎重力、弹力、万 有引力做功与路径 无关； ◎摩擦力做功与路 径有关。
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
A Ek2 Ek1
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
08功与能(保守力、势能、机械能守恒原理)
14
1 1 2 1 2 (m M )V1 ky0 k ( y y0 ) 2 (m M ) gy 2 2 2
得到:
mg 2k h y (1 1 ) k ( M m) g
Байду номын сангаас15
3-8 碰撞问题
外 内 的相互作用 . F F
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大
( E p Ek ) ( E p 0 Ek 0 ) 0 E p E p 0 Ek Ek 0
8
3-7 能量守恒原理
亥姆霍兹 （1821—
1894），德国物理学家和生
理学家.于1847年发表了《论 力（现称能量）守恒》的演 讲，首先系统地以数学方式 阐述了自然界各种运动形式
动量与能量守恒
1
3-5 保守力、非保守力、势能
1、万有引力、重力、弹力做功的特点
万有引力做功：两质点质量分别为 M、m, 若m经任意路径由1运动到达 2，引力所做的功是多少？
1
Mm F G 3 r r
m移动时引力所做的元功为：
M
r
F
r dl
dl
2
Mm Mm Mm dW G 3 r dl G 3 rdl cos G 2 dr r r r
m1 ( v10 v1 ) m2 ( v2 v20 )
由机械能守恒定律得
m m1 v10 2 v 20
A
碰后
B
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2
v1
v2
A
B
m1 ( v10 v1 ) m2 ( v2 v20 )
1 1 2 1 2 (m M )V1 ky0 k ( y y0 ) 2 (m M ) gy 2 2 2
得到:
mg 2k h y (1 1 ) k ( M m) g
Байду номын сангаас15
3-8 碰撞问题
外 内 的相互作用 . F F
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大
( E p Ek ) ( E p 0 Ek 0 ) 0 E p E p 0 Ek Ek 0
8
3-7 能量守恒原理
亥姆霍兹 （1821—
1894），德国物理学家和生
理学家.于1847年发表了《论 力（现称能量）守恒》的演 讲，首先系统地以数学方式 阐述了自然界各种运动形式
动量与能量守恒
1
3-5 保守力、非保守力、势能
1、万有引力、重力、弹力做功的特点
万有引力做功：两质点质量分别为 M、m, 若m经任意路径由1运动到达 2，引力所做的功是多少？
1
Mm F G 3 r r
m移动时引力所做的元功为：
M
r
F
r dl
dl
2
Mm Mm Mm dW G 3 r dl G 3 rdl cos G 2 dr r r r
m1 ( v10 v1 ) m2 ( v2 v20 )
由机械能守恒定律得
m m1 v10 2 v 20
A
碰后
B
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2
v1
v2
A
B
m1 ( v10 v1 ) m2 ( v2 v20 )
4.4 功能原理 机械能守恒定律
30° A o
B
Ep = 0
20
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一 质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。 今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入 A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。
解：第一阶段： 子弹射入到相对静止
第4章 功和能 功能原理
人们在总结各种自然过程中发现：
如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系 统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体 传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的 总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这 一结论叫做能量守恒定律。
例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发 电，将机械能转换为电能。
例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在 圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处 于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆 环的底端点B时，小球对圆环没有压力。
求：弹簧的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = EA
υ0
mA
B
于物块中。
由于时间极短，可认为物块还没有移动，
应用动量守恒定律，求得物块A的速度υA
mυ0 = ( M + m )υA
∴ υA
=
m (M +
m)
υ0
21
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
第二阶段：A移动，直到当A 和B有相同的速度时，弹簧 压缩最大。应用动量守恒定
第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理
上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e
功能原理和机械能守恒定律
【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端 相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。
【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0 －Ep，则上式可写为（功能原理）：
W外 W非保内 (Ek E p ) (Ek0 E p0 ) E E0 ΔE
1.2 机械能守恒定律
根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：
1.3 能量守恒定律
由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。
在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能 量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。
物理学
功能原理和机械能守恒定律
1.1 功能原理
系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即
E Ek Ep 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也 可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W 内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：
机械能守恒定律
1m
5N
4
第五章 机械能守恒
解: 建立坐标系(如图)
F x F cos
F x 1 x2
F
x
1
5N m
0
W
F x2 x1
xdx
F x2
x1
x dx
1 x2
1 x1 tg300 1.732m
x2
1 tg370
1.327m
W F ( 1 x12 1 x2 2 ) 1.69J
5
第五章 机械能守恒
求 L 和 l 。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 1 ， 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为 2
l
L
N
f
F mg Mg
N
f
mg
13
第五章 机械能守恒
解：解法一（用质点动能定理求解）
卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 f、f 和地面对车
的摩擦力 F 做功，三力之受力质点位移各为 L、L l、L .
根据质点动能定理得
dr
)
W1 W2
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
（3）功是标量，没有方向，但有正负.
（4）功率： 力在单位时间内所做的功
P
dW
F cos
dr
F cos v
Fv
dt
dt
单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：ML2T-3
3
第五章 机械能守恒
例题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质 量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平 面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体 向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成 300 变为 370 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面 间的距离为1m.
动能定理
m1
ex Fi
in m i m2 Fi
系统内质点受力
非保守内力
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
W保内 （Ep Ep 0 ) W外 W非保内 （Ep Ek ) ( Ep 0 Ek 0 )
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
用动能定理求功 2-28题
W
x
0
3 Fdx (3 2 x)dx
0
3 0
W (3 x x 2 )
18 J
1 2 W m 0 18 J 2 6m/s
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
r
W F d r F1 d r F2 d r W1 W2
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
功的单位：1 J=1 N· m
量纲：dim W ML2 T 2
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
2-38题 第一过程动量守恒
m ( M m)V
1 2 第二过程机械能守恒 E P ( M m)V 2 2 2 m EP 选择答案：B 2( M m)
2-39题
m11 m22 选择答案：D 1 1 E p m11 m2 2 2 2
如：万有引力、重力、弹性力。
物体沿任意闭合路径运动一周时, 保守力对它所 做的功为零 。
功能原理 机械能守恒定律
2.7 功能原理机械能守恒定律一保守力做的功万有引力、重力、弹性力做的功都仅与物体的始末位置有关，而与路径无关。
若物体沿任一闭合路径饶行一周，这些力所做的功均为零d )(=⋅∫L r r F v v 11'()A B A Gm m r r =−−A B A mgz mgz =−2211()22B A A kx kx =−−万有引力做功重力做功弹性力做功1 保守力物理上把做功与路径无关，或者说将物体沿任一闭合路径绕行一周所做的功均为零的这种性质的力，称为保守力万有引力、重力、弹性力是保守力分子间相互作用的分子力、静电力等都属于保守力另一类做功与路径有关的力称为非保守力。
摩擦力、拉力、推力、正压力、支持力等都属于非保守力。
☆摩擦力思考：摩擦力是微观上的分子或原子间的电磁力的表现。
这些力在微观上是保守力，为什么在宏观上就变成非保守力了呢？这是因为滑动摩擦力的非保守性是根据宏观物体的运动来判定的。
一个金属块在桌面上滑动一圈，它的宏观位置复原了，但摩擦力做了功。
这和微观上分子或原子间的相互作用是保守力并不矛盾。
因为即使金属块回到了原来的位置，金属块中以及桌面上它滑过的所有分子和原子并没有回到原来的状态（包括位置和速度），实际上是离原来的位置更远了。
因此它们之间的微观上的保守力是做了功的，这个功在宏观上就表现为摩擦力做的功。
在技术中我们总是采用宏观的观点来考虑问题，因此滑动摩擦力就是一种非保守力。
与此类似，碰撞中引起永久变形的冲力以及爆炸力等也都是非保守力。
2、保守力场若质点在某个空间内任何位置都受到一个大小和方向完全确定的保守力的作用，则称这部分空间中存在着保守力场。
类似得，可定义万有引力场、重力场、弹性力场，它们都是保守力场保守力的功、与路径无关的性质大大简化了保守力做功的计算，并由此引入势能的概念。
二、势能由于两个质点间的保守力做的功与路径无关，而只决定于两质点始末相对位置，或者一般地说决定于系统的始末位形，所以对于这两个质点组成的系统，存在着一个由它们的位形决定的函数：系统的势能函数。
《大学物理》3-5-9保守力与非保守力
•冲量
复习
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理
I Fdt＝ P
I＝P－P0
•动量守恒定律 •功与功率
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
dW F dS
P＝ dW
dt
B B
W A F dr A F cos ds
第五次课
保守力与非保守力 ★ 势能
质点系的动能定理 质点系的功能原理
(2) 重力作功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A
M2
M1 1
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
Ep
r
(G
mM r2
)dr
等势面
M
mr
G mM
F
r
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
弹性势能
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep
1 2
k x2
x
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
复习
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理
I Fdt＝ P
I＝P－P0
•动量守恒定律 •功与功率
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
dW F dS
P＝ dW
dt
B B
W A F dr A F cos ds
第五次课
保守力与非保守力 ★ 势能
质点系的动能定理 质点系的功能原理
(2) 重力作功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A
M2
M1 1
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
Ep
r
(G
mM r2
)dr
等势面
M
mr
G mM
F
r
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
弹性势能
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep
1 2
k x2
x
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
3-4 动能定理
ODC；（2）沿OBC。
B 2
C 2
Fy 0
（1）OD段：y=0,dy=0, DC段：x=2, dx=0，Fy=0
WODC
F dr
OD
2 F dr (4 2 0)dx 0 8J
DC 0
O
D
（2）OB段：Fy=0, BC段：y=2
WOBC
dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos mglsin d
0
d
W mgl sin d
0
mgl(cos cos 0 )
FT v ds P
l
3－5 保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1、万有引力作功的特点
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
3－6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能Ek10, Ek20, …, Ekn0,变成 末动能，Ek1, Ek2, …, Ekn
W1 E k 1 E k 10 W2 E k 2 E k 20 Wn E n1 E n10
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
0 90 W 0 正功 90 180 W 0 负功
F cos
90 W 0 不作功
➢功的图示法
o rA
曲线下的面积表示变力所作的功。
r
ds rB
➢合力的功等于各分力功的代数和。
W
F d r F1 d r
F2
d
r
W1
W2
➢功的单位：1 J=1 N·m 量纲：dim W ML2T2
解题步骤：
①确定研究对象． ②受力分析，求合外力的功． ③找准初、末状态的动能，运用动能定理列方程求解．
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
例1 如图所示，一质量m =225kg的保险箱静止 放置在光滑地面上，甲、乙两人用推力F1=24.0N和 拉力F2=20.0N同时作用于此物体，使它沿直线移动 了d =8.50m。设保险箱与地面间的摩擦可忽略不计。 试计算
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
2. 功率：功随时间的变化率
平均功率 P W t
瞬时功率
P dW
F
d
r
F
v
Fv
cos
dt
dt
P F v Fvcos
功率的单位 （瓦特）1W 1J s1 1kW 103 W
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
W1 F1d cos1 176.66 J
W2 F2d cos2 130.22 J 则两人做的总功为
W W1 W2 306.88 J
（2）两人对保险箱做功后，它的速率变为多大？ 考虑到保险箱初始速率v0为零，由动能定理
2-2动能定理 保守力和非保守力 能量守恒定律
m'm W G 2 dr rA r
rB
m
dr
m'
r dr
1 1 W Gmm( ) rB rA
rB
B
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
(b) 重力作功
在位移元 功为
y y1
A
D
dr
dr
h
A C
中，重力P做的
y2
P
B
dW P d r
B
ex in nc
机械能 E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
——系统的功能定理
系统机械能增量等于外力和非保守内力 作功之和 。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
说明
W W E E0
ex in nc
1）系统能量改变与功的关系； 2）适用惯性系； 3）改变系统机械能方法 外力作功
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
守恒定律的意义
不究过程细节，而能对系统状态下结论。
讨论 下列各物理量中，与参考系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 ( 6) 功 答 动量、动能、功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
二
保守力与非保守力 势能
A
rA
m'
1 几种力做功的特点 (a) 万有引力作功
rB
m
dr
m'
r dr
1 1 W Gmm( ) rB rA
rB
B
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
(b) 重力作功
在位移元 功为
y y1
A
D
dr
dr
h
A C
中，重力P做的
y2
P
B
dW P d r
B
ex in nc
机械能 E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
——系统的功能定理
系统机械能增量等于外力和非保守内力 作功之和 。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
说明
W W E E0
ex in nc
1）系统能量改变与功的关系； 2）适用惯性系； 3）改变系统机械能方法 外力作功
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
守恒定律的意义
不究过程细节，而能对系统状态下结论。
讨论 下列各物理量中，与参考系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 ( 6) 功 答 动量、动能、功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
二
保守力与非保守力 势能
A
rA
m'
1 几种力做功的特点 (a) 万有引力作功
大学物理 2.4 功能原理 机械能守恒定律
得到
A A
外
E E E E
kA
pA
pA
k p
系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 E表示，则 E E E
以 E 和 E 分别表示系统初态和末态的机械能，则
A B
A A E E
外 非保 B
A
外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结 论为功能原理。
即
把
x1和 x2
1 1 2 K (x2 ) m1 gx2 K (x1 ) 2 m1 gx1 2 2 1 1 K (x 2 ) 2 K (x1 ) 2 m1 g (x1 x 2 ) 2 2
代入上式，化简可得： 所以得
F 2 (m1 g m2 g ) 2
2.4 功能原理 机械能守恒定律
由质点系动能原理
A A E E
外 内 kB
kA
内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内 力做的功和非保守内力做的功
A A A
外 保内
非保内
E E
kB
kA
保守力的功等于相应势能增量的负值，则
A E E
保内 pB 非保内 kB pB
x 2
1
如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作 m1 m2 g x m1 上跳过程必须使弹簧伸长 1 的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后 k 才能使下面的木板 m2 恰能提起，如图2-12(c)所示。
k
图2-12
把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以 系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和 重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。
2-2-动能定理-保守力与非保守力-能量守恒定律(2024版)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
习题2-3 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌 面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为 零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使 弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 及弹簧组成的系统
解： W1 F1d cos300 176 .66 J W2 F2d cos 400 130 .22 J
W W1 W2 306 .88 J
根据动能定理有：
W 1 mv2 0 2
F2
F1
300
400
代入得： v 1.65m s1
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
机械能 E Ek Ep W ex Wnicn E2 E1
质点系的功能原理: 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
2 机械能守恒定律
功能原理 W ex Wnicn (Ek2 Ep2 ) (Ek1 Ep1)
(C)只有(2)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析（：1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少).
（3）错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
dx vxdt 1.5t 2dt
W
Fdx
2 9t3dt 0
36.0
质点力学第5讲——功与动能定理、保守力与势能、功能原理与机械能守恒定律
解：F F 2 0 , 1
dP F i dt 0 ; i ) dt 0 ; dL (r i F i )dt (r 2 r 1 F 2 i d ( ) 0. dE F i dr i F 2 r 2 r 1 F 2 dr 21
一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但 这对力作功的总和不一定为0。
例如：子弹穿过木块 过程子弹对木块的作 用力为f，木块对子弹 的反作用力为f ´，木 块的位移为s，子弹的 位移为（s+l）。 f 对木块作功： fs 0 f ´ 对子弹作功: f ' ( s l) 0 合功为： fs f ' ( s l ) f ' l
例1： 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有
引力作用。若两质点所受外力矢量和为零，则此系 统（ C ）。 (A) 动量、机械能及对一轴的角动量守恒 (B) 动量、机械能守恒，不能断定角动量是否守恒 (C) 动量守恒、不能断定机械能和角动量是否守恒 (D) 动量和角动量守恒，不能断定机械能是否守恒
即
Ep
A保内 > 0 A保内 < 0
Ek
保守内力作功是系统势能与动能 相互转化的手段和度量。
能量守恒定律
孤立系统：与外界没有能量交换的系统 能量既不能消灭，也不能创造，只能从一 种形式转变成另一种形式。一个孤立系统经历 任何变化时，该系统内各种形式的能量可以相 互转化，但能量的总和保持不变。 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械 运动范围内的体现。
sa sb
与具体路径有关
若
f const.
则 Aab f
sb
sa
动能定理,保守力与非保守力,功能原理 机械能守恒定律
90o 90o
180 F
o，dW 0 dr dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W s2 F cos ds s1
s
o s1 ds s2
第三章 动量守恒和能量守恒
3
物理学
第五版
3-4 动能定理
(3) 功是一个过程量，与路径有关。
(4) 。
合力的功， 等于各 分力的功的代数和
mgR(2 sin 30o )
B Ep 0
又 kR mg m vB2 R
所以 k 2mg R
第三章 动量守恒和能量守恒
29
物理学
第五版
3-6 功能原理 机械能守恒定律
例3 如图，在一弯曲管中， 稳流着不可压
缩的密度为 的流体。 pa = p1、Sa = A1，pb
=p2 ，Sb = A2，va v1，vb v2。求流体的
F dr
Fxi Fy j dxi dyj
Fz k dzk
W
B F dr
A
A（B Fxdx Fydy Fzdz）
xB
yB
zB
Wx xA Fxdx Wy yA Fydy Wz zA Fzdz
W Wx Wy Wz
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
三 势能：与质点位置有关的能量。
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
W
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s
o s1 ds s2
第三章 动量守恒和能量守恒
3
物理学
第五版
3-4 动能定理
(3) 功是一个过程量，与路径有关。
(4) 合力的功，等于各分力的功的代数和
。
F dr
Fx
i
Fy
j
dxi dyj
Fz k dzk
W
B
F
dr
A
A（B Fxdx Fydy Fzdz）
xB
yB
zB
Wx xA Fxdx Wy yA Fydy Wz zA Fzdz
W
F
dr
B
A
G
m'm r2
er
dr
er dr er drcos dr
W rB G m'm dr
mA
rA er
r m dr
r dr dr
m' rB
B
rA
r2
万有引力所作的功
W Gmm( 1 1 ) rB rA
只与始、末位置有 关，与路径无关。
第三章 动量守恒和能量守恒
14
物理学
第五版
F
W
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
第三章 动量守恒和理
第五版
讨论
W
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
(1) 功的正、负
0o 90o，dW 0
90o 90o
F180od，rddWW00
(2) 作功的图示
F cos
W s2 F cos ds s1
W Wx Wy Wz
第三章 动量守恒和能量守恒
4
物理学
第五版
3-4 动能定理
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
t
瞬时功率
P
lim ΔW
dW
F
v
t0 Δt
dt
P Fv cos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
第三章 动量守恒和能量守恒
5
物理学
第五版
x
o
bv
d d
x t
d
t
b
v2dt
又由 2 - 4 节例 5 知 v v0 emb t
vv0
W
bv02
e dt t
2b m
t
0
x
W
1 2
mv02
(e
2b m
t
1)
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-4 动能定理
二 质点的动能定理
W
v F
drv
F
cos
drv
Ft dr Ftds
而
3-5 保守力与非保守力 势能
(2) 弹性力作功
F
F'
o
弹性力
F kxi
x Px
dW kxdx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
(
1 2
kx22
1 2
kx12
)
第三章 动量守恒和能量守恒
15
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
F
dW
O x1
x2 x
dx
W
x2 Fdx
3-4 动能定理
例 1 一质量为 m 的小球竖直
落入水中， 刚接触水面时其速
率为 v0。设此球在水中所受的
浮力与重力相等，水的阻力为
Fr bv, b 为一常量。
vv0
求：阻力对球作的功与时间的
函数关系。
第三章 动量守恒和能量守恒
6
物理学
第五版
3-4 动能定理
解 建立如右图所示的坐标系
W
F
dr
bv d
物理学
第五版
F 对空间的积累
3-4 动能定理
W，动能定理
一功
1 恒力作用下的功
W
F
cos
rv
v F
rv
F
r
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
2 变力的功
dW F cos dr
ds dr
dW F cos ds
dW
F
dr
3-4 动能定理
dri B
dr
i *
Fi
dr1 1
*A
F1
m 1.0 kg l 1.0 m
0 30o
θ 10o
W mgl(cos cos0 )
由动能定理 W
1 2
mv2
1 2
mv02
得 v 2gl(cos cos0 )
1.53 ms1
0 30o
d l
FT
vPd s
第三章 动量守恒和能量守恒
12
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
x1
x2 x1
kxdx
(
1 2
kx22
1 2
kx12
)
弹性力所作的功只与弹簧的始、末位置有关，
与弹性形变的过程无关。
第三章 动量守恒和能量守恒
16
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
二 保守力与非保守力
保守力作功的数学表达式
保守力所作的功只与质点的始、末位置有关， 而与路径无关。
引力的功
W
Ft
m dv dt
W v2 mv dv v1
A vv1 dr
θ
F
Ft
Bv2
1 2
mv22
1 2
mv12
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
3-4 动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
合外力对质点所作的功，等于质点动能 的增量 ——质点的动能定理
注意 ➢ 功是过程量，动能是状态量； ➢ 功和动能依赖于惯性系的选取，
1 2
kx 2
保守力作功 W (Ep2 Ep1) EP
第三章 动量守恒和能量守恒
10
物理学
第五版
3-4 动能定理
解
dW
FPddss
FT
d
s
Pd
s
ds l d
P
d
s
mgl
d
cos
mgl sin d
0 30o
d l
FT
W mgl sin d 0 mgl(cos cos0 )
vPd s
第三章 动量守恒和能量守恒
11
物理学
第五版
3-4 动能定理
(G
m'm) (G rB
m'm rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
第三章 动量守恒和能量守恒
17
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
F
d r
F
d r
ACB
ADB
A
F
dr
F
d r
F
d r
l
ACB
BDA
C D
W
l
F
dr
0
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对
但对不同惯性系动能定理形式相同。
第三章 动量守恒和能量守恒
9
物理学
第五版
3-4 动能定理
例 2 一质量为1.0 kg 的小球系
在长为1.0 m 细绳下端，绳的上
0 30o
端固定在天花板上。起初把绳
子放在与竖直线成 30o角处，然
l
后放手使小球沿圆弧下落。
求绳与竖直线成 10o角时小球
v
的速率。
它所作的功为零。
非保守力所作的功与路径有关(如摩擦力)。
第三章 动量守恒和能量守恒
18
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
三 势能：与质点位置有关的能量。
引力的功
引力势能
W
(G
m' m ) rB
(G
m' m rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
弹性势能
Ep
一 万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对 m的万有引力为
F
G
m' m r2
er
m移动dr时，F作元功为
mA
rA er
r m
r dr
dr
m' rB
B
dW
F
dr
G
m' m r2
er dr
第三章 动量守恒和能量守恒
13
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
m从A到B的过程中 F 作功：