必修一第3章末归纳整合

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注意由 f(a)· f(b)＜0 可判定在(a， b)内至少有一个变号零点 c， 除 此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点． 当 f(a)· f(b)＞0，则 f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 3． 二分法只能求出连续函数变号零点， 另外应注意初始区间的 选择．
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【例 1】 方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间是( A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞) 解析
)．
把方程的解转化为函数 f(x) ＝ log3x ＋ x － 3 对应的零
点．令 f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴ f(2)· f(3)＜0，且函数 f(x)在定义域内是增函数，∴函数 f(x)只有 一个零点，且零点 x0∈(2,3)，即方程 log3x＋x＝3 的解所在区间 为(2,3)．故选 C. 答案 C
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解
(1)画出 f(x)的图象，如图(1)，从图象可以
看出，图象与 x 轴没有交点，f(x)没有零点． (2)从图(1)可以看出 f(x)＞0. 对于 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只 有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的 幅度要小于 1，否则 g(x)＝0 就有两个根了． k 应该限制为－1＜k＜0. 几何解释如图(2)．
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要点归纳 1．方程的根与函数的零点 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2．零点判断法 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)· f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点， 即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的 根．
， 得 t＞0.6 小时， 即从药物释放
开始，至少经过 0.6 小时后学生才能回到教室．
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【例 4】 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可 以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎， 在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟， 为了了解行情，他进入市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟的种植 成本 Q(单位：元/10kg)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如下 表：
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专题一
函数的零点与方程的根的问题
确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二 是利用零点存在性定理判断， 但还需结合函数的图象和单调性， 特别是二重根容易漏掉． 函数的零点是一个实数而非一个点，函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零 点就是方程 f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 y ＝g(x)的图象交点的横坐标．
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【例 3】 为了预防流感，某学校对教室用药熏 消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时) 成正比．药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式 为
1 － y＝16t a(a
为常数)，如上图所示，根据上图
中提供的信息，回答下列问题． (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时， 学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时 后，学生才能回到教室？
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解
(1)由所提供的数据知，反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t
时间t
50 110 250
种植成本Q 150 108 150
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(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成 本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a· bt；Q＝alogbt； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数 t 及最 低种植成本？
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4．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面 要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数 学问题生活化．另一方面，要不断拓宽知识面，提高间接的生 活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润环保等实际问 题，也可以涉及面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问 题数学化的意识和能力．
图(1)
图(2)
(3)有，x＝0，它来源于 2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1＝0. (4)规定 k 的范围是{k|k≤－1}．
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专题二
函数模型及应用
应用函数知识解应用题的关键在于深入理解题意，用变化的观 点分析和探求具体问题中的数量关系，寻求已知量与未知量之 间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联系起来，建 立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点求解．
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解 kt 和
(1)由题图可设 y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入 y＝
1 － y＝16t a，得
k＝10，a＝0.1，
1 0≤t≤ ， 10t 10 ∴y＝ 1 t－0.1t＞ 1 . 16 10 1 － (2)由16t 0.1＜0.25＝
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【例 2】 设
x 2 ，x＝0， f(x)＝ －x，x＜0.
(1)f(x)有零点吗？ (2)设 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，k 应 该怎样限制？ (3)当 k＝－1 时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没 有，请说明理由； (4)你给 k 规定一个范围，使得方程 g(x)＝0 总有两个根．