数学物理方法习题
数学物理方法习题总稿-csy
数学物理方法习题习题一1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）i -; (2).11ii-+;(3). 1; (4). 1ie+;(5).1cos sin i αα-+; (6) 3()z z x iy =+2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) ||2z =; (2) ||3z ≤;(3)1Re 2z ≥; (4) ||||z a z b -=- (a b 、皆为复实数）; (5) ||Re 1z z +≤; (6) 1||11z z -≤+; (7) 1Re 2z=; (8) 1Im 2z <<;(9) 0arg4z i z i π-<<+; (10) |2||2|5z z ++-=. 3、计算下列各式：（1 （2）ii ；（3 （4（5a b （、皆为实常数）； （6）21)(1)nn i i ++-（； （7）cos cos 2cos3cos n ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+（ϕ为实数）习题二1、设,z x iy =+试证：|sin |z =和|s |co z =2、计算下列各式:（1）sin()a ib +和s()co a ib +（其中a b 、为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）22;ch z sh z - （3）(1);Ln - 一1 一（4）cos ix 和sin ix （x 为实数）； （5）chix 和shix （x 为实数）； （6）sin ||iaz ib z e -（a b 、为实常数）。
3、解方程：（1）sin 2z =； （2） 2.tgz =习题三1、 若一实函数在区域G 内解析，试证该实函数必为实数。
2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）212;z z ω=-- （2）1zω=（3）Im Re ;z z z ω=- （4）||.w z =3、设函数3222()()f z my mx y i x lxy =+++是全平面上的解析函数，试确定m n l 、、的值。
物理数学物理法专项习题及答案解析及解析
物理数学物理法专项习题及答案解析及解析一、数学物理法1．如图所示，在竖直分界线MN 的左侧有垂直纸面的匀强磁场，竖直屏与MN 之间有方向向上的匀强电场。
在O 处有两个带正电的小球A 和B ，两小球间不发生电荷转移。
若在两小球间放置一个被压缩且锁定的小型弹簧（不计弹簧长度），解锁弹簧后，两小球均获得沿水平方向的速度。
已知小球B 的质量是小球A 的1n 倍，电荷量是小球A 的2n 倍。
若测得小球A 在磁场中运动的半径为r ，小球B 击中屏的位置的竖直偏转位移也等于r 。
两小球重力均不计。
(1)将两球位置互换，解锁弹簧后，小球B 在磁场中运动，求两球在磁场中运动半径之比、时间之比；(2)若A 小球向左运动求A 、B 两小球打在屏上的位置之间的距离。
【答案】(1)2n ，21n n ；(2)123rr n n -【解析】 【详解】(1)两小球静止反向弹开过程，系统动量守恒有A 1B mv n mv =①小球A 、B 在磁场中做圆周运动，分别有2A A A mv qv B r =，21B2B Bn mv n qv B r =②解①②式得A2Br n r = 磁场运动周期分别为A 2πmT qB=，1B 22πn m T n qB =解得运动时间之比为AA2B B 122T t n T t n == (2)如图所示，小球A 经圆周运动后，在电场中做类平抛运动。
水平方向有A A L v t =③竖直方向有2A A A 12y a t =④ 由牛顿第二定律得A qE ma =⑤解③④⑤式得2A A()2qE L y m v =⑥ 小球B 在电场中做类平抛运动，同理有22B 1B()2n qE L y n m v =⑦ 由题意知B y r =⑧应用几何关系得B A 2y y r y ∆=+-⑨解①⑥⑦⑧⑨式得123r y r n n ∆=-2．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1sin 42mg θ 【解析】 【分析】（1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解．（2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：Fcos mgsin f αθ＝＋N Fsin F mgcos αθ＋＝N f F μ＝联立解得：()2mgsin F cos θθα=-则当＝αθ时，F 有最小值，2min F mgsin ＝θ(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F 的水平分力，即()f Fcos αθ='+当＝αθ时，12242f mgsin cos mgsin θθθ='= 【点睛】木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含动摩擦因数的值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，求出外力F 的表达式，讨论F 取最小值的条件．3．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m ＝0.2kg 的小弹丸A 获得动能，弹丸A 再经过半径R 0=0.1m 的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B 发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O 点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作质点．(1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少?(2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小．(3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】(1)根据机械能守恒定律得：21p 0122E v mg R m =+⋅ A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有：mv 1=2mv 2200122gt R =x =v 2t 0解得：E p =2J(2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得：21N v F mg m R+=解得：F N =30N由牛顿第三定律知：F 压=F N =30N(3)根据2p 1122E mv mg R =+⋅ mv 1=2mv 2 2R =12gt 2，x =v 2t联立解得：(2)2p E x R R mg=-⋅其中E p 最大为4J ，得 R =0.5m 时落点离O ′点最远，为：x m =1m4．如图所示，在xoy 平面内y 轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场方向垂直纸面向外；分成I 和II 两个区域，I 区域的宽度为d ，右侧磁场II 区域还存在平行于xoy 平面的匀强电场，场强大小为E ＝22B qdm，电场方向沿y 轴正方向。
最新物理数学物理法专项习题及答案解析
最新物理数学物理法专项习题及答案解析一、数学物理法1．如图所示，在竖直边界1、2间倾斜固定一内径较小的光滑绝缘直管道，其长度为L ，上端离地面高L ，下端离地面高2L．边界1左侧有水平向右的匀强电场，场强大小为E 1（未知），边界2右侧有竖直向上的场强大小为E 2（未知）的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）．现将质量为m 、电荷量为q 的小球从距离管上端口2L 处无初速释放，小球恰好无碰撞进入管内（即小球以平行于管道的方向进入管内），离开管道后在边界2右侧的运动轨迹为圆弧，重力加速度为g ． （1）计算E 1与E 2的比值；（2）若小球第一次过边界2后，小球运动的圆弧轨迹恰好与地面相切，计算满足条件的磁感应强度B 0；（3）若小球第一次过边界2后不落到地面上（即B >B 0），计算小球在磁场中运动到最高点时，小球在磁场中的位移与小球在磁场中运动时间的比值．（若计算结果中有非特殊角的三角函数，可以直接用三角函数表示）【答案】（131；（23(23)m gL -；（3）36gL︒【解析】 【分析】根据题意，粒子先经过电场，做匀加速直线运动，在进入管中，出来以后做匀速圆周运动，画出物体的运动轨迹，再根据相关的公式和定理即可求解。
【详解】（1）设管道与水平面的夹角为α，由几何关系得：/21sin 2L L L α-== 解得：30︒=α由题意，小球在边界1受力分析如下图所示，有：1tan mg qE α=因小球进入边界2右侧区域后的轨迹为圆弧，则有：mg ＝qE 2解得比值：E 1 ：E 2＝3：1（2）设小球刚进入边界2时速度大小为v ，由动能定理有：2113sin302cos302mg L E q L mv ︒︒⋅+⋅=联立上式解得：3v gL =设小球进入E 2后，圆弧轨迹恰好与地面相切时的轨道半径为R ，如下图，由几何关系得：cos30+2L R R ︒= 代入数据解得：(23)R L =+洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：20v qvB m R=代入数据解得：03(23)m gLB -=（3）如下图，设此时圆周运动的半径为r ，小球在磁场中运动到最高点时的位移为：2cos15S r ︒=⋅圆周运动周期为：2rT vπ=则小球运动时间为：712t T =解得比值：362cos15cos15712gL S r t T︒==︒【点睛】考察粒子在复合场中的运动。
数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：()0,044>=+a a z44424400000,0,1,2,3,,,,i k iiz a a e z aek aez i i ππππωωωωω+=-=====--若令则1．计算：（1）iii i 524321-+-+ （2）y =（3）求复数2⎝⎭的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ(1) 原式=()()()123425310810529162525255i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--（2） 332()102052(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式(3)2223221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23i i i e r ππππππθπ⎛⎫==+=+==-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±原式所以：，3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-3.()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y ue x y y y e y x ue x y y y y y ve y y x y e y y x ve y y y x y yu v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=∂证明：所以：。
由于在平面上可微所以在平面上解析。
()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x vi e x y y y e y i e y y x y e y x x∂+=-++++∂由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=解：()()()()()()()222222222212,2,212,2,,,2112,22111,0,1,1,,221112.222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+==+==⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数2. ()21,3,,.ii i i i i e ++试求()()(((()()()2(2)Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos ln sin ,0,1,2,3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i ii i k i i k i i k i k i k i ii ii eeeei k e e e e i k i eeeππππππππππππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭-++-+-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+====+=±±====+=±±=== 解：()222,0,1,2,cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭+=±±=⋅=+3. 计算 2,:122c dzc z z z =++⎰()2222220110,1,1,11,220,022z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算221(1),21c z z dz c z z -+=-⎰： ()2221(2),21cz z dz c z z -+=-⎰：（1）212(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）2112(21)=2(41)6z z i z z i z i πππ=='=-+-=解：原式. 计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3): 2.122c z dz c z c z c z z π+=-==-⎰其中1sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎰解：(1)原式1sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin44.11c c z zdz dz i i i z z ππ=+=+=--⎰⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。
数学物理方法习题
数学物理方法习题答案.pdf
电路练习题一、选择题（第1组）1、图示电路，求i 。
A ：1/2 A B: 1/3 A C ：3/2 A D ：2/3 A2、图示电路，求u 。
A ：2VB ：4VC ：6VD ：8V3、图示单口网络，其端口VCR 关系为:A: u =5i +3 B: u =-5i +3 C ：u =-5i -3 D: u =5i-34、图示电路，求i 。
A ：2AB ：1.5AC ：1AD ：3A5、图示电路，求i 。
A ：1AB ：9/13 AC ：1/7 AD ：2/11 A6、图示电路，问R L 能获得的最大功率。
A ：1/3 W B ：2W C ：2/9 W D ：4W7、图示稳态电路，求i 。
A ：2A B ：1AC ：3AD ：1.5Ai 4ΩR L4Ω6Ω 10Ω1H108、图示稳态电路，问电容中的储能。
A ：4J B ：2JC ：8JD ：1J9、图示电路，t < 0时处于稳态, t = 0时，开关切到a ， 当t = 5s 时，u c (t )是多少？A ：6.3VB ：5VC ：2.4VD ：3.16V10、图示电路，t < 0时处于稳态，t = 0时， 开关断开，求t = 1s 时u c (t )是多少？ A ：1.47V B ：2.94V C: 5V D ：4V11、图示电路原处于稳态，在t = 0时， 开关断开，求t = 0.1s 时的电流i (t )。
A ：1A B ：0 C ：0.358A D ：0.184 A12、图示正弦稳态电路，求i (t ) 。
A ：)452cos(2°+t A B ：)452cos(2°−t A C ：)452cos(2°−t A D ：)452cos(2°+t A13、图示正弦稳态电路中，有效值： I 是10A ，I R 是8A 。
问I c 是多少？ A ：2A B ：18A C ：6A D ：4Ai(t)1H0.5Ω2ΩA2cos 22t u c1A c (t)2A14、图示正弦稳态电路， 求电阻上的平均功率。
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法+吴崇试+习题解答
则 z′ = z − z0 ，即 x′ + iy′ = x − x0 + i ( y − y0 ) ，由此得 x′ = x − x0 ， y′ = y − y0 。
（2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转θ 角得到坐标系 x′O′y′ 。如上面右图，x′O′y′ 系中 z′
只是比 xOy 系中 z 的幅角小θ ，即 z′ = ze−iθ ，由此得 x′ = x cosθ + y sinθ ，
1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：
（1）1+ i 3 ；（2）1− cosα + i sinα ， 0 ≤ α < 2π ；（3） eisin x ， x 为实数；（4） eiz ；
（5）ez ；（6） 4 −1 ；（7） 1+ i ；（8） 1+ i ；（9）e1+i ；（10）eiϕ(x) ，ϕ ( x) 是实变数 x
2
z3 − z1 2 z1
6．用复数 z 表示曲线上的变点。（1）写出经过点 a 且与复数 b 所代表的矢量平行的直线方 程；（2）写出以 d 和 −d 为焦点，长轴长 2a 的椭圆方程（ a > d ）。 （1）矢量 z − a 与矢量 b 平行，所以 z − a = kb ， k 为实数； （2）由椭圆定义得 z − d + z + d = 2a 。
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
，
Im
=
sin
⎛ ⎜⎝
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
；
（7）
1+ i
=
4
2ห้องสมุดไป่ตู้i⎛⎜⎝
π 4
+
数学物理方法_汪德新答案
⎪ ⎪ a rc ta n
y
+ 2π ，
z在
第
IV象
限
⎩
x
6. 设 b
< 1,
a
=
1,
试证明
a−b 1− a∗b
=1
解 ： 以 a = 1乘 分 母 ， 得
. a−b 1 − a∗b
=
a−b a 1 − a∗b
=
a−b a − aa∗b
=
a−b a−b
=1
7.设复数
z1,
z2 ,
z3满足
z2 z3
− −
z1 z1
=
z1 − z3 ，试证 z2 − z3
z2 − z1
=
z3 − z1
=
z2 − z3
解 令分式等于 C.若 C=0，则 z1 = z2 = z3 ，结论得证；若 C ≠ 0
c = 1 只要证明
即可。原式取模，得 z1 − z3 2 = z2 − z1 z2 − z3
①
原式两边分别减 1 通分后取模得 z2 − z3 2 = z1 − z2 z3 − z1
2
2
取对数整理后可得
n>- lnε . ln 2
今取N=- lnε ，当n > N (ε )时 ln 2
即可满足上述要求。按极限的定义，即有
lim（
n→∞
1+i 2
）n
=
0
11.求下列序列的聚点和极限。
（1）zn =（3+4i）n 6
（2）zn
=（−1）n n 2n +1
（3）zn
=
in−1 n
(4)zn =（−1）n 1 2n +1
数学物理方法题目
2 5
3 5
51、求解 ⎪ ⎨
⎧ ∇ 2u = 0
2
( r < a, 0 < θ < π )
⎪ ⎩u r = a = cos θ , u r →0 = 有限值
(0 < θ < π )
。
⎧ ∇ 2u = 0 ( r > a, 0 < θ < π ) ⎪ 52、求解 ⎨ 。 2 ⎪ ⎩u r = a = cos θ , u r →0 = 有限值 ( 0 < θ < π )
i
b．证明 ∫i
2+i
dz ≤ 2 积分路径是直线段。 z2
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中 c 均为圆心在原点， 半径为 1的单位圆周。 a． v ∫c
e z dz dz ； b． v ∫c z 2 + 5z + 6 。 cos z 2z2 − z +1 v ∫ c z − 1 dz ez z
z ( z + 1)
2
z −1
2
； （2） cos
1 1 ； （3） 。 z +i sin z + cos z
1 − ez 在孤立奇点处的留数。 23、求 f ( z ) = 1 + ez
24、求下列函数在指定点处的留数。
3
1 − e2 z （1） 在 z = ±1, ∞ ； （2） 4 在 z = 0, ∞ 。 2 z ( z − 1)( z + 1)
u t =0 = ρ 2 − R 2 ，求此物体的温度分布随时间的变化规律。 （无限长
→ u 与 ϕ 无关）
58、圆柱体半径为 R 而高为 H ，上底面保持温度 u1 ，下底面保持温度
数学物理方法习题
数学物理方法习题一、 复变函数1、 填空题（1）函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。
（2）ln1=_________. (3)=ix e _________。
（4）求积分 dz zzz ⎰=12sin =______ . (5) 求积分=⎰=1cos z dz zz_________。
(6)设级数为∑∞=1n nnz ,求级数的收敛半径_______________。
(7).设级数为)211nn n n zz +∑∞=（ ,求级数的收敛区域_________。
(8)求积分⎰=1z zdz=___________.(9) 求积分⎰=1z zdz=____________. （10）设f (z)=9cos z z, 求Resf (0)= _________。
2、计算题（1）导出极坐标下的C- R 条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11(2) 己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：a 、,cos x eu y-= b 、22y x yv +-=c 、()y y y x e v xsin cos +=-（3）设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f (z) 的模∣f (z)∣为常数，证明 f (z) 在D 内为常数。
(4) 设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f *(z)也是区域D 内的解析函数，则f (z)必常数。
(5) 求函数 f (z)=)1(12-+z z z 在下列区域 ⅰ) 0<∣z ∣< 1； ⅱ) 1<∣z ∣<∞ 的Laurent 展开。
(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别a 、zz cos sin 1+ b 、zz e 1-c 、nnz z +12 n 为正整数.(7) 求下列积分a 、,)1(sin 02dx x x x⎰∞+b 、⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin z dzz zπc 、b 且a b a dx x bxax ≠≥≥-⎰∞,0,0,cos cos 02d 、 ⎰∞++022sin cos dx a x xx x a ω(二) 积分变换1、填空题（1）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为()()0ωωδω-=F ， 求f (t)=____________。
数学物理方法习题
第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
数学物理方法习题
z z c ( 0为复常数, c为实常数 )
四川大学数学学院 邓瑾
第二章习题
6. 求下列函数的解析区域: (1)
f ( z ) xy iy
16. cos z在哪些曲线上取实数值. 17. 求下列各值:
(1) Ln( 1), ln( 1); Lni , ln i; L(3 2i ), ln( 2 i ) (2) 1 2 , ( 2) 2 , 2i , (3 4i )1 i (3) cos(2 i ), sin 2i
e d z , 并证明 z
z
0
14. 求积分
6
e cos cos(sin )d .
(1 z
C
z2
2 2
)
dz , 其中C为包围 i 且位于上半
平面的围线.
四川大学数学学院 邓瑾
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20. 求解析函数 f ( z ) u iv, 使其分别满足下列条件:
1 sin( n 1 2 ) 1 2 2sin k 1 2 n cos( n 1 1 2 ) (2) sin k cot 2 1 2 2sin k 1 2 (1) cos k
n
0 .
3. 利用复数的三角式或指数式计算下列各题:
(1) i (1 3i )( 3 i ); (2) ( 3 i )3 ; (3) 3 1 i
一、必做题 5i 1. 计算 2 3i 2. 用三角式及指数式表示下列复数,并求辐角一般值:
z 2 2i; z 3i; z 1 cos i sin
第一章习题
二、选做题 5. 如果是1的立方根的一个复根,求证: 1 2 0. 7. 用复数的指数式证明下列等式:
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题一、选择题1. 在坐标系中，以下哪个曲线表示了函数 y = e^x 的图像？A. y = x^2B. y = eC. y = e^(-x)D. y = ln(x)2. 一个小球从地面上方以速度 v0 抛下，忽略空气阻力。
以下哪个公式正确地描述了小球的下降高度 h(t) 随时间变化的关系？A. h(t) = v0 * t - 0.5 * g * t^2B. h(t) = v0 * t + 0.5 * g * t^2C. h(t) = v0 * t + g * t^2D. h(t) = v0 * t - g * t^23. 空间中有一个电场 E = 2x i + 3y j + 4z k。
一个电子从点 (1, 2, 3) 处开始沿电场方向运动，电子的加速度大小是多少？A. 7B. 5C. 6D. 44. 一个质点在平面上做匀速圆周运动，其角速度大小为 2 rad/s。
质点的速度大小和圆周半径分别是多少？A. v = 2rB. v = 4rC. v = 6rD. v = 8r5. 一辆汽车以匀加速度 a 行驶，在时刻 t1 时起动，时刻 t2 时速度为 v2。
以下哪个公式可以用于计算汽车在时间区间 [t1, t2] 内行驶的距离？A. s = v2 - v1B. s = a * (t2 - t1)C. s = v1 * (t2 - t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2D. s = v1 * (t2 + t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2二、计算题1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4(2) g(x) = e^x * sin(x)2. 一个弹簧的劲度系数为 k，质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。
当物体受到外力 F(t) = 2cos(t) 作用时，确定物体的运动方程并解释物体的运动特性。
3. 一个半径为 R 的圆形铁环在匀强磁场 B 的作用下，磁通量在时间区间 [0, t] 内以恒定速率增大。
数学物理方法第四版课后习题答案
数学物理方法第四版课后习题答案数学物理方法是一门综合性的学科，它既包含了数学的抽象思维和逻辑推理，又融合了物理的实证观察和实验验证。
对于学习数学物理方法的学生来说，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，提高问题解决能力。
本文将为读者提供《数学物理方法第四版》课后习题的答案，帮助读者更好地理解课本内容。
第一章：数学物理方法的基础1.1 习题答案：a) 由于是一元函数，所以可以将其表示为幂级数的形式：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...将f(x)代入微分方程，整理得到：a2 + (a3 - a1)x + (a4 - 2a2)x^2 + ... = 0由于等式左侧是一个幂级数，所以等式两边的每一项系数都为零，解得：a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/n(n-1) (n为奇数)b) 将f(x)代入微分方程，整理得到：2a2 + (3a3 - a1)x + (4a4 - 2a2)x^2 + ... = 0a2 = 0a3 - a1 = 0a4 - 2a2 = 0...解得：an = 0 (n为偶数)an = an-2/(n+1)(n+2) (n为奇数)1.2 习题答案：a) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100LW = A解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A > 0解得：A < 625b) 根据题意，设矩形的长为L，宽为W，则有：2L + 2W = 100解得：L = 50 - WW(50 - W) = AW^2 - 50W + A = 0由于W为矩形的宽度，所以W > 0，根据二次方程的性质，判别式D = 2500 - 4A ≥ 0解得：A ≤ 625第二章：向量分析2.1 习题答案：a) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3解得：A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 3b) 根据题意，设向量A的分量为(A1, A2, A3)，向量B的分量为(B1, B2, B3)，则有：A ×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3A ×B = (1, -1, 2)A ·B = 0以上是《数学物理方法第四版》第一章和第二章部分习题的答案，希望读者通过这些答案能够更好地理解课本内容，提高问题解决能力。
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。
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第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n hl x x l n u h ll x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T lu x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为220200,()(0),||0,|()/.txx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪⎨∂==⎪∂⎪=⎪⎩⎰⎰] (P-238) 6、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v 时突然停止，求解杆的振动。
[提示：定解问题为2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪==⎪⎨=⎪⎪=⎩] (P-242) 7、求解细杆导热问题，杆长l ，初始温度均匀为0u ，两端分别保持温度为1u 和2u 。
[提示：定解问题为201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪==⎨⎪=⎩] (P-251) 8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=，使满足边界条件00|(),|0.|sin,|0.x x a y y b u Ay b y u xu B u aπ=====-===(P-265)9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞，边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======，lim 0y u →∞=。
[提示：泛定方程为：0.xx yy u u +=](P-269)10、矩形膜，边长1l 和2l ，边缘固定，求它的本征振动模式。
[提示：定解问题为1221200()0,(0,0),|0,|0,|0,|0.tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271) 11、细圆环，半径为R ，初始温度分布已知为()f ϕ，ϕ是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。
求解环内温度变化情况。
[提示：其定解问题为20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪=⎨⎪+=⎩] (P-274) 12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件(1)|cos ,(2)|sin a a u A u A B ρρϕϕ====+。
[提示：泛定方程为20110,.02a u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-275) 13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持0u ，求稳定状态下的板上温度分布。
[提示：定解问题为200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪=<<⎪⎩] (P-276) 14、在以原点为心，以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ∇=，使满足边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。
[提示：泛定方程为122110,.02R R u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。
[提示：定解问题为2000()sin ,|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====⎧-=Φ⎪==⎨⎪==⎩] (P-292) 16、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f t ρρω=作用而振动，求解振动情况。
[提示：外加力的线密度课表为00(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-，所以定解问题为200000sin (),|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u f t x x u u u u ωδ====⎧-=-⎪==⎨⎪==⎩] (P-297) 17、在矩形域0,22b bx a y <<-<<上求解22u ∇=-且u 在边界上的值为零。
(P-303)第二章 球函数1、在本来是匀强的静电场0E u r中放置导体球，球的半径为a ，试研究导体球怎样改变了匀强静电场。
[提示：定解问题为20,u ∇= （1）000|cos ,(||.r r r a u E z E r u u C θ→∞→→≈-=-⎧⎨=⎩设导体放入前，=0),（2）和（3）] (P-369) 2、在点电荷04q πε的电场中放置导体球，球的半径为a ，球心与点电荷相距()d d a >，求解这个静电场。
[提示：定解问题为20,,|0,|0.r a r v q u v D v v =→∞⎧∇=⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩] (P-370) 3、求解220,(),|cos .r u r a u θ=⎧∇=<⎨=⎩(P-372) 4、 在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。
220(0)14sin cos sin 2r a r u r a u u θϕϕ==⎧∇=<<⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩有限（08~09）5、用一层不导电的物质把半径为a 的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为1v 和2v ，试解电场中的电势分布。
[提示：定解问题为20120,(),|,(0)(01),2|.,()(10)2i i r i r a u r a u v x u v x πθπθπ==⎧⎪⎪⎪⎪∇=<⎪⎨⎪⎧⎪≤<≤<⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<≤-<≤⎪⎪⎩⎩有限，(自然边界条件)或或 (P-373) 6、半球的球面保持一定温度0u ，半球底面（1）保持0C ︒，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。
[提示：定解问题为20020,(),||,|0.r r a u r a u u u u πθ===⎧∇=<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩有限，](P-375) 第三章 柱函数1、半径为R 的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面220|(1/)t u R H ρ==-，初速为零，求解膜的振动情况。
[提示：定解问题为2020021()0,||0,|(1),|0.ttR t t t u a u u u u u H u R ρρρρρρρ====⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-=⎪⎩有限，] (P-399) 2、利用递推公式证明2001()()()J x J x J x x'''=-并计算41()x J x dx ⎰3、半径为R 的圆形膜，在00,ρϕ受到冲量K 作用，求解其后的振动。
[提示：定解问题为220,tt u a u -∇= （1）0|0,|R u u ρρ===⎧⎪⎨⎪⎩（膜边缘固定）， 有限， （2） 000|0,|t t t u u δρρδϕϕρ===⎧⎪⎨⎪⎩g 00（初位移为零），k =(-)(-)。
p （3）](P-401) 4、半径为R 的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。
[提示：定解问题为22000,(0,0),||0,||0.tt R u a u R u u u u ρρϕϕπϕπρ====⎧-∇=≤≤≤≤⎪=⎨⎪==⎩有限，] (P-403) 5、半径为R 而高为H 的圆柱体下底和侧面保持零度，上底温度分布为2()f ρρ=，求柱体内各点的稳恒温度。
[提示：定解问题为22000,|0,|,||0.Z Z H R u u u u u ρρρ====⎧∇=⎪==⎨⎪=⎩有限，] (P-404) 6、圆柱体半径为R ，高为H ，上底有均匀分布的强度为0q 的热流流入，下底有同样热流流出，柱侧保持为0C ︒，求柱内的稳恒温度。
[提示：定解问题为2000,|()|()|0.Z Z H R u u qz z Rq u z z Ru ρ===⎧∇=⎪∂⎪=⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎪=⎩热流方向与轴反向，热流方向与轴同向，] (P-409)7、确定球形铀块的临界半径。
[提示：铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸，其定解问题为22,|0.t r Ru a u u u β=⎧-∇=⎨=⎩] (P-422) 8、均质球，半径为0r ，初始温度分布为()f r ，把球面温度保持为零度而使它冷却，求解球内各处温度变化情况。